Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a Torsdag den 1. august 010 kl

2 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, f.eks. af typen: 1 OP = t + 3, hvor t R, og hvor OP er stedvektor til punktet P = (, xy), som ligger på linjen og er afhængig af parameteren t. Vi kan betragte punktet P= ( x, y), som en partikel, der over tid gennemløber linjen. Dvs partiklens position på linjen til tiden t er bestemt ved stedfunktionen 1 t st () = 3+ t, hvor t R. Fx er partiklens position til tiden t = beskrevet ved stedvektoren 1 0 s() = = Dvs partiklen befinder sig på y -aksen i punktet P = (0,7), når t =. Tilsvarende kan partiklens position bestemmes ved en stedvektor for enhver værdi af t, således at partiklen gennemløber hele linjen, når t gennemløber de reelle tal. Nedenfor ses parameterkurven (dvs linjen) for stedfunktionen s() t, hvor partiklens position til forskellige tidspunkter er indtegnet sammen med de tilhørende stedvektorer. Tabellen til højre beskriver partiklens position til en række tidspunkter. Figur 1 Ovenstående kan generaliseres til at omfatte meget andet end linjer, idet stedfunktionen for en partikel, der gennemløber en given parameterkurve over tid er defineret ved Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

3 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning st () x() t = yt (), hvor t R, og funktionerne x( t) og yt ( ) er reelle funktioner. Disse kaldes koordinatfunktioner for stedfunktionen. Parameterkurven for s() t består af de punkter, der har s() t som stedvektor, når t gennemløber de reelle tal eller et interval i de reelle tal. Eksempel 1 Vi betragter parameterkurven for stedfunktionen 9 t st () = 3 t 4t 1 4, hvor t R. Når man tegner parameterkurver i et matematikprogram, så skal man typisk angive skridtlængden for parameteren t samt det interval, parameteren skal gennemløbe. Parameterkurver er helt glatte kruver, ligesom grafer for reelle funktioner. Men hvis den skridtlængde, man vælger, er for lang, så vil kurven i nogle programmer vises, som var den sammensat at linjestykker. I disse tilfælde må man ændre skridtlængden, så kurven fremstår glat. På figuren nedenfor har vi anvendt skridtlængde 0.1, og vi har tegnet kurven i parameterintervallet 5 t 5. På figur ses de beregnede punkter, og på figur 3 fremstår parameterkurven sammenhængende. Desuden ses på begge figurer stedvektorerne til 3 udvalgte punkter. Figur Figur 3 Vi bestemmer parameterkurvens skæringspunkter med akserne. Stedfunktionen har koordinatfunktionerne x() t 9 = t og yt= t t. 1 3 () 4 4 Vi bestemmer skæringspunkter med x -aksen, idet vi sætter y -koordinatfunktionen lig med nul, dvs vi løser ligningen 1 3 t 4t 0 4 =, 1 3 og med CAS, dvs solve( t 4t= 0, t), får vi 4 t= 4 t= 0 t= 4. Dvs parameterkurven skærer x -aksen, når t = 4, t = 0 og når t = 4. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side af 14

4 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Vi bestemmer x -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i x - koordinatfunktionen. Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med x -aksen t = 0 x (0) = 9 P 0 = (9,0) t = 4 x( 4) = 7 P 4 = ( 7,0) t = 4 x (4) = 7 P 4 = ( 7,0) Heraf ses, at punktet ( 7,0) er et dobbeltpunkt, hvilket også fremgår af figuren ovenfor. Skæringspunkterne med y -aksen bestemmes ligesom ovenfor, nu er det jo blot x -koordinatfunktionen, der skal være nul. Dvs vi løser ligningen 9 t 0 =, og med CAS, dvs solve(9 t = 0, t), får vi t= 3 t= 3. Dvs parameterkurven skærer y -aksen, når t = 3 og t = 3. Vi bestemmer y -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i y -koordinatfunktionen. Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med y -aksen t = 3 y( 3) = 5.5 P 3 = (0,5.5) t = 3 y( 3) = 5.5 P 3 = (0, 5.5) Nedenfor er alle 5 skæringspunkter indtegnet. Figur 4 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 3 af 14

5 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Øvelse 1 Tegn parameterkurven og gennemfør ovenstående beregninger i dit CAS-program. Øvelse På figuren ses parameterkurven for stedfunktionen t st () = t t, hvor t R. Parameterkurven er en parabel. Figur 5 Beregn koordinatsættene til udvalgte punkter, hvor 1 t 3, og benyt dette til at argumentere for at parablens gennemløb går fra parablens venstre gren ned mod toppunktet videre op ad parablens højre gren som vist på figuren. Øvelse 3 a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen 4 4t t st () = 3, hvor t R. t 3t b) Bestem koordinatsættene for de punkter, hvori parameterkurven skærer koordinatsystemets akser. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 4 af 14

6 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Hastighedsvektor og tangent Vi definerer en hastighedsfunktion vt () x () t vt () = s () t = y () t, hvor t R til stedfunktionen x() t st () = yt (), hvor t R, ved og hvor x () t og y () t er koordinatfunktionernes afledede funktioner. Dvs når man differentierer en stedfunktion ved at differentiere hver koordinatfunktion for sig, så får man hastighedsfunktionen. Hastighedsfunktionen vt () kaldes også for hastighedsvektoren i punktet med parameterværdien t, og man kan vise, at hvis den ikke er nulvektoren, er den retningsvektor for parameterkurvens tangent i punktet med parameterværdi tiden t. Eksempel : En stedfunktion er givet ved 3 4t t st () =, hvor t R. 4 t t Koordinatfunktionerne er her x() t 4t t 3 = og y() t 4t t =. De afledede af koordinatfunktionerne er x () t = 8t 3t og y () t = 4 t. Hastighedsfunktion er således givet ved 8t 3t vt () =, hvor t R. 4 t Vi bestemmer hastighedsvektoren til parameterkurven i punktet, hvor parameterværdien er t = 1, dvs i punktet P1 = ( x(1), y(1)) = (3,3). Vi indsætter derfor t = 1 i hastighedsfunktionen, og vi får x (1) 5 v(1) = = y (1). Hastighedsvektoren i punktet P 1 = (3,3) er således 5 v(1) =. Vi vil nu bestemme det punkt, hvori hastighedsvektoren er vandret, dvs det punkt, hvori parameterkurven har vandret tangent. Hastighedsvektorens koordinatfunktioner er () = 8 3 og y () t 4 x t t t = t. Hastighedsvektoren er netop vandret, når dens lodrette udstrækning er nul, dvs når y - koordinatfunktionen er nul. Vi løser derfor ligningen y () t = 0, og med CAS, dvs solve( y ( t) = 0, t), får vi t =. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 5 af 14

