Fagprojekter 2013 MATEMATIK OG TEKNOLOGI

Transkript

1 MATEMATIK OG TEKNOLOGI Fagprojekter 2013 Indhold Constructive Solid Geometry with quadrics (cones, cylinders, spheres, ellipsoids, paraboloids, hyperboloids)... 2 Undersøgelse af hjertefunktionen ved hjælp af matematisk analyse af medicinske MR billeder i 4D(3D+tid)... 2 Fejlophobning i simple eksempler fra landmålingen... 3 Analyse af globale SSH-data... 3 Modellering af sociale netværksystemer... 4 Domain of Attraction and Stability... 5 Hvad er formen på et Möbiusbånd?... 5 Et geometrisk optimeringsproblem - bioinformatik og machine learning... 5 Mapping spatial variation of allele frequencies... 6 Forbedrede overflademodeller vha. linje-matching... 7 Seamline i ortofotos... 7 Sublim teksturering af 3D-modeller... 8 AES... 8 SmartGrid - Hvordan holder vi varmen?... 9 Lyden af en tromme... 9 Tomografi: 3D-rekonstruktion med AIR Tools... 9 Opdateret

2 Constructive Solid Geometry with quadrics (cones, cylinders, spheres, ellipsoids, paraboloids, hyperboloids) Modelling natural or artificial 3D objects by decomposing them into basic geometric objects (nondegenerate quadrics) and them constructing the 3D object by assembling the "pieces" together by gluing/morphing/blending is of great interest for Computer Aided Manufacturing. The algorithm uses a tree for the decomposition/construction of these 3D objects from quadrics by gluing/morphing/blending. Kontakt: François Anton, DTU Space, fa@space.dtu.dk Undersøgelse af hjertefunktionen ved hjælp af matematisk analyse af medicinske MR billeder i 4D(3D+tid) Ved hjælp af 4D (3D + tid) anatomiske billeder af hjerter, skal I bygge en matematisk model for venstre hjertekammer (left ventricle: LV) i et slående hjerte. Dette kan gøres ved at segmentere (finde) hjertemusklen i billederne, og I vil skulle arbejde med medical image registration, som er en moderne metode til matematisk analyse af medicinske billeder. Figuren nedenfor viser en 3D model, og vi sigter efter at konstruere en tilsvarende tidsvarierende model der kan illustrere det slående hjerte. Eksempel på model bygget fra 3D MR billeder af et hjerte. Modellen skal bruges til at diagnosticere patienterne på de analyserede billeder. De primære årsager til ændringer i LV volumen og masse er 1) åreforkalkning, 2) utætte hjerteklapper, 3) forhøjet blodtryk og 4) en infektion i muskulaturen (kardiomyopati). Alle fire sygdomme ændrer LV's muskelmasse og blodvolumen, men på forskellig måde. I kan også kigge på tykkelsen af hjertevæggen, hvilket er et indirekte mål for hjertets evne til at trække sig sammen. De målte data består typisk af tidsvarierende slices (billeder), som kan stables til et tidsvariende 3D-billede, som dækker hele LV. Hvert slice afbilder en hel hjertecyklus (typisk inddelt i frames) og optages i et separat breath-hold (dvs. patienten holder vejret mens billedet tages). Da patienten typisk ikke er i stand til at holde vejret samme sted i de forskellige optagelser, skal der korrigeres for forskydninger mellem de enkelte slices ved hjælp billedregistrering. 2

3 Herunder er eksempel på en slice over tid (3D billeder består af en stak slices) fra data, som dem I skal arbejde med. Det ses, at hjertets volumen ændrer sig over tiden i takt med hjertets cyklus. Kontakt: Professor Rasmus Larsen og ph.d.-studerende Michael Sass Hansen, DTU Compute Kontaktpersons hjemmeside: Kontaktpersons rl@imm.dtu.dk, msh@imm.dtu.dk Link til mere information: Projektet udføres i samarbejde med Glostrup Hospital. Semi-variogram estimation og kriging Estimation af traditionelle geostatistiske mål for autokovarians i spatielle data kan foretages ved hjælp af forskellige former for semi-variogrammer. Disse kan så anvendes i kriging, som er en spatiel interpolationsmetode, der kan anvendes på geografiske eller andre spatielle data. Disse metoder studeres og implementeres i f.eks. Matlab eller C. Kontakt: Allan Aasbjerg Nielsen, DTU Space, aa@space.dtu.dk Hjemmeside: Fejlophobning i simple eksempler fra landmålingen Uundgåelige usikkerheder på målte størrelser (afstande, vinkler, etc.) giver anledning til usikkerheder på størrelser (koordinater, arealer, etc.), der er beregnet på basis af de målte størrelser. Disse og relaterede forhold (såkaldte grovfejlsgrænser for accept/ikke-accept af de indgående målinger) studeres i simple eksempler fra landmålingen. Der foretages implementering i f.eks. Matlab af udvalgte eksempler. Kontakt: Allan Aasbjerg Nielsen, DTU Space, aa@space.dtu.dk Hjemmeside: Analyse af globale SSH-data SSH er et akronym for sea surface height. Forskellige satellitter har siden 1992 foretaget målinger af den globale havoverfladehøjde. Denne er en betydelig klimaparameter, og dynamik/store forandringer over tid og sted er derfor interessante. Forskellige ofte egenværdibaserede metoder implementeres og anvendes på disse data, og resultaterne tolkes. Kontakt: Allan Aasbjerg Nielsen, DTU Space, aa@space.dtu.dk Hjemmeside: 3

