Klassisk relativitet

Transkript

1 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 1 af 12 Hvad sker der, hvis man kører i sin gamle Mazda med nærlysfart og tænder forlygterne; vil man så se lyset snegle sig af sted foran sig...?! Klassisk relativitet Betragt to observatører O og O, hvor O ift. O bevæger sig med farten v= v efter x- aksen, og hvor O på et tidspunkt ( klokken nul ) passerer igennem det punkt, hvor O befinder sig. De to observatører anvender hver deres referencesystem i form af et koordinatsystem og et ur, svarende til at de to referencesystemer angiver tre rumlige og én tidslig dimension. x Ved en begivenhed P forstås en hændelse, der finder sted et givet sted til et givet tidspunkt 1. I de to referencesystemer (det u-mærkede S og det mærkede S ) angives den pågældende begivenhed hhv. Pxyzt (,,;) og Px (', y', z';') t. 1 En supernovaeksplosion er således en begivenhed, og en foton giver anledning til en kontinuert kæde af begivenheder, idet den til et givet tidspunkt befinder sig et bestemt sted i rummet.

2 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 2 af 12 Sammenhængen mellem de fire rum-tids-koordinater i de to referencesystemer er inden for den klassiske fysik 2 givet ved flg. klassiske/galileiske 3 rum-tidstransformation : x = x' + vt, y = y', z = z'. t = t'. (1.1) dx dx' dy dy' dz dz ' = + v, =, =. dt dt dt dt dt dt I 1873 fremsatte Maxwell sin beskrivelse af lys som elektromagnetisk stråling, hvoraf 8 det fremgik at lys (i vakuum) udbreder sig med lysets fart c 310 m s. Men da udbredelsesfart iht. udtryk (1.1) er relativ ift. de to referencesystemer, kan lysudbredelse efter x-aksen ikke finde sted med farten c ift. både S og S, og hvilket referencesystem er så det rigtige? Det oplagte svar er, at lyset udbreder sig med farten c ift. et referencesystem, der er i hvile ift. det medium, den såkaldte æter 4, som lyset udbreder sig i. 5 Det rigtige referencesystem er således et, som er i hvile ift. denne æter. Men selvom jorden bevæger sig rundt om solen med en fart på v 10 m 0,1 c, er 4 0 s 00 det aldrig lykkedes at måle en anden fart for lysets udbredelse end c. En evt. æter må således enten være i hvile ift. jorden (hvilket harmonerer meget dårligt med jordens ydmyge rolle i universet), eller også må den klassiske rum-tidstransformation opgives! 2 Den fremherskende fysik frem til o. år 1900, hvor kvantemekanikken og relativitetsteorien igangsatte en naturvidenskabelig revolution, et såkaldt paradigmeskift. 3 Formuleret af Galilei i Jf. udtrykket at sende ud i æteren. 5 På samme måde som at en vandbølges udbredelsesfart måles i et referencesystem, der er i hvile ift. vandet (havbunden).

3 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 3 af 12 Den specielle relativitetsteori I 1905 fremsatte en ung ansat ved patentkontoret i Zürich ved navn Albert Einstein en ny teori baseret på flg. banebrydende påstand/ postulat kaldet relativitetsprincippet : Fysikkens love er de samme i alle referencesystemer, der bevæger sig med konstant hastighed ift. hinanden, idet sådanne referencesystemer kaldes inertialsystemer. Af ovenstående følger, at lysets fart (i vakuum) er den samme i alle inertialsystemer, uanset hastigheden af lyskilde og observatør. I eksemplet med mazdaen vil bilens fører således opleve samme lysfart som en observatør, der står i hvile på fortovet! Der er således ingen rigtige/foretrukne referencesystemer, og der eksisterer ikke nogen æter. Konsekvenser Som det vises i det flg. fører relativitetsprincippet til, at gængse, intuitive opfattelser af begreberne samtidighed, tid og længde må opgives

4 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 4 af 12 Samtidighed Om jeg ser to lygtepæle blinke samtidigt eller ej, har vel ikke noget at gøre med, hvordan jeg bevæger mig ift. dem...? Betragt en togvogn i bevægelse, der bliver ramt af to lyn i hhv. forende og bagende. Da lysglimtene iht. relativitetsprincippet bevæger sig med samme fart i begge referencesystemer, vil de to observatører rapportere flg.: O: Lysglimtene når mig samtidigt, og der er lige langt hen til nedslagsstederne, så lynene ramte samtidigt. O : Lysglimtet fra forenden når mig først, så lynene ramte forenden først! Samtidighedsopfattelsen afhænger således af observatørernes bevægelse, svarende til at samtidighedsbegrebet er relativt! Bemærk dog, at O og O ikke er uenige om resultatet, såfremt de begge er bekendt med relativitetsteorien...

