!! Spørgsmål b) Hvad er 1/hældningen af hhv de grønne og røde verdenslinjer? De grønne linjer: Her er!

Transkript

1 Logbog uge 41 Laboratorievejledning: vejledning.html I denne uge så vi igen på den specielle relativitetsteori. Vi lagde ud med pole-barn-paradokset, hvori en stang føres gennem en lade: ( Vi så først på tilfældet med laden som referencesystem, altså at laden stod stille. Her fik vi følgende rumtidsdiagram Spørgsmål a) Find hastigheden af pælen i forhold til laden. I ladens referencesystem opgives det, at længden af pælen er L=10m. Denne længde L svarer til afstanden mellem punkterne B og B' (eller A og A') i x-aksens retning. Afstanden mellem B og B' på ct-aksen må være lyshastigheden c ganget tidsintervallet mellem at pælens bagende kommer ind i laden og pælens bagende forlader laden. Hastigheden af pælen må være Spørgsmål b) Hvad er 1/hældningen af hhv de grønne og røde verdenslinjer? De grønne linjer: Her er Hældningen af den grønne linje er altså v/c, hvilket vi også brugte i spørgsmål a. De røde linjer: Her gælder det samme som for de grønne linjer, men da hastigeden er nul (laden er jo stationær), er 1/hældningen = nul. Spørgsmål c) Hvad hentyder begivenheder A, A', b og B' til? Hvilke, hvis nogen, af disse begivenheder sker samtidig i dette referencesystem? A: pælens forende 'rammer' laden. A': pælens forende forlader laden

2 B: pælens bagende rammer laden B': pælens bagende forlader laden På rumtidsdiagrammet betegner B og A' begge skæringspunktet af en verdenslinje med x-aksen. Dermed gælder for begge begivenheder at ct=0, hvorfor de må ske samtidigt i ladens referencesystem. Herudfra kan vi også konkludere at længden af laden i hviletilstand må være længden af pælen, når den bevæger sig med 0,85c: L(lade i hviletilstand)=l(pæl i forhold til lade)=10 m. Vi så dernæst på tilfældet med pælen som referencesystem. Her fik vi følgende rumtidsdiagram Spørgsmål d) Hvor hurtigt bevæger laden sig i forhold til pælen? For at finde ud af hvor hurtigt laden bevæger sig i forhold til pælen udregner vi 1/hældningen af ladens verdenslinjer ved hjælp af to punkter aflæst på grafen B(0,0;0,0) og A(20,0;-23,4): Vi ser at hastigheden af laden i forhold til pælen er af samme størrelse men modsatrettet hastigheden af pælen i forhold til laden. Spørgsmål e) Hvor lang er pælen i denne referenceramme og hvorfor har den denne længde?"pælens længde er x- afstanden mellem de to røde verdenslinjer som hver især repræsenterer en ende af pælen. Pælens længde bliver altså: Spørgsmål f) Hvor lang er laden i dette referencesystem og hvorfor har den denne længde? Vi fandt under spørgsmål c, at hvilelængden af laden var 10 m. Laden bevæger sig med meget høj hastighed i forhold til pælen, hvorfor der gælder relativistisk længdeforkortelse. Længden af laden set fra pælen bliver da

3 En anden måde at bestemme længden af laden set fra pælen på er at kigge på animationen. I den nederste boks i animationen vises laden x- koordinater under bevægelsen, hvor differensen er 5 m. Man kunne let forlediges til at tro, at denne størrelse så ville være længden af laden set fra pælen, men dette er ikke korrekt. Længden af laden set fra pælen må nemlig være det lodrette stykke på grafen mellem A og A eller B og B, som ved aflæsning bliver omtrent 5,5 m. Situationen er som følger; hvis v (lade i forhold til pæl) = c, ville den blå linje gøre sig gældende, og længden af laden set fra pælen ville være lig 5 m (afstanden mellem A og A på ct-aksen ville altså være lig differensen i x-koordinaterne). Det ville være en ligesidet trekant med en hypotenuse med hældningen c/v = -1. Men da v/c = 0,85 bliver hældningen af hypotenusen tættere på 1/(v/c) = -1/0,85 =-1,1 (den blå linje), hvorfor længdestykket A til A bliver længere end x-differensen. Man kan aflæse længden af laden set fra pælen som differensen mellem A og A (vi fik ca. 5.5 m, hvilket svarer nogenlunde til resultatet 5,3 m). Spørgsmål g) Hvad hentyder begivenheder A, A, B og B til? Hvilke, hvis nogen, af disse begivenheder finder sted samtidig i dette referencesystem? A: forenden af laden rammer pælen B: forenden af laden forlader pælen A : bagenden af laden rammer pælen B : bagenden af laden forlader pælen Ingen af de fire begivenheder ligger på en vandret linje, hvilket betyder, at ingen af dem foregår til samme ct-koordinat og deraf samme tid. Svaret er nej, ingen af de fire begivenheder finder sted samtidig i pælens referencesystem. Lysure Dernæst så vi på lysure (Feynman-uret), hvor en foton afsendes i et inertialsystem i hvile og et inertialsystem, der bevæger sig med hastigheden u mod højre som vist nedenfor. Hver gang fotonen rammer den venstre væg i uret, registreres det som et klik.

