P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering."

Transkript

1 P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet er kombinatorik: grafteori og optimering. Ordet kombinatorik har omtrent samme betydning som udtrykket diskret matematik, der navnet på et af kurserne på 2. semester og den lærebog [1] vi bruger i kurset. Kombinatorik er en gren af matematikken hvor man studerer endelige strukturer eller strukturer, der er næsten endelige. Udtrykket kombinatorik bruges ofte i betydningen optælling af elementer i en endelig struktur. Men her bruges ordet altså i en bredere betydning, der omfatter grafteori og kombinatorisk (eller diskret) optimering. En graf er i denne sammenhæng en endelig struktur, der består af et antal punkter (også kaldet knuder) og forbindelser mellem punkterne. Punkterne tegnes tit som små cirkler. Forbindelserne, der kaldes kanter, tegnes som kurver, der forbinder to punkter. Kanterne kan eventuelt have en orientering (retning). Se figur 1 og 2. Grafer kan benyttes i forbindelse med matematisk modellering af fysiske netværk som f.eks. elektriske netværk, vejnet, eller lign., men de benyttes også ved modellering af mere abstrakte relationer mellem objekter. Oprindelig sammensat af Leif K. Jørgensen 1

2 Figure 1: En ikke-orienteret graf På figur 3 vises f.eks. en graf hvor hvert punkt svarer til en mængde af tal. To punkter er forbundet med en kant hvis fællesmængden af de to tilhørende mængder er tom. Et andet eksempel er en graf, der beskriver relationer mellem et antal personer. Her vil hvert punkt svare til en person og der er en kant mellem to personer, der kender hinanden. Veje og kredse er begreber der ofte bruges i studiet af grafer. En vej fra et punkt A til et punkt B består af en række kanter som man kan følge for at komme fra A til B. I en orienteret graf skal man naturligvis følge kanternes retning. Der kan desuden være krav om at hver kant kun bruges én gang eller at vejen ikke må gå gennem et punkt to gange. Den orienterede graf i figur 2 har f. eks. 4 veje fra A til B. En kreds er en vej der vender tilbage til det punkt hvor den startede altså B = A. Optimering handler om at bestemme maksimum eller minimum for en funktion. F.eks. kender I en metode til bestemmelse af maksimum og minimum for en differentiabel funktion f : R R. I kombinatorisk optimering skal vi finde maksimum eller minimum for en funktion f : S R, hvor S er en endelig (eller næsten endelig) mængde med en bestemt struktur. S kan f.eks. være mængden af veje fra A til B i en graf. Man er så interesseret i at finde den korteste vej fra A til B. I optimering beskæftiger man sig ofte med vægtede grafer. Det vil sige at hver kant har tilknyttet et tal (en vægt), som f.eks. kan angive længden af kanten. Længden af en vej vil så være summen af længder af de kanter, der gennemløbes. I optimering vil vi være interesserede i at finde systematisk fremgangmåde til at bestemme en optimal løsning. En sådan fremgangsmåde kaldes en 2

3 B A Figure 2: En orienteret graf {1, 2} {4,5} {3,4} {1, 5} {3, 5} {2, 4} {1, 3} {2, 3} {1, 4} {2, 5} Figure 3: Petersen grafen 3