4 Modellering af sociale netværksystemer Det er i stigende grad populært at benytte sig af moderne systemer som Facebook, LinkedIn og Orkut, når man skal administrere og vedligeholde sit sociale og professionelle netværk. Disse systemer er alle baseret på at rettighederne til at læse og skrive i private datarum distribueres og deles i hidtil uset omfang. Som udbyder af sådan et system vinder man fordel ved at give brugerne flere muligheder, mens de sikkerhedsmæssige, funktionelle og, i sidste ende, sociale konsekvenser af en sådan eskalering er meget svære at forstå. I dette projekt skal de studerende prøve at bruge moderne teknikker indenfor datalogisk modellering som et redskab til at modellere disse systemer, og begynde at afklare mulige konsekvenser. Gruppestørrelse: Maks. 6 personer Kontakt: Christian W. Probst, DTU Compute, probst@imm.dtu.dk Modellering af en jernbanevogns køredynamik 1. Projektets formål Projektets formål er 1. at opstille en matematisk model af en fire-akslet jernbanevogn til brug for dynamiske undersøgelser og formulere det dynamiske system, som beskriver jernbanevognens kørsel på et givet spor. Alle de nødvendige data for jernbanevognen foreligger. 2. at implementere modellen i MATLAB og teste den. 2. Baggrund for projektet Nu om dage vinder jernbanerne markedsandele, fordi de kan transportere mange personer og store laster hurtigt, sikkert og med forholdsvis små miljøpåvirkninger. For at være konkurrencedygtige skal jernbanerne levere et billigt og pålideligt produkt i samarbejde med de øvrige transportformer. Udfordringerne tvinger jernbanerne til i samarbejde med industrien at tage store skridt fremad i den teknologiske udvikling for at forbedre infrastrukturen og det rullende materiel (lokomotiver og vogne). Jernbanernes teknologiske udvikling har i over 150 år traditionelt været præget af empiriske forbedringer, som fandt sted i små skridt for ikke at kompromittere sikkerheden. De store teknologiske skridt fremad ind i ukendt territorium f.eks. i forbindelse med bygningen af højhastighedstog blev muliggjort af erkendelsen af den ikke-lineære dynamiks betydning og hurtige udvikling i slutningen af det tyvende århundrede i sammenhæng med computernes anvendelse til analyse af komplicerede matematiske problemer i flere dimensioner. Jernbanekøretøjernes dynamik modelleres som mekaniske flerlegeme-problemer og formuleres matematisk som dynamiske systemer. Hertil kommer kinematiske begrænsninger, som bevirker at beregningen af bevægelsen og kræfterne ikke kan formuleres alene ved hjælp af differentialligninger. 4