7 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Dvs hastighedsvektoren er vandret, når t =, dvs i punktet P = ( x(), y()) = (8,4). Hastighedsvektorens koordinater er x () 4 v() = = y () 0. Vi vil nu bestemme de punkter, hvori hastighedsvektoren er lodret, dvs de punkter, hvori parameterkurven har lodret tangent. Hastighedsvektoren er netop lodret, når dens vandrette udstrækning er nul, dvs når x -koordinatfunktionen er nul. Vi løser derfor ligningen x () t = 0 og med CAS, dvs solve( x ( t) = 0, t), får vi t= 0 t= Dvs hastighedsvektoren er lodret, når t = 0, og når t = 3, dvs i punkterne P0 = ( x(0), y(0)) = (0,0) og P = ( x( ), y( )) = (, ) = (9.48,3.56) De to hastighedsvektorer har altså koordinaterne x (0) 0 v(0) = = y (0) 4 og x () 0 0 v() = = = ( ) y 3 3 De tre hastighedsvektorer er alle tegnet ind på parameterkurven nedenfor. Figur 6 Vi ser, at parameterkurven har et dobbeltpunkt i (0,0). I dette punkt er der således både en lodret tangent og en skrå tangent. Vi bestemmer den skrå hastighedsvektor, idet vi bestemmer den anden parameterværdi i dobbeltpunktet ved at løse ligningen 0 st () = 0 og med CAS, dvs 0 solve( s( t) =, t) 0, får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 6 af 14

8 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning t= 0 t= 4. Dvs den anden parameterværdi er t = 4, og den skrå hastighedsvektor i dobbeltpunktet bliver da x (4) 16 v(4) = = y (4) 4. Nedenfor er også denne hastighedsvektor tegnet ind sammen med de vandrette og de lodrette hastighedsvektorer. Figur 7 Eksempel 3 En stedfunktion er givet ved t 3 st () = 3, hvor t R. t 4t Parameterkurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = og t =, dvs i punktet 3 Q= ( 3, 4 ) = Q(1,0). Vi tegner parameterkurven Figur 8. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 7 af 14

9 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Vi vil bestemme vinklen mellem parameterkurvens to tangenter i dobbeltpunktet. Først bestemmer vi hastighedsvektorerne. Hastighedsfunktion er givet ved t vt () = 3t 4, hvor t R. Hastighedsvektorerne til parameterkurven i dobbeltpunktet, hvor parameterværdierne er t = og t =, har derfor koordinaterne ( ) 4 v( ) = = 3( ) v() = = Vi kan bestemme vinklen mellem disse to hastighedsvektorer ved den sædvanlige formel til beregning af vinkler mellem vektorer, dvs v( ) v() cos( θ) =. v( ) v() Vi skal altså bestemme hastighedsvektorernes længder. Vi beregner længden af vektorerne ved den sædvanlige længdeformel, dvs v = + = ( ) ( 4) 8 80 v = + = () Vi indsætter nu i vinkelformlen, dvs cos( θ) = = og dermed er vinklen mellem vektorerne θ = 53,1.. Begge hastighedsvektorer samt vinklen imellem dem er tegnet ind på parameterkurven nedenfor. Figur 9 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 8 af 14

10 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Bemærk, at hastighedsvektorens retning er afhængig af den måde, hvorpå punktet gennemløber kurven, når t gennemløber de reelle tal. Vi bestemmer en ligning for hver af tangenterne, l 1 og l, idet hastighedsvektorerne er retningsvektorer for tangenterne. Dvs tværvektorerne til disse er normalvektorer for tangenterne. Vi får da, at normalvektoren for 8 l 1 er n 8 l = 1 4, og normalvektoren for l er n l = 4. Vi ved at dobbeltpunktet Q(1,0) ligger på begge tangenter, så derfor bliver ligningerne for de to tangenter l : 8( x 1) + ( 4)( y 0) = 0 1 8x 4y+ 8= 0 og l1 : 8( x 1) + 4( y 0) = 0. 8x+ 4y+ 8= 0 Nedenfor ses parameterkurven, hvor de to tangenter er indtegnet. Figur 10 Øvelse 4 a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen 3 t 3t st () =, t 1 hvor t R. b) Bestem parameterværdien i de punkter på kurven, hvori der enten er vandret eller lodret tangent, og bestem koordinatsættet til disse punkter. Kurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = 3 og t = 3. c) Bestem de to hastighedsvektorer i dobbeltpunktet, og bestem vinklen imellem disse. d) Bestem ligningerne for hver af de to tangenter i dobbeltpunktet. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 9 af 14

11 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Cirkler som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge cirkler som parameterkurver. Eksempel 4 På figuren nedenfor ses stedfunktionen for parameterkurven cos( t) st () =, hvor 0 t π. sin( t) Figur 11 Parameterkurven er en enhedscirkel, dvs en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1. Parameterkurven fremkommer ved, at vi for alle værdierne t i parameterintervallet 0 t π bestemmer stedvektoren og afsætter det tilhørende punkt. Nedenfor ses de tre stedvektorer for parameterværdierne π π 5π t =, t = og t = Figur 1 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 10 af 14

12 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Øvelse 5 Bestem tre andre punkter på enhedscirklen. Stedfunktionen for cirkler med en anden radius og et andet centrum, får vi ved at ændre på koordinatfunktionerne i stedfunktionen. Øvelsen nedenfor behandler netop dette. Øvelse 6 Parameterkurven for stedfunktionen 3cos( t) st () = +, hvor 0 t π, 3sin( t) 4 er en cirkel. a) Tegn parameterkurven, og bestem centrum og radius for denne cirkel. Undersøg nu stedfunktionen rcos( t) x0 st () = +, hvor 0 t π, rsin( t) y0 ved på skift at lade x 0, y0 og r variere. b) Sæt x 0 = og y 0 = 4. Lad r variere. Hvilken betydning har r for parameterkurvens udseende? c) Sæt x 0 = og r = 3. Lad y 0 variere. Hvilken betydning har y0 for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y 0 = 4 og r = 3. Lad x 0 variere. Hvilken betydning har x0 for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 7 a) Bestem stedfunktionen for en cirkel med radius på 5 og centrum i (3,7). b) Tegn cirklen. Øvelse 8 Betragt stedfunktionen 3cos( t) st () = +, hvor 0 t π. 3sin( t) 4 π a) Bestem hastighedsvektoren for t =. 3 b) Tegn parameterkurven og den fundne hastighedsvektor. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 11 af 14

