Rektangulær potentialbarriere

Transkript

1 Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles i opg. F:. ektangulær potentialbarriere i 1D. Denne situation er en simpel model for et område i rummet, som en V( ) / ev kvantepartikel vil skulle overvinde et frastødende potential for at bevæge V sig ind i. 1 Dette område kunne f.eks. være området mellem en ledende overflade og en SM-nål.. ektangulær kvantebrønd i 1D. Denne situation kunne f.eks. være en simpel model for det tiltrækkende potential, som en elektron oplever i et atom, eller som en kernepartikel oplever i en atomkerne. V( ) / V ev 1 n klassisk analogi kunne være en forhøjning i tyngdefeltet, som en bold vil skulle overvinde en frastødende kraft = dv d for at overvinde. Den for kvantepartiklen viste potentialbarriere er stiliseret med stykvis konstante potentialer, idet dette gør beregningerne ulig meget simplere. F homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

2 Kvantemekanik 5 Side af 8 Situation er kendetegnet ved flg. tidsuafhængige potential: for < V ( ) = V for. for > (5.1) n klassisk partikel med energien barrieren have kinetisk energi kin = vil i forbindelse med mødet med mek mek = givet ved pot for < kin = V for, for > svarende til at partiklen vil blive reflekteret for V og transmitteret for > V. Beskrivelsen af en kvantepartikels møde med potentialbarrieren er baseret på en løsning af Schrödingerligningen fra udtryk (.13): ( t, ) ψ ( t, ) ψ i = + V ( ) ψ (, t). (5.) t m følge KM4 kan enhver løsning til udtryk (5.) skrives som en overlejring af ˆ m egentilstande for H = + V ( ) hvor c ( ), + d., jf. udtryk (4.14): (, ) ( ) ( ) i t ψ t = c e d, (5.3) d ifølge KM4 s. 9 er sandsynligheden for at måle en energi Dette svarer til, at bolden fra fodnote 1 ikke har tilstrækkelig fart til at rulle op ad barrieren. homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

3 Kvantemekanik 5 Side 3 af 8 det flg. findes de stationære tilstande som den generelle tilstand (, t) i t (, ) ( ), ˆ ψ t = e H =, (5.4) ψ således er opbygget af, idet det antages 3, at. (5.5) For < svarer egenværdiligningen i udtryk (5.4) til d m d = : hvortil ( ) K d d m = = k = e er en løsning. k, =, k, m (5.6) Ved indsættelse findes løsning er K = k svarende til K = ± ik, sådan at den fuldstændige ik ik ( ) e e, = + <, (5.7) og ved indsættelse i udtryk (5.4) fås (, ) ik t ik t + ψ t = e + e, <. (5.8) Første led i udtryk (5.8) repræsenterer bevægelse fra venstre mod højre ind mod potentialbarrieren, svarende til en indkommende kvantepartikel, og andet led repræsenterer bevægelse mod venstre væk fra potentialbarrieren, svarende til en reflekteret kvantepartikel, og egentilstanden (, t ) heraf med vægte og. ψ er således en superposition 3 llers ville det ikke kun være området, der udgjorde en barriere. homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

4 Kvantemekanik 5 Side 4 af 8 For : For V er problemstillingen den samme som i det ovenfor nævnte tilfælde: hvor barrieren 4. ( ) ik H V B B = e + e, k, = B + V, m ik (5.9) H og V er vægtene for bevægelse mod hhv. højre og venstre inde i For < V svarer egenværdiligningen i udtryk (5.4) til d + V = m d : hvortil ( ) K d m = V d = κ = e er en løsning. ( ) κ, = + V, κ, m (5.1) For Ved indsættelse findes K = κ svarende til K = ± κ, sådan at den fuldstændige løsning er κ κ ( ) ', Ce C e = +. (5.11) > svarer problemstillingen til < : ik ik ( ), = e + e >. (5.1) Det sidste led i udtryk (5.1) repræsenterer bevægelse fra højre mod venstre ind mod barrieren, så hvis det antages, at kvantepartiklen nærmer sig barrieren fra venstre, er = : ik ( ), idet er vægten for transmission gennem barrieren. = e >, (5.13) 4 Der er således også mulighed for refleksion fra bagsiden af barrieren. homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

5 Kvantemekanik 5 Side 5 af 8 Ved at sammenfatte udtryk (5.7), (5.11) og (5.13) fås således for < V : 5 ik ik e + e for < κ κ = Ce + C ' e for. ik e for > ( ) (5.14) Som løsning til en differentialligning er kontinuert 6, så fra kontinuitetsbetingelsen i = og = fås Med tilsvarende argument er + = C+ C', (5.15) Ce κ + C ' e κ = e ik. (5.16) d d også kontinuert: ik ik = κc κc ', (5.17) Ce κ κ ik κ κc ' e = ik e. (5.18) Udtryk (5.15)-(5.18) udgør således 4 ligninger i de 5 ubekendte,, C, C ' og, idet den sidste ligning til fastlæggelse af de ubekendte er normeringsbetingelsen. opg. G vises, at udtryk (5.15)-(5.18) under antagelsen 7 fører til e κ 1 (5.19) κ 4ikκe ik e ( κ ik ). (5.) 5 Bemærk, hvordan bølgefunktionen består af planbølgeformede e ± ik -bidrag i områder, hvor energien er større end det stykvist konstante potential, og af eksponentielt voksende og aftagende e ± κ -bidrag i området, hvor energien er mindre end potentialet. 6 n løsning til egenværdiligningen i udtryk (5.4) er nødvendigvis differentiabel, og en funktion er kun differentiabel, hvis den er kontinuert. 7 følge udtryk (5.1) svarer dette til, at ikke må være for tæt på, og/eller at barrierens bredde ikke må være for lille. V homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

6 Kvantemekanik 5 Side 6 af 8 efleksions- og transmissionskoefficienter e ik t + repræsenterer som nævnt den del af egentilstanden, som bliver reflekteret fra barrieren, og da absolutkvadratet på en bølgefunktion er et udtryk for opholdssandsynlighed, repræsenterer e ik + t = sandsynligheden for, at en kvantepartikel i den pågældende egentilstand bliver reflekteret. Selve de normerede sandsynligheder for hhv. refleksion og transmission er således givet ved hhv. refleksions- og transmissionskoefficienten : =, (5.1) =, (5.) som således opfylder normeringsbetingelsen + = 1. (5.3) Fra udtryk (5.) haves 16k κ e κ ( κ + k ), (5.4) m m og da k = og κ = ( V ), fås slutteligt for < V : 16V ( ) κ κ = e, e 1. (5.5) V homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

7 Kvantemekanik 5 Side 7 af 8 Den kvantemekaniske tunneleffekt (SM) Udtryk (5.5) viser således, at der er en endelig sandsynlighed for, at en kvantepartikel kan forcere en potentialbarriere, selvom den i klassisk forstand ikke har tilstrækkelig stor energi til det. V( ) Dette svarer billedligt talt til, at kvantepartiklen tunnelerer gennem barrieren, og fænomenet kaldes derfor den kvantemekaniske tunneleffekt 8. V SM Jf. M-kurset er et atoms potentielle energi lavere, jo tættere elektronerne er på atomkernen, hvilket i hovedtræk forklarer, hvorfor en elektron skal overvinde en potentialbarriere for at blive løsrevet fra et materiale. For et metal, hvori de mest energirige V( ) (løsest bundne) elektroner har energien, kan situationen modelleres ved den V W = V viste potentialbarriere, hvor er løsrivelsesarbejdet. W = V Metal Vakuum Dette svarer til en potentialbarriere med og dermed, svarende til at en elektron kun kan undslippe overfladen, hvis den tilføres energi 9. 8 Som i bund og grund skyldes partikel-bølge-dualiteten, idet kvantepartiklers bølgeegenskaber, og de deraf følgende delokaliserede bølgefunktioner, fører til haler af sandsynligheder, der kan strække sig om på den anden side af en potentialbarriere. Makroskopiske partikler har jf. KM1 note 11 ikke bølgeegenskaber og dermed heller ikke tunneleringsegenskaber. 9 F.eks. i form af lys som i forbindelse med den fotoelektriske effekt. homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7

8 Kvantemekanik 5 Side 8 af 8 Men hvis der anbringes et andet metal tæt op ad det første, fås en potentialbarriere som den ovenfor behandlede. V V( ) Metal Vakuum Metal Som det fremgår af udtryk (5.5), aftager tunneleringssandsynligheden for små meget hurtigt med. Dette udnyttes i et SM, som i en grov model kan beskrives som en potentialbarriere mellem en ledende overflade og en metalnål, idet potentialet dog er asymmetrisk, sådan at der løber en tunnelstrøm 1. V( ) Metalnål Vakuum Metaloverflade Denne tunnelstrøm er jf. udtryk (5.5) endog meget fintfølende over for variationer i afstanden mellem overfladen og nålen, som dermed kan bestemmes meget præcist. t SM er således et eksempel på et praktisk laboratorieværktøj, som helt og holdent er baseret på det rent KM fænomen tunneleffekten. 1 Hvis potentialet er symmetrisk, vil der tunnelere lige mange elektroner fra metalnålen til metaloverfladen som den modsatte vej svarende til en nettostrøm på nul. homas B. ynge, nstitut for Fysik og Nanoteknologi, U 7/3/7