Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
|
|
|
- Christen Frederiksen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation Standard vektorer Identitetsmatricen Calculus Uge
2 Taltupler [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Calculus Uge
3 Taltupler [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Calculus Uge
4 Taltupler [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Vektoren, hvis koordinater alle er 0 kaldes nulvektoren. 0 = (0,...,0) Calculus Uge
5 Planen [LA] 1 Koordinatvektorer Figur y b (a, b) 0 a x Talplanen R 2 Calculus Uge
6 Planen [LA] 1 Koordinatvektorer Figur y b (a, b) 0 a x Talplanen R 2 Calculus Uge
7 Planen [LA] 1 Koordinatvektorer Figur y b (a, b) 0 a x Talplanen R 2 Calculus Uge
8 Rummet Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.1 Three-dimensional co... z c 0 (a, b,c) b y a x Talrummet R 3 Calculus Uge
9 Rummet Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.1 Three-dimensional co... z c 0 (a, b,c) b y a x Talrummet R 3 Calculus Uge
10 Rummet Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.1 Three-dimensional co... z c 0 (a, b,c) b y a x Talrummet R 3 Calculus Uge
11 Addition Definition Sum af vektorer x + y = x 1. + y 1. = [LA] 1 Koordinatvektorer x 1 + y 1. x n y n x n + y n Calculus Uge
12 Addition Definition Sum af vektorer x + y = x 1. + y 1. = [LA] 1 Koordinatvektorer x 1 + y 1. x n y n x n + y n Eksempel = Calculus Uge
13 Skalering [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor αx = α x 1. = αx 1. x n αx n Calculus Uge
14 Skalering [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor αx = α x 1. = αx 1. x n αx n Eksempel = Calculus Uge
15 Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler Calculus Uge
16 Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler 1. Kommutativ lov u + v = v + u Calculus Uge
17 Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler 1. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Calculus Uge
18 Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler 1. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 3. Distributive love r(u + v) = ru + rv (r + s)u = ru + su Calculus Uge
19 Associativ addition Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors a + b + c b + c c b a a + b Associativ lov for vektorer i planen Calculus Uge
20 Associativ addition Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors a + b + c b + c c b a a + b Associativ lov for vektorer i planen Calculus Uge
21 Associativ addition Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors a + b + c b + c c b a a + b Associativ lov for vektorer i planen Calculus Uge
22 Linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) λ 1,...,λ k giver linearkombinationen λ 1 u λ k u k Calculus Uge
23 Linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) λ 1,...,λ k giver linearkombinationen λ 1 u λ k u k Eksempel = Calculus Uge
24 Linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) λ 1,...,λ k giver linearkombinationen λ 1 u λ k u k Eksempel = Calculus Uge
25 Span [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ 1 u λ k u k Calculus Uge
26 Span [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ 1 u λ k u k Et span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Calculus Uge
27 Span [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ 1 u λ k u k Et span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Eksempel Diagonalen i talplanen er et span {(x,y) x = y} = span((1, 1)) R 2 Calculus Uge
28 Vektorrum [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Calculus Uge
29 Vektorrum [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Eksempel Et underrum i R n er et vektorrum. Calculus Uge
30 Vektorrum [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Eksempel Et underrum i R n er et vektorrum. Eksempel Mængden af alle reelle funktioner f : X R er et vektorrum. Calculus Uge
31 Test linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Afkryds: ja nej Calculus Uge
32 Test linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. ja nej Calculus Uge
33 Test linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: ja nej x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. Calculus Uge
34 Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Calculus Uge
35 Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a a 1n =. a ij. a m1... a mn Calculus Uge
36 Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Calculus Uge
37 Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Matricen 0 = (0) med alle indgange lig 0 kaldes nulmatricen. Calculus Uge
38 Matrix række/søjle Definition En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n Calculus Uge
39 Matrix række/søjle Definition En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) Calculus Uge
40 Matrix række/søjle Definition En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) og j-te søjle a j = a 1j. a mj Calculus Uge
41 Rækker og søjler Eksempel m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) Calculus Uge
42 Rækker og søjler Eksempel m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) n = 1 søjlevektor/søjlematrix a 1. a m Calculus Uge
43 3x4 matrix Eksempler 3 4-matrix Calculus Uge
44 3x4 matrix Eksempler 3 4-matrix rækkematrix ( ) Calculus Uge
45 3x4 matrix Eksempler 3 4-matrix rækkematrix ( ) søjlematrix Calculus Uge
46 Addition skalering Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. Calculus Uge
47 Addition skalering Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Calculus Uge
48 Addition skalering Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Eksempel ( ) ( ) = ( ) = 2 ( ) Calculus Uge
49 Matrix multiplikation Definition (Multiplikation) En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Calculus Uge
50 Matrix multiplikation Definition (Multiplikation) En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p Calculus Uge
51 Matrix multiplikation Definition (Multiplikation) En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p c ik = a i1 b 1k + + a in b nk = n j=1 a ij b jk Calculus Uge
52 Gange er nemt Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. Calculus Uge
53 Gange er nemt Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk Calculus Uge
54 Gange er nemt Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk = a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus Uge
55 Øvelse Eksempel ( ) ( ) Calculus Uge
56 Øvelse Eksempel = ( ) ( ) ( ) [ ] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) ] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus Uge
