Fra antologien Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Artikel fra antologien Kommunikation i matematik v/kirsten Søs Spahn, lærer, exam.pæd., pædagogisk konsulent i matematik, Center for Undervisningsmidler, UCC, E: ksp@ucc.dk Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag er en samling af artikler, der analyserer og vurderer læremidler til brug for undervisning i grundskolen. Den henvender sig til lærere, lærerstuderende og andre, der i professionelle sammenhænge skal overveje og drøfte vurdering af læremidler. Artiklen: Kommunikation kan understøtte elevernes læring i mate-matik, derfor skal eleverne udvikle kommunikationskompetence. Undervisningen skal tage udgangspunkt i elevernes forforståelse af begreber, og gennem forskellige samtaler skal eleverne udvikle deres forståelse af, hvordan begreber bruges i matematik. Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag Red. Bodil Nielsen Faglig konsulent: Kirsten Friisnæs Grafisk tilrettelægning: Lone Grinder Center for Undervisningsmidler UCC Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag 1
Kommunikation i matematik Kirsten Søs Spahn Kommunikation kan understøtte elevernes læring i matematik, derfor skal eleverne udvikle kommunikationskompetence. Undervisningen skal tage udgangspunkt i elevernes forforståelse af begreber, og gennem forskellige samtaler skal eleverne udvikle deres forståelse af, hvordan begreber bruges i matematik. Matematik er traditionelt set et opgaveløsningsfag, men forskningen viser, at det er meget vanskeligt at lære matematik uden at kommunikere. Forudsætningen for at kunne læse, forstå og tale matematik ligger i elevernes forforståelse af begreber og sproglige ressourcer. I matematisk sammenhæng har det en afgørende betydning for elevens mulighed for at oparbejde god talforståelse og kompetence inden for talbehandling. Denne forforståelse oparbejdes ofte ved dialog: lærer-elev eller elev-elev. Derfor er det nødvendigt at kommunikere i og om faget, hvis eleverne skal have en chance for at blive dygtige til at læse og løse opgaver. I 2002 udgav Undervisningsministeriet en rapport, der omhandler elevernes opbygning af matematiske kompetencer på et givet trin under deres uddannelse. Denne rapport, Kompetencer og matematiklæring, opdeler matematikken i otte kompetencer, hvoraf den ene er kommunikationskompetencen. Denne kompetence indeholder mange aspekter af matematikken, men fokus ligger på at beherske matematiske begreber i et sådant omfang, at man er i stand til at udtrykke sig klart og med forståelse om et matematisk emne. Fra rapporten: En hvilken som helst skriftlig eller mundtlig fremstilling af en matematisk aktivitet kan tjene til at eksemplificere udtrykssiden af kommunikationskompetencen. For eksempel falder det at kunne gøre rede for en matematisk betragtning, fx løsningen af en opgave, inden for denne. Tilsvarende vil afkodningen 2 Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag
og fortolkningen af matematiske fremstillinger, fx i en lærebog eller et foredrag, eksemplificere, hvad man kunne betegne den modtagende side af kommunikationskompetencen. (Undervisningsministeriet 2002) Det er denne rapport, der ligger til grund for udformningen af afsnittet Matematiske kompetencer i Fælles Mål 2009. Kommunikation i og om matematik skal som del af en kompetence have en plads i såvel læremidler som undervisning, hvis indholdet af Fælles Mål skal afspejle sig heri. En del af slutmålene indeholder begreber, der kun kan tilegnes ved at kommunikere i og om matematik, så der er ikke tvivl om nødvendigheden af denne kommunikation. Der skal allerede i indskolingen være fokus på den mundtlige dimension. Her skal vi udbygge elevernes forforståelse af de matematiske begreber. Mange kendte begreber får en helt anden betydning, når eleverne møder dem i en matematisk kontekst, så de har svært ved at danne billeder af dem. Der er stor forskel på at tale om begrebet forhold i matematisk sammenhæng og et forhold mellem to mennesker, ligesom det er vigtigt at kunne indse, hvilket tal