4 algoritme. Når vi så har konstrueret en algoritme, der finder f.eks. korteste veje i en graf, så vil det være interessant at vide hvor mange udregninger, der kræves for at finde en optimal løsning. Antallet af udregninger vil blandt andet afhænge af grafens størrelse. En øvre grænse for antal udregninger kan altså angives som en funktion af antallet af punkter i grafen. Den funktion kaldes algoritmens kompleksitet. Hvis en algoritme bygger på afprøvning af alle muligheder f.eks. find alle veje fra A til B og bestem længden af hver af dem, så vil algoritmens kompleksitet måske være af størrelsesorden 2 n, hvor n er antal punkter i grafen. En sådan algoritme kan i praksis kun anvendes på små grafer. Men hvis man finder en algoritme, der har kompleksitet f.eks. n 2, så kan man også løse optimeringsproblemet for ret store grafer. Algoritmer og kompleksitet er altså vigtige begreber i forbindelse med optimering. På P2 skal I arbejde med projekter inden for grafteori og optimering. Matematik-økonomi studerende skal vælge et projektemne inden for optimering, som giver mulighed for at se på anvendelser i økonomi. Matematik studerende kan enten vælge et projektemne inden for optimering eller et emne som er et teoretisk studie af grafer og deres struktur. Projektarbejdet skal resultere i udarbejdelsen af en P2-rapport og en P2- procesanalyse. P2-rapporten skal behandle matematiske/matematik-økonomiske aspekter og kontekstuelle aspekter. I vejledes i disse emner af henholdvis hovedvejleder og bivejleder. I de følgende afsnit beskrives den matematik I kan arbejde med i projekterne. I dette projektkatalog giver vi dog kun løse beskrivelser af begreberne. Det overlades til jeres projektarbejde at give præcise matematiske definitioner. 2 Euler-kredse: ruter gennem alle kanter. Grafteori er en matematisk disciplin, der har fået sit store gennembrud i det tyvende århundrede. Der er dog også ældre problemstillinger i grafteori. Man kan sige at grafteori blev grundlagt i 1736 af den svejtsiske matematiker Leonhard Euler, der er en af de største matematikere gennem tiderne. 4

5 Euler havde hørt om et problem fra den østprøjsiske by Königsberg (Kaliningrad): Floden Pregel løber gennem Königsberg og deler byen i to flodbreder og to øer. Disse fire områder er forbundet med syv broer. Kan man gå en tur i byen sådan at man passerer over hver af de syv broer præcis én gang. Euler indså hurtigt at det kan man ikke. Han oversatte så problemet til et grafteoretisk problem: Kan man finde en rute (en vej) i en graf som går gennem hver kant præcis én gang. Dette problem løste han ved at give en karakterisation af de grafer, der har en sådan rute. Senere har man så opkaldt disse ruter efter Euler. Man kan tale om en Euler-kreds hvis ruten vender tilbage til start-punktet. Ellers taler man om en Euler-vej. Det er i dag et standard emne i grafteori-lærebøger at bevise Eulers karakterisation og at angive en algoritme der finder ruten. Hvis der ikke er en Euler-kreds i grafen så står man med et mere kompliceret problem: find en korteste rute som går gennem hver kant mindst én gang. Problemet studeres som regel i vægtede grafer hvor hver kant har en længde. Et postbud skal gå igennem alle gader i sit distrikt mindst én gang. Hvis han vil planlægge ruten så han går kortest muligt, så har han netop det ovenstående problem. Problemet kaldes derfor det kinesiske postbuds problem. Samme problemstilling opstår for skraldebilen, sneploven eller andre, der skal igennem alle gader. 3 Graffarvning: firefarve problemet. Et andet klassisk problem, der har givet anledning til teoretiske studier af grafer er det såkaldte firefarve problem. Firefarve problemet spørger om man kan farve landene i et vilkårligt landkort med fire forskellige farver sådan at to lande, der har en fælles grænse skal have forskellig farve. Lande der ikke grænser op til hinanden må gerne få samme farve. Ud fra et landkort kan vi konstruere to grafer, der begge er planare. At de er planare betyder at de kan tegnes i planen uden kanter der krydser hinanden. Den ene af disse grafer har grænserne som kanter og punkterne er de steder hvor tre eller flere lande mødes. Den anden graf har et punkt for hvert land med en kant mellem to punkter hvis de tilsvarende lande har en fælles grænse. Firefarve problemet kan nu formuleres som et grafteoretisk problem: kan 5