4 For uret i hvile er den samlede tid mellem klikkene følgende For uret i bevægelse er det lidt mere kompliceret at udregne den samlede tid mellem klikkene. Vi begynder med at udregne den distance d, som fotonen tilbagelægger inden den rammer højre væg i uret Den distance dd, som fotonen tilbagelægger før den rammer venstre væg, er Den samlede tid mellem hvert klik for uret i bevægelse er da Skriver vi lidt om på dette udtryk får vi Vi vil nu for sjov prøve at dividere dette udtryk med

5 hvilket netop er det velkendte udtryk for relativistisk tidsforlængelse. Vi kan altså konkludere, at tiden mellem klikkene i et ur i bevægelse er uafhængig af bevægelsesretningen af fotonen. Raket-simulering I denne simulering ser vi tre rumskibe, Alice, Bob og Claire. Alice udsender et lyssignal, og da det rammer Bob og Claire går deres flag op. Alices flag rejser sig, efter tiden hvor hviletilstanden betegner situationen, hvor de tre rumskibe står stille ifølge Alices referencesystem. Da rumskibene begynder at bevæge sig mod højre, sker følgende Claires flag går op først idet hun bevæger sig mod lyset, og lyset derfor har en kortere distance at tilbagelægge. Bobs flag går sidst op, da han bevæger sig i samme retning som lyset. Alices flag går stadig op efter ovenstående tid t. Dette stemmer også overens med, hvad vi fandt ud af i forrige spørgsmål. Tvilinge-paradokset

6 I VPython betragter vi nu følgende situation En tvilling bliver på Jorden, mens den anden rejser med et rumskib til stjernen Alpha Centauri. I deres eget referencesystem udsender tvillingerne et lyssignal hvert år (de hvide ringe for tvillingen på Jorden og de gule ringe for tvillingen på rumskibet). Tiden mellem hver hvid ring er et Jord-år, mens tiden mellem hver gul ring er et rumskibs-år eller et Jord-år tidsforlænget med faktoren Hvis v nærmer sig lysets hastighed c, vil -faktoren nærme sig uendelig og et rumskibs-år bliver uendelig langt. Hvis v nærmer sig 0, vil -faktoren nærme sig 1, og et rumskibs-år nærmer sig et almindeligt Jord-år. Nu vil vi regne lidt på energiforbruget for en sådan rumrejse. Hvis skibet vejer kg og flyver med en fart på 0,8c, bliver energiforbruget: Lad os sige, at rumskibs-tvillingen gerne vil nå sin tvilings begravelse. Jord-tvillingen er en mand og dør som 75-årig, hvorfor rumskibstvillingen må være (hvor begge størrelser ses fra Jordens referencesystem): Vi antager ved ovenstående udregning, at rumskibet ikke mister tid eller fart idet det vender om ved Alpha Centauri (dette er en meget grov antagelse, men vi fysikere lever jo også i en glad, lille idealverden). Den tilsvarende energi krævet for at opnå denne fart bliver:

7 Vi må håbe, at Jord-tvillingen lever ekstraordinært længe, for det er endnu ikke muligt for et homo sapien at flyve så hurtigt i noget menneskeskabt fartøj. Vi vil helst være tvillingen på Jorden, fordi rumskibs-tvillingen mister familie og venner på sin rejse, skal leve meget trangt i et rumskib i næsten 75 år og desuden ikke kan modtage tv-showet Beverly Hills Classic.