Et Trine-udtryk, der angiver en liste af heltal, kan involvere konstanter, ++-operatoren, udtagelse af dellister og kopiering af elementer.

Transkript

1 Opgave 1 è20èè Et Trine-udtryk, der angiver en liste af heltal, kan involvere konstanter, ++-operatoren, udtagelse af dellister og kopiering af elementer. S danne udtryk kan beskrives med den rekursive type: Type IntList = Sumèconst: ListèIntè, concat: Prèleft, right: IntListè, sub: Prèargument: IntList, i, j: Intè, xerox: Prèelement: Int, n: Intè è Fx vil Trine-udtrykket Listè1,2,3è blive repr senteret som: IntListèconst: Listè1,2,3èè, Listè1,2,3è++Listè4,5,6è som: IntListèconcat: PrèIntListèconst:Listè1,2,3èè,IntListèconst: Listè4,5,6èèèè, Listè1,2,3èè0..2è som: IntListèsubèIntListèconst: Listè1,2,3èè,0,2èè og Listè5 17è som: IntListèxerox: Prè5,17èè. Skriv en v rdiprocedure: Proc Evalëx: IntListë èlistèintèè der beregner v rdien af den angivne liste. Der l gges v gt p, at besvarelsen er letl selig, detaljeret og korrekt.

2 Opgave 2 è20èè Betragt f lgende algoritme, der çnder de to st rste tal i en liste: Algoritme: Multiplikation Stimulans: x: ListèIntè, x 2 Respons: Mete: if x.è0è x.è1è m, n:= 0, 1 x.è1è x.è0è m, n:= 1, 0 ç i:= 2 do íií i< x if x.èiè x.èmè m, n:= i,m &x.èiè x.ènè n:= i ç i:= i+1 m,n: èx.èmè xè0.. x èè èx.ènè xè0..mè++xèm+1.. x èè Betragt f lgende samling af foresl ede invarianter: I 1 :x.èmè x.ènè I 2 :è0 m,n<i x è èx.èmè xè0..ièè èx.ènè xè0..mè++xèm+1..ièè I 3 : èx.èmè xè0.. x èè èx.ènè xè0..mè++xèm+1.. x èè I 4 : false aè Hvilke af invarianterne er gyldige? Angiv for hver et bevis eller et meksempel. bè Hvilke af de gyldige invarianter medf rer sammen med terminering korrekthed? Begrund dine svar. cè Bevis terminering og dermed korrekthed af algoritmen.

3 Opgave 3 è20èè Der skal konstrueres en box SparseMatrix med f lgende udseende Box SparseMatrix Type M = uendelig matrix af heltal Proc Initëx: Më Proc Lookupëx: Mëèi, j: Intè èintè Proc Updateëx: Mëèi, j, v: Intè Proc Transposeëx: Më Proc Addëx: Më èintè end SparseMatrix som realiserer en datastruktur, hvis v rdier er uendelige matricer af heltal, dvs. strukturer der til hvert par af ikke-negative heltal (i, j) knytter et heltal. Proceduren Init giver den uendelige matrix med nuller p alle pladser. Proceduren Lookup returnerer v rdien med index èi, jè. Proceduren Update ndrer v rdien med index èi, jè til at v re v. Proceduren Transpose transponerer matricen, dvs. spejler dens elementer i hoveddiagonalen. Proceduren Add giver summen af matricens elementer. I det f lgende angiver x antallet af elementer i x, der har v rdi forskellig fra nul. aè Giv en formel speciçkation af proceduren Transpose. bè Beskriv en realisation af typen M, s Init f r tidskompleksitet O(1), Lookup og Update f r tidskompleksitet O(log x ), ogtranspose og Add f r tidskompleksitet O(1).

4 Opgave 4 è20èè I denne opgave indf rer vi en ny bin r operator i Rasmus. Syntaksen er: R ëaë S Det kr ves, at a er navnet p en attribut, der er f lles for relationerne R og S, samt atdeikke har andre f lles attributter. Resultatet af operationen er de tupler r s, for hvilke der çndes pr cis en a-v rdi a s ledes at tuplet r a er i R og tuplet a s er i S. Lad i det f lgende R og S v re relationerne: S lger:text Vare:Text Vare:Text K ber:text Fido AèS Anders Husfeldt Katte Discount kat kat Thore Hougaard Vov & Co. Turtles 'R Us skildpadde og skildpadde Jesper Arge Lars Pedersen Furry Friends Ole Sandholm Jysk Kanin Import Jan Lauridsen Fibonacci Int'l guldfisk Ole Gulmann aè Angiv for eksempelrelationerne resultatet af: R ëvareë S. bè Angiv, hvilke af f lgende regneregler, der er gyldige èunder antagelse af at begge sider er lovlige relationsudtrykè. Begrund dine svar. 1è R ëaë R = R 2è R ëaë S = S ëaë R 3è èr ëaë Sè ëbë T = R ëaë ès ëbë Tè 4è èr ëaë ès + Tèè = èr ëaë Sè + èr ëaë Tè 5è èr ëaë ès * Tèè = èr ëaë Sè * èr ëaë Tè cè Vis, hvorledes R ëaë S generelt kan udtrykkes ved hj lp af de s dvanlige operatorer i Rasmus.

5 Opgave 5 è20èè F lgende algoritme fra ëgrafalgoritmer og Algoritmisk Probleml sningsteknikë beregner en topologisk sortering af en orienteret acyklisk graf. Algoritme: Topologisk Sortering Stimulans : G =(V,E) orienteret acyklisk graf Respons : TopSort: Vector, indeholder topologisk sortering af G Mete : Indegree:= Vectorè0 nè for èv, wè in E do Indegree.èwè:= Indegree.èwè+1 NS'InitëRëènè for v in V do if Indegree.èvè =0 NS'InsertëRëèvè ç TopSort, N:= Vectorè0 nè, 1 do NS'EmptyëRë NS'DeleteSomeëR, vë TopSort.èvè, N:=N, N+1 for èv, wè in E do Indegree.èwè:= Indegree.èwè-1 if Indegree.èwè =0 NS'InsertëRëèwè ç aè Argument r for, at der çndes en l ngste vej i en orienteret acyklisk graf. bè Miçc r meten, s den i stedet realiserer f lgende algoritme. Algoritme: L ngste vej Stimulans : G =(V,E), orienteret acyklisk graf Respons :L:Int, angiver l ngden af den l ngste vej i G Mete :