5 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 5 af 12 Tidsforlængelse Nu sender observatører i toget, f.eks. vha. en lommelygte, et lysglimt op i et spejl i togvognens tag. Tiden indtil lysglimtet når gulvet igen, måler observatørerne til hhv. og ( ) + 2 vt 2 h v 4h t= t = c c c 4h c 1 2h t = = : 1 v c 1 v c c t + 2h t' = t c P t = γ t P, (1.2) hvor γ = 1 1 v c 1 (1.3) er gammafaktoren, og hvor egentiden t P pr. definition måles i et referencesystem, i hvilket de to begivenheder (lysudsendelse og -detektion) finder sted i samme punkt. De to observatører er således ikke enige om, hvor lang tid der går mellem de to begivenheder ( t t' ). Da egentiden ifølge udtryk (1.3) er den korteste tid, der kan hæftes på de to begivenheder, går et rejsende ur langsommere end et stationært!

6 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 6 af 12 I eksemplet er O den rejsende, idet det er i S, at begivenhederne finder sted i to forskellige punkter. O s ur går således langsommere end O s, svarende til at O s sekunder er blevet forlængede, og man taler derfor om tidsforlængelsen af et ur i bevægelse. For alle dagligdags-farter er v c og dermed γ 1, svarende til at relativitetsteoriens korrektion til den klassiske mekanik er overflødig. γ v 6 10 m s Men tidsforlængelsen er ikke desto mindre målbar! Et atomur i et jetfly er efter en tur rundt om jorden forsinket ca. 100 ns. Endvidere er det nødvendigt at tage højde for tidsforlængelsen i satellitbaserede navigationssystemer som GPS, eftersom positionen bestemmes ud fra forskelle i den tid, det tager et signal fra GPS-enheden at nå op til et antal geostationære satellitter. Tvillingeparadokset Tidsforlængelsen er et tidsfænomen og ikke et ur-fænomen og gælder dermed også det biologiske ur! Betragt to tvillinger, hvoraf den ene foretager en rejse t/r til en fjern planet X.

7 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 7 af 12 I forbindelse med tvillingebroderens rejse ældes O 40lysår t = 42år. 0,95c Da begivenhederne udrejse og ankomst til planet X i S finder sted i samme punkt, er dette egentiden ( t' t ) =, og O er dermed ifølge udtryk (1.2) ældet P t t' = tp = 13år! (1.4) γ Eller er det omvendt, for set fra O s synspunkt er det jo O, der er den rejsende, svarende til at ovenstående regnestykke skal vendes på hovedet!? Dette er det såkaldte tvillingeparadoks. Såkaldte fordi der faktisk ikke er noget paradoks, for da O i modsætning til O har O gennemgået en acceleration, er deres situationer ikke ens, så hvis der ses bort fra tiden brugt på acceleration, stemmer det præsenterede regnestykke. Rumforkortelse Betragt igen rejsen fra jorden til planeten X. Afstanden mellem de to planeter bestemmes til hhv. L = vt L P og ifølge udtryk (1.4) vt L' = vt' = vtp = : γ L L' = P, γ hvor egenlængden L P pr. definition måles i S, idet den målte afstand er i hvile i forhold hertil.

8 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 8 af 12 Ifølge udtryk (1.3) er egenlængden således den største længde, og når afstanden bevæger sig forbi O, bliver den forkortet fra L P til rumforkortelsen 6. L', og man taler derfor om Rumforkortelse og tidsforlængelse er i sagens natur to sider af samme sag: O oplever kortere tid (egentiden) og kortere afstand. O oplever længere tid og længere afstand (egenlængden). Lorentz-transformation Iht. relativitetsteorien skal den klassiske rum-tids-transformation i udtryk (1.1) erstattes med flg. Lorentz-transformation : ( ) x = γ x' + vt, y = y', z = z', v t = γ t' + x'. 2 c (1.5) For v c er der overensstemmelse ( korrespondens ) med det klassiske resultat, og relativitetsteorien ses således at være en generalisering af den klassiske/newtonske bevægelseslære, der også gælder for farter sammenlignelige med lysets. Dermed ses relativitetsteorien i øvrigt at udspringe af det faktum, at lysets fart er endelig, eftersom v c altid ville være opfyldt for c. 6 Bemærk, at rumforkortelsen kun finder sted i bevægelsesretningen

