Vejrderivater. - Prisfastsættelse ved Black-Scholes, Burn og simulering. Erhvervsøkonomisk institut. Kandidatafhandling. Vejleder:

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk institut Cand.merc.finance Forfatter: Rikke Tibergaard Kandidatafhandling Vejleder: Peter Løchte Jørgensen Vejrderivater - Prisfastsættelse ved Black-Scholes, Burn og simulering Handelshøjskolen, Aarhus Universitet 2010

2 Summary Many industries and companies have revenues and costs that are exposed to the weather. It is reckoned that about 70-80% of all American companies are somehow exposed to the weather. The market for weather derivatives emerged as a result of the deregulation in the energy sector, which meant that the companies could no longer control the prices and thereby became exposed to volume risk. The volume changes according to the temperature; in winters that are warmer than normal less heating is needed which makes the volume go down; similarly, in summers that are colder than normal less air-conditioning is needed which also makes the volume go down. In the search of some way to cover the weather based risk, weather derivates emerged. The first weather derivative was traded over-the-counter in Since then the market has grown and weather derivatives has been introduced to the Chicago Mercantile Exchange. The topic of this thesis is chosen based on the belief that weather derivatives have great potential, since they seem to have the ability to help a lot of different industries manage their revenues and costs. Therefore it is thought that weather derivatives could have the potential to grow tremendously over the coming years. The purpose of this thesis is to give an introduction to weather derivatives and the pricing of them. The following topics will be included: A description of weather derivatives. What are they? What kind of financial instruments can be used as pay-off functions in an attempt of protecting oneself (a company) from the weather? How is the market? And who uses weather derivatives? How can weather derivatives be prices? This thesis focuses on three pricing methods. The methods will be critiqued and an example of each of them will be given. The most used weather derivatives are based on Heating Degree Days (HDD) and Cooling Degree Days (CDD). These weather variables measure the distance between the day s average temperature and some pre-specified temperature, which is usually 65 Fahrenheit. HDD measures how cold a day is and thereby the need for heat whereas CDD measures how hot a day is and thereby the need for air-conditioning. Even though

3 these two indexes are the most common ones, others are also possible. Chicago Mercantile Exchange also offers contracts based on hurricanes, rain, snow and wind. Most contracts are for American cities but also a selection of Canadian, European, Japanese and Australian cities are available. Even though weather derivatives were developed for use in the energy sector, a wide variety of other industries can make good use of them too. An example could be amusements parks that only get visitors when the weather is hot and sunny. Another example could be farming, were the quality of the crop depends on a certain temperature and certain amount of rain. When a company buys a weather derivative they have to specify different things: where to measure the weather, what to measure, what period to measure, the chosen pay-off function, a limit on the pay-off and so on. As pay-off function the most used financial instruments are put options, call options and swaps. The challenge with weather derivatives is that there is no single pricing method that is agreed upon by all market participants, since the traditional Black-Scholes model does not work. Many authors have suggested different pricing methods but the following three are often mentioned: some adjustments to the Black-Scholes model, Burn analysis and simulation. Therefore these three pricing methods are the ones used in this thesis. A weather version of the Black-Scholes model is found. This model needs a liquid market where it is possible to extract a swap strike value which is to be used as input in the model. For a very few cities this is possible but for the vast majority it is not. Because of this, the model should work fine in some cases but is also completely useless in others. The next pricing method is the Burn analysis. This is a simple method that uses the history as input. Based on the index of some historical time period, a strike value is found and the index is converted into historical pay-offs. The price is the average of these historical pay-offs. This pricing method does not give an exact price but rather an indication of a price level. The last pricing method in this thesis is simulation. This is a very handy way to expand the number of observations from the history by simulating a lot of likely paths. Another great thing about this method is that it does not assume that the market is liquid, since all it needs are historical observations of temperature.

4 In this thesis some models have been selected in an attempt to model the temperature. The selected models try to replicate the history by the use of the normal distribution, an anomaly model, AR-models and a model that includes a sine function, which makes the model include fluctuations over the year. Some of the models do a pretty good job but not all are equally relevant. The three pricing methods give quite different results, where the fair strike values ranges from 525 to 770 HDD and the price of a put option with a strike value of 700 HDD ranges from only 13,1$ all the way up to 4065,2$.

5 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemformulering Metodevalg og struktur Afgrænsning og definitioner Vejrderivater Heating Degree Days (HDD) Cooling Degree Days (CDD) Øvrige vejrderivater Forsikring Instrumenter Put/call optioner Swap og collar Straddle og strangle Markedet Købere af vejrderivater Prisfastsættelsesmetoder Black-Scholes modellen Black-Scholes modellen til vejrderivater Fordele og ulemper ved modellen Burn analyse Fordele og ulemper ved modellen Simulering Daglig data Fordele og ulemper ved modellen Eksempelvirksomheden Winter Wonder World

6 6.1 Excel-filen Data Excel-filen Vejrderivater Historisk data Datarensning Trends Forecasts Eksempler på prisfastsættelse Eksempel på vejrudgaven af Black-Scholes modellen Datasæt og VBA-opbygning Resultat Eksempel på Burn analyse Datasæt og VBA-opbygning Resultat Eksempel på simulation Datasæt og VBA-opbygning Resultat Konklusion Litteraturliste Oversigt over indhold på vedlagt CD Bilagsoversigt

7 1. Indledning Vejrderivater er et forholdsvist nyt fænomen, som første gang blev introduceret i Mange brancher verden over har indtægter og/eller omkostninger, der påvirkes af vejret. Brabazon & Idowu (2002) mener, at omkring 70 % af amerikanske virksomheder er udsat for vejrrisiko i en eller anden grad. Geman (1999) mener dog, at der nærmere er tale om hele 80 %. Vejrderivater er opstået på baggrund af dereguleringen i energisektoren, som var skyld i, at det enkelte energiselskab ikke længere selv kunne sætte prisen på energi på grund af konkurrence på markedet. Derved var det ikke længere muligt for energiselskaberne at justere prisen i forhold til deres omkostninger, som ellers kan variere meget på baggrund af temperaturen. Dette skabte en stor risiko for energiselskaberne, der kunne risikere at tabe store summer, hvis vinteren blev varmere end normalt, hvilket medfører et mindre varmeforbrug i virksomheder og private hjem, eller hvis sommeren blev koldere end normalt, hvilket medfører et mindre behov for airconditioning. For at dække disse eventuelle tab blev vejrderivater udviklet, da disse kan give et afkast, hvis vejret udvikler sig ugunstigt for energiselskaberne. 2 De finansielle derivater bruges normalt til at dække risikoen for prisændringer, hvorimod vejrderivater bruges i forbindelse med volumenrisiko. Hvis vejret udvikler sig ugunstigt, vil virksomheden blive kompenseret for de manglede indtægter eller for høje omkostninger på baggrund af vejrderivatkontrakten. 3 Vejrderivater er dog ikke kun brugbare for energiselskaber. Mange andre brancher kæmper også mod påvirkninger fra vejret. Da vejret har så stor en indflydelse på indtægter og omkostninger i mange brancher, er introduktionen af vejrderivater et interessant fremskridt, der gør det muligt for de udsatte virksomheder at beskytte sig imod uønsket vejr. Det er også et marked, hvor der er store muligheder for yderligere fremskridt, idet markedet for vejrderivater stadig er meget illikvid. Siden vejrderivaterne kom på markedet for snart 15 år siden, er der allerede store fremskridt, idet antallet af byer, der kan vælges i forbindelse med vejrderivatkontrakterne er blevet udvidet, ligesom det også er blevet muligt at vælge mellem flere forskellige typer vejrvariable. Chicago Mercantile Exchange udbyder i dag 1 Brabazon, T. & Idowu, S.O. (2002) side 7 2 Brabazon, T. & Idowu, S.O. (2002) side 7 3 Hansen, T.L. (2004) side 37 3

8 vejrderivatkontrakter, hvor temperaturen, frost, orkan, regn samt sne kan vælges som underliggende vejrvariabel. 4 Den store udfordring ved vejrderivatmarkedet er, at der stadig ikke er så mange købere og sælgere, hvilket gør markedet illikvid. Derudover er markedsdeltagerne ikke enige om, hvilken prisfastsættelsesmetode der skal bruges, idet den klassiske Black-Scholes model ikke er så velegnet på dette marked. Dette er blandt andet fordi den underliggende vejrvariabel ikke kan handles direkte. Da markedet for vejrderivater har potentiale til at blive stort og meget anvendeligt, kunne det være interessant at undersøge, præcis hvad et vejrderivat består af samt prøve at undersøge nogle af de prisfastsættelsesmetoder, der foreslås i litteraturen omkring vejrderivater. Dette har været grundlaget for at vælge netop dette emne i denne afhandling. 1.1 Problemformulering Formålet med denne afhandling er at give et overblik over de forholdsvis nye finansielle kontrakter, vejrderivater. Derfor vil denne afhandling beskæftige sig med følgende spørgsmål: Hvilke vejrderivater findes der? Som nævnt i afgrænsningerne nedenfor vil der fokuseres på Heating og Cooling Degree Days. Andre typer vejrvariable vil dog også blive beskrevet kort. Hvilke finansielle instrumenter kan bruges til at afdække vejret? Hvordan kan vejrderivater prisfastsættes ved metoderne Black-Scholes, Burn og simulering? o Hvilke fordele og ulemper har de tre prismodeller? o Hvad vil prisen blive, når de tre modeller bruges på et eksempel? o Hvad bliver prisen, når der bruges daglig data i stedet for månedlig i forbindelse med simuleringen? 4 4