der er størst: 3 eller 9 Disse enkle eksempler viser, at indholdet i ordene er meget forskelligt alt efter, hvilken kontekst de står i. Matematiske fagtekster er ofte bygget op på en måde, der gør det nødvendigt, at faglæreren læser teksten sammen med eleverne. Mange begreber skal nemlig pakkes ud, for at eleverne kan forstå og anvende dem i en matematisk sammenhæng. Eva Maagerø peger i en artikel om læsning af matematiske tekster på vigtigheden af, at faglærerne også bliver læselærere, da fagsproget er meget anderledes end det, eleverne ser i andre sammenhænge. Moderne læremidler er ofte multimodale, dvs. indeholder såvel tekst som billeder, tabeller, grafer og lignende, og rummer meget information til læserne. Dermed kan teksterne blive meget udfordrende, og det gælder i høj grad i Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag 3
matematik. Maagerø siger: Hvis elevene overlates til sig selv, vil det for mange elever i beste fall ta lang tid å bli gode lesere i faget, i verste fall at fagets tekster bliver ugjennomtrengelige. Dette kan være en av grunnene til at elever synes matematikk er vanskelig. (Maagerø 2009) Ser man i denne sammenhæng på læremidlerne, opdager man, at de ikke altid tager højde for, at samtalen er afgørende for, at eleverne får en forståelse, der ligger dybere end en umiddelbar regnekunnen. Ofte er der så mange opgaver i en bog eller et hæfte, at der ikke er tid til andet end opgaveløsning, hvis alle sider skal nås. Man kan frygte, at det bliver en ordløs matematikundervisning, der lader eleverne i stikken mht. forståelsen, hvis ikke vi fokuserer på kommunikationen i faget. Flexmat et eksempel Flexmat er et bogsystem, der dækker over hhv. 1.-3. klasse, 4.-6. klasse og 7.-9. klasse, svarende til opdelingen af trinmål i Fælles Mål. De fire centrale kundskabs- og færdighedsområder i matematik, matematiske kompetencer, matematiske emner, matematik i anvendelse og matematiske arbejdsmåder, er indarbejdet i systemet. I hvert kapitel er de kompetencer, der er i spil, vist i en oversigt på første side. Derudover er klassesamtalen vægtet højt, idet der efter hvert afsnit er mulighed for at bruge inspirationsboksen, der lægger op til diskussion af det gennemarbejdede tema. Jeg vil belyse følgende tre spørgsmål: På hvilken måde lægger Flexmat til mellemtrinnet op til, at der skal kommunikeres såvel skriftligt som mundtligt i matematikundervisningen? Har forfatterne eksplicit vægtet det sprogpædagogiske fokus? Ligger dette implicit i bøgerne, eller er det et område, der er beskrevet i hhv. elevbogen og lærervejledningen? 4 Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag
For at kunne svare på spørgsmålene vil jeg dykke ned et par steder i tre af bøgerne og ud fra ovenstående også kommentere, hvordan faglig læsning indgår. Det første eksempel er fra bogen Tal imellem tal, kapitel 4, Lejrtur. Afsnittet På stadion inddrager decimaltal anvendt om længder i en sammenhæng, som eleverne kender. Der er her fokus på problembehandlingskompetencen, også i klassesamtalen. Beskrivelsen af denne kompetence kan findes i Kompetencer og matematiklæring på uvm.dk: 4.2.2 Problembehandlingskompetence - at kunne formulere og løse matematiske problemer Karakteristik Opstille og løse problemer Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, rene såvel som anvendte, åbne såvel som lukkede, dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og, om fornødent eller ønskeligt, på forskellige måder. (Undervisningsministeriet 2002) På de valgte sider fra Flexmat er der nogle fortrykte kasteog springresultater, som eleverne skal forholde sig til og arbejde med. Til sidst skal de selv kaste og springe for at måle og sætte resultaterne ind i et skema til sammenligning. Klassesamtalen lægger op til diskussion af metoder til: 1. at finde forskelle 2. at omsætte fra meter til centimeter. Afslutningsvis bliver klassen bedt om at finde en regel for omsætningen. Dette afsnit i Flexmat indeholder i klassesamtalen gode oplæg til at sætte kommunikationen på dagsordenen. Selvom der skal skrives og regnes meget i forhold til de målinger, der er opgivet, og de målinger, som eleverne foretager, er der gode forslag til, at eleverne kan tale om forskelle og andre observationer i forbindelse med målingerne. Denne samtale kan tydeliggøre, at der i matema- Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag 5