13 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Ellipser som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge ellipser som parameterkurver. Eksempel 5 Figuren viser parameterkurven for stedfunktionen 5cos( t) 3 st () = +, hvor 0 t π. sin( t) 4 Figur 13 Parameterkurven kaldes en ellipse med centrum i ( 3,4 ), storakse a = 5 = 10og lilleakse b = = 4. Øvelse 9 Undersøg stedfunktionen acos( t) x0 st () = +, hvor 0 t π, bsin( t) y0 ved på skift at lade x 0, y 0, a og b variere. a) Sæt x 0 = 3, y 0 = 4 og b =. Lad a variere. Hvilken betydning har a for parameterkurvens udseende? b) Sæt x 0 = 3, y 0 = 4 og a = 5. Lad b variere. Hvilken betydning har b for parameterkurvens udseende? c) Sæt x 0 = 3, a = 5 og b =. Lad y 0 variere. Hvilken betydning har y0 for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y 0 = 4, a = 5 og b =. Lad x 0 variere. Hvilken betydning har x0 for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 10 a) Bestem en stedfunktion for en ellipse med centrum i ( 1,), vandret storakse på 14 og lodret lilleakse 6. b) Tegn parameterkurven for ellipsen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

14 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Brændpunkter Vi betragter ellipsen med centrum i (0,0) og storakse a samt lilleakse b (se figur), hvor a> b. Ellipsens brændpunkter, F1 og F, er defineret som skæringspunkterne mellem ellipsens storakse og cirklen med centrum P= (0, b), og radius a. Figur 14 Øvelse 11 Vis, at afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til brændpunkterne er 1 = =, hvor a b OF OF a b >. Øvelse 1 Betragt en ellipse med centrum i C= ( x0, y0), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b. Vis, at denne ellipse har brændpunkterne F = ( x a b, y ) og F = ( x + a b, y ). 0 0 Hvis P= ( x, y) er et tilfældigt punkt på ellipsen kaldes linjestykkerne PF1 og PF brændstrålerne fra P. Øvelse 13 a) Bestem F 1 og F for ellipsen i eksempel 5. b) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven. c) Bestem længden af brændstrålerne fra P. d) Undersøg ved at variere P= ( x, y), hvad der gælder for afstanden PF1 + PF. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 13 af 14

15 Forberedelsesmateriale Prøvesæt 1: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Øvelse 14 Vi ser igen på en ellipse med centrum i C= ( x0, y0), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b, som jo har stedfunktionen acos( t) x0 st () = +, hvor 0 t π. bsin( t) y0 Lad P= ( x, y) være et punkt på ellipsen. Vis, at PF1 + PF = a, når F 1 og F betegner ellipsens brændpunkter. Øvelse 15 Vi ser igen på ellipsen fra eksempel 5. a) Tegn ellipsen, og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven. b) Tegn brændstrålerne fra P, og tegn tangenten til parameterkurven i punktet P. c) Bestem vinklen mellem hver af brændstrålerne fra P og tangenten i P (se figur). Når en lysstråle rammer en tangent til en kurve i et punkt P, så vil den vinkel lysstrålen rammer tangenten med være den samme som den vinkel lysstrålen forlader tangenten med. Dette udnyttes i en nyrestensknuser, hvor man knuser nyresten med ultralyd dvs uden operative indgreb. Ultralydskilden er placeret i en ellipses ene brændpunkt, mens patientens nyre placeres i det andet brændpunkt. Herefter sendes ultralyd ud mod ellipsen, hvor det reflekteres og sendes præcist over i det andet brændpunkt, hvor det rammer nyrestenen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 14 af 14

16 Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs10-matn/a Torsdag den 1. august 010 kl

17 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve : 3 timer med alle hjælpemidler Delprøve 1 består af 1 spørgsmål Delprøve består af 13 spørgsmål Alle spørgsmål tillægges hver 10 point Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af helhedsindtrykket i besvarelsen af de enkelte spørgsmål vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. NOTATION og LAY-OUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. REDEGØRELSE og DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

18 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 1 af 6 Delprøve 1 Kl Opgave 1 En vektor a er givet ved 8 a =. 6 a) Bestem længden af a. b) Bestem parameterfremstillingen for den linje l, der har a som retningsvektor og går gennem punktet P = (7,3). Opgave To rette linjer l og m er givet ved l : y = x+ 8 og m : y= 3x+ 8. a) Bestem koordinatsættet til det punkt på linjen l, hvor x = 7. b) Bestem skæringspunktet mellem l og m. Opgave 3 En cirkel har centrum i C (,3) og radius r = 5. a) Bestem en ligning for cirklen. Opgave 4 På internettet findes en on-line adressebog, som har et stærkt stigende antal brugere. I en model antages det, at antallet af brugere af kan beskrives ved funktionen Nt ( ) = ,084 t, hvor N( t) angiver antallet af brugere til tiden t, og t angiver tiden målt i måneder efter 1. januar 003. a) Gør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om udviklingen i antallet af brugere af

19 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side af 6 Opgave 5 Tre forskellige vækstmodeller f, g og h er givet ved f( x) = x+ 3, gx= ( ) 3 0,8 x og 5 På figuren nedenfor er graferne for f, g og h skitseret. hx ( ) 3 0,5 = x. () B A C 1 1 (1) a) Bestem hvilken af de tre grafer A, B og C, der hører til hver af de tre funktioner f, g og h. Begrund dit svar. Opgave 6 På figuren ses grafen for en funktion f. Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i intervallet [ 1;] en punktmængde M, der har et areal. Det oplyses, at 4 1 f( x) dx= 5, og at () 4 f( x) dx=,6. M -1 4 (1) a) Bestem arealet af M.

20 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 3 af 6 Opgave 7 En funktion f har forskriften 3 f() x = x 3x + 4. a) Bestem monotoniforholdene for f. Opgave 8 a) Bestem integralet 5 4 x 3 5x e + dx. Opgave 9 På figuren nedenfor ses en model af en rektangulær have på 00 m. Haven skal indhegnes, således at der er hæk på de tre sider og stengærde på den sidste side. Sidelængderne betegnes som vist på figuren. Stengærde h x Prisen for stengærdet er 900 kr. pr. m, og prisen for hækken er 300 kr. pr. m. a) Bestem den samlede pris for indhegningen udtrykt ved x. b) Bestem x, så den samlede pris for indhegningen er mindst mulig. Besvarelsen afleveres kl

21 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 4 af 6 Delprøve Kl Opgave 10 I tabellen nedenfor ses udbyttetabet i vårsæd ved givne ukrudtsmængder. Ukrudtsmængde (målt i hkg pr. ha.) Udbyttetab (målt i hkg pr. ha.) 1,88 3,05 4,05 4,95 5,79 I det følgende antages det, at udbyttetabet som funktion af ukrudtsmængden kan beskrives ved en funktion af typen a ux ( ) = bx, hvor x angiver ukrudtsmængden (målt i hkg pr. ha.), og uxangiver ( ) udbyttetabet (målt i hkg pr. ha.). a) Bestem a og b. b) Bestem ændringen i udbyttetabet, når ukrudtsmængden stiger med10%. Kilde: Publikation fra Miljøministeriet om ukrudt. Opgave 11 En stedfunktion er givet ved 3 t 3t+ 4 st () =, hvor t R. t + 3 a) Tegn parameterkurven, og bestem koordinatsættet til det punkt på kurven, hvori t = 3. b) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter på parameterkurven, hvor tangenten er lodret. Opgave 1 En ellipse er bestemt ved stedfunktionen 7cos( t) 1 st () = + 4sin( t) 3, hvor t R. a) Angiv ellipsens storakse og lilleakse samt koordinatsættet for ellipsens centrum, og bestem ellipsens brændpunkter.

