Teoretiske Øvelsesopgaver:
|
|
- Jacob Mogensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere end ét reciprokt element b 1? Tip: Betragt udtryk af formen -b 1 + b + -b 2 b 1 1 b b 1 2 benyt regnereglerne i legemer TØ-Opgave 2 Boolsk algebra Scheffer s streg: Legemer behøver ikke at bestå af tal Så vores lille legeme {0, 1} med additions- multiplikationstabellerne kunne feks bestå af sandhedsværdierne falsk 0 sand 1 Dvs + bliver de liske/boolske operatorer exclusive or and, vi har nu 10 lik-regler T1-10 for disse to operationer! Vi definerer nu en ny operation kaldet Sheffer s streg: Idet, betegner hhv de liske operatorer not, and or, bedes I vise følgende for alle sandhedsværdier a b : a a b = a b Sheffer s streg kaldes så nand b a a = a c a b = a b Tip: Se på tabeller for bla a b a b Benyt dette til at udtrykke a b a + b udelukkende via den nye operator I dette lille legeme har vi altså ikke brug for to forskellige operatorer, idet alle sædvanlige liske operatorer kan udtrykkes via Sheffer s streg! Har c net at gøre med følgende udsagn?: Hvis A B er to delmængder af rummet R 2, så er foreningsmængden A B lig med R 2 \ R 2 \ A R 2 \ B, hvor R 2 \ betegner komplementærmængde fællesmængde TØ-Opgave 3 Det irrationelle tal 2: I Forelæsningsnote 1 påstås det, at 2 ikke er et rationelt tal Vis, at dette er korrekt ved at antage, at der findes to heltal p q 0, så p = 2 q Tip: Vis, at denne antagelse medfører, at p 2 er et lige heltal, at p er lige, at q er lige, at brøken p derfor kan forkortes med en q faktor 2 i tæller nævner Hvorfor fører antagelsen tilsidst til en modstrid?
2 TØ-Opgave 4 Legemerne blandt ringene Z q : Når man heltalsdividerer et heltal p med et positivt heltal q N, får man en heltallig kvotient kvot = p div q en heltallig rest r = p mod q, hvor r {0, 1,, q 1}, p = kvot q + r Feks er 21 div 4 = 5 21 div 4 = -6, idet resterne er hhv 1 3 Lad nu et heltal q 2 være givet, betragt den endelige mængde Z q = {0, 1,, q 1} Vi definerer additionen + q multiplikationen q på denne mængde via de sædvanlige heltalsoperatorer + : a + q b = a + b mod q a q b = a b mod q får herved en ring med 1-element Dette behøver I ikke vise! Er Z q så et tallegeme? Svaret er ja, hvis q er et primtal, nej ellers, I skal nu vise nej et: Vis, at Z q ikke er et legeme, hvis q er delelig med et af tallene 2, 3,, q 1 Tip: Vis først, at produktet af to elementer a 0 b 0 i et tallegeme ikke kan være 0, idet a 1 b 1 eksisterer Har I set legemet Z 2 tidligere i dette kursus? Hvad er i legemet Z 7? TØ-Opgave 5 Legemet af orden primtal n, dvs 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, : Faktisk findes der for hvert primtal hvert n N kun ét endeligt legeme med primtal n elementer når vi ser bort fra omdøbning af elementer! Dette legeme dem, hvor elementerne har andre navne kaldes for Galois legemet af orden primtal n betegnes GFprimtal n Eng: field betyder bla algebraisk legeme Brug denne oplysning samt TØ-Opgave 4 Z 3 er et legeme til at afgøre hvilke af følgende mængder, der er legemer: 1 Mængden {a, b, c}, hvor + a b c a c a b b a b c c b c a a b c a c b a b b b b c a b c 2 Mængden {a, b, c}, hvor + a b c a a b c b b c a c c a b a b c a a a a b a b c c a c a 3 Mængden {a, b, c}, hvor + a b c a b c a b c a b c a b c a b c a a b c b b a c c c c c