tik er forskellige veje til de relevante oplysninger, og kan føre til, at deltagerne indser, at der kan være flere mulige løsningsmodeller. Den afsluttende del af klassesamtalen lægger op til en generalisering, hvilket er meget vigtigt for at kunne anvende det lærte i andre sammenhænge. Lærervejledningen eller Lærerloggen, som den kaldes i Flexmat, lægger op til klassesamtalen på følgende måde: Formålet med samtalen er, at eleverne får en sikkerhed i omskrivning mellem enheder, og at de ser en sammenhæng mellem tallets værdi og omskrivningens retning her meter til centimeter og centimeter til meter. Det vil være en god ide at tage andre problemstillinger op og se på kommaets placering. Det er vigtigt, at eleverne bliver i stand til at kommunikere om, hvordan der er en sammenhæng mellem de eksempler, de arbejder med, og generelle matematiske regler. Dette sprogpædagogiske fokus er ikke nævnt i oplægget til klassesamtalen, så hvis hensigten er, at eleverne skal blive dygtige til at kommunikere såvel skriftligt som mundtligt, har forfatterne ikke været tydelige nok i deres oplæg. De kunne fx i forordet til lærerloggen have givet et eksempel på, hvordan eleverne kunne støttes i at komme fra det verbalsproglige argument til det mere formelle ved at fremhæve de ord og vendinger, eleverne anvender, og hvilke spørgsmål læreren kunne stille for at lede dem videre frem mod den begyndende matematiske argumentation. Matematik er meget præcist, og det er vigtigt, at eleverne forstår og lærer denne form. Det kan virke mærkeligt at præsentere begrebet addition i 1. klasse, men hvorfor lære at anvende et ord som plusse, når det ikke findes og derfor skal aflæres senere? Hvis det virker fremmed på såvel lærer som elever, er det muligt at anvende lægge sammen som begreb. Det indeholder den aktivitet, addition beskriver, og er forklarende i sit indhold. 6 Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag
Fokus på kommunikation Det andet afsnit fra Flexmat, jeg har valgt at fokusere på, er afsnittet Hos Otto igen, hvor eleverne skal opnå forståelse af og sikkerhed i at multiplicere tocifrede tal med flercifrede tal. Klassesamtalen i dette afsnit har kommunikationskompetencen som fokusområde. Denne kompetence er beskrevet således i Kompetencer og matematiklæring på uvm.dk: 4.3.3 Kommunikationskompetence - at kunne kommunikere i, med og om matematik Karakteristik Forstå og fortolke udsagn og tekster Udtrykke sig om matematik Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og tekster, dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere. I Lærerloggen til Flexmat beskriver forfatterne tanken med klassesamtalen ud fra, at fokus ligger på elevernes egne algoritmer. Dette ligger i tråd med Fælles Mål, hvor det fremhæves, at eleverne skal deltage i udvikling af metoder til addition, subtraktion, multiplikation og division på baggrund af egen forståelse. Det er vigtigt, at eleverne får en forståelse af metoderne, der ligger dybere end udenadslæren. Forfatterne påpeger, at det kræver stor forståelse at forklare sin egen og ikke mindst andres metoder for hinanden. Dette genfinder vi i ovenstående korte beskrivelse af kommunikationskompetencen, men i lærervejledningen bruger forfatterne ikke selv de præcise faglige begreber, som eleverne skal lære at bruge. Dermed bliver lærervejledningen mindre anvendelig i lærerens forberedelse af undervisningen. Det kan medføre, at den sproglige udvikling, der gerne skulle være en del af undervisningen, bliver væk i klassesamtalen, som ellers er et godt redskab til at formulere de matematiske generaliseringer, der gerne skal blive alles eje. Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag 7