22 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 5 af 6 Opgave 13 På figuren nedenfor ses et skævt tetraeder indtegnet i et koordinatsystem, således at hjørnerne er markeret ved punkterne O, A, B og C. Disse har koordinaterne O = (0,0,0), A = (10,18, 1), B = (13,0,0) og C = (13,8,11). z C O y x B A a) Bestem ligningen for den plan, α, der indeholder trekant OBC. Den plan β, der indeholder trekant ABC, har ligningen 06x+ 33y 4z 678 = 0. b) Bestem den spidse vinkel mellem planerne α og β. Opgave 14 Når en varmluftballon svæver, så styres svævehøjden af temperaturen af luften i ballonen. I en model antages det, at ballonens højde over jorden kan beskrives ved funktionen π f ( x) = sin x 00, 0 x 350, hvor x angiver tiden i minutter, og f ( x ) angiver højden over jorden målt i meter. a) Tegn grafen for f, og bestem ballonens maksimale og minimale højde over jorden under flyvningen. b) Bestem f (00), og giv en fortolkning af dette resultat.

23 Stx matematik A-net Prøvesæt 1 side 6 af 6 Opgave 15 Ved et sygdomsudbrud i Sydamerika vurderes det, at udviklingen af antal smittede som funktion af tiden t, målt i uger, kan beskrives ved differentialligningen 7 ( ) =,96 10 ( ) ( ( )), S t S t S t hvor St () er antal smittede til tiden t. Det oplyses, at der fra starttidspunktet er 5000 smittede personer. a) Bestem forskriften for S. b) Tegn grafen for funktionen S i et passende koordinatsystem, og beskriv, hvad tallet betyder for udviklingen i antal smittede ifølge modellen. Opgave 16 I den norske Tippeligaen i fodbold vandt Rosenborg mesterskabet både i 009 og 010. Undervejs i 009 sæsonen vandt de 0 kampe ud af de 30 kampe, som sæsonen bestod af. I den netop overståede 010 sæson lå Rosenborg nr. 1 pr. 9/8 010 og havde vundet 15 ud af de spillede kampe. En norsk avis udtalte dengang, at Rosenborg i 010 resultatmæssigt var endnu bedre end i sæsonen 009. a) Opstil en hypotese, og undersøg på et signifikansniveau på 5 % om, der er belæg for udtalelsen fra den norske avis. Opgave 17 t Parameterkurven for stedfunktionen st () =, hvor t R, er en parabel, der er t symmetrisk omkring x -aksen som vist på figuren. Punktet F = (1,0) kaldes parablens brændpunkt, og FP kaldes brændstrålen, hvor P er et vilkårligt punkt på parablen. På figuren ses tangenten til grafen i punktet P samt linjen l, der går gennem P og er parallel med x -aksen. Vinklen mellem tangenten og linjen l kaldes v, og vinklen mellem tangenten og brændstrålen FP kaldes w. P v l w 1 F 1 a) Bestem v og w, når P = (4,4), og vis, at v= w uanset, hvorpå parablen P ligger.

24 STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT 010/011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til den skriftelige prøve: Prøvesæt 010/011

25 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve. 3-5 delspørgsmål i delprøve af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne. Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve. Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

26 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Komplekse tal Når vi skal løse andengradsligningen ax + bx + c = 0, hvor a, b og c er reelle tal, så bruger vi løsningsformlen -b b -4ac x =. a Ligningens diskriminant opskriver vi som det selvstændige udtryk d = b - 4ac, fordi diskriminanten jo har afgørende betydning for antallet af løsning til andengradsligningen. Der gælder som bekendt, at når d < 0, så har ligningen ingen løsninger. Andengradsligningen x + 1= 0, har ingen løsninger, idet der ikke er noget reelt tal, der ganget med sig selv giver - 1. Havde der været en løsning, så skulle vi kunne give mening til udtrykket - 1, fordi når vi løser ligningen efter de sædvanlige regler, så får vi x =-1 x = - 1. Accepterer vi nu, at der findes et sådant tal, så skal der jo gælde, at ( - 1) =- 1. I det følgende vil vi antage at tallet i har den egenskab, at i =- 1. Ud fra ovenstående er det klart, at dette tal ikke er et reelt tal. Ligningen ovenfor har ingen reelle tal som løsninger, men ligningen har det, som vi vil kalde komplekse tal som løsninger. Vi vil i det følgende vise, at enhver andengradsligning altid har to løsninger, når vi arbejder inden for de komplekse tal. Definition 1 De komplekse tal består af alle tal på formen z= x+ y i, hvor x og y er reelle tal. Tallet x kaldes den reelle del af z og skrives også Re( z ), mens y kaldes imaginærdelen af z og skrives Im( z ). Øvelse 1 Eksempler på komplekse tal: z1 = + 3i, z = 4 og z3 =-5i. a) Angiv den reelle del af de tre komplekse tal z 1, z og z 3. b) Opskriv selv tre nye komplekse tal. Regning med komplekse tal Addition (lægge til), subtraktion (trække fra), multiplikation (gange) og division (dividere) foregår på samme måde for de komplekse tal som for de reelle tal. Man skal blot huske på, at i =-1. Man kan altid kunne reducere sit regneudtryk, så resultatet ender med at stå på formen x + y i. To komplekse tal er givet ved z1 = + 3i og z = 4-5i. Vi illustrerer de tre første regneoperationer med disse to komplekse tal: Addition ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) z1+ z = + 3i + 4-5i = + 3i+ 4-5i= i- 5i = 6- i. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 1 af 17