57 Øvelse Eksempel = ( ) ( ) ( ) [ ] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) ] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus Uge
58 Øvelse Eksempel = ( ) ( ) ( ) [ ] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) ] [( 1) ( 5) + 8 0] = ( ) Calculus Uge
59 Regneark Eksempel Rækkesum a a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a a 1n. a m1 + + a mn Calculus Uge
60 Regneark Eksempel Rækkesum a a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a a 1n. a m1 + + a mn Søjlesum = ( ) a a 1n 1,..., 1. a ij. a m1... a mn ) (a a m1,..., a 1n + + a mn Calculus Uge
61 Vigtigste regneregel Sætning 1 (Associativ lov) Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Calculus Uge
62 Vigtigste regneregel Sætning 1 (Associativ lov) Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bevis Fælles il-te indgang d il = j,k a ij b jk c kl Calculus Uge
63 Multiplikation og linearkombination Sætning 2 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Calculus Uge
64 Multiplikation og linearkombination Sætning 2 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Bevis Udregn y i = j a ij x j Calculus Uge
65 Nemme regneregler Bemærkning Simple regneregler For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder Associativ lov Distributive love A + (B + C) = (A + B) + C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Calculus Uge
66 Pas på Advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA ( ) ( ( ) ( ) ) = = ( ) ( ) Calculus Uge
67 Pas på Advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA Nulreglen gœlder ikke ( ) ( ( ) ( ) ) = = ( ) ( ) A 0, B 0, AB = 0 Calculus Uge
68 Test matrix multiplikation Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) 1 x x x (a) =. 3 4 x x 22 ( ) ( ) ( ) (b) = Afkryds det rigtige: (a) (b) Calculus Uge
69 Test matrix multiplikation Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) 1 x x x (a) =. 3 4 x x 22 ( ) ( ) ( ) (b) = Afkryds det rigtige: (a) (b) Løsning ( ) ( ) 1 x x 4 = ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [ x] [ ] Calculus Uge
70 Test matrix multiplikation Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) 1 x x x (a) =. 3 4 x x 22 ( ) ( ) ( ) (b) = Løsning ( ) ( ) 1 x x 4 = Afkryds det rigtige: ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [ x] [ ] (a) (b) Calculus Uge
71 Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. Calculus Uge
72 Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er e i = 1. 0 Calculus Uge
73 Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er e i = 1. 0 e i = ( ) 0,..., 1,..., 0 Calculus Uge
74 Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e 1,...,e n ) = R n Calculus Uge
75 Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har fremstillingen x = n i=1 x i e i Calculus Uge
76 Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har fremstillingen x = n i=1 x i e i Eksempel (1, 2, 3) = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) 3(0, 0, 1) Calculus Uge
77 Multiplikation af enhedsvektorer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. Calculus Uge
78 Multiplikation af enhedsvektorer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A Ae j = a j Calculus Uge
79 Multiplikation af enhedsvektorer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. e i A = a i Calculus Uge
80 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix Definition En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Calculus Uge
81 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix Definition En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Identitetsmatricen I n = med 1 i diagonalen og 0 udenfor er en diagonalmatrix. Calculus Uge
82 Multiplikation af identitetsmatrix Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Calculus Uge
83 Multiplikation af identitetsmatrix Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Calculus Uge
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Matricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
To ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/40/21226631.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Note om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Lineær Algebra. Differentialligninger
Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................
Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/40/21648714.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Matematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/62/46643337.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
DesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Vektorer. Ib Michelsen
Vektorer Ib Michelsen Ikast 018 Forside: Daniel (og Kristian) demonstrerer "kræfternes parallelogram". Bemærkninger om tegningen og notation: Vektorerne er v, w1 og w. GeoGebra (som tegningen er lavet
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
DesignMat Uge 11. Vektorrum
DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en
Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
DesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Carl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
![Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion](/thumbs/71/64059563.jpg "Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Matematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Noter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Module 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12
Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Egenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Lineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Lineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor
enote 10 1 enote 10 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig
Vektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen
Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating
Om første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Undervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Vektorrum. Vektorer på en ret linje
Vektorrum Vektorer på en ret linje Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne på en uendelig ret linje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om den reelle talakse,
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Egenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Mat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Egenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g