En regnehistorie Det tredje udvalgte sted er i bogen: Tal i system. Her har jeg valgt at fokusere på afsnittet Pralhalsen Thorkild, der indeholder negative tal og modelleringskompetencen. Efter en indledende side med talebobler om at have penge og skylde penge, som eleverne skal fortolke og forklare for en kammerat, skal eleverne arbejde med forskellige måder, hvorpå man kan vise, hvordan der skal multipliceres med et negativt tal. Dette område inden for multiplikation er det sværest forståelige for eleverne: Hvordan kan det være, at minus gange minus bliver plus? Der er forsøgt mange forklaringer i tidens løb, da beviset ikke er forståeligt på grundskoleniveau. Afsnittet i Flexmat tager det op som et tema inden for penge, da eleverne har en viden om og et forhold til dette, og benytter i denne sammenhæng bl.a. arbejdsformen regnehistorie. Det er første gang i denne bog, en opgave lyder på at skrive en regnehistorie. Dette fænomen er ikke forklaret yderligere, så elever og lærer skal vide, hvad en sådan bør indeholde. Der er skrevet regnehistorier i andre læremidler, men først for nylig er det nærmere analyseret og beskrevet, hvor opmærksom man skal være på strukturen i en regnehistorie. Det vigtigste i historien er, at den skal afsluttes med et spørgsmål. Det kan volde nogle elever vanskeligheder, men hvis eleverne gøres opmærksom på forskellen mellem en beretning og en regnehistorie, lærer de også det. Fordelene ved regnehistorierne er, at læreren kan se, hvordan eleverne tænker matematik, dvs., hvordan de stiller en opgave, og hvordan de kommer frem til det endelige resultat. Flexmat stiller opgaven, at eleverne skal skrive en regnehistorie til en forholdsvis abstrakt opgave: Thorkild har svært ved at forstå, at det ikke kan betale sig at prale, når det handler om negative tal. Frigg viser ham tre forklaringer. Frigg sætter parenteser om -3: 8 Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag
Fra Flexmat: Tal i system s. 26 Forfatterne fokuserer på, at eleverne skal formulere sig ud af problematikken om de negative tal, hvilket er en god ide og en fin vej til skriftlighed via kommunikation. Pointen i at arbejde med regnehistorier i denne sammenhæng er at gøre den abstrakte opgave om negative tal til en håndterbar opgave, der medvirker til, at eleverne får en forståelse af negative tal. Alle elever har et forhold til penge, og der er derfor basis for en konkret viden om området, der skal skrives om. Emnet kan også konkretiseres vha. skolepenge og det at lege Bank i timerne. Mulighederne er mange i disse regnehistorier, da de også kan anvendes i en evalueringssammenhæng, hvor læreren kan læse opgaver højt i klassen, som eleverne så skal skrive ned og formulere regnehistorier ud fra. Denne form for evaluering giver eleverne mulighed for at vise deres kompetencer på det kommunikative område. Anvendelsesfag Artiklen her har taget fat på kommunikation i matematik som et område, der er af stor vigtighed. Faget har ændret karakter fra videnskabsfaget, der var en sorterende faktor i grundskolen og de videre uddannelsesforløb, til et anvendelsesfag, som alle i grundskolen skal undervises i. Denne ændring medfører, at fokus skal flyttes fra matematik for matematikkens skyld til redskabsfaget matematik. Vejen hertil kan være snoet eller ufremkommelig for nogle elever, men her kan samtalen være med til at guide dem og give dem en oplevelse af, at matematik kan forstås på mange måder. Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag 9
Litteratur Kabel, Kristine (2009): Er matematisk samtale bare samtale? Mona nr. 4/2009 Niss m.fl. (2002): Kompetencer og matematiklæring - Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark, http://pub.uvm.dk/2002/kom/ Maagerø, Eva (2009): De langsomme tekstene om å lese i matematikk, Læsepædagogen nr.5/2009 Muldvad, Ruth (2009): Sprog i skole, Alinea Sauer, Freddy m.fl. (2004): Tal imellem tal, Det kan du regne med og Tal i system, Flexmat, Malling Beck. 10 Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag
Artikel fra antologien Læremiddelanalyser - eksempler på læremidler fra fem fag 11