5 3. Faglige forudsætninger Mekanikkens bevægelsesligninger svarende til Fysik 1 eller Mekanik og fysisk modellering, sædvanlige differentialligninger, grundlæggende numerisk analyse og kendskab til MATLAB. Kontakt: Adjunkt Allan Engsig-Krarup, apek@imm.dtu.dk Emeritus Hans True, ht@imm.dtu.dk Domain of Attraction and Stability When we switch on our computer, when an earthquake hits a bridge, or when we run an algorithm we always want that, after a certain time, the computer is in a well-defined state, the bridge is still standing and comes to rest, and that the algorithm produced the solution we were looking for. A mathematical problem related to this desirable behaviour is the computation of the set of initial states of some system, for which the system will assume a target state after some time; the so-called domain of attraction of the target state. In this project we will experiment with algorithms for the computation of the domain of attraction and explore related questions on stability, bifurcations and chaos. Number of Students: up to 2 Contact: Christian Henriksen, DTU Compute, Christian.Henriksen@mat.dtu.dk Hvad er formen på et Möbiusbånd? Tag en papirstrimmel, drej den 180 grader, og lim enderne sammen. Du har nu lavet et Möbiusbånd; men kan formen beskrives matematisk? Formen er bestemt ved, at bøjningsenergien er minimal, og selvom ingen kender den nøjagtige form, kan man finde en tilnærmelse ved hjælp af differentialgeometri og optimering. Det er nødvendigt at tage samtidigt. Kontakt: Jens Gravesen, J.Gravesen@mat.dtu.dk, DTU Compute Steen Markvorsen, S.Markvorsen@mat.dtu.dk, DTU Compute Et geometrisk optimeringsproblem - bioinformatik og machine learning Proteiner er lange kædemolekyler, som folder op til komplicerede og flotte strukturer, før de varetager de fleste funktioner i alle levende organismer. 5

6 Det nok største åbne beregningsproblem i strukturel biologi er at forudsige, hvordan et protein folder, givet at man kender dets aminosyresekvens - for det er overvejende proteinets 3dstruktur, som bestemmer dets biologiske funktion. Forudsigelse af proteiners 3d-struktur deles ofte op i to trin. Første trin går ud på for en given aminosyresekvens at generere en masse modeller for, hvordan det kunne være foldet. Andet trin er at lave en energifunktion eller anden scoreingsfunktion, som kan finde den bedste model. Dvs. man ønsker, at det korrekt, foldede protein skal ligge i et energiminimum. Projektet omhandler kun anden del og går ud på for hvert par af aminosyrer at lave et såkaldt par-potentiale, som modelleres frit som en spline-funktion. Herefter optimeres disse parpotentialer til at en masse forskelligt foldede proteiner hver ligger i sit energi-minimum. Projektet starter med en indføring i spline-funktioner og programmeres i MatLab. Projektet er passende for en gruppe på 2-3 personer. Kontakt: Peter Røgen, DTU Compute, Peter.Roegen@mat.dtu.dk Mapping spatial variation of allele frequencies DNA sequences harbored by living individuals display differences caused by genetic mutation. Monitoring such genetic variation in space is an important aspect of statistical genetics as it may be an aid e.g. to understand genetic causes of human diseases or to implement conservation genetics strategies of threaten animal or plant species. Statistical methods to monitor such spatial variations have relied so far either on clustering models that assumes some kind of "discrete structure" or on simple models assuming smooth and most importantly homogeneous genetic variation in space. While these methods have enabled to make important progress in the last ten years, they both failed to capture smooth heterogenities in the spatial distribution of alleles in space. The goal of the present project is to assess the performances of a new method that alleviates the previous issue. The method relies on a statistical model and an estimation algorithm already implemented in an unofficial R package. The project will consist in producing genetic data by simulation and analyze them with the above mentioned package. The computer work should be carried out with the R program under Linux. This project does not require any particular knowledge in biology and would be best suited to MatTek students with a good background in statistics and a genuine interest for computer programming and genetics. Contact: Associate Professor Gilles Guillot Mathematical Statistics section DTU Compute gigu@imm.dtu.dk See also 6