9 Derudover vil der også indgå en kort beskrivelse af, hvordan markedet for vejrderivater ser ud, samt eksempler på hvem der kunne tænkes at have gavn af disse finansielle instrumenter. 1.2 Metodevalg og struktur I litteraturen omkring vejrderivater forslås mange forskellige prisfastsættelsesmetoder. Der er dog ikke plads til at gennemgå samtlige i denne afhandling, hvorfor det har været nødvendigt at udvælge nogle få. De tre udvalgte modeller er: Black-Scholes: Denne prisfastsættelsesmetode anvendes normalt ved derivater, hvorfor det er nærliggende at starte med denne metode. Den velkendte model er dog ikke så anvendelig på vejrderivatmarkedet, hvorfor den oprindelige Black- Scholes model i stedet prøves omskrevet, så den passer bedre til markedet for vejrderivater. Burn analyse: Denne metode er simpel, men dog et meget brugbart værktøj, som nævnes i mange artikler som et godt udgangspunkt for videre prisfastsættelse. Simulering: Denne metode går også igen i rigtig mange artikler og bøger indenfor prisfastsættelse af vejrderivater. Der er dog mange forslag til, hvad det præcis er, der skal simuleres. Derfor har det også her været nødvendigt at udvælge nogle få modeller. Valget er faldet på følgende: o Normalfordeling: Mange foreslår, at temperaturen kan beskrives ved hjælp af en normalfordeling. Derfor forsøges dette, både på baggrund af månedlig og daglig data. Denne model er valgt, da det vil være en nem tilgang, hvis det viser sig korrekt. o Anomalier: Temperaturen indeholder sæsonudsving, som besværliggør prisfastsættelsen. Denne model er valgt, fordi den fjerner disse udsving. o AR-model: Temperaturen er også autokorreleret, hvilket har betydning for de daglige ændringer. Denne model er valgt, fordi den forsøger at modellere denne autokorrelation som en del af temperaturprocessen. o Sinusmodel: Denne metode forsøger både at modellere sæsonvariationerne i gennemsnit og standardafvigelse, samtidig med at der tages højde for autokorrelationen. Denne model er valgt, fordi den 5

10 medtager de to ting, som er besværlige i forhold til at modellere en temperaturproces. Første del af denne afhandling indeholder en beskrivelse af vejrderivater. Dernæst beskrives og kritiseres de tre udvalgte prisfastsættelsesmetoder, hvorefter modelvirksomheden og den valgte data præsenteres. Til sidst vil de tre prisfastsættelsesmetoder blive anvendt på baggrund af datagrundlaget og modelvirksomheden. Eksemplerne på prisfastsættelse vil blive udført ved hjælp af dataforberedelse i Excel samt VBA-programmering af de tre prismetoder. 1.3 Afgrænsning og definitioner Oftest er det temperaturen, og særligt Heating og Cooling Degree Days 5, der benyttes som den underliggende vejrvariabel, da disse har betydning for rigtig mange brancher. Derfor er det valgt også at fokusere på netop temperaturen i form af Heating og Cooling Degree Days i denne afhandling. Der findes dog også andre vejrvariable, der kan benyttes i vejrderivatkontrakter. Disse vil kort blive beskrevet i afsnittet om øvrige vejrderivater, men ellers udelades. I denne afhandling er det kun Chicago Mercantile Exchange, som vil blive inddraget som børs. Grunden til dette er, at handel med vejrderivater endnu ikke så udbredt på verdens børser, samt at CME var den første børs til at introducere vejrderivaterne. Derudover udbyder de i dag vejrderivatkontrakter på flere forskellige byer og flere slags underliggende vejrvariabel. Prisfastsættelsen vil blive set fra købers synspunkt. I denne afhandling betyder køber en virksomhed, da vejrderivater oftest anvendes af virksomheder og ikke af privatpersoner. Derudover antages det, at køber ønsker at beskytte sig mod uønskede vejrforhold og ikke bruger vejrderivaterne til spekulation. I afsnittet omkring købere af vejrderivater vil nogle eksempler på brancher kort blive beskrevet. Da der er rigtig mange brancher, der påvirkes af vejret, vil det være umuligt at lave en komplet opremsning samt beskrivelse af samtlige. Dette vil heller ikke tjene noget formål i denne afhandling, hvor afsnittet omkring købere blot er medtaget for at 5 Geman, H. (1999) side 176 6

11 give læseren en grundlæggende idé om, hvad vejrderivater kan bruges til, og hvem de kan være relevante for. Som tidligere nævnt omtales mange forskellige prisfastsættelsesmetoder i litteraturen omkring vejrderivater, og da der i denne afhandling ikke er plads til at gennemgå alle foreslåede prismodeller, er følgende modeller blevet udvalgt: Black-Scholes, Burn analyse samt simulering på baggrund af de i ovenfornævnte afsnit beskrevne modeller. Øvrige prisfastsættelsestyper vil ikke blive gennemgået i denne afhandling. Som baggrund for prisfastsættelsen vil relevant historisk data benyttes. I praksis er det en god idé også at inkludere pålidelige forecasts, hvis kontraktperioden er tilpas tæt på værdiansættelsesdagen. Denne afhandling vil indeholde en beskrivelse af, hvorfor disse forecasts bør medtages, men de vil ikke blive inkluderet som en del af datagrundlaget. Grunden til dette er, at de konstant ændres, samt at det ikke har været muligt at vurdere pålideligheden af de forskellige tilgængelige forecasts. Når der i denne afhandling henvises til månedlig i forbindelse med prisfastsættelsen, betyder det, at kun den pågældende kontraktmåned (november i denne afhandling) anvendes. Værdien for kontraktperioden er en samlet gennemsnitstemperatur eller et samlet antal af HDD per år. Ordet daglig dækker derimod over daglige observationer af gennemsnitstemperaturen eller det daglige antal HDD. Til at beskrive sammenhængen mellem forventet indeks og strikeværdi vil følgende begreber bruges: at-the-money, når de to værdier er ens, in-the-money, når der er gode chancer for et positivt afkast og out-of-the-money, når der ikke er. Denne afhandling vil kun fokusere på et enkelt vejrderivat af gangen, hvilket betyder, at porteføljer udelades. Derudover vil retslige og regnskabsmæssige aspekter af handel med vejrderivater ikke indgå. 7

12 2. Vejrderivater Når en virksomheds indtægter eller omkostninger er påvirket af vejret, kan de vælge at købe et vejrderivat som beskyttelse. Inden de kan indgå en sådan kontrakt, skal virksomheden først finde ud af, hvordan de er påvirket af vejret. De skal undersøge om deres indtægter eller omkostninger fluktuerer på grund af temperatur, nedbørsmængde eller vind. Når vejrvariablen, der påvirker virksomheden, er fundet, skal en forbindelse mellem denne og indtægter eller omkostninger findes. Derefter kan de indgå i en vejrderivatkontrakt, hvor følgende skal specificeres ved kontraktens indgåelse 6 : Vejrvariablen: er det temperaturen, mængden af nedbør eller vinden, der skal være den underliggende variabel? De mest solgte vejrderivater er på baggrund af temperaturen, hvor især Heating Degree Days (HDD) samt Cooling Degree Days (CDD) benyttes (HDD og CDD vil blive beskrevet i de efterfølgende underafsnit). Degree Days henviser til forskellen mellem en fastsat temperatur og en given dags gennemsnitstemperatur (som er gennemsnittet mellem den givne dags minimums- og maksimumstemperatur). Den fastsatte temperatur er normalt 65 Fahrenheit, som også bruges i denne afhandling. Dette svarer til 18,33 Celsius, men i lande, hvor temperaturen opgøres efter Celsius, er det dog kutyme at bruge 18 Celsius som den fastsatte normalværdi. 7 Danskeren Hansen (2004) foreslår dog i stedet at bruge 17 Celsius, hvilket også er den værdi, som Danmarks Meteorologiske Institut benytter sig af. 8 Hvad der må antages at være en relevant normaltemperatur, bør afhænge af klimaet i det pågældende land. Derfor kan det være, at 65 Fahrenheit/18 Celsius ikke er lige relevant og rimelig for alle lande. 9 Indeks: hvordan skal den specificerede vejrvariabel måles over perioden? Oftest anvendes det akkumulerede antal HDD eller CDD. Kontraktperioden: hvilken periode skal kontrakten dække? Typisk indgås kontrakter af en måneds eller en sæsons varighed. En sæson er defineret i de kommende underafsnit i forbindelse med beskrivelsen af HDD og CDD. 6 Punkterne er, hvor intet andet er anført, på baggrund af Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 4 og Brabazon, T. & Idowu, S. O. (2002) side 7 7 Geman, H. (1999) side Hansen, T. L. (2004) side 137 samt 9 Geman. H. (1999) side 185 8