6 punkterne i en vilkårlig planar graf tildeles farver sådan at to punkter, der er forbundet med en kant, har forskellig farve. Dette problem har beskæftiget mange matematikere gennem det tyvende århundrede og i sidste halvdel af nittende århundrede. Deres arbejde har resulteret i mange delresultater. Men det endelige bevis for firefarve sætningen har gjort intensivt brug af computere til at analysere utallige tilfælde. Desuden bygger beviset på de mange tidligere delresultater. Sætningen blev første gang bevist i Et mere gennemarbejdet bevis kom i I 1976 var det helt nyt at man kunne bevise matematiske sætninger ved brug af computere. Beviset førte derfor til en debat om hvad man forstår ved et bevis: skal det f.eks. kunne læses af mennesker. Som eksempel på en sætning, der blev bevist tidligt uden brug af computer kan nævnes at landkort kan farves med to farver hvis og kun hvis grafen, der består af grænser, har en Euler-kreds. 4 Korteste veje. Et af de mest grundlæggende emner i kombinatorisk optimering er korteste vej problemet. Dette har en umiddelbar anvendelse i trafikken hvis man skal finde en korteste rute fra punkt A til punkt B. Men der mange andre anvendelser af korteste veje. F.eks. indgår problemet i løsningen af visse andre optimeringsproblemer, som f.eks. det kinesiske postbuds problem. I visse anvendelser vil længden af en kant altid være et positivt tal, men i andre anvendelser tillader man negative kant-længder. Der findes et stort antal algoritmer til bestemmelse af korteste veje. Hvilken algoritme, der er bedst egnet til en konkret anvendelse afhænger blandt af om der er kanter med negativ længde. 5 Lineær programmering. Lineær programmering kan delvis opfattes som et kombinatorisk optimeringsproblem, idet vi ved at maksimum/minimum skal findes i et af de endeligt mange hjørnepunkter. Men grunden til at lineær programmering nævnes her er at en del af de optimeringsproblemer, der vedrører grafer, kan formuleres som lineære programmerings-problemer. Det gælder f.eks. korteste vej. Betragt en orienteret graf med kanter 6

7 e 1,..., e m med længder henholdsvis l 1,..., l m. Vi skal finde en korteste vej fra punktet A til punktet B. Vi indfører variable x 1,..., x m, der skal angive hvilke kanter vejen går gennem. Hvis vejen går gennem kanten e i så sætter vi x i = 1 og ellers x i = 0. Følgende vil så være opfyldt: For ethvert i = 1,..., m er 0 x i 1. For ethvert punkt v i grafen, undtagen A og B er x i = x i, i Ind(v) i Ud(v) hvor der i første sum summeres over de tal i, der opfylder at kanten e i er orienteret ind i v og i anden sum summeres over tal i, der opfylder at e i er orienteret ud fra v. Desuden er og x i = 0, i Ind(A) x i = 1, i Ind(B) x i = 1 i Ud(A) x i = 0. i Ud(B) Længden af vejen er x 1 l x m l m. Vi skal altså minimere funktionen x 1 l x m l m under betingelsen at overstående uligheder og ligninger skal være opfyldt. Egentlig er der det yderligere krav at alle variable x i skal have en heltallig værdig. Problemet er altså et heltals lineært programmeringsproblem. Heltals lineære programmeringsproblemer er i almindelighed vanskelige. Men i det konkrete problem kan man overbevise sig om at der en optimal løsning til vores lineære programmerings problem hvor alle x i er hele tal altså enten 0 eller 1. 6 Transport i netværk. Antag vi skal transportere nogle varer fra A til B gennem et netværk (altså: en orienteret graf med vægte på kanterne). Vægten på en kant skal i dette tilfælde opfattes som en kapacitet af kanten (altså: det største antal varer, der kan kan transporteres gennem denne kant). En sådan transport kaldes 7