7 Forbedrede overflademodeller vha. linje-matching 3D-modeller af virkelige objekter bliver oftere og oftere lavet via optiske metoder, fx vha. laserscannere, strukturerede lysscannere og stereo. Ud over visualisering og som del af virtuelle miljøer såsom spil bliver disse modeller også brugt til kvalitetskontrol, produktionsstyring samt 3D-printning. Den optiske estimation af disse 3D-modeller vælges ofte, da det er billigt, nemt og effektivt. Dog har den oftest et problem med ikke at afrunde skarpe kanter. Disse kanter kan dog oftest ses i billeder som linjer. Derfor går dette projekt ud på med udgangspunkt i én struktureret lysscanner at 1. finde linjer i billederne, fx vha. Canny Edge detector 2. registrere disse linijer til hindanden - her skal det bemærkes, at har man en relativt god model fra den strukturerede lysscanner, har man et godt gæt 3. finde 3D-positionen af disse linjer 4. forbedre 3D-scannet vha. af disse linjer ved at ændre på den estimerede overflade Forudsætning: Indledende billedanalyse Kontakt: Henrik Aanæs, DTU Compute, haa@imm.dtu.dk Seamline i ortofotos Når to luftfotos skal sættes sammen fx til at producere satelite view-billeder i Google maps, skal en såkaldt seamline estimeres. Dette er den linje, hvor man syr bilederne sammen og som sådan skærer billederne op. Det er dog ikke ligegyldigt, hvor denne seamline ligger, da der kan være små uoverensstemmelser mellem billederne, fx ændrede skygger og objekter, der er i det ene billede, men ikke i det andet. Et eksempel på et sådant objekt er et tog, der kører, og som sådan vil have flyttet sig, mellem de to billeder blev taget. Man ønsker derfor, at disse seamlines bliver lagt der, hvor billederne er mest ens, som er det denne opgave går ud på. Konkret skal du med udgangspunkt i registrerede flyfotografier: 1. finde de steder, billederne er ens og forskellige - dette har Allan en metode (og matlabkode) til, som baserer sig på test i en Chi i anden fordeling 2. opstille en objektfunktion - dvs. matematisk godhedsmål for seamline i disse bileder 3. finde den optimale seamline vha. denne objektfunktion via optimering - oplagte algoritmer til dette er dynamisk programmering eller graph-cut-algoritmer 4. evaluere resultaterne og evt. gå tilbage til 2 5. udvide ovestående til at køre i skalarum, således at man først finder en løsning på et meget nedsamplet billede og så aggregerer denne løsning til mindre og mindre nedsamplede billeder. Dette burde få optimeringen til at gå hurtigere samt give bedre løsninger. Forudsætning: Indledende billedanalyse Kontakt: Henrik Aanæs, DTU Compute, haa@imm.dtu.dk 7

8 Allan Aasbjerg Nielsen, DTU Space, Sublim teksturering af 3D-modeller I dag kan vi simulere 3D-modeller, der er så gode, at det er endog meget svært at se, det ikke er virkelighed. Dette er noget, vi fx kan gøre vha. programmer som Maja eller 3D-studio max. Samtidig er det blevet utrolig nemt at estimere 3D-geometrien af eksisterende objekter. Således kunne man tro, at vi utrolig nemt kunne lave online-visualiseringer af virkelige objekter i stedet for at modellere dem op i hånden, som vi gør i dag. En væsentlig hindring er, at der ikke findes ligefremme måder at få den rigtige tekstur (radiometriske egenskaber) af til modellerne. I dette projekt skal du løse dette problem: 1. Estimere radiometriske egenskaber af materialer -dette har vi en enestående laboratorierobot, som kan gøre det mere eller mindre automatisk. Dette vil typisk være i form af noget, som hedder en BRDF 2. Disse BRDF-målinger skal på bedst mulige måde oversættes til de interne formater i fx 3Dstudio max eller Maja. Dette vil i praksis sige funktionsestimereing. 3. På basis af ovenstående rendre simulere grafisk 3D-modeller i 3D-studio max eller Maja. 4. Evaluere resultaterne og evt. gå tilbage til 2. Forudsætning: Indledende billedanalyse It/programeringsfærdigheder, der gør, man kan lave løsninger til Maja/3D-studio max Kontakt: Henrik Aanæs, DTU Compute, haa@imm.dtu.dk Anders Dahl, DTU Compute, abd@imm.dtu.dk Jeppe Revall Frisvad, DTU Compute, jrf@imm.dtu.dk Find Holger ved hjælp af billedanalyse Maksimal gruppestørrelse: 4 Ud fra metoder, der er lært i kursus 02501, skal man kunne finde Holger i en række indskannede billeder. Holger er høj og tynd, har briller, stok, rød/hvidstribet bluse og hue samt mørkeblå bukser. Kontaktpersons hjemmeside: Kontakt: Jens Michael Carstensen, DTU Compute, jmc@imm.dtu.dk Mere information: AES Background AES is an encryption standard from the US government. It is an iterated block cipher which runs in 10 rounds. The best known attack on AES is a simple exhaustive search for the key. Often you analyse block ciphers with a reduced number of rounds to get an idea of the ciphers security margin. The best known attack on reduced-round AES is based on integral analysis and can be used to break AES reduced to six rounds. 8