3 TØ-Opgave 6 Eksempler på brug af punkt-matricer i grafteori: I grafteori benyttes ofte to-dimensionelle talsæt til at repræsentere grafen den information, der måtte findes i grafen Lad os feks se på nedenstående graf, der har 7 punkter/knuder et antal kanter mellem punkterne Da alle kanter er ensrettede, dvs gående fra eet punkt til et andet, siges grafen at være en orienteret graf Til at repræsentere grafen kan vi bruge en såkaldt punkt-matrix P, hvor P i,j = 1, hvis der findes en kant fra punkt i til punkt j, 0 ellers P = Til enhver matrix hører der jo en lineær afbildning f P x = P x, så man kunne måske være interesseret i at finde ud af, hvilken betydning f P har rent graf-teoretisk? a Hvis det reelle tal x i betegner en præmie/straf afhængig af x i s fortegn for at pege på knude nr i, i = 1, 2,, 7, hvad betegner f P x så? Tip: Hvad betegner x j f P e j? De spørgsmål, som graf-teoretikere er interesseret i, involverer d sjældent afbildningen f P direkte Derimod kan graf-teoretikere feks være interesserede i at finde ud af, om det er muligt at komme fra et vilkårligt punkt til et andet i en graf b Hvad kan vi læse ud af P 2 = ?
4 c Hvilken af de to matricer P 7 6 k=1 P k = P + P P 6 kan vi bruge til at finde ud af, om man kan komme fra punkt i til punkt j? Hvad betyder det, når det 3, 5 te 5, 3 te element i denne matrix er hhv 0 4? d Lad os udvide de reelle tal med + udfylde punkt-matricen med kantlængder i stedet for blot 0 1: P = Hvad tror I, det j, k te element i P repræsenterer, når følgende algoritme er udført? I behøver ikke bevise jeres formodning Algoritmen har ikke meget med lineær algebra at gøre! for i from 1 to 7 do for j from 1 to 7 do for k from 1 to 7 do P[j, k] := min{ P[j, k], P[j, i] + P[i, k] } end do; end do; end do; TØ-Opgave 7 Eksempel på brug af grafteori til omordning af matrix-elementer: Som vi så i foregående opgave, så benyttes der somme tider matricer inden for graf-teorien, men det forekommer d oftere, at graf-teori benyttes til at undersøge matricer! Hvis vi har en stor, sparse n n matrix A dvs n er stor, mange af A s elementer er 0, så kan vi ud fra en graf relativt let se, om en omordning af rækker søjler i matricen kunne give en matrix, der i en eller anden sammenhæng ville gøre vores matrix-beregninger lettere Betragt feks den reelle matrix A = π exp Grafen i TØ-Opgave 6 viser, hvorvidt element A i,j er forskellig fra 0, ud fra en af matricerne i spørgsmål c kan vi konkludere, at der ingen veje er fra punkterne {1, 3, 6, 7} til punkterne {2, 4, 5} Hvis vi derfor skriver matricens rækker søjler i rækkefølgen 1, 3, 6, 7, 2, 4, 5 får vi en såkaldt blok-matrix, der har kvadratiske blok-matricer i øverste venstre nederste højre hjørne:
5 Ā = Ā 1,1 0 Ā 2,1 Ā 2,2 = π exp Antag nu, at vi ønsker at finde løsningsmængden til et givet lineært ligningssystem A x = b, hvor højreside-vektoren b er givet Vi kan omordne ligningerne uden at ændre løsningsmængden, vi kan så ændre nummereringen af de ubekendte i x-vektoren, så vi i stedet betragter et ligningssystem af formen Ā x = b, hvor x = x 1, x 3, x 6, x 7, x 2, x 4, x 5 a Vis, at der ikke er løsninger til A x = b for vilkårlige reelle b ved kun at se på de øverste 4 ligninger i Ā x = b b Vis, at den linære afbildning f A x = A x ikke er surjektiv c Find løsningsmængden {x A x = b}, når b = 473, 90, 567, 0, 5, 3 2, 3 d Vis, at den lineære afbildning f A x = A x ikke er injektiv e Vis, at løsningsmængden ker f = {x f A x = 0} så kaldet kernen for f eller nulrummet for matricen A er 1-dimensionelt, dvs at der eksisterer een egentlig basis-vektor u, så ethvert x i ker f kan skrives på entydig måde som et tal gange u Det følger da af Sætning 487, at mængden af de højresidevektorer b, for hvilke der er løsninger til ligningssystemet, kun er 6-dimensionelt, at der derfor ikke er løsninger for vilkårlige b i det 7-dimensionelle R 7, men den sætning har vi jo endnu ikke gennemgået TØ-Opgave 8 Tidskompleksitet af visse matrix-operationer: Hvis den absolutte værdi af en funktion f : R R er begrænset af en positiv konstant k + gange en funktion g i en omegn af et reelt tal x 0, har vi, at fx k + gx for alle x, når x x 0 < ε, for et eller andet ε > 0 Dette skrives oftest kortere på følgende måde: fx = Ogx for x x 0 Feks har vi ved brug af denne såkaldte store-o-notation, at
6 10x 4 355x = O1 for x 0, 27 = O1 for x 1, x 3 x x 2 x 1 = Ox 2 for x 0 Når man skal vurdere, hvor megen tid eller plads udførelsen af en algoritme kræver dvs dens tids- eller pladskompleksitet, er det som regel kompleksiteten for løsningen af de store problemer, der er interessant Dvs hvis fx feks angiver den tid, der kræves for at løse det værst tænkelige problem af størrelse x, vil man gerne finde en simpel funktion gx á la x 4, x! eller expx, hvor der gælder, at fx c gx for alle x > et eller andet x 0 Også i denne situation benyttes O-notationen, så: 10x 4 355x = Ox 4 for x, 27 = Ox 3 for x, x 3 x = Ox 3 for x 27 x 2 x 1 a I NVP, Afsnit 37, skal vi lære om en rekursiv algoritme til at regne den såkaldte determinant ud for en n n matrix Hvis n er 2, kræver algoritmen 3 simple regneoperationer multiplikation addition/subtraktion af tal, men for større n kræver den, at man først regner determinanterne af n stk n 1 n 1 matricer ud, derefter udfører 2n 1 simple regneoperationer Idet vi antager, at hver regneoperation tager højst k + tidsenheder, har vi altså følgende for algoritmens tidsfunktion f: f2 3k +, fn n fn 1 + 2n 1k + Vis pr induktion, at fn gn n!, hvor 1 gn = 25k + + 2k + i! i=0 Da gn k + 2exp1 25 er fn altså On! b Vi ved, at en vilkårlig n n matrix A kan omformes til en trappematrix via Gauss-elimination Da elementerne a i,j i en sådan n n trappematrix er 0, hvis i > j, kaldes en trappematricen for en øvre trekantsmatrix, dennes determinant koster kun n 1 multiplikationer at beregne Sætning 344! Determinanten for A fås som ±determinanten for trappematricen, hvor + benyttes, hvis omformningen krævede et lige antal rækkeombytninger, ellers Dvs tidskompleksiteten af denne algoritme til beregning af determinanten for A er: fn = Gauss eliminationn + On
7 Benyt O-notationen, følgende formler evt så prramskitsen til at vise, at dette fn kun er On 3 n k=i+1 n i = 2n i = i = 1 2 n 1n = On2 2n in i = 2 i 2 = 1 3 n 1n2n 1 for i from 1 to n 1 do # danne 0 er under element i, i find maxi [i, n] så A[maxi, i] er maksimal : if maxi <> i then byt elementerne A[i, j] A[maxi, j] for j = i, i + 1,, n end if