27 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Subtraktion (-) ( ) ( ) ( ) ( ) z1- z = + 3i - 4-5i = + 3i- 4+ 5i= i+ 5i =- + 8 i. Multiplikation ( ) ( ) ( ) z1 z = + 3i 4-5i = 4-5i+ 3i 4-3i 5i= 8-10i+ 1i-15i Nu udnytter vi at i =-1, og så får vi z1 z = 8+ i-15 ( - 1) = 8+ i+ 15= 3+ i Division af komplekse tal er lidt mere kompliceret, og inden vi introducerer den regneoperation vil vi indføre en ny regneoperation, som er knyttet specielt til de komplekse tal, nemlig kompleks konjugering. Definition Ved den kompleks konjugerede til et komplekst tal z= x+ y i forstås det komplekse tal z = x- y i. Vi illustrerer nu den sidste af de fire regneoperation med de samme to komplekse tal som ovenfor: Division (:) Vi vil udføre divisionen z z 1 + 3i = 4-5i, idet vi benytter den kompleks konjugerede til z, dvs. z = 4-5i= 4+ 5i, til i første omgang at forlænge brøken z1 + 3i + 3i 4-5i + 3i 4+ 5 i (+ 3 i) (4+ 5 i) = = = =, z 4-5i 4-5i 4-5i 4-5i 4+ 5 i (4-5 i) (4+ 5 i) Vi ganger parenteserne ud, idet vi i nævneren udnytter en af kvadratsætningerne, dvs. vi får z z i+ 1i+ 15i - 7+ i - 7+ i -7 = = = = + i=- 0,17 + 0,54 i. 16-5i Eksempel 1 Der gælder, at z z= x + y. Vi kan eftervise dette ved multiplikation af de to komplekse tal z= x+ y i og z = x- y i, idet vi igen udnytter en af kvadratsætningerne, dvs. vi får ( ) ( ) z z= x-y i x+ y i = x -( y i ) = x + y. Regning med komplekse tal kan nemt udføres på et CAS-værktøj (her TI-Interactive), idet tallet i findes som et indbygget symbol ligesom e og p : ( i) ( 5-7 i) = i og i - = i. 6-7 i Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side af 17

28 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 1 Bestem ved håndregning nedenstående 3 komplekse tal og kontrollér resultaterne vha. et CAS-værktøj: a) ( + 3i) -( 7-4i) b) ( + 3 ) ( 7+ 6 ) i i c) ( + i) ( 7+ 6i) 3. Den komplekse talplan Man kan afbilde det komplekse tal z1 = x1 + y1i i Imaginær akse punktet ( x1, y 1) i en plan med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Alle komplekse tal på formen x + 0i repræsenterer z1 1 4i blot alle de reelle tal, fordi den imaginære del er nul. z1 z 3 3i Disse tal afbildes på 1.aksen, og man kalder derfor denne akse for den reelle akse. Der gælder altså, at alle de reeelle tal er indeholdt i de komplekse tal. Specielt ser vi, at tallet 1 afbildes i punktet (1,0) svarende til at enheden på den reelle akse er 1. Reel akse z i Alle komplekse tal på formen 0 + yi, hvor den reelle del er nul kaldes rent imaginære tal. Disse tal afbildes på.aksen, som derfor kaldes den imaginære akse. Specielt ser vi her, at tallet i afbildes i punktet (0,1), og derfor kalder vi i den imaginære enhed. æ ö 1 I vektorregning kalder vi vektoren = a OA ç çèa fra begyndelsespunktet (0,0) til punktet A( a1, a) for ø stedvektoren til A, og addition af to komplekse tal svarer geometrisk set til addition af stedvektorerne til de punkter som repræsenterer de komplekse tal i den komplekse talplan. Eksempel To komplekse tal er givet ved z1 = x1+ y1i og z = x + yi. Ved addition får vi: z + z = ( x + x ) + ( y + y ) i, og derfor afbildes det komplekse tal z1+ zi punktet ( x1+ x, y1+ y ). Dette punkt har netop sumvektoren for de to stedvektorer til hhv. z 1 og z som æ ö æ ö æ 1 1+ ö stedvektor: x x + = x x ç ç ç +. èy ø èy ø èy y ø 1 1 Øvelse To komplekse tal er givet ved z1 = 6+ i og z = 7 i. a) Tegn de to punkter, der repræsenterer z 1 og z i den komplekse talplan. b) Bestem længden af stedvektorerne til hvert af de to punkter, som repræsenterer de komplekse tal z1 og z. c) Bestem for hvert af de komplekse tal z1 og z den vinkel som disse stedvektorer danner med x-aksen. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 3 af 17

29 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 3 To komplekse tal er givet ved z1 = x1+ y1i og z = x + yi. a) Bestem z1- z, og giv en geometrisk fortolkning af tallet. Øvelse 4 Overvej, at den kompleks konjugerede til z1 = x1 + y1i, dvs. z1 = x1- y1i, geometrisk set blot svarer til at spejle z 1 i den reelle akse. Modulus og argument Ved multiplikation og division af komplekse tal er det bekvemt at skrive de komplekse tal på en anden form. I den forbindelse får vi brug for begreberne modulus af et komplekst tal og argument for et komplekst tal. Definition 3 Et komplekst tal er givet ved z= x+ yi. Ved modulus af z, som betegnes z, forstår vi længden af stedvektoren til det punkt ( x, y ), der repræsenterer z i den komplekse talplan, dvs. z = x + y. Sætning 1 Et komplekst tal er givet ved z= x+ yi. Da gælder der, at z z = z. Øvelse 5 a) Vis, at sætning 1 gælder for det komplekse tal z =- + 5i. b) Bevis sætning 1. Betragt et komplekst tal z= x+ yi. Vi vil vise, at ( cos ) sin( ) ) z= z ( q + q i, hvor z er modulus for z, og q er vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, der repræsenterer z i den komplekse talplan (se figur). Im x yi Re Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 4 af 17

30 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 6 Først ser vi på et taleksempel: Et komplekst tal er givet ved z1 = 3+ i. a) Tegn stedvektoren til z 1, og bestem vinklen q 1 mellem stedvektoren til z og førsteaksen regnet i positiv omløbsretning. b) Bestem modulus af z 1, og udregn x1= z1 cos ( q 1) og y1= z1 sin ( q 1). Dernæst ser vi på det generelle tilfælde: Betragt et komplekst tal z= x+ yi. Lad være q vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, som repræsenterer z i den komplekse talplan. c) Vis, at x= z co s( q ) og y= z si n( q ). d) Vis nu, at z= z ( cos q) + sin( q) i ) (. Definition 4 Ved de polære koordinater for det komplekse tal z forstås talparret ( r, q ), hvor r= z og q er vinklen (regnet i positiv omløbsretning) mellem førsteaksen og stedvektoren til det punkt, som repræsenterer z i den komplekse talplan. Tallet z kan skrives på formen ( + in( ) ) z= r cos( q) s q i. Dette skriver vi også som z r θ = e i, og vi siger i begge tilfælde, at z er angivet på polær form. Vinklen q kaldes argumentet for z, og angives som: Arg( z ). Den overraskende skrivemåde med brug af e θ i anvendes af CAS-værktøjerne og bag dette ligger en sammenhæng mellem eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner, som netop viser sig i den komplekse talplan, men som vi ikke vil komme nærmere ind på her. CAS-værktøjerne kan let regne frem og tilbage mellem polære og rektangulære koordinater (her TI- Interactive): (.14 i) / 3 ( 3 4 ) topolar e 5 og 5 e ( p i - + i ) i. Bemærk, at vinklerne her er regnet i radianer. Im Im 3 4i,5 4,330i,14 Re 3 Re Hvis (, ) r, q+ p p, pîz repræsentere det samme komplekse tal, fordi når vi lægger p p til q, så svarer det jo blot til at løbe et helt antal gange rundt om (0,0). Den værdi blandt + p, pîz - p, p kaldes hovedargumentet for z. r q repræsenterer et komplekst tal z på polær form, så vil ( ) q p, der ligger i intervallet ] ] Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 5 af 17