9 Project assignment The aim of this project is to study the AES algorithm, implement a variant with 4-bit words (as opposed to 8-bit words in the standard) and to implement an attack on a reduced-round version of this variant. Prerequisites Passed Cryptology 1 (01410) with good results. Contact: Lars Ramkilde Knudsen, DTU Compute, Lars.R.Knudsen@mat.dtu.dk SmartGrid - Hvordan holder vi varmen? En af udfordringerne ved mere vindkraft i Danmark er, at der bliver større udsving i elproduktionen. En måde at styre det på er ved at styre forbruget. Varmepumper i private huse bliver mere og mere almindelige, og en stor del af en families elforbrug går den vej. Spørgsmålet er, hvor meget et hus med varmepumpe kan bruges til at regulere elforbruget og dermed stabilisere elnettet. Det er særlig interessant, hvor længe man kan slukke for varmepumpen, mens forbruget er højt og samtidig have en nogenlunde komfort. Og hvor mange penge skal der på spil, før det er interessant at investere i? Her kan I se en lille film om SmartGrid. Kontakt: Lasse Engbo Christiansen, DTU Compute, lec@imm.dtu.dk Lyden af en tromme Maksimal gruppestørrelse: 3 Kort beskrivelse: Lyden af en tromme afhænger af dens form. Den matematiske beskrivelse af trommens lyd ligger i egenværdierne og -funktionerne til Laplace-operatoren. I dette projekt udvikles en model til bestemmelse af spektret for Laplace-operatoren ved brug af såkaldte B- spline-funktioner. Ved hjælp af modellen kan lyden af forskellige trommer analyseres. Forudsætninger: Et vist kendskab til programmering for eksempelvis i MATLAB vil være en fordel. Kontaktpersons hjemmeside: Kontaktpersons Jens Gravesen: J.Gravesen@mat.dtu.dk og Peter Nørtoft: P.N.Nielsen@mat.dtu.dk, DTU Compute Tomografi: 3D-rekonstruktion med AIR Tools Tomografi er en uvurderlig måleteknik, som tillader 2D og 3D rekonstruktion af et objekts indre ud fra målinger foretaget uden for objektet og som bl.a. finder anvendelse i medicinske anvendelser og i undersøgelser af materialer. I den typiske anvendelse sendes Røntgenstråler gennem objektet, og ud fra målinger af dæmpningen af disse stråler kan vi beregne de forskellige 9

10 områder med forskellige materialeparametre der gav anledning til dæmpningen. Dette minder en smule om princippet i sudoku (se figuren). Med uendelig mange stråler kan man opnå perfekt rekonstruktion; men det er fascinerende, hvor gode rekonstruktioner man kan lave med forholdsvis få stråler. Teknikken, der bl.a. kendes som CT-scanning (CT = computed tomography), bruger ofte en hurtig beregningsalgoritme kaldet invers Radon-transformation baseret på Fouriertransformation; denne metode findes i MATLABs Image Processing Toolbox i funktionen iradon. Metoden har imidlertid en række begrænsninger, og andre beregningsmetoder er derfor også relevante bl.a. metoder baseret på en matrix-formulering af problemet, kendt som Algebraisk Iterative Rekonstruktions-metoder. En række af disse metoder er implementeret i MATLAB-programpakken AIR Tools. Formålet med dette projekt er at forstå matematikken og algoritmerne bag tomografi og AIRmetoderne og eksperimentere med, hvor gode rekonstruktioner man kan opnå med et begrænset antal stråler og under indflydelse af støj på de målte data. Målet er ikke at lave medicinsk diagnose eller andre konkrete anvendelser men at forstå den matematiske modellering og nogle af de beregningsmetoder, der ligger bag moderne tomografisk rekonstruktion. Fagprojektet har til formål at indøve selvstændigt arbejde med en større opgave relateret til matematik. Arbejdet vil derfor primært foregå ved selvstændigt arbejde, gerne i flere grupper som kan sparre og coache hinanden. Undertegnede skal opfattes som rekvirent af en grundig og kritisk analyse af, hvorledes rekonstruktionens kvalitet afhænger af mængden af data på basis af MATLAB-simuleringer ved brug af AIR Tools. Projektet kan lede op til videre arbejde med billedrekonstruktion og/eller scientific computing. Forudsætninger: 02601, og gerne Litteratur: P. C. Hansen & M. Saxild-Hansen, AIR Tools - A MATLAB Package of Algebraic Iterative Reconstruction Methods, J. Comp. Appl. Math., 236 (2011), pp ; doi: /j.cam.s J. L. Mueller & S. Siltanen, Linear and Nonliner Inverse Problems with Practical Applications, SIAM, Philadelphia, Manual til AIR Tools: Vejledere: Professor Per Christian Hansen og postdoc Martin Andersen, DTU Compute, sektionen for Scientific Computing. 10