13 Målestationen: hvor skal temperaturen, mængden af nedbør eller vinden måles? Typisk bruges en vejrstation, som ligger ved en af de større lufthavne, og som har forbindelse til landets meteorologiske institut (for eksempel National Weather Service i USA). Vejrdataene indsamles automatisk, og det endelige antal DD kan udregnes, når kontraktperioden udløber. 10 Det kan være svært at finde en målestation, hvor vejret er fuldstændig korreleret med virksomhedens indtægter eller omkostninger, fordi vejret kan variere meget, selv indenfor et lille geografisk område. For eksempel kan det regne på den ene side af huset, men ikke på den anden. Derfor vil det få betydning, hvis indtægter eller omkostninger afhænger af mængden af nedbør, og indtægterne bliver generet på den side af huset, hvor det regner, mens målestationen er placeret på den tørre side af huset. Selvom det vil gavne vejrderivatets eventuelle afkast at finde en målestation, der har en høj korrelation med virksomhedens vejrrisiko, så skal prisen på vejrderivatet også tages i betragtning. Der findes nogle få byer, som har et mere likvid marked end de øvrige, hvorfor det er muligt at købe vejrderivater til en ordentlig pris på disse byer. Derfor skal virksomheder overveje, om de vil have en høj korrelation mellem virksomhed og målestation, men måske til en højere pris, eller om de kan nøjes med en lidt mindre korrelation, hvor de så til gengæld kan købe vejrderivatet til en noget mere fordelagtig pris. 11 Afkastfunktion: hvordan skal indekset omregnes til en betaling ved kontraktens udløb? De oftest benyttede funktioner er put optioner, call optioner og swaps, men også andre typer af finansielle instrumenter kan bruges. I forbindelse med afkastfunktionen, skal en strikeværdi også aftales. Der skal også fastsættes en tickværdi og eventuelt en begrænsning på afkastet. Når kontraktperioden er afsluttet, og den endelige værdi af indekset er fundet, bruges afkastfunktionen samt tickværdien til at finde det endelige afkast. Vejrderivatkontrakter, der købes på Chicago Mercantile Exchange, har en tickværdi på 20$. Præmien: hvilken præmie skal betales ved aftalens indgåelse? 10 Geman. H. (1999) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 6 og Brabazon, T. & Idowu, S. O. (2002) side 7 9

14 2.1 Heating Degree Days (HDD) Antallet af HDD viser, hvor kold en dag er, og dermed hvor stort behov der er for at tænde for varmen. Hvis der er tale om en kold dag, er antallet af HDD stort, hvilket betyder, at der vil være øget behov for at tænde for varmen i forhold til en normal dag. Modsat vil et lavt antal HDD betyde, at der ikke er så stort behov for at tænde for varmen. Da HDD er et udtryk for, hvor kold en dag er, bruges disse kun i perioden fra november til marts 12. Antallet af HDD per dag findes på følgende måde: =max,0 =,0 hvor z i er antallet af HDD på dag i, T i er dagens gennemsnitstemperatur (fundet som et gennemsnit af dagens laveste og dagens højeste temperatur) og T 0 er den fastsatte normaltemperatur. Antallet af HDD kan aldrig blive negativt, så derfor kan ovenstående formel omskrives til kun at være den positive del af maksima. 13 Ofte er det antallet af HDD over en periode, der er det underliggende indeks. For at få antallet af HDD over en periode på N d dage ligges værdierne for de enkelte dage sammen: 14 = (2.1.1) 2.2 Cooling Degree Days (CDD) CDD er modsætningen til HDD og viser, hvor varm dagen er i forhold til den fastsatte temperatur og bruges dermed til at afgøre behovet for aircondition om sommeren. Jo flere CDD, jo varmere og dermed mere brug for airconditioning. 15 En CDD-sæson varer fra maj til september. 16 Det er ikke i alle lande, at HDD og CDD er lige relevante. I lande, der er varme hele året rundt, har det ikke den store relevans at bruge HDD, hvorimod lande som for eksempel Danmark ikke har så meget at bruge CDD til. Antallet af CDD per dag findes på tilsvarende måde som antallet af HDD. Forskellen er, at der i dette tilfælde skal findes antallet af grader, hvor temperaturen overstiger den 12 Geman. H. (1999) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Geman. H. (1999) side

15 fastsatte normaltemperatur, hvorimod HDD er antallet af grader under den fastsatte temperatur. Formlen for CDD er følgende: 17 z =max T T,0 = T T,0 Da CDD er modsætningen til HDD, vil der altid kun være et af disse to udtryk, der er positive, mens den anden vil være nul. I de tilfælde hvor den daglige temperatur er lig med den fastsatte normaltemperatur, vil begge variable dog være lig nul. Igen bruges formel til at finde det akkumulerede antal CDD over en periode. 2.3 Øvrige vejrderivater Selvom det akkumulerede antal HDD og CDD over en periode er de mest brugte indekstyper i forbindelse med vejrderivater, så findes der også andre muligheder. Temperaturen kan også bruges som underliggende variabel på andre måder end som HDD og CDD. Chicago Mercantile Exchange udbyder CAT-kontrakter for byer i Europa samt Canada. Disse kontrakter afhænger af den samlede gennemsnitstemperatur (Cumulative Average Temperature) igennem kontraktperioden. 18 Derudover er det også muligt at indgå lidt mere specielle kontrakter via Over-The-Counter-markedet. Det kunne for eksempel være kontrakter, hvor det underliggende indeks er temperaturen på timebasis, dagsbasis, dagens minimums- eller maksimumsværdi. 19 Derudover findes også hændelsesindekser, hvor en vejrhændelse skal ske minimum et bestemt antal gange/dage gennem den aftalte kontraktperiode. 20 Det er også muligt at have andet end temperatur som den underliggende variabel. Chicago Mercantile Exchange sælger, udover temperaturkontrakter, også kontrakter, der beskytter mod orkan, regn, sne samt frost. 21 Igen er andre vejrfaktorer dog også mulige at have som underliggende variabel, hvis der handles på Over-The-Counter-markedet. For eksempel kan antallet af solskinstimer have betydning for indtægter eller omkostninger i nogle brancher Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 11 11

16 For at en vejrvariabel kun bruges som underliggende i en vejrderivatkontrakt, skal denne være nem at måle, kunne kontrolleres uafhængigt samt være gennemskuelig Forsikring Vejrderivater minder om vejrforsikringer, så derfor vil forskellen kort blive skitseret. Vejrforsikringer bruges til at forsikre virksomheder mod vejrkatastrofer som for eksempel tornadoer og haglstorme, hvorimod vejrderivater bruges til at sikre virksomhedens indtægter eller omkostninger mod ikke ekstremt vejr. Ikke ekstremt vejr er, når der i en periode er varmere eller koldere end normalt. Der kan også være tale om en periode med ekstra meget regn/sne/frost eller mangel på samme, ligesom der også kan være perioder med mere eller mindre vind end normalt. Når vejret afviger fra normalen, vil det i nogle brancher få stor betydning for indtægter eller omkostninger. Ikke ekstremt vejr vil ikke have nær så stor og ødelæggende effekt som vejrkatastrofer, men kan alligevel gøre det svært for de påvirkede virksomheder at tjene penge og overholde deres budgetter, når en normal vejrsituation ligger til grund for disse. Vejrforsikringer sælges af forsikringsselskaber, og pengene udbetales først, hvis/når en ekstrem vejrsituation indtræffer. Efter skaden er sket, skal tabet gøres op, før end forsikringspengene kan udbetales. Vejrderivater dækker derimod en periode mod vejr, der afviger fra normalen, men som ikke er ekstrem. Når den specificerede periode er udløbet, kan tabet eller gevinsten hurtigt gøres op, da udbetalingen blot afhænger af, hvor meget den underliggende vejrvariabel har afveget fra normalen, og ikke hvor meget skade dette har påført virksomheden. 24 Helt basalt bruges vejrforsikringer til at sikre virksomheders eksistens i tilfælde af ekstreme vejrsituationer, hvorimod vejrederivater bruges til at holde vejrfølsomme virksomheders indtægter og omkostninger på et mere forudsigeligt niveau. 23 Geman. H. (1999) side Geman. H. (1999) side

17 3. Instrumenter Når en vejrderivatkontrakt udløber, skal det endelige afkast findes ved hjælp af den specificerede afkastfunktion. I dette afsnit vil de forskellige finansielle instrumenter, der kan bruges som afkastfunktion, kort blive beskrevet. De mest brugte instrumenter på markedet for vejrderivater er call optioner, put optioner og swaps. 25 På det almindelige finansielle marked skal priserne på instrumenter være sådan, at der ikke er mulighed for arbitrage. Det vil sige, at det finansielle instrument, der er en kombination af put og call optioner, skal koste det samme, som hvis de to optioner blev købt enkeltvis (på grund af put-call pariteten). Markedet for vejrderivater er dog lidt anderledes. Da markedet af illikvid, vil sælger typisk pålægge et risikotillæg, hvilket gør, at strikeværdien for en call option bliver højere end for en put option. Derfor er putcall pariteten ikke gældende på dette marked, og prisen på et instrument kombineret af put og call optioner kan kun findes approksimativt ved at kombinere prisen på de anvendte put og call optioner. En anden forskel på de to markeder er, at der på det finansielle marked normalt ikke er en begrænsning for, hvor meget der kan vindes eller tabes på instrumenterne. Hvis en grænse indgår, vil dette afspejles i navnet. På vejrderivatmarkedet indgår grænser dog ofte som en del af vejrderivatkontrakten, der ikke skifter navn af den grund Put/call optioner 27 Afkastet på en vejrderivatkontrakt afhænger af den endelige indeksværdi (x), strikeværdien (K), der blev fastsat ved kontraktens indgåelse, den fastsatte tick (D) samt eventuelt en begrænsning for afkastets størrelse (L $ ). Det er normalt at udtrykke begrænsningen som en valutaværdi og ikke som en indeksværdi. 28 En lang call option 29, som ses i figur 3.1.1, skal have en endelig indeksværdi, der er større end strikeværdien for at køberen vil få et positivt afkast ved kontraktens udløb. Afkastet, p, kan beskrives således: 25 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Dette afsnit er skrevet på baggrund af Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side En position er lang, når den ses fra køberens synspunkt og kort, når den ses fra sælgerens side. 13