31 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Bemærk, at tallet 0 i den komplekse talplan svarer til skæringspunktet mellem den reelle akse og den imaginære akse. Vi vil fremover kalde dette punkt for O. Øvelse 7 Tre komplekse tal er givet ved z1 = + 3 i, z = - 3 i, z3 =- 7 i og z4 =-3-4 i. a) Tegn de punkter som repræsenterer z1, z og z3i den komplekse talplan. b) Angiv z1, z og z3 på polær form, og kontroller modulus og argument for hvert af de tre komplekse tal på figuren fra a). Øvelse 8 Beregn modulus af og argumentet for hvert af de komplekse tal: a) z1 = + i b) z = -i c) z 3 = ( + i) ( - i ). Sætning Bevis: For ethvert kompleks tal z gælder, der at Arg( z) =-Arg( z ) og z = z. Skriver vi z på polær form z r ( cos( q) + sin( q) ) = i, dvs. z = r og Arg( z) = q, fås ( ( q) + sin( q) i) ( os( q) -sin( q i ) z = r cos = r c ), og da - sin( q) = sin( -q) og cos( q) = cos( -q), så får vi ( ) z = r cos( -q) + sin( -q) i. Heraf ses, at z = r og Arg( z ) =- q. Multiplikation og division i polære koordinater Hvis to komplekse tal z1 og z er givet i polære koordinater, altså ved modulus og argument, kan multiplikation og division udtrykkes simpelt. Sætning 3 For ethvert komplekst tal z ¹ 0 gælder der, at 1 1 = og z z æ1ö Argç =-Arg( z). çèz ø Bevis: Vi skriver z på formen z= r ( cos( q) + sin( q) i), hvor r= z og q = Arg( z). Da er den komplekst konjugerede til z givet ved z = r ( cos( -q) + sin( -q) i) og derfor får vi ved at forlænge med z og anvende sætning 1: ( cos( q) + sin( -q) i), 1 1 z z r - = = = = 1 ( c o s( -q) + si n ( -q ) i). z z z z r r Nu er 1 z skrevet på polær form, og vi ser, at = = z r z og at æ1ö Argç =-q çè z. ø Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 6 af 17

32 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Sætning 4 For to komplekse tal z 1 og z gælder der, at Bevis: Vi skriver z 1 og z på formen z1 z = z1 z og Arg( z1 z) = Arg( z1) + Arg( z). z = r ( cos( q ) + sin( q ) i ) og = ( cos( ) + sin( ) ) z r q q i, hvor r 1 = z 1 og q 1 = Arg( z1), og tilsvarende r = z og q = Arg( z). Ved multiplikation får vi således ( cos( q ) + sin( q ) i) ( cos( q ) + sin( q ) i) z z = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) sin( q ) i sin( q )cos( q ) i sin( q1)sin ( q) i ) z z = r r ( cos( q ) cos( q ) cos( q ) sin( q ) i+ sin( q )cos( q ) i sin( q )sin( q )) (( cos( ) cos( ) sin( ) sin ( )) ( cos( ) sin( ) sin( )cos( )) ) z z = r r + - z z = r r q q - q q + q q + q q i ved brug af de to additionsformler for de trigonometriske funktioner: cos( q + q ) = cos( q ) cos( q )- sin( q ) sin( q ) følger det nu at sin( q + q ) = cos( q ) sin( q ) + sin( q ) cos( q ) ( cos( + ) + sin( + ) ) z z = r r q q q q i Nu er z1 zskrevet på polær form, og det fremgår at z1 z = r1 r = z1 z og Arg( z z ) = q + q =Arg( z ) + Arg( z ) q i Øvelse 9 Et komplekst tal er givet ved z = e = cos( q) + sin( q) i, dvs. z har modulus 1, z = 1. j Et andet komplekst tal er givet ved e i w= w = w (cos( j) + sin( j) i ). a) Tegn en skitse, der viser de punkter i den komplekse talplan, som repræsenterer de tre komplekse tal z, w og z w. b) Formuler på baggrund af skitsen en påstand om, hvilken sammenhæng der er mellem de to komplekse tal w og z w, når z har modulus 1. 4 Øvelse 10 To komplekse tal er givet ved z1 = 3+ i og z = e. 4 a) Benyt resultatet af øvelsen ovenfor til at bestemme de to komplekse tal, der π fremkommer ved at dreje hhv. z 1 og z vinklen omkring O. 3 π i Sætning 5 For to komplekse tal z 1 og z gælder der, at z z z æz ö Arg ç = Arg -Arg = og ( 1) ( ) z ç z z z çè ø Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 7 af 17

33 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Øvelse 11 Bevis sætning 5 ved at anvende sætning 4 på ligningen: z z = z1. z1 Øvelse 1 To komplekse tal er givet ved z1=-- 4 i og z = 1-7 i. a) Bestem modulus og argument for z 1 og z, og angiv z 1 og z på polær form. z1 b) Angiv ved anvendelse af sætning 4 og sætning 5 z1 z og z z1 c) Tegn de fire komplekse tal z 1, z, z1 z og z To komplekse tal er givet ved z1 = x1+ y1i og z = x + yi. på polær form. ind i et koordinatsystem. z1 d) Giv en geometriske beskrivelse af, hvordan de to komplekse tal z1 z og z fremkommer af z 1 og z. Sætning 6 For et komplekst tal z gælder der, at n z = z n n og Arg( ) = Arg( ) z n z, hvor n er et helt tal. Bevis: Beviset er et induktionsbevis, som bygger på at en bestemt egenskab går i arv fra et tal i rækken til det næste tal i rækken. Denne bevistype anvendes ofte, når man skal vise, at en bestemt formel gælder for alle naturlige tal 1,, 3, 4,... Vi sikrer os allerførst, at det første tal i rækken er bærer af egenskaben, dvs. at vores formler giver mening for det første tal i rækken, som er n = 1. Når n = 1, så får vi z = z = z og Arg( ) = Arg( ) = 1 Arg( ) z z z, dvs. formlen gælder for n = 1. Fortsætter vi til det næste tal i rækken n = z z = z z = z og Arg( z ) Arg( z) Arg( z) Arg( z) = + =,, så får vi altså gælder sætningen også for n =. Dvs. det første (og det andet) tal i rækken er bærer af egenskaben. Sådan kunne vi fortsætte, hvis talrækken var begrænset, men her skal vi jo vise, at formlerne gælder for alle hele tal. Derfor laver man det lille trick, at man antager, at et tilfældigt tal i rækken er bærer af egenskaben, og derefter viser man så, at det efterfølgende tal bliver bærer af egenskaben, og dermed har man jo vist at alle tallene i rækken er bærer af egenskaben. Vi antager derfor nu, at det m te tal i rækken er bærer af egenskaben, dvs. at formlen gælder for n= m m z = z m m og Arg( ) = Arg( ) z m z. Vi vil nu vise, at så bliver det næste tal i rækken n= m+ 1 også bærer af egenskaben, dvs. så vil formlerne også gælde for n= m + 1 m z = z m 1 og Arg ( m+ ) = ( + 1) Arg( ) z m z. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 8 af 17

