Tillæg til noter om rentestrukturteori

Transkript

1 Tillæg til noter om rentestrukturteori 1 Forward Renter Lidt notation, hvor i afhængigheden af kalendertid undertrykkes. R (t) Den t årige nulkuponrente (spotrente) i procent p.a. d (t) den t årige diskonteringsfaktor f (t, s) forwardrenten mellem tidspunkt t og s, t < s. Forwardrenten mellem tidspunkt t og s angiver den rente, der gælder idag for en placering fra tidspunkt t til tidspunkt s. For ikke at skabe aritragemuligheder må der gælde, at (1 + R (s)) s = (1+R (t)) t (1 + f (t, s)) s t µ (1 + R (s)) s 1 s t f (t, s) = (1 + R (t)) t Alternativt kan det udtrykkes ved diskonteringsfaktorer µ 1 d (t) s t f (t, s) = d (s) Bemærk, at f (0,t)=R (t), det vil sige at spot renter er special tilfælde af forward renter. Som eksempel betragt forward renten fra tid 1 til tid 2 og 2 til 3 f (1, 2) = (1 + R 2) 2 (1 + R 1 ) 1 1=d 1 1, d 2 f (2, 3) = (1 + R 3) 3 (1 + R 2 ) 2 1=d 2 d 3 2 Komplette Markeder Et obligationsmarked siges at være komplet, hvis antallet af lineært uafhængige obligationer svarer til antallet af betalingstidspunkter, dvs, hvis der om betalingsmatricen B gælder at rang(b) =K, hvor K er antallet af betalingstidspunkter. 1

2 Hvis markedet er komplet, kan vi efterligne ethvert betalingsforløb ved sammensætte en portefølje af de eksisterende obligationer. Desuden kan vi eksplicit løse for diskonteringsfaktoreme, D, som er entydigt bestemt. Lad B s være betalingsmatricen B s =(b jk ) j,k=1,..,k. for et udvalg eller en stikprøve af K lineært uafhængige obligationer med prisvektor s. Lad a være en betalingsrække (1xK), som ønskes efterlignet. Den relevante (replikerende) portefølje, x s (Kx1), findes ved a = x sb s x s = ab 1 s. orteføljens pris, og dermed ligevægtsprisen for betalingsrækken findes hermed som x s s = ab 1 s s. Diskonteringsfaktorerne D (Kx1) findes tilsvarende som den entydige løsning til ligningssystemet s = B s D D = Bs 1 s. Denne eksakte metode indeholder som special tilfælde bootstrap. 3 Lidt mere om afkast Dette afsnit omhandler nogle overvejelser omkring sammenhængen mellem afkast og bevægelser i rentekurven. 3.1 Nulkuponafkast Definition d(t, T ) Diskonteringsfaktoren på tidspunkt t for en betaling der falder om T år, dvs. på tidspunkt t+t. r(t, h, T ) Afkastet på en (oprindelig) T-årig nulkuponobligation (nko) mellem tidpunkt t og t+h. Afkastet på en T-årig nko kan bestemmes som forholdet mellem salgsprisen ultimo og købsprisen primo: d(t + h, T h) (1 + r(t, h, T )) =. d(t, T ) 2

3 Example 1 Tabellen viser rentestrukturen 2/1-96 og 2/1-97, samt det realiserede nko-afkast imellem de to datoer. F.eks. er afkastet på en 4-årig nko beregnet som 87,24/79,68-1 = 9,49% Tid Diskont. Spot Diskont. Spot Afkast 0 100,00 100, ,48 4,73 96,38 3,76 4, ,61 5,06 92,21 4,14 6, ,26 5,46 87,24 4,66 8, ,68 5,84 81,83 5,14 9, ,68 6,30 76,25 5,57 11, Afkast for obligationer Antag først, at obligationen handles til sin nutidsværdi, dvs. at den købes tidspunkt t til prisen nx (t) = b k d(t, t k ) og sælges tidspunkt t + h til prisen k=1 (t + h) = nx b k d(t + h, t k h) k=1 Ved omflytning af formlen for obligationens afkast fås: Afkast = = = bk d(t + h, t k h) b k d(t, t k ) (t) bk (d(t, t k )(1 + r(t, h, t k )) d(t, t k )) (t) r(t, h, tk )b k d(t, t k ) bk d(t, t k ) dvs. at hvis vi kender nko-afkastet kan ligevægtsafkastet for almindelige obligationer findes ved at vægte nko-afkastet for hver enkelt betaling med betalingens nutidsværdi. 3.3 Obligationsafkast - eksempel Example 2 Tabellen viser en simpel rentestruktur. Vi forudsætter uændret rentestruktur på tid 1. 3