18 0, < =, h $ = (3.1.1) $, > For en lang put option, som kan ses i figur 3.1.2, skal den endelige indeksværdi i stedet være mindre end strikeværdien, for at en betaling fra sælger til køber finder sted. Afkastet kan skrives således: $, < =, h $ = (3.1.2) 0, > Figur 3.1.1: Afkast for call option Call Figur 3.1.2: Afkast for put option Put Strike Strike Afkast Nulafkast Uden begrænsning Afkast Nulafkast Uden begrænsning Indeks Med begrænsning Indeks Med begrænsning Kilde: Egen tilvirkning Kilde: Egen tilvirkning 3.2 Swap og collar 30 En lang swap er en kontrakt, der består af en kort put option og en lang call option. De to optioner har samme strikeværdi, og der skal ikke betales en præmie ved kontraktens indgåelse, da køberen af put optionen samtidig er sælgeren af call optionen (og omvendt). En swap, som ses i figur 3.2.1, indebærer, at virksomheden vil modtage et positivt afkast fra swappen, hvis de taber penge på grund af vejret. Går vejret derimod med virksomheden, så de tjener mere end forventet, skal der betales til kontraktens modpart. Afkastet kan skrives som: 30 Dette afsnit er skrevet på baggrund af Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side samt 23 14

19 $, < =, h $ = $ = (3.2.1) $, > L 1 og L 2 er den øvre og nedre begrænsning udtrykt i indeksenheder. En collar minder meget om en swap, men der er forskellige strikeværdier for put og call optionerne, hvilket betyder, at der bliver et område, hvor der ikke er et afkast. Afkastet på en lang collar kan ses i figur og er følgende: $, <, < = 0, < $ = $ = (3.2.2), $, > Figur 3.2.1: Afkast for swap Swap Figur 3.2.2: Afkast for collar Collar Strike Strike Afkast Nulafkast Uden begrænsning Afkast Nulafkast Uden begrænsning Indeks Med begrænsning Indeks Med begrænsning Kilde: Egen tilvirkning Kilde: Egen tilvirkning 3.3 Straddle og strangle 31 Put og call optioner kan også kombineres, så de bliver til en straddle eller en strangle. Disse to instrumenter er meget lig hinanden, og består begge af en lang call option og en lang put option. I en straddle har put og call optionerne samme værdier af strike, tick og begrænsninger, mens de i en strangle har forskellige strikeværdier. En strangle har derfor, ligesom en collar, et område, hvor der ikke er et afkast. Afkastfunktionen for en straddle kan ses i figur 3.3.1, mens funktionen for en strangle er vist i figur I modsætning til de øvrige beskrevne instrumenter sikrer straddle og 31 Dette afsnit er skrevet på baggrund af Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 24 15

20 strangle (når der ses bort fra området med intet afkast), at køberen får et positivt afkast, lige meget om den endelige indeksværdi er under eller over strikeværdien. Derfor vil disse to instrumenter typisk være ret dyre sammenlignet med de øvrige beskrevne typer. Afkastet, p, på en straddle er: $, <, = < h, $ = $ = (3.3.1) $, > Afkastet på en strangle er følgende: $, <, < = 0, < (3.3.2), $, > h $ = $ = Figur 3.3.1: Afkast for straddle Straddle Figur 3.3.2: Afkast for strangle Strangle Strike Strike Afkast Nulafkast Uden begrænsning Afkast Nulafkast Uden begrænsning Indeks Med begrænsning Indeks Med begrænsning Kilde: Egen tilvirkning Kilde: Egen tilvirkning 4. Markedet Vejrderivater handles på både børser og Over-The-Counter (herefter OTC). Det første vejrderivat blev handlet OTC i , og i september 1999 begyndte også Chicago 32 Hansen, T. L. (2004) side

21 Mercantile Exchange (herefter CME) at udbyde vejrderivater 33. Til at starte med tilbød CME futures og optioner på månedlige HDD/CDD for ti amerikanske storbyer. Sidenhen er flere større amerikanske byer kommet til, ligesom også sæsonkontrakter nu udbydes. Derudover har CME siden oktober 2003 også udbudt vejrderivatkontrakter på nogle få europæiske storbyer, hvor antallet ligeledes er blevet udvidet sidenhen. 34 I dag tilbydes også vejrderivatkontrakter for udvalgte byer i Canada, Australien samt Japan. Kontrakter på byer i Europa, Canada, Australien samt Japan omfatter kun temperaturfutures samt optioner, hvorimod vejrderivatkontrakter for nogle af de amerikanske byer også kan indgås på baggrund af orkaner, sne, regn samt frost. 35 Bilag 1 viser en oversigt over vejrderivater, der sælges fra CME. På OTC-markedet kan individuelle vilkår aftales for den enkelte kontrakt, således at køberen får en kontrakt hvor størrelse, den valgte målestation, tidsperiode og så videre passer bedst muligt. CME udbyder derimod standardiserede kontrakter, så her må køberen tage kontrakten, som den er. En yderligere forskel er, at de vejrderivater der handles OTC for det meste indeholder en begrænsning for udbetalingen, hvorimod vejrderivater på børsmarkedet normalt ikke inkluderer en begrænsning. 36 Markedsdeltagerne er opdelt i to grupper på baggrund af deres motiv for køb af vejrderivater. Den ene gruppe er hedgere, der er på markedet i et forsøg på at sikre en del af deres vejrrisiko. Eksempler på denne type markedsdeltager vil blive beskrevet i afsnittet Købere af vejrderivater. Den anden gruppe er spekulanter, som er på markedet, fordi de ønsker at tjene penge på at handle med vejrderivater. Som eksempel på spekulanter kan banker, forsikringsselskaber, energiselskaber og hegdefonde nævnes. 37 Markedet for vejrderivater er stadig ikke så stort og likvid. Der findes dog enkelte kontrakter, som bliver handlet oftere, og markedet for disse vejrderivater er dermed mere likvid. Det drejer sig om måneds- og sæsonkontrakter på temperaturen i London, Chicago, New York og Tokyo Brabazon, T. & Idowu, S. O. (2002) side 7 34 Hansen, T. L. (2004) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 1 38 Jewson, S. (2007) side

22 4.1 Købere af vejrderivater Vejrderivater kan bruges i mange forskellige brancher, da mange har indtægter eller omkostninger, der afhænger af en eller flere vejrvariable. Markedet for vejrderivater er opstået i forbindelse med dereguleringen af energimarkedet. Dereguleringen har betydet, at energiselskaberne ikke længere selv kan sætte en salgspris, og de er derfor meget påvirkede af efterspørgslen. 39 En del af litteraturen omkring vejrderivater fokuserer også på energimarkedet, hvor følgende eksempel ofte bruges til at illustrere vigtigheden af vejret på netop dette marked: et energiselskabs afsætning afhænger af temperaturen, som om vinteren bestemmer salget til varme og om sommeren salget til airconditioning. Det vil sige, at et energiselskab omsætter for mindre, hvis vinteren er varmere end normalt (eller sommeren er koldere end normalt), da der ikke vil være brug for så meget energi til opvarmning (aircondition). Da prisen allerede er fastsat, er der ikke tale om prisrisiko, men derimod om volumenrisiko. Vejrderivater bruges også i mange andre brancher. For eksempel bruges de indenfor landbruget, som også er meget afhængig af vejret, da afgrødernes vækst og kvalitet afhænger af både varme og den rette mængde nedbør. Også restauranter/barer og forlystelsesparker påvirkes af vejret. Hvis sommeren bliver kold og/eller våd, så falder kundernes lyst til at sidde udenfor og nyde et måltid eller en øl eller tage i f.eks. tivoli. 40 Skisportssteder er også udsat, da de gerne skal have lidt sne for at kunne trække de nødvendige kunder til. Så hvis sneen udebliver, risikerer skisportsstederne at miste en stor del af deres indtægter. 41 Et yderligere eksempel er kommunerne og deres snerydning. Den danske vinter 2009/2010 var mere ekstrem end normalt. Der fald mere sne, end der plejer, og sneen blev liggende, da der samtidig var frost flere måneder i træk. Denne unormalt kolde vinter påvirkede kommunerne meget, da de måtte bruge mange flere ressourcer på snerydning. Modsat var der kronede dage for sælgerne af vejsalt, da der skulle bruges meget større mængder end normalt. Da vejret påvirker mange brancher, er der naturligvis mange flere end de netop omtalte, der også påvirkes af vejret. Det er dog ikke nødvendigt for forståelsen i denne 39 Geman, H. & Leonardi, M-P. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 3 41 Geman. H. (1999) side