34 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Ved brug af potensregnereglerne og sætning 4 samt antagelsen om, at sætningen gælder for n= m, får vi og m 1 m m m m+1 z + = z z = z z = z z = z Arg m ( + 1 m z ) = Arg( z z) m = Arg( z ) + Arg( z) ( ) Arg( ) ( z) = m Arg z + z = ( m+ 1) Arg. Vi har nu vist, at tallet n= m + 1 er bærer af egenskaben, netop hvis tallet før n= m er bærer af egenskaben altså hvis et tal i rækken er bærer, så arver det næste tal i rækken egenskaben! Men vi ved jo, at n = 1 er bærer, altså er alle de efterfølgende tal i rækken også bærere! Hermed er induktionsbeviset fuldført. Vi kan altså ifølge sætning 6 skrive det komplekse tal hvor q = Arg( z). n ( cos( ) sin( ) ) n z = z n q + n q i, n z på formen 6 Eksempel 3 Et komplekst tal er givet ved z = 1,1 e p i. Im n Så kan tallene z, hvor n = 1,...,0, afbildes i den komplekse talplan som vist på figuren. Ved omskrivning får vi nemlig p p i n i n 6 n n 6 z = (1,1 e ) = 1,1 e n n p p z = 1,1 (cos( n ) + sin( n ) i ). 6 6 i Re n n Da z = 1,1> 1, så vil z = z = 1,1 blive n større og større, når n gennemløber n = 1,...,0, og tilsvarende vil Arg n ( ) = Arg( ) z n z blive større og større, når n gennemløber n = 1,...,0. 4 Øvelse 13 Et komplekst tal er givet ved z =,3 e p i. n a) Tegn punkterne der repræsenterer de komplekse tal z, n= 1,...,0 i den komplekse talplan. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 9 af 17

35 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Ligningen z n = a Inden vi går i gang med andengradsligningen, vil vi først se på n te-gradsligningen den simple andengradsligning z = a, hvor a er et komplekst tal. n z = a, og derefter på Sætning 7 Bevis: Ligningen n z hvor q = ( a) = a, hvor a er et komplekst tal, har løsningerne q pp q pp ( i n n n n ) z= n a cos( + ) + sin( + ), p= 0,1,,..., n-1, Arg. Vi finder først modulus af z. Ifølge sætning 6 gælder n z og da z n = n = z, a får vi n z = z = a, n og dermed z = n a. Herefter finder vi argumentet for z. Ifølge sætning 6 gælder der, at dvs. n ( z ) n ( z) ( a) Arg = Arg = Arg, Arg( a) Arg ( z) =. n Som tidligere nævnt repræsenterer (, ) r q og ( r, q+ p ) samme komplekse tal. Da argumentet for a er θ, så vil ( r, q+ p ) helt tal, også være argument for a Arg a = q+ p p, pîz ( ) og dermed n Arg z = q+ p p, pîz ( ) og ved division med n får vi q p Arg( z) = + p, p ÎZ. n n Bemærk, at dette giver forskellige vinkler for p= 0,1,,... n- 1. p, hvor p er et helt tal, det n Derfor kan løsningerne til ligningen z = a skrives som n q pp q pp z= a cos( + ) + sin( + ) i, p= 0,1,,..., n-1. ( n n n n ) p, hvor p er et n Af løsningsformlen til ligningen z = a ser vi, at alle løsninger har samme modulus. Har man fundet løsningen for p = 0 og afsat den i den komplekse plan, finder vi blot den næste løsning ved at dreje den første løsning vinklen p omkring O. De n løsninger vil altså ligge som hjørner i en regulær n-kant med n centrum i O. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 10 af 17

36 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Man bruger ofte symbolet n a for en vilkårlig af de n løsninger i ligningen ligning, vælger man så n a til at være én bestemt løsning. n z = a. Når man løser en konkret Eksempel 4 Vi vil løse ligningen z 5 = 3. Modulus af z er givet ved z = 5 3 =. Argumentet af z er 0, da 3 ligger på den positive del af den reelle akse. Argumenterne for de 5 løsninger er så p Arg( z ) = 0 + p = 0, p = 0,1,,3, 4. 5 Altså er argumenterne til løsningerne Løsningerne til ligningen 5 z = , p, p, p og p bliver derfor = 1= p i = p i 3 = p i 4 = p i z, z e, z e, z e og z e. De 5 løsninger er illustreret på figuren nedenfor. Im z1 e i 5 z e 4 i 5 i 1 z0 Re z3 e 6 i 5 z4 e 8 i 5 5 Løsninger til ligningen z 3 Ligningen kan også let løses ved hjælp af et CAS-værktøj (her TI-Interactive): 5 csolve( z 3, z) = z= z= z= z= z= 1,5664 i -1,5664 i,5137 i -,5137 i e or e or e or e or. Bemærk at CAS-programmet angiver hovedargumentet for de komplekse tal, dvs. det argument der ligger i intervallet ] π; π] -. Fx er hovedargumentet for z = e 5 6 p i 4 lig med - p»-, Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 11 af 17

37 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Ligningen z = a Inden vi går i gang med den generelle andengradsligning, vil vi først se på den simple andengradsligning, z = a. Sætning 8 Andengradsligningen z = a har løsningerne q q z= a (cos( ) + sin( ) i ) hvor a er modulus af a, og ( a) Arg = q. Bevis: Af sætning 7 ses, at ligningen z = a har rødderne q q = ( cos( ) + sin( ) i ) og z = a ( cos( + ) + sin( + ) ) z a q q 0 p p i. 1 q q cos( + p) =- cos( ) og sin( + p) =- sin( ) ifølge enhedscirklen, gælder der, at q q Da q q q q ( cos( ) sin( ) i) ( cos( ) sin( ) i ) z = a - - =- a + dvs. z1 =- z0. Altså har ligningen 1 z = a løsningerne ( ) q q z = a cos( ) + sin( ) i. Vi vil nu definere, hvad der skal forstås ved kvadratroden af et komplekst tal: Definition 5 Kvadratroden af et komplekst tal a er givet ved hvor q = Arg( a). ( ) q q a = a cos( ) + sin( ) i, Med denne definition kunne vi formulere sætning 8 således: Andengradsligningen z = a har rødderne a. Vi vil se på beregningen af kvadratrødder i nogle eksempler. Eksempel 5 Vi vil løse ligningen z = 4. Tallet a = 4 er jo et reelt tal, som ligger på den positive del af den reelle talakse. Derfor er argumentet for a : q =Arg( a) = 0, og modulus af a : a = = 4. Heraf følger, at q = 0 og a =, og dermed bliver løsningerne til ligningen som ventet z = (cos(0) + sin(0) i ) =. z = 4 Ved at erstatte tallet 4 i eksemplet ovenfor med et vilkårligt reelt tal a, hvor a ³ 0 a har samme betydning inde for de reelle tal og de komplekse tal, når altså blot a ³ 0., kan vi se, at symbolet Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 1 af 17