4 Disk. Spot- Forward- Disk. 1-årigt tid 0 renter renter tid 1 afkast T d(0,t) R(0,T) f(0,t-1,t) d(1,t) r(0,1,t) 1 0,9000 0,1111 0,1111 0,9000 0, ,8000 0,1180 0,1250 0,8000 0, ,7000 0,1262 0,1429 0,7000 0,1429 Et 3-årigt 10% stående lån har en oprindelig ligevægtspris på 10 0, , , 7=94 Efter et år har vi 2-årigt stående lån plus en kupon. Værdien er , , 8=107 Afkastet på obligationen bliver 107/94 = 0, 1383 Samme afkast kan findes som et nutidsværdivægtet gennemsnit af enkeltbetalingernes afkast 9 0, , , =0, Afkast lig med effektiv rente Det er muligt at opstille simple afkastforudsætninger og beregne den tilsvarende udvikling i rentestrukturen. Afkast lig den effektiv rente primo, hvilket opnås ved at sætte (T h) d(t + h, T h) =(1+R(t, T )) hvilket netop svarer til et afkast på 1+r(t, h, T )= (1 + R(t, T )) (T h) (1 + R(t, T )) T =(1+R(t, T )) h Så rentestrukturen må skifte, hvis afkastet skal være lig den effektive rente primo. Den 4-årige rente om 1 år skal være lig med den 5-årige rente nu. T R(0,T) R(1,T) f(0,t-1,t) d(0,t) d(0,t) Afkast 1 4,00% 5,00% 4,00% 0,9615 0,9524 4,00% 2 5,00% 6,00% 6,01% 0,9070 0,8900 5,00% 3 6,00% 6,50% 8,03% 0,8396 0,8278 6,00% 4 6,50% 7,00% 8,01% 0,7773 0,7629 6,50% 5 7,00% 7,00% 9,02% 0,7130 0,7130 7,00% 6 7,00% 7,00% 7,00% 0,6663 0,6663 7,00% 4

5 3.5 Afkast ved uændret rentestruktur Uændret rentestruktur d(t + h, T h) =d(t, T h) r(t, h, T )= d(t, T h) d(t, T ) 1=f(t, T h, T ) Dvs. at afkastet ved uændret rentestruktur er lig med forwardrenten for betalingens løbetid. T R(0,T) R(1,T) f(0,t-1,t) d(0,t) d(0,t) Afkast 1 4,00% 4,00% 4,00% 0,9615 0,9615 4,00% 2 5,00% 5,00% 6,01% 0,9070 0,9070 6,01% 3 6,00% 6,00% 8,03% 0,8396 0,8396 8,03% 4 6,50% 6,50% 8,01% 0,7773 0,7773 8,01% 5 7,00% 7,00% 9,02% 0,7130 0,7130 9,02% 6 7,00% 7,00% 7,00% 0,6663 0,6663 7,00% 7 7,00% 7,00% 7,00% 0,6227 0,6227 7,00% 3.6 Samme afkast for alle obligationer Den simpleste forventningshypotese antager, at alle obligationer prissættes, så de har samme afkast givet investorernes forventninger til den fremtidige rentestruktur. Ud fra dagens rentestruktur, kan vi derfor regne omvendt og finde den forventede rentestruktur på tidspunkt h, som sikrer samme afkast for alle obligationer. Da det h-årige afkast på en h-årig obligation ikke afhænger af renteforventninger må de andre obligationer også give det h-årige afkast, dvs. der netop giver afkastet d(t + h, T h) =(1+r(t, h, h)) d(t, T ) r(t, h, T )=r(t, h, h), for alle T T R(0,T) R(1,T) d(0,t) d(1,t) Afkast 1 4,00% 6,01% 0,9615 0,9433 4,00% 2 5,00% 7,01% 0,9070 0,8732 4,00% 3 6,00% 7,35% 0,8396 0,8084 4,00% 4 6,50% 7,76% 0,7773 0,7415 4,00% 5 7,00% 7,61% 0,7130 0,6930 4,00% 6 7,00% 7,51% 0,6663 0,6477 4,00% 5