8 en strømning. Det skal naturligvis være sådan at antal varer, der strømmer ind i et punkt v er lig med antal varer, der strømmer ud af v, undtagen hvis v = A eller v = B. Vi skal nu bestemme det største antal varer, der kan transporteres fra A til B. Der findes flere gode algoritmer til at finde en maksimal strømning. Nogle af dem skal undervejs bestemme korteste veje. Hvis den maksimale strømning fra A til B har værdi s (Der sendes altså s varer fra A til B.) så kan man bevise at der findes en mængde af kanter hvis samlede kapacitet er s og som opfylder at hvis man fjerner dem fra grafen så er der ikke længere nogen vej fra A til B. Dette resultat kaldes max-flow-min-cut sætningen. Max-flow-min-cut sætningen er også et fundamentalt resultat i det teoretiske studium af grafers struktur: Hvis alle kanters kapacitet sættes til 1, udtaler sætningen sig om grafens sammenhængsgrad og sætningen kaldes i dette tilfælde Mengers sætning. Strømning i netværk er et problem, der naturligt kan formuleres som et lineært programmerings problem. Max-flow-min-cut sætningen kan da opfattes som et korollar til dualitetssætningen i lineær programmering. Strømning har har også anvendelse i forbindelse med optimale parringer i to-delte grafer (se afsnit 9, nedenfor) og i forbindelse med det kinesiske postbuds problem i orienterede grafer. 7 Hamilton-kredse og den handelsrejsendes problem. En Hamilton-kreds i en graf er en kreds, der besøger hvert punkt præcis én gang bortset fra at startpunkt=slutpunkt. Definitionen af en Hamiltonkreds minder altså lidt om definitionen af en Euler-kreds. Der er dog en væsentlig forskel når vi går dybere i teorien. Der findes et simpelt kriterium, der afgør om en graf har Euler-kreds. Men det er meget svært at afgøre om en graf har en Hamilton-kreds. Antag vi har en vægtet ikke-orienteret graf; helst med en kant mellem hvert par af punkter så vi er sikre på at der mange Hamilton-kredse. Så vil vi gerne finde den korteste Hamilton-kreds i grafen. Dette kaldes den handelsrejsendes problem, idet vi forestiller os en handelsrejsende, der skal besøge et antal byer. Der er uden betydning i hvilken rækkefølge byerne besøges, men vi vil gerne gøre det så den samlede rejse bliver så kort som 8

9 muligt. Det forudsættes at vi kender afstanden mellem alle par af byer. Det samme problem optræder i mange andre sammenhænge. Man kan f.eks. forestille sig en industrirobot, der skal bore huller på bestemte punkter i en genstand. Den skal helst bevæge sig kortest muligt og vende tilbage til startpositionen så den er klar til et nyt emne. Der kendes ikke nogen effektiv algoritme til løsning af den handelsrejsendes problem. Man kunne forsøge at konstruere samtlige Hamilton-kredse i grafen og beregne længden af hver af dem. Men antallet af Hamilton-kredse er alt for stort til det er en realistisk fremgangsmåde, undtagen i små grafer. Men der findes hurtige algoritmer, der ikke finder optimal løsning, men en Hamilton-kreds der kun er lidt længere end den optimale. F.eks. findes der algoritmer, hvor man kan bevise at den konstruerede Hamiltonkreds er højst 2 eller 3 gange så lang som den optimale. Disse algoritmer bygger på 2 minimum vægt udspændende træer, parringer og Euler-kredse. 8 Minimum vægt udspændende træer. Et udspændende træ i en ikke-orienteret graf består af alle grafens punkter og en delmængde af dens kanter, udvalgt sådan at der er veje mellem alle par af punkter, men er ingen kredse. Et træ altså en minimal måde at forbinde punkterne. Der kan være mange forskellige udspændende træer i en graf. Hvis grafen har n punkter og der er en kant mellem hvert par af punkter, så er der præcis n n 2 udspændende træer. For andre grafer kan antallet f.eks. udtrykkes som determinanten af en bestemt matrix. Et minimum vægt udspændende træ i en vægtet graf er et udspændende træ, hvor summen af vægtene af træets kanter er minimalt. Til trods for at antallet af udspændende træer i en graf kan være meget stort, så findes der faktisk effektive algoritmer, der finder det træ som har mindst vægt. Minimum vægt udspændende træer finder anvendelse hvor skal forbinde et antal punkter så billigt som muligt. Der er også anvendelser f.eks. ved opdeling af en mængde af objekter i grupper af objekter, der ligner hinanden. 9 Parring. En parring i en ikke-orienteret graf er en inddeling af punkterne i par af to punkter, som er forbundet med en kant. Hvert punkt er i højst (evt. præcis) 9