23 afhandling at komme ind på samtlige berørte brancher, og de ovenfor nævnte er blot medtaget som eksempler på vejrderivaters mulige brug. 5. Prisfastsættelsesmetoder Markedet for vejrderivater er ufuldstændigt, da antallet af vejrderivater på CME ikke er så stort, der er ikke mulighed for at handle med det underliggende aktiv på kontinuert vis, og der er stokastisk volatilitet, da denne varierer over årets løb. 42 Derfor er der desværre ikke enighed om én enkelt model til prisfastsættelse af vejrderivater. Black-Scholes modellen, der ellers ofte benyttes til prisfastsættelse af derivater, er ikke så velegnet, hvorfor det er nødvendigt at finde andre metoder. Selvom der ikke er enighed om en enkelt prisfastsættelsesmetode i litteraturen, går følgende tre overordnede prismetoder ofte igen: Arbitrage-fri, Aktuariel samt Forbrugsbaserede (Consumption-based) metoder. 43 Denne afhandling vil starte med at kigge på den Arbitrage-fri metode, og derefter vil de Aktuarielle metoder blive undersøgt. Aktuarielle metoder har udgangspunkt i historisk data. Der findes Burn analysen, hvor det antages, at fremtiden i gennemsnit reflekterer, hvad der allerede er sket i fortiden. En anden Akturiel metode er simulering af den forventede fremtid. 44 De Forbrugs-baserede metoder vil ikke blive gennemgået i denne afhandling, da de kræver, at en nyttefunktion udledes for en repræsentativ agent. Aktører på vejrmarkedet kommer fra mange forskellige brancher og ser derfor vidt forskellige udviklinger i vejret som negative for netop deres forretningsområde. Af den grund er det svært at finde en nyttefunktion, der vil gælde for alle aktører på markedet. Da vejrderivater handles på et ukomplet marked, vil sælger ofte pålægge et risikotillæg. Tillægget kan findes som standardafvigelsen ganget med en faktor, der afhænger af, hvor risikoavers sælger er. 45 Derfor er det i denne afhandling valgt, at den nedre/øvre grænse for en collar og en strangle også er strikeværdien for en put/call option. Denne fremgangsmåde benyttes i alle denne afhandlings prisfastsættelsesmetoder. I Burn analysen findes værdien som gennemsnittet af den historiske data minus/plus 0,25 % af 42 Geman, H. (2005) side Hamisultane, H. (2008), side 1 44 Jewson, S. (2004) side Brix, A., Jewson, S. & Ziehmann, C. (2002) side

24 standardafvigelsen. I Black-Scholes modellen og ved simulering benyttes i stedet den valgte strikeværdi minus/plus 0,25 % ganget med standardafvigelsen. 5.1 Black-Scholes modellen Ifølge den traditionelle Black-Scholes model skal det underliggende aktiv følge en geometrisk Brownian motion med drift. Jewson (2004) foreslår dog i stedet en aritmetisk Brownian motion uden drift, når der er tale om vejrderivativer. 46 Derudover må der ikke være nogen muligheder for arbitrage til stede på markedet ifølge Black-Scholes modellen. Da prisfastsættelse på vejrderivatmarkedet afhænger af det tilgængelige data samt forecasts, så kan der opstå arbitragemuligheder, da priserne kan variere på grund af et varierende datagrundlag. Da markedet for vejrderivater er illikvid, betyder det blandt andet, at der vil være betydelige transaktionsomkostninger for mange af kontrakterne, hvor Black-Scholes modellen antager, at der handles på et likvid marked, og at der derfor ikke er nogen transaktionsomkostninger. Når transaktionsomkostninger er tilstede vil der opstå et trade-off mellem at hedge så ofte som muligt for at holde den replicerende portefølje ved lige og at hedge så lidt som muligt for at holde transaktionsomkostningerne nede. Modellen antager også, at det underliggende aktiv kan handles kontinuert, og derved kan bruges til at lave en replicerende portefølje. For vejrderivater kan det underliggende aktiv dog ikke handles, hvilket dermed betyder, at der heller ikke kan laves en replicerende portefølje. Nogle forfattere forsøger at finde et handlet aktiv, der er højt korreleret med vejrderivatets underliggende indeks for at bruge dette aktiv som en proxy. Det er dog ikke lykkedes, da vejr er ukorreleret med andre handlede produkter 47. Ifølge Jewson, Brix & Ziehmann (2005) kan andre vejrderivater med samme underliggende indeks dog bruges til at finde en replicerende portefølje. Det er dog en nødvendighed at derivaterne, der bruges, er likvide, så der ikke bliver for store transaktionsomkostninger. Jo mere likvid markedet for vejrderivater bliver, jo bedre vil det blive at bruge andre vejrderivater til at finde en replicerende portefølje Jewson, S. (2004) side Hamisultane, H. (2008) side 4 48 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side

25 At bruge den traditionelle Black-Scholes model til at prisfastsætte vejrderivatkontrakter er ikke særlig hensigtsmæssig på grund af de mange forudsætningsbrud. Derfor kan en vejrudgave af Black-Scholes modellen udledes til prisfastsættelse på dette marked Black-Scholes modellen til vejrderivater En balanceret vejrudgave af Black-Scholes modellen kan udledes, hvor det antages, at udbud og efterspørgsel er balanceret i forhold til hinanden I denne model bruges en swap på vejret til at hedge en option på vejret. Forudsætningerne for at udlede en sådan model er, at swapkontrakten er lineær og uden nogen form for begrænsning, samt at kontrakten er baseret på lineære DD. 49 Dette stemmer godt overens med de vejrderivatkontrakter, der kan købes på børsen, men ikke nødvendigvis med OTCkontrakter (da de ofte indeholder en begrænsning). En yderligere forudsætning for denne model er, at alle markedsdeltagere har adgang til præcis samme historiske data samt samme forecasts. 50 Normalt betales der ikke en præmie ved indgåelsen af en swapkontrakt, men i dette tilfælde vil en imaginær præmie medtages, som består af det forventede indeks tilbagediskonteret til kontraktens indgåelse. Præmien ser dermed således ud: =, hvor µ er det forventede indeks. Differentialet ds findes ved at tage differentialet med hensyn til både t og µ, som er de to parametre, der kan variere. Ændringer i det forventede indeks, dµ, er lig med σdw. Rationalet bag dette er, at da det ikke vides på forhånd om temperaturen vil falde eller stige i forhold til dagen før, må det antages, at de daglige ændringer på længere sigt vil være lig nul. Derfor kan ændringerne modelleres som en martingale, der er en tilfældig proces med et gennemsnit på nul. Eftersom temperatur ofte kan modelleres med en normalfordeling, skal den inkluderede martingale også være normalfordelt. Derfor bruges en Brownian motion. 51 Prisprocessen bliver således: = + = + = + 49 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S. (2008) side

26 Hvor =, hvilket gør formlen nemmere at have med at gøre senere hen. Prisprocessen for den oprindelige Black-Scholes model ser således ud: = + 52 I den oprindelige model er både driftsdelen (hvor µ indgår) og den tilfældige del (hvor σ indgår) påvirket af selve aktieprisen. Når der ses på vejrkontrakter, er det dog kun driftsleddet i prisprocessen, der er berørt af swappen. Den øvrige del af prisprocessen er kun påvirket af det tilfældige, hvilket indeholder de løbende ændringer, der sker i temperaturen samt i forecastene. Under forudsætninger om at en swapkontrakt på vejret kan handles uden transaktionsomkostninger, og at det er muligt at bruge denne kontrakt til at hedge kontinuert med, kan den ovenfor beskrevne prisproces for en swapkontrakt på vejret bruges til at prisfastsætte andre vejrkontrakter, som dog skal være baseret på det samme underliggende indeks. Først skal formlen, der svarer til Black-Scholes partielle differentialligning findes. Ifølge Ito s lemma kan følgende: =, +, omskrives til: = + + ½ dette til: +. For vejrudgaven af Black-Scholes fører = + + ½ + En portefølje (Π), bestående af en vejroption (V), vejrswaps samt c kontanter, som er investeret i B obligationer til en rente på r, kan ændres på flere forskellige måder. Det kan ske ved ændringer i optionen samt ændringer i forhold til vejrswap og obligation, hvilket kan være både i prisen og i mængden. Derudover må det antages, at der i porteføljen kun er en fastsæt mængde kontanter til rådighed. Derfor vil antallet af obligationer kun ændre sig, hvis antallet af swaps ændrer sig tilsvarende, hvorfor disse to led går ud med hinanden. Derfor bliver værdien af porteføljen: Π= + + ½ Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side