9 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 9 af 12 Relativistisk energi Ifølge den klassiske fysik er den samlede bevægelsesmængde/impuls p mv (1.6) bevaret i et sammenstød mellem f.eks. to billardballer: p + p = p + p 1,før 2,før 1,efter 2,efter. Men hvis denne bevarelseslov er opfyldt ift. S, er den det ikke ift. S, hvilket er et brud på relativitetsprincippet. For at gøre loven om impulsbevarelse relativistisk invariant må den klassiske definition i udtryk (1.6) generaliseres 7 til p γ mv. (1.7) Denne definition fører til flg. udtryk for den kinetiske energi: Ekin ( 1) 2 = γ mc. (1.8) Da E kin er forskellen mellem den totale relativistiske energi E, som partiklen besidder ved en given fart, og den hvileenergi er og idet disse udtryk for v = 0 opfylder E hvile, som partiklen besidder i hvile, E = γ mc 2, (1.9) Ehvile 2 = mc, (1.10) E = E hvile og E kin = 0. 7 Bemærk igen, at der er korrespondens for v c.

10 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 10 af 12 Indføres den relativistiske masse hvor m nu kaldes hvilemassen, fås Einsteins berømte ligning M γ m, (1.11) E Mc mc = = γ. (1.12) Da c er en universel konstant, er masse og energi således i en vis forstand to ord for det samme fysiske begreb, blot målt i to forskellige enheder! Når uran spaltes i at a-kraftværk, omdannes noget af urankernens masse til kinetisk energi af datterkernerne og et antal neutroner, og det, som er tilbage efter spaltningen, har således mindre masse tilsammen, end den oprindelige urankerne 8. Bemærk i øvrigt forskellen mellem begreberne masse og vægt. Masse er et universelt begreb, hvorimod vægt er et mål for den lokale tyngdekraft. Massen af en sten (i hvile) er således den samme på jorden som på månen, hvorimod vægten kun er ca. 16 på månen. 2 Da E = Mc for v c kræver det uendeligt meget energi (og dermed mere energi end der findes i hele universet ) at accelerere en partikel med hvilemasse op til lysets fart. Dermed har fotoner i sagens natur ingen hvilemasse. 8 Mere herom i SOE6.

11 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 11 af 12 Den almene relativitetsteori I 1916 generaliserede Einstein den specielle relativitetsteori til den almene/generelle ved at postulere, at fysikken love er de samme i to vilkårlige referencesystemer S og S, uanset om de måtte accelerere ift. hinanden. Ifølge den almene relativitetsteori er det således ikke muligt at afgøre, om et fysisk eksperiment finder sted i et system S, der befinder sig i et tyngdefelt med tyngdeacceleration g, eller i et system S uden tyngdepåvirkning, som til gengæld accelererer g. 9 Den viste person står i en (rum)elevator og lyser med en lommelygte ind i væggen. Da lyset pga. elevatorens bevægelse (og lysets endelige fart!) afbøjes i S, afbøjes det således også i S og dermed i jordens tyngdefelt! Under en solformørkelse i 1919 var det muligt at konstatere, at lyset fra en fjern stjerne blev afbøjet i solens tyngdefelt, idet stjernen kunne ses lige uden for den formørkede solskive, selvom den lå bagved solen! Herefter var Einstein verdensberømt. 9 Dette er kendt som ækvivalensprincippet.

12 Stoffers opbygning og egenskaber 1 Side 12 af 12 Solen krummer i kraft af sin masse rummet omkring sig, og det er denne krumning, der får jorden til at bevæge sig rundt om solen. 10 Inden for en vis afstand ( begivenhedshorisonten ) af et sort hul er det sorte huls tyngdetiltrækning/rummets krumning så kraftig, at selv lyset ikke kan undslippe En anden følge af den almene relativitetsteori er, at tiden går langsommere, jo kraftigere tyngdefeltet er. Uret i stuen går således (en anelse) langsommere end uret på 1. sal Ifm. en tænkt rejse ind mod et sort hul vil tyngdekraften blive kraftigere og kraftigere og tiden dermed gå langsommere og langsommere for til sidst helt at gå i stå 11 Tiden er relativ, og rummet er krumt! I sandhed ikke dagligdags-postulater Næste gang: Elementarpartikler og partikel-bølge-dualitet! 10 Lidt på samme måde som en bowlingkugle på en madras, der tiltrækker en nærliggende ært. 11 Idet tyngdekraften helt inde ved det sorte hul, som er en singularitet med endelig masse og uendelig lille udstrækning, bliver uendelig stor.