10 Figure 4: Petersen grafen fra figur 3 med en parring. Kanter tegnet med en tyk linie betyder at punkterne er parret. I dette eksempel er alle punkter parret. ét af disse par. I optimering er man tit interesseret i bestemme en parring i en vægtet graf med størst mulig samlet vægt (eller mindst mulig samlet vægt). I mange tilfælde har grafen to typer af punkter og hver kant forbinder to punkter af forskellig type. F.eks.: visse punkter svarer til jobs, der skal udføres og de andre punkter svarer til personer. En kant mellem et job og en person angiver at personen kan udføre dette job. Kantens vægt kan være prisen for udførelsen. Man er så interesseret i få alle jobs udført (af forskellige personer) sådan at prisen bliver så lille som muligt. Der findes særlige algoritmer, der finder en optimal parring i disse såkaldt to-delte grafer. Man er også interesseret i at finde en optimal parring i generelle grafer. Altså grafer der ikke er to-delte. Dette har f.eks. anvendelse i forbindelse med løsning det kinesiske postbuds problem og den handelsrejsendes problem. Der findes også en algoritme, der løser problemet generelle grafer, men den er naturligvis mere kompliceret end den algoritme, der kun skal løse problem for to-delte grafer. 10 Projekterne Eulerkredse og det kinesiske postbuds problem Hamiltonkredse og den handelsrejsendes problem 10

11 Figure 5: En todelt graf med parring. Eksempel: punkter til venstre er personer der vil donere en nyre. Punkter til højre er patienter med behov for ny nyre. En kant angiver at donerens nyre er egnet til patienten. Parringen viser hvordan man vælger at foredele nyrerne. Strømning i netværk Farvelægning: firefarve problemet Parring Udspændende træer References [1] Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, seventh edition, McGraw-Hill

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Elektriske netværk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Indledning. Formålet med projektet er at anvende lineær algebra til at etablere det matematiske grundlag for elektriske netværk betstående af

Læs mere

Undersøgelser i nyere geometri

Undersøgelser i nyere geometri Figur 15. Skatteøen. Undersøgelser i nyere geometri På opdagelse i grafteorien Grafteori teorien om netværk er et af de områder i matematikken, der er bedst egnet til at gå på opdagelse i. Det skyldes,

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06 Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A

Læs mere

Regler. Dansk Arbejder Idrætsforbund. En verden af gode oplevelser www.dai-sport.dk. Dansk Arbejder Idrætsforbund

Regler. Dansk Arbejder Idrætsforbund. En verden af gode oplevelser www.dai-sport.dk. Dansk Arbejder Idrætsforbund Dansk Arbejder Idrætsforbund En verden af gode oplevelser www.dai-sport.dk Regler Dansk Arbejder Idrætsforbund Idrættens Hus, Brøndby Stadion 20 2605 Brøndby Tlf. 43 26 23 84 Fax: 43 26 23 86 E-mail: dai@dai-sport.dk

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning 1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at

Læs mere

Af jord er vi kommet

Af jord er vi kommet Evaluering af Matematik for 5 og 6 kl.: Af jord er vi kommet Heden, Samsø, Ulla Fredsøe Undervisningsplan Emne: Af jord er vi kommet Fag: Matematik 6. kl. Forløbsperiode: August September 2013 Begrundelse