27 Ved at sætte = fjernes den tilfældige del. Derudover må det antages, at der ikke er arbitragemuligheder på markedet. Dette betyder, at den samlede portefølje må stige med r, ligesom det er tilfældet for obligationen. Π= + + ½ + + = + ½ + + ½ + = + Den oprindelige formel ser således ud: = + ½ + =0 ( ) + ½ + =053 Når de to formler sammenlignes er den eneste ændring andet led, hvor i stedet er blevet til. Vejrudgaven af Black-Scholes modellen er udtrykt som funktion af S og t, men det vil være mere hensigtsmæssigt at ændre dette til K (strikeværdien) og t, da K kan observeres direkte på markedet. For en swapkontrakt er det normalt, at der ikke betales en præmie ved aftalens indgåelse. Derfor har leddet ikke nogen betydning, når det underliggende aktiv er en swapkontrakt. Derudover kan rv fjernes ved at evaluere porteføljen på udløbstidspunktet ( = ). Derfor kan formel omskrives til følgende: + ½ =0 ( ) Som løsning til formel foreslår Jewson, Brix & Ziehmann (2005) følgende: = ½ For at undersøge om denne løsning kan godtages, skal de afledte funktioner findes og sættes ind i formel Udregningerne for dette kan ses i bilag 2 afsnit1. Formel er opfyldt, og dermed kan den løsning, som Jewson, Brix & Ziehmann (2005) foreslår benyttes til at prisfastsætte vejrderivater. Den mere generelle, = giver følgende løsning: 53 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side

28 = hvor = I bilag 2 afsnit 2 kan udledningen af de endelige formler for de seks forskellige instrumenter ses. Det er disse formler, der bruges til at prisfastsætte de forskellige vejrderivatkontrakter i afsnit Fordele og ulemper ved modellen Fordelen ved at benytte en vejrudgave af den velkendte Black-Scholes model er, at vejrderivatkontrakterne så bliver prisfastsat på en måde, der ligner de traditionelle finansielle instrumenter. Det vil skabe en god konsistens, hvis alle derivater prisfastsættes efter samme grundmodel, men med forskellige små tilpasninger, som når der for eksempel inddrages dividende i modellen. Der er dog også en del ulemper forbundet med at bruge en vejrudgave af Black-Scholes modellen til at prisfastsætte vejrderivater. Ovenfor blev den balancerede markedsmodel introduceret. Denne bygger på en antagelse om, at der er en balance mellem udbud og efterspørgsel, men dette vil for mange kontraktbyer ikke være tilfældet. Derfor er det nødvendigt med flere forskellige udvidelser af Black-Scholes standardteorien, hvilket gør den ellers let tilgængelige model meget mere kompliceret. Derudover kræver modellen også, at det er muligt at finde en strikeværdi for en swapkontrakt, samt at der er minimale transaktionsomkostninger, hvilket kræver, at markedet er rimelig likvid. Dette kan være en stor hindring, hvis en markedsdeltager ønsker at bruge en vejrudgave af Black-Scholes modellen til at prisfastsætte en vejrderivatkontrakt. CME udbyder kun vejrderivatkontrakter på nogle få udvalgte byer verden over, og det er bestemt ikke alle disse byer, der er lige likvide og dermed anvendelige til brug i Black-Scholes sammenhæng. Nogle få byer handles dog så meget, så deres strikeværdi godt kan bruges som input i vejrudgaven af Black-Scholes modellen. En af disse byer er Chicago, som anvendes i denne afhandling. Normalt vil prisen, der fremkommer ved brug af Black-Scholes modellen være den risikoneutrale pris, som alle markedsdeltagere er enige om, da de historiske priser er ens for alle markedsdeltagere og er lettilgængelige. Når vejrudgaven af Black-Scholes modellen benyttes, er udkommet lidt anderledes. Her kommer den endelige pris an på, 24

29 hvilken data, der har lagt til grund for analysen. Denne data kan variere fra markedsdeltager til markedsdeltager, da det kommer helt an på, hvordan den enkelte vælger at rense sin data, fjerne eller inkludere eventuelle trends samt hvilket forecast, der inkluderes. Derfor vil vejrudgaven af Black-Scholes modellen give prisen for den enkelte markedsdeltager på baggrund af netop hans/hendes data. Der er dog ikke tale om en markedspris, som alle markedsdeltagere er enige om, med mindre alle har det samme datagrundlag. Dette er dog utænkeligt, da markedsdeltagerne hver især vil forsøge at finde måder, hvorpå de kan bruge deres historiske data samt forecasts bedre end de øvrige på markedet. Da forskellige datagrundlag vil give forskellige priser, kan der forekomme muligheder for arbitrage. På grund af den illikviditet som markedet for vejrderivater er udsat for i dag, er vejrudgaven af Black-Scholes modellen ikke så hensigtsmæssig for langt de fleste byers vedkommende. Der findes dog nogle enkelte byer, der er likvide nok til at blive benyttet i vejrudgaven af Black-Scholes modellen. Modellen vil dog nok blive mere anvendelig med tiden, når vejrderivater bliver en mere gængs form for økonomisk sikring for de mange brancher, der er berørt af vejret. 5.2 Burn analyse Burn analyse er en simpel fremgangsmåde til at finde prisen på et vejrderivat. Ved at benytte denne metode fås svaret på følgende spørgsmål: hvad ville køberen af det pågældende vejrderivat have fået i afkast for hvert af årene i den valgte historiske periode? For at få en indikation af hvor prisniveauet omtrent vil være, findes gennemsnittet af de historiske års afkast. 54 Der er altså ikke tale om en endelig pris for vejrderivatet, men derimod mere en indikation af, i hvilket område den endelige pris vil ligge. Derfor er Burn analysen god at bruge som udgangspunkt, hvorefter en mere nøjagtig pris kan findes ved hjælp af mere avancerede prisfastsættelsesmodeller. 55 Burn analysen er en Akturiel metode, hvilket betyder, at prisen findes på baggrund af historisk data. Hvert af de inkluderede års historiske vejrdata giver en årlig indeksværdi, så når 50 års historisk data bruges, vil der blive 50 årlige indeksværdier. I denne afhandling vil 30 års historisk data blive brugt, jævnfør afsnittet omkring historisk data. 54 Geman, H. (1999) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 59 25

30 Når de årlige indeksværdier er fundet, kan gennemsnittet af disse værdier findes. Dette er et estimat for det forventede indeks, og dermed for strikeværdien. For at finde frem til det forventede afkast, som også er prisen for vejrderivatet, skal hvert års historiske afkast findes på baggrund af strikeværdien. Derefter udregnes gennemsnittet af de netop fundne historiske afkast, hvilket er et estimat for det forventede afkast. 56 Det forventede afkast vil normalt være nul for en swap- og en collarkontrakt, men hvis der inkluderes en begrænsning for afkastet, vil prisen afhænge af denne grænseværdi (med mindre den er så stor, at der kan ses helt bort fra den). Er grænseværdien af en størrelse, som rammes i kontraktperioden, vil virksomheden nogle år modtage og andre år betale dette maksimumsbeløb til modparten. På grund af begrænsningen på ind- og udbetalinger vil det forventede afkast for en sådan swap- og collarkontrakt ikke blive nul. Ved hjælp af en iterativ procedure kan den fair strikeværdi, som giver et forventet afkast på nul, findes. 57 Burn analysen har ingen antagelser. Da prisniveauet findes ved hjælp af historisk data i denne prisfastsættelsesmetode, må det dog indirekte antages og forventes, at der ikke vil ske store forandringer i vejret fremadrettet. Forventes det derimod at vejret vil ændre sig markant, skal dette indarbejdes i analysen, da prisniveauet ellers vil blive forkert og urealistisk Fordele og ulemper ved modellen Burn analysen er god, da den er meget nem at gå til, og der ikke er nogen antagelser. Derfor kan denne model bruges på alle slags vejrderivater og dertilhørende instrumenter. En anden fordel er, at når det antages, at vejret forsat vil være nogenlunde, som det har været historisk, så kan historisk data bruges. Som det beskrives i afsnittet omkring historisk data er det rimelig nemt at få adgang til de ønskede historiske oplysninger omkring vejret, selvom der dog ofte skal betales et mindre beløb herfor. Metoden har dog også nogle ulemper. En kumulativ tæthedsfunktion vil være glat i virkeligheden, men ved Burn analysen bliver den i stedet for takket, da der ikke findes sandsynligheder for samtlige afkast. Herunder er også en anden af modellens ulemper; 56 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 60 26

31 de eneste afkast som anses for mulige, er de afkast, som indgår i den indsamlede historiske data. Det vil ifølge modellen sige, at det ikke er muligt i fremtiden at opleve mere ekstreme afkast, end dem vi allerede har oplevet i den historiske tidsperiode. 58 Der er dog sandsynlighed for, at et mere ekstremt afkast vil forekomme, så dette må anses for en stor ulempe ved denne prisfastsættelsesmetode. For at overkomme disse svagheder kan den estimerede distribution glattes ud ved at fitte en passende distribution og ekstrapolere til flere niveauer af sandsynligheder. En yderlige ulempe ved metoden er, at sikkerheden ikke er så høj. Bruges der, som i denne afhandling, 30 års historisk data, vil sikkerheden blive 1 til 30, hvilket ikke er særlig meget. Det er selvfølgelig en mulighed at inkludere mere data, så der for eksempel bliver tale om 1 ud af 50, men dette er stadig ikke en ret høj sikkerhed. Mange virksomheder vil gerne have en endnu større sikkerhed, som for eksempel 1 ud af 1000, men det vil kræve 1000 års pålidelig data, hvilket desværre ikke er tilgængeligt. 59 Burn analysen er nem at gå til og god som udgangspunkt for prisfastsættelsen af et vejrderivat. Den er dog ikke god nok til at give en realistisk pris, og må derfor suppleres af mere avancerede prismetoder. 5.3 Simulering Simulering kan bruges til at give et billede af, hvordan virkeligheden ser ud. Dette gøres ved at lave mange simuleringer, som så antages tilsammen at give et approksimativt billede af virkeligheden. Det foreslås, at der bør simuleres mindst gange 60, hvilket betyder, at der opnås en sikkerhed på 1 ud af , hvilket er meget større end i Burn analysen, hvor der blot var tale om 1 ud af antallet af historiske år. Der kan simuleres på baggrund af mange forskellige ting. Der kan for eksempel simuleres ud fra den månedlige data, hvilket også var baggrunden for Burn analysen. Ved denne tilgang benyttes kun data fra den periode, som vejrderivatkontrakten dækker. Derudover bruges kun en samlet værdi for hele måneden/sæsonen. Når en passende distribution skal fittes til de historiske dataværdier kan dette gøres ved hjælp af parametriske eller ikke-parametriske distributioner. 58 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Jewson, S. (2007) side Jewson, S. (2007) side 161, Cyr, D. & Kusy, M. (2007) side 164 og Geman, H. (1999) side