38 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Eksempel 6 Vi vil løse ligningen z =- 1. Tallet a =- 1 er et reelt tal, som ligger på den negative reelle akse. Modulus af a er: q p a =1, og argumentet for a er: Arg( a ) = θ = π. Dermed er a = 1, og =. Løsninger til ligningen z =-1bliver således = 1(cos( ) + sin( ) i) = i. p p z p p Ved brug af definitionen ovenfor får vi: - 1= 1(cos( ) + sin( ) i) = i. Vi ser altså, at det stemmer overens med det valg, vi foretog ved indførelsen af de komplekse tal. Øvelse 14 Vis ved at generalisere ud fra eksemplet ovenfor, at hvis a ³ 0, så er - a = a i. Eksempel 7 Vi vil løse ligningen Her er 13 3,60555 z = -3i. a = = og = ( ) Løsningerne bliver derfor eller q q Arg a =-0,9879, dvs. 0,49140 =-. z = 3,60555 (cos( - 0,49140) + sin( -0,49140) i) z = ( 1, ,89598 i ). Vi har nu set tre eksempler på beregning af kvadratrødder af komplekse tal. Man kan ifølge definition 5 uddrage kvadratroden af alle komplekse tal, mens man indenfor de reelle tal kun kan uddrage kvadratroden af et tal, som er større end eller lig med nul. Inden for de reelle tal gælder forskellige regneregler for rødder, som fx ab = a b. Disse regneregler gælder ikke altid inden for de komplekse tal. Øvelse 15 Sæt a= b=- 1 og vis, at brug af regnereglen ab = a b kan føre til en modstrid. Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 13 af 17

39 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Andengradsligningen az + bz + c = 0 Sætning 9 Andengradsligningen az bz c + + = 0, a 0, har løsningerne hvor d b 4ac = -. -b d z =, a Bevis: Da a 0, kan vi omskrive andengradsligningen som følger: az bz c + + =0 + + = Ganger med 4a 4a z 4abz 4ac 0 az + abz+ b = b- ac Lægger ( ) 4 b til og trækker 4ac fra på begge sider az + b = b - ac Anvender kvadratsætning på venstre side Nu kalder vi det, der står på venstre side af lighedstegnet for y og det, der står på højre side for d, og får så ligningen y = d. Denne ligning har ifølge sætning 8 løsningen q q y= d (cos( ) + sin( ) i ), hvor q er et argument for d. q q Da netop d = d (cos( ) + sin( ) i ), får vi y= d, og dermed for y= az+ b: az + b = d -b z = a d Trækker b fra og dividerer med a på begge sider Vi får altså, at løsningsformlen får det samme udseende som for reelle tal. Eksempel 8 Vi vil løse ligningen Ligningen har diskriminanten z + (1-5 i) z-8-4i = 0. d = (1-5 i) -4 1 ( -8-4 i) = 8 + 6i. Vi får så modulus af d til 8 6 de to ligninger cos( q ) = og sin( q ) = Løsningen er q = 0,64350 q = 0,3175. d = = 10, og vi finder argumentet q for d ud fra og dermed er Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 14 af 17

40 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Nu kan vi beregne kvadratroden af d ved d = 10(cos(0,3175) + sin(0,3175) i) = 3+ i, og endelig kan vi beregne løsningerne til -(1-5 i) (3 + i) ì 1+ 3 z ï i = =í 1 ïî ï - + i. Ligningen kan også løses med et CAS-værktøj (her TI-Interactive): csolve( z + (1-5 i) z-8-4 i= 0, z) z= 1+ 3 i or z=- + i. Andengradsligninger med reelle koefficienter Sætning 10 Hvis a, b og c er reelle tal, og d < 0, så er de to rødder i andengradsligningen az bz c hinandens konjugerede. + + = 0, hvor a 0, Bevis: Fra øvelse 14 ved vi, at a = a i, hvor a er et reelt tal. Her er d et reelt negativt tal, dvs. modulus af d er: d Vi får nu d = -d i= d i. b d z =- 1 a + a i og b d z =- a - a i. =- d, og dermed er -b Da og a d a begge er reelle tal, er z = z 1 og omvendt z1 = z. Vi ser altså, at i det tilfælde, hvor en andengradsligning med reelle koefficienter ikke har nogen reelle rødder, vil der være to komplekse rødder, der er hinandens konjugerede. Eksempel 9 Vi vil løse andengradsligningen Ligningen har diskriminanten z z - z+ = 0. d = (-) -4 1 =- 4, dvs. d = d i= 4 i= i, og løsningerne bliver således z1 - i = = 1-i. + i = = 1+ i og Øvelse 16 Løs andengradsligningen talplan. z 1z =, og illustrér løsningerne i den komplekse Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 15 af 17

41 Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning En simpel anvendelse De komplekse tal har mange anvendelser bla. indenfor fysik (vekselstrøm), fraktaler mm. Det vil føre for vidt at komme ind på disse her. I stedet vil vi illustrere en simpel anvendelse indenfor plangeometrien. Eksempel 10 Betragt trekant ABC, hvor A(1,), B( - 3,4) og C(5, 6). Vi vil rotere denne trekant 33 omkring O til en ny trekant A1BC 1 1. Vi kan betragte trekanten i den komplekse talplan, hvor hjørnepunkterne repræsenterer de komplekse tal A = 1+ i, B =- 3+ 4i og C = 5+ 6i Da 33 = p= p= 0, radianer fremkommer den nye trekant ved at , i multiplicere tallene A, B og C med z = e = 0, , i. Vi gennemfører beregningerne i et CAS-program (her TI-Interactive!): A: = 1+ i:: B: = i:: C: = 5+ 6 i:: z: = e A1 : = A z i B1 : = B z i C : = C z i p i 180 Dvs. hjørnepunkterne i den nye trekant (se figur) repræsenter de tre komplekse tal A = i B = i C = i Im C 1 B C B 1 A 33 1 O i 1 A Re Ved at betragte trekanten i den komplekse talplan kan vi ligeledes let finde er række størrelser og punkter i trekanten: Midtpunktet af siden AB: Tyngdepunktet for trekant ABC: A+ B 1+ i + ( i) = =- 1+ 3i A+ B+ C (1+ ) i + (- 3+ 4) i + (5+ 6) i 3+ 1i = = = 1+ 4i Forsøg med digitale eksamensopgaver i stx-a-matematik side 16 af 17