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

18 Multivejstræer og B-træer.

18 Multivejstræer og B-træer. 18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer.

Læs mere

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder 14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet

Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet Optimeringsmatematik og matematik-økonomi studiet og specielt anvendelser af matematisk programmering Esben Høg Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Oktober 2012 EH (Institut for Matematiske

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Bilag 6. Transskription af interview med Emil

Bilag 6. Transskription af interview med Emil Bilag 6 Transskription af interview med Emil Alder? 18 år gammel Hvilket klassetrin? Jeg går i 2.g Dig med tre ord? Engageret målrettet, det ved jeg ikke hvad det tredje skulle være. Pligtopfyldende? Hvad

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365 Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: 005.0.0 Version: Revideret: 005..07 DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen,

Læs mere

Hvem skal samle handsken op?

Hvem skal samle handsken op? 85 Hvem skal samle handsken op? Henrik Peter Bang, Christianshavns Gymnasium, Niels Grønbæk, Institut, Claus Richard Larsen, Christianshavns Gymnasium, Kommentar til Udfordringer ved undervisning i enzymer,

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

DMG Bachelor Maj/Juni 2002

DMG Bachelor Maj/Juni 2002 Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING... 2 1.1 PROBLEMFORMULERING... 2 1.2 FORMÅL... 2 1.3 MÅL... 2 2 PROBLEMANALYSE... 3 2.1 INDLEDNING... 3 2.2 TRANSPARENTE BROER I COMPUTERNETVÆRK... 3 2.3 ROUTERE I COMPUTERNETVÆRK...

Læs mere

Dansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2

Dansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2 . 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og har lært om linjer på formen f(x) = ax + b. Han har prøvet at tegne nogle linjer på papir for at finde ud af hvilke koordinater

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Byen som geotop. 1. Indledning. 2. Sammenhængende beskrivelse af Geotopen

Byen som geotop. 1. Indledning. 2. Sammenhængende beskrivelse af Geotopen Byen som geotop 1. Indledning I det 20. århundrede er befolkningen i verdens byer vokset fra 220 mio. til 2,8 mia. og 2008 markerer tidspunktet, hvor mere end halvdelen af verdens indbyggere bor i byer.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Lyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys!

Lyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys! Og der blev lys! OPGAVEFORMULERING:... 2 DESIGN AF SEKVENS:... 3 PROGRAMMERING AF PEEL KREDS... 6 UDREGNING AF RC-LED CLOCK-GENERAOR:... 9 LYSDIODER:... 12 KOMPONENLISE:... 13 DIAGRAM:... 14 KONKLUSION:...

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloruddannelse på RUC

Den Naturvidenskabelige Bacheloruddannelse på RUC Den Naturvidenskabelige Bacheloruddannelse på RUC 1 Den Naturvidenskabelige Bacheloru Vil du bygge bro mellem to naturvidenskabelige fag? Eller har du lyst til at kombinere med et fag uden for naturvidenskab?

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering

Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering Mål, undervisningsdifferentiering og evaluering Artikel af pædagogisk konsulent Lise Steinmüller Denne artikel beskriver sammenhænge mellem faglige mål, individuelle mål og evaluering, herunder evalueringens

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter

Læs mere

PAS PÅ DE SMÅ I TRAFIKKEN. Opgaver til dig og dine forældre

PAS PÅ DE SMÅ I TRAFIKKEN. Opgaver til dig og dine forældre PAS PÅ DE SMÅ I TRAFIKKEN Opgaver til dig og dine forældre Det her er Arthur. Han er 6 år og lige begyndt i skole. Han har trænet skolevejen sammen med sin mor og far. Men der er stadig meget, han ikke

Læs mere

1) Status på din kompetenceudvikling i forhold til uddannelsens krav, forventninger, muligheder, rammer m.m.