32 De ikke-parametriske distributioner bruger ikke en fastsat form, men forholder sig udelukkende til det enkelte datasæt, som forsøges udglattet. Fordelen ved at benytte de ikke-parametriske distributioner er, at de altid kan bruges, da de jo netop tilpasser sig dataene. De parametriske distributioner omfatter derimod distributioner med en på forhånd fastsat form, men hvor nogle få parametre kan varieres for at få distributionen til at passe bedst muligt. Selvom de ikke-parametriske distributioner kan bruges på alle typer af data, anvendes de parametriske distributioner i denne afhandling, da gennemsnitstemperatur ofte er normalfordelt, hvilket modelleres bedre ved at bruge normalfordelingen direkte i stedet for blot at udglatte dataene. 61 Selvom det pågældende vejrderivat kun har en enkelt måned eller en sæson som underliggende periode, kan der dog være fordele i at inddrage alle året dage. De dage, der ikke indgår i kontraktperioden, kan nemlig alligevel indeholde vigtig information omkring temperaturens udvikling, som går tabt, når der kun simuleres på baggrund af månedlig data Daglig data Der er forskellige ting, der kan modelleres for at kunne finde frem til den daglige værdi af HDD/CDD, og dermed det endelige afkast. Både daglige minimums- samt maksimumstemperaturer, daglige gennemsnitstemperaturer, det daglige antal af HDD/CDD samt det daglige afkast kan modelleres. Det vil dog være lettere at modellere gennemsnitstemperaturen direkte i stedet for både at skulle finde minimums- og maksimumstemperaturen. At modellere afkastet direkte har også nogle udfordringer, såfremt der er tale om en vejrkontrakt med begrænsning, da dette vil give en kontinuert distribution, der dog skal være diskret ved nul og ved begrænsningen. Derfor vil det være bedst (og nemmest) at modellere enten det daglige antal af HDD/CDD eller gennemsnitstemperaturerne, dog er gennemsnitstemperaturen ofte normalfordelt, hvilket ikke nødvendigvis er tilfældet for de daglige indeksværdier, da nogle instrumenter vil give en diskret afbrydelse ved nul i en ellers kontinuert distribution. Derfor vil det i denne afhandling blive undersøgt, hvordan den daglige gennemsnitstemperatur kan modelleres. Både minimums-, maksimums- og gennemsnitstemperaturen skrives i USA som et 61 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 76 og 86 28

33 heltal. Selv om dette giver en diskret distribution, kan en kontinuert distribution antages, da temperaturen jo reelt er kontinuert og bare videregives som diskrete værdier. 62 Ved brug af daglig data kan det også forsøges at fitte en parametrisk distribution. Når de daglige gennemsnitstemperaturer modelleres, skal der dog også tages højde for variationer i sæson. Grunden til dette er, at disse variationer ikke er stationære over tid, men svinger i løbet af året. De kan enten modelleres, eller også skal de fjernes på en sådan måde, at det tilbageværende bliver stationært. Det antages, at sæsoncyklussen er deterministisk, og derfor den samme fra år til år. Den daglige temperatur kan beskrives på følgende måde: = + Ifølge formlen afhænger den enkelte dags temperatur, T i, af dagens gennemsnitstemperatur, m i, samt dagens standardafvigelse, s i, vægtet med anomalien T i, som har et gennemsnit på nul og en varians på en og antages at udgøre en stationær tidsserie. 63 Når sæsonudsving fjernes, betyder det, at parameteren T i skal findes, så kun den tilfældige del er tilbage. For at fjerne sæsonvariationerne i gennemsnittet, kan et gennemsnit for hver af årets dage findes på baggrund af den historiske data. På denne måde fremkommer 365 daglige estimater for gennemsnitstemperaturen. 64 Derudover skal også sæsonudsving i standardafvigelsen fjernes, da der er større variation i temperaturen i vinterperioden, end det er tilfældet i sommerperioden. 65 Standardafvigelsen kan ligeledes findes som 365 daglige værdier baseret på historien. 66 Efter sæsonudsving i gennemsnit og standardafvigelse er fjernet, er anomalierne tilbage. Det foreslås, at disse modelleres ved hjælp af en AR(p) model 67, hvor anomalien beskrives som en lineær funktion af de p foregående dages anomalier ( = den er god til at modellere autokorrelation. + ). Denne type model har den fordel, at Flere forfattere indenfor vejrderivatområdet (for eksempel Dischel, Alaton, Cao & Wei 62 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Brix, A., Jewson, S. & Ziehmann, C. (2002) side Brix, A., Jewson, S. & Ziehmann, C. (2002) side Alaton, P., Djehiche, B. & Stillberger, D. (2002) side 8 66 Hamisultane, H. (2008) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side

34 samt Diebold & Campbell 68 ) foreslår i stedet at modellere gennemsnitstemperaturen direkte ved hjælp af en AR-model. Denne fremgangsmåde foreslås, da temperaturen, som tidligere nævnt, ikke vil variere ekstremt fra dag til dag, men i stedet vil være nogenlunde som dagen før med en uforudsigelig ændring. Dette stemmer meget godt overens med AR-modellen. I stedet for at fjerne sæsonudsving i gennemsnit og standardafvigelse kan de modelleres som en del af temperaturmodellen. Dette kan gøres ved at inkludere en sinusfunktion. En sinusbølge svinger mellem bølgedale med værdien -1 og bølgetoppe med værdien +1. En hel periode varer 2π og omfatter både en bølgedal og en bølgetop. Derudover er der ofte brug for en korrektionsparameter φ. Hvis denne ikke medtages, vil modellen antage, at årets koldeste dag er 1. januar, og at den varmeste dag er 1. juli, hvilket ikke nødvendigvis er sandt. Alaton, Djehiche og Stillberger (2002) foreslår følgende: sin +, hvor t angiver tiden i dage, =, da en hel cyklus udgør et år (og der ses bort fra skuddage) og φ er korrektionsparameteren. 69 Hansen (2004) foreslår at modellere temperaturen med følgende: = + + sin + Som Alaton, Djehiche og Stillberger foreslår, mener også Hansen (2004), at der skal inkluderes et sinusled til at medtage sæsonvariationerne. De første to led medtager, at temperatur ofte indeholder en trend. 70 De relevante parametre kan findes ved en OLSestimation af følgende: = + + sin + cos hvor =, =, = + og =arctan 71 Zapranis & Alexandridis (2008) foreslår en lignende model, hvor gennemsnitstemperaturen kan findes således: = + h = ~ 0,1 α findes ud fra en AR(1) model uden konstant, hvor parametrene findes ud fra gennemsnitstemperaturen korrigeret for sæson. Dette er for at inkludere autokorrelation 68 Brix, A., Jewson, S. & Ziehmann, C. (2002) side 139 og Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side Alaton, P., Djehiche, B. & Stillberger, D. (2002) side Hansen, T. L. (2004) side Hansen, T. L. (2004) side

35 i modellen. De foreslår derudover, at sæsonvariationer i standardafvigelsen kan fjernes ved hjælp af en lignede sinusmodel, hvor parametrene estimeres på baggrund af daglige gennemsnit af AR-residualerne. Lignende foreslår Hansen (2004) også at modellere sæsonvariationer i standardafvigelsen ved samme sinusmodel som sæson i gennemsnitstemperaturen, hvor andet led dog ikke inkluderes, da der ikke bør være en trend i standardafvigelsen. Ved at inkludere et sinusled, vil der automatisk blive større standardafvigelse i vinterperioden end resten af året. 72 Efter en god model for den daglige gennemsnitstemperatur er fundet, kan denne bruges til at prisfastsætte alle typer og længder af kontrakter, som bygger på den samme målestation Fordele og ulemper ved modellen Det foreslås, at sæsonvariationerne skal være deterministiske, og derfor det samme hvert år. Dette er sikkert en rimelig antagelse, såfremt dataperioden, der ligger til grund for prisfastsættelsen, strækker sig over en tilpas stor årrække. Det må kunne antages, at mange års gennemsnit vil være det bedste bud på de kommende sæsonudsving. Er datagrundlaget derimod kun nogle få historiske år, så er det ikke nødvendigvis sikkert, at det vil give en passende funktion, da et gennemsnit, der er fundet på baggrund af nogle få år, vil være mere påvirket af ekstremt kolde eller varme år (eller perioder i årets løb). Alt i alt må det dog være en rimelig antagelse at tro sæsonudsvingene er deterministiske, da mange års gennemsnit må være det bedste bud på fremtiden. De forskellige modeller og fremgangsmåder, der er blevet foreslået til simulation, er ikke lige anvendelige for månedlig- og daglig data. At anvende normalfordelingen eller andre parametriske fordelinger er ikke så anvendeligt på daglig data. Grunden til dette er, at distributionen findes på baggrund af hele året temperaturer. Når der så simuleres på baggrund af den fundne distribution, så er der risiko for, at en vinterdag, der burde få tildelt en af de koldere temperaturer i stedet for tildelt en temperatur, der egentlig hører til en varm sommerdag. Dette er jo ikke så hensigtsmæssigt, da det kan give et helt forkert billede af vejret i den periode, som vejrderivatet dækker over. 72 Hansen, T. L. (2004) side Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side

36 Omvendt er anomaliemodellen, AR-modellerne og den foreslåede sinusmodel ikke så gode at bruge på månedlig data. Den historiske data kan antages at være uafhængig fra år til år, når kontraktperioden er en måned. 74 Af denne grund vil det ikke give mening, at bruge AR-modellerne på månedlig data, da en måneds gennemsnitstemperatur ikke bør kunne forudsiges på baggrund af de p foregående års gennemsnit for den samme måned. Anomalie- og sinusmodellen kan heller ikke anvendes på månedlig data, da deres hensigt er henholdsvis at fjerne sæsonudsving og at finde frem til en funktion, hvor variationer i sæson er inkluderet. Når månedlig data er baggrund for simulation, vil hvert år bestå af en samlet gennemsnitstemperatur, og da sæsonvariationerne antages at være deterministiske, vil den samme måned hvert år indeholde præcis den samme sæsonvariation, hvorfor denne ikke skal fjernes eller modelleres. Dermed bør de forskelle der er fra år til år, være på grund af en trend eller rene tilfældigheder. Ulempen ved at bruge simulering til at prisfastsætte vejrderivater er, at det ofte er daglig data, der ligger til grund for prisfastsættelsen. Derfor vil simulering kræve en del mere data end vejrudgaven af Black-Scholes modellen og Burn analysen. Derudover kan modellerne også blive mere komplekse, idet de forsøger at inkludere mange flere faktorer; især fordi der oftest også er tale om brug af daglig data. Dette er dog også en fordel, fordi det er muligt at få en mere korrekt temperaturproces, når alle informationer fra hele året medtages. At simulere på baggrund af daglig data giver mulighed for at finde frem til en model, der beskriver sæsonudsvingene samt en model, der kan beskrive sammenhængen mellem temperaturen fra dag til dag. Derudover er det en fordel, at simulation ikke forudsætter, at der er et likvidt marked for det pågældende vejrderivat. Det er også en stor fordel, at simulation kan give virkelig mange års fiktiv data på baggrund af nogle få årtiers historiske informationer. På den måde opnås et meget større datagrundlag, end det er muligt at opnå udelukkende på baggrund af historisk data, da dette kun kan måles pålideligt i en begrænset historisk tidsperiode. På grund af et større datagrundlag er det muligt at få mere sikre resultater, end det var tilfældet for Burn analysen (1 til i forhold til 1 til 30). 74 Jewson, S., Brix, A. med bidrag fra Ziehmann, C. (2005) side 63 32

37 6. Eksempelvirksomheden Winter Wonder World I denne afhandling vil eksempler på prisfastsættelse af vejrderivater blive udført på baggrund af vejrudgaven af Black-Scholes, Burn analysen samt simulering. I den forbindelse vil den fiktive virksomhed Winter Wonder World (herefter WWW) benyttes, når der kommenteres på resultaterne fra prisfastsættelsen. WWW er en vinterforlystelsespark, der ligger i nærheden af Chicago O Hare International Airport. Parken består af skøjtebaner, ski- og kælkebakker samt forskellige former for forlystelser på sne og is. Virksomheden har kun åbent fra 1. november til 15. marts og er derfor afhængig af at have en god indtjening i de få åbne måneder. For at kunne holde omkostningerne til vedligeholdelse af parkens sne og is nede skal temperaturen være tilpas lav. Ligeledes kommer der flere kunder til forlystelsesparken jo koldere, der er. WWW har derfor undersøgt, hvordan indtægter og udgifter hænger sammen med temperaturen og har fundet frem til, at der helst skal være mindre end 41,5 Fahrenheit (5,3 Celsius) for, at de tjener på at have forlystelsesparken åben. Dette svarer til, at virksomheden er godt tilfreds, hvis novembermåned har mindst 700 HDD ((65-41,5)*30= 705, men der afrundes til 700). For at sikre sig mod ekstra omkostninger og tabte indtægter på grund af temperaturer, der er højere end ønsket, overvejer WWW at købe et vejrderivat, som giver dem et kompenserende afkast, hvis temperaturen ikke bliver som ønsket. Virksomheden kan vælge mellem en sæsonkontrakt eller kontrakter på de enkelte måneder, hvor parken har åbent. Ved at kigge på tidligere års gennemsnitstemperaturer har de fundet ud af, at den mest kritiske af deres åbningsmåneder er november. De kunne naturligvis også vælge en sæsonkontrakt, der dækker hele deres åbningsperiode, men en sådan kontrakt er dyrere, hvilket derfor ikke kan betale sig, med mindre der er en rimelig risiko for for høje temperaturer. WWW vælger derfor den 1. november 2010 at købe en vejrderivatkontrakt for november 2010, der skal beskytte dem mod, at antallet af månedens HDD bliver under 700. De ønsker at købe vejrderivatet på CME, og de ønsker ikke at inkludere en begrænsning (begrænsninger er dog stadig medtaget i priseksemplerne som illustration). 33

38 6.1 Excel-filen Data Excel-filen Data, som er vedlagt denne afhandling, indeholder den relevante data omkring antallet af HDD samt den gennemsnitlige temperatur. Derudover indeholder filen også bearbejdet data, som bruges til input i den anden vedlagte Excel-fil Vejrderivater. Data er opdelt i ti ark. Det første ( November ) indeholder data omkring novembermåned fra 1980 til Fanen Grafer November viser nogle forskellige grafer for november-hdd, hvilket skal bruges i forbindelse med Burn analysen. De resterende faner skal bruges i forbindelse med simulationen. Fanen Novembertemp. indeholder grafer omkring novembers gennemsnitstemperatur. De følgende to faner indeholder alle informationer omkring daglig data fra 1. januar 1980 til og med 31. oktober 2010 samt tilhørende grafer. De sidste fem faner er forarbejdet til forskellige modeller, der skal simuleres. Disse vil blive nærmere gennemgået i afsnittet Excel-filen Vejrderivater Selve prisfastsættelsen foregår i Excel-filen Vejrderivater, som også er vedlagt denne afhandling. Denne fil indeholder VBA-koderne, der gør, at der hurtigt kan findes frem til en pris på baggrund af en valgt prisfastsættelsesmetode samt et valgt instrument. For at kunne se disse koder skal makroerne gøres tilgængelige, når filen åbnes. Koderne er inddelt i tre moduler samt en userform. Modulerne indeholder hver især koderne til en prisfastsættelsesmetode (Black-Scholes, Burn analyse samt simulering), og en overordnet beskrivelse af opbygningerne vil være at finde under eksemplet af de enkelte prisfastsættelsesmetoder. Userformen giver brugeren et overblik over, hvilke ting, der skal tages stilling til, før end en pris for vejrderivatet kan findes. På baggrund af brugerens valg vil koderne, der ligger bag ved userformen automatisk føre til, at de korrekte koder efterfølgende bliver taget i brug, og at der fremkommer et resultat. Excel-filen er opdelt i forskellige ark, hvor Burn, Sim (daglig) Anomalier, Sim (daglig) AR og Sim (daglig) Sinusmodel indeholder oplysninger, der skal bruges i prisfastsættelsen. Det første ark er startsiden. Som det ses i figur indeholder startsiden en startknap. 34

39 Figur 6.2.1: Billede af startknappen i Excel-filen Vejrderivater Kilde: Egen tilvirkning, skærmprint fra Excel-filen Vejrderivater Når knappen aktiveres vil userformen, se figur 6.2.2, vises på skærmen. Her skal brugeren vælge, hvilken prismetode samt hvilken type instrument der skal ligge til grund for prisfastsættelsen. Derudover er det også muligt at indtaste en begrænsning for afkastet, hvis en sådan ønskes. Vælges Burn som prismetode, vil et tryk på OK-knappen føre til, at VBA-koderne køres, og der findes frem til en pris. Vælges i stedet Black- Scholes skal en strikeværdi også indtastes, før koderne kan køres. Ved valg af simulering skal brugeren også vælge en strikeværdi samt hvilken model, der skal ligge til grund for simuleringen. Når en model er valgt, vil VBA-koderne igen gøre deres arbejde og finde frem til en pris på vejrderivatet. Figur 6.2.2: Billede af userformen med de forskellige valgmuligheder Kilde: Egen tilvirkning, skærmprint fra Excel-filen Vejrderivater 35