Geometriske eksperimenter

Transkript

1 I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor om geometri. Eleverne skal bl.a. arbejde med at konstruere indskrevne og omskrevne cirkler og med både målestoks- og arealforhold. Opgaverne veksler mellem teoretiske og praktiske geometriske problemstillinger. Set fra en kompetenceorienteret synsvinkel giver kapitlet især mulighed for at arbejde med ræsonnementskompetencen og med hjælpemiddelkompetencen. Problemstillingerne lægger op til arbejdsmåder, der indledningsvist er undersøgende og eksperimenterende og efterfølgende sigter på systematisk arbejde, der kan lede frem mod generaliseringer vedrørende begrebernes egenskaber. Opgaverne i kapitlet kræver ikke meget forhåndskendskab til geometri. En del af aktiviteterne kræver dog, at eleverne kan bestemme areal af rektangler og trekanter enten ved beregninger eller ved brug af et geometriprogram. esuden vil det være en fordel, hvis eleverne tidligere har prøvet at konstruere figurer både i hånden og ved hjælp af et geometriprogram. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: midtpunkt midtnormal median vinkelhalveringslinje midtpunktstransversal areal forhold omskrevet cirkel indskrevet cirkel Huskeliste: Lineal, vinkelmåler og passer (til side 18, 19, 28, 29, 31, 32) Et geometriprogram (evt. til side 18, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 29, 30, 31, 32) FR FGHÆFTET Kompetencer opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 1

2 Matematiske emner: I arbejdet med geometri at kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber benytte grundlæggende geometriske begreber, herunder størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer Matematik i anvendelse: erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag Matematiske arbejdsmåder: undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb Indhold og mål Kapitlet handler om geometriske eksperimenter. Målet er, at I får flere erfaringer med geometriske eksperimenter. bliver bedre til at løse geometriske problemer. bliver bedre til at konstruere med et geometriprogram og i hånden. lærer begreberne midtpunkt, midtnormal, median og vinkelhalveringslinje. lærer at konstruere en trekants indskrevne og omskrevne cirkel. GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 2

3 Facit Side 18 MUNTLIG 1 2 Fx 2 Midtpunktstransversalen er parallel med én af trekantens sider 3 Forholdet mellem længden af midtpunktstransversalen og den side, den er parallel med, er 1:2. 4 Forholdet mellem arealet af den store trekant og den lille trekant er 4:1. 5 Fx Fra ethvert punkt på midtnormalen er der samme afstand til hvert af linjestykkets endepunkter. Side 19 3 Fx MUNTLIG En midtpunktstransversal er parallel med en side i trekanten og halvt så lang som denne. Forholdet mellem arealet af den oprindelige trekant og den lille trekant, der dannes ved midtpunktstransversalen, er 4:1. Side 21 1abc PROLEM Fx Side 20 1abc PROLEM Fx 2a 2b 2c 2d Kvadrat Rombe Parallelogram Parallelogram GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 3

4 3 Forholdet mellem arealet af den ydre firkant og den indre firkant er 2:1. Side 22 1 Fx PROLEM 4a 4b Hvis der tegnes linjestykker mellem midtpunkterne på firkanten dannes et parallelogram. Linjestykkerne vil blive parallelle to og to, da de er midtpunktstransversaler i de trekanter, der dannes ved hjælp af diagonalerne i den blå firkant. realet af den indre firkant bliver 10. et kan begrundes med erfaringerne fra opgave 3, men det kan også begrundes med erfaringerne fra opgave 4 på side 20, da den blå firkant kan deles i trekanter, der har den indre firkants sider som midtpunktstransversaler. 2 Fx 3 Fx e to sorte trekanter på hver kopi af firkanten fylder tilsammen af firkanten. e fire sorte trekanter fylder derfor halvdelen af den blå firkant. en indre firkant må derfor også fylde halvdelen af firkanten altså Fx når midtpunkterne i en firkant forbindes, skabes en ny firkant, hvis areal er halvt så stort som den oprindelige firkants areal 4 lle opgaverne kan løses ved først at konstruere linjestykker mellem punkterne, dernæst konstruere midtnormaler til disse linjestykker og til sidst slette de overflødige linjestykker. GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 4

5 Side 23 PROLEM 1 Fx 2 Fx Mængden af punkter, der ligger i samme afstand fra og er midtnormalen til. Mængden af punkter, der ligger i samme afstand fra og er midtnormalen til. a de to midtnormaler ikke skærer hinanden, findes der ikke et punkt, som ligger i samme afstand fra både,, og. er findes derfor ingen rimelig placering af pinden. 3 Fx Kun når de fire punkter (deltagere) danner hjørnerne i en firkant, hvor de modstående vinkler tilsammen er, findes der et punkt med samme afstand til de fire punkter altså en retfærdig placering af pinden for de fire deltagere. Side 24 1 Fx PROLEM 4 Fx Hvis de fire deltagere fx står som hjørnerne i et parallelogram, kan det ikke lade sig gøre at placere pinden retfærdigt. et kan vises ved et (mod) eksempel: 2a - 2b Ja, de to arealer er lige store. 3 Opdagelsen gælder for alle trekanter. GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 5

6 4 Ved hjælp af medianen inddeles en trekant i to mindre trekanter, der har to grundlinjer, som er lige lange. e to trekanters højder på denne grundlinje er sammenfaldende. erfor har de to trekanter samme areal. 2 Retvinklede trekanter, ligebenede trekanter og forskellig-sidede trekanter. 3 5 og 6 Fx real E = 2,67 cm 2 real E = 2,67 cm 2 real EF = 2,67 cm 2 real EF = 2,67 cm 2 real EG = 2,67 cm 2 real EG = 2,67 cm 2 E F Side 25 e seks små trekanter har samme areal, og hver lille trekants areal udgør således af den oprindelige trekants areal. PROLEM realet af hver trekant er lige stort, da de hver udgør af billedets areal. Trekanterne udgør to og to af arealet, og hver er delt i to ved hjælp af 1 (formindsket) en median.. GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 6

7 Side 26 1 og 2 Fx PROLEM 5d e tre afstande er ens. S ligger derfor lige langt fra siderne a, b og c. = 0,73 cm = 0,73 cm E = 1,36 cm F = 1,36 cm GH = 1,71 cm GI = 1,71 cm JK = 2,37 cm JL = 2,37 cm E H K 6 et gælder for alle trekanter, at vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er det punkt, der har samme afstand til hver af trekantens sider. G J Side 27 PROLEM F I L 1 og 2 Fx fstanden fra et punkt på vinkelhalveringslinjen til hver af vinklens ben er den samme. 3 et gælder for ethvert punkt på en vinkelhalveringslinje, at det ligger i samme afstand fra hver af vinklens ben. 4 Fx c b S a 3 eboerforeningen kan bruge et kort over området. e tre trafikerede veje svarer til tre sider i en trekant. I denne trekant kan de konstruere de tre vinkelhalveringslinjer. Legepladsen bør placeres der, hvor vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden. 5a 5b 5c fstanden fra S til a er den samme som fra S til b. fstanden fra S til b er den samme som fra S til c. fstanden fra S til a er den samme som fra S til c. GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 7

8 Side 28 MUNTLIG 1 Ved først at konstruere linjestykker mellem de tre punkter og dernæst konstruere midtnormaler til linjestykkerne kan det fjerde punkt findes der, hvor midtnormalerne skærer hinanden. 2 Fx 6 - et punkt, der ligger lige langt fra hver af trekantens side, kan findes ved at konstruere vinkelhalveringslinjerne til trekantens vinkler. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt ligger i samme afstand fra trekantens tre sider. Side 29 MUNTLIG 7ab - S = 3,80 cm S = 3,80 cm S = 3,80 cm S 3 et er muligt at konstruere et fjerde punkt, der ligger i samme afstand til tre tilfældige punkter, når de tre tilfældige punkter ikke ligger på en ret linje. 4 og 5 Fx fstand S til c = 1,15 cm fstand S til a = 1,15 cm fstand S til b = 1,15 cm c S a 8ab - 9 lle trekanter har en omskrevet og en indskrevet cirkel, fordi der altid kan findes et punkt, som ligger i samme afstand fra hhv. trekantens hjørnepunkter og trekantens sider. isse punkter er centrum i hhv. den omskrevne cirkel og den indskrevne cirkel. 10 Langt fra alle firkanter har en omskrevet og/eller en indskrevet cirkel. Fx kan der ikke i nogle parallelogrammer findes et punkt, der ligger i samme afstand fra hvert af parallelogrammets hjørnepunkter. I rektangler, der ikke er kvadrater, kan der ikke findes et punkt, som ligger i samme afstand fra hver af rektanglets sider. Se også opgave 3 og 4 på side 23. b Side 30 og 31FÆRIGHE (Facit står i grundbogen side 176) GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 8

9 GEOMETRSKE EKSPERIMENTER 9