1) Status på din kompetenceudvikling i forhold til uddannelsens krav, forventninger, muligheder, rammer m.m. Januar 2008/lkr SUS 8 Forberedelsesskema til 8. semester NB: Skemaet skal i udfyldt stand sendes til din SUS-dialogpartner (Annie, Nana, Mogens, Magne, Ulla ellerlone) senest 2 hverdage før aftalt samtaletidspunkt!

Læs mere

Tirsdag 12. december David Pisinger

Tirsdag 12. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme

Læs mere

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK

RUTEPLANLÆGNING OG TRANSPORTNETVÆRK 98 Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99 Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/Juni,

Læs mere

XM @ DTU. License to Thrill

XM @ DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Matematik 1 på DTU S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bygning 303S, DTU DK-2800 Kgs. Lyngby 1 1 Matematik 1 I begyndelsen af det tredie årtusind hedder på Danmarks

Læs mere

Fremtiden visioner og forudsigelser

Fremtiden visioner og forudsigelser Fremtiden visioner og forudsigelser - Synopsis til eksamen i Almen Studieforberedelse - Naturvidenskabelig fakultet: Matematik A Samfundsfaglig fakultet: Samfundsfag A Emne/Område: Trafikpolitik Opgave

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala

Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag

Læs mere

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et

Læs mere

GODE RÅD TIL SPECIALEPROCESSEN

GODE RÅD TIL SPECIALEPROCESSEN 5 trin i en god specialeproces: Den rigtige indstilling Tidlig start på forberedelsesfasen Planlægning af processen Gode arbejdsvaner Passende start på jobsøgningen Der er ingen universel løsning på, hvordan

Læs mere

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Videregående algoritmik Cormen et al. 34.1 34.3 Fredag den 12. december

Læs mere

BONUSMATERIALE TIL INSTITUTIONER Hvem er du? Spil VÆR LYDHØR, OPMÆRKSOM OG EMPATISK

BONUSMATERIALE TIL INSTITUTIONER Hvem er du? Spil VÆR LYDHØR, OPMÆRKSOM OG EMPATISK BONUSMATERIALE TIL INSTITUTIONER Hvem er du? Spil Spillet, der spilles i grupper på fire medarbejdere, indledes med, at de 34 spillekort lægges i rækkefølge. Nu trækkes et kort ad gangen, og spørgsmålet

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

S o l r ø d G y m n a s i u m

S o l r ø d G y m n a s i u m S o l r ø d G y m n a s i u m HF Velkommen til HF på Solrød Gymnasium På HF-uddannelsen får du en almen, gymnasial uddannelse, som vi på Solrød Gymnasium har valgt at tone. Det gør vi igennem fagpakker,

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Hvad er årsagen til, at du ikke forventer at afslutte din uddannelse denne sommer?

Hvad er årsagen til, at du ikke forventer at afslutte din uddannelse denne sommer? Uddannelsesevaluering 2012 Kandidat i Kommunikation (medier) Hvad er årsagen til, at du ikke forventer at afslutte din uddannelse denne sommer? I hvilken grad har uddannelsen levet op til dine forventninger?

Læs mere

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012

P vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

Opgave: FIL File Paths

Opgave: FIL File Paths Opgave: FIL File Paths danish BOI 2015, dag 2. Tilgængelig hukommelse: 256 MB. 1.05.2015 Byteasar kan godt lide at leve på kanten. Han løber med sakse, indsender besvarelser til konkurrenceproblemer uden

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

P2 Projektet. P2-vejlederne Redigeret af Kurt Nørmark. Datalogi og Software Første Studieår Aalborg Universitet

P2 Projektet. P2-vejlederne Redigeret af Kurt Nørmark. Datalogi og Software Første Studieår Aalborg Universitet P2 Projektet P2-vejlederne Redigeret af Kurt Nørmark Datalogi og Software Første Studieår Aalborg Universitet Forårssemestret 2015 Introduktion til P2 projektforløbet Til dette P2 projektforløb vil der

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.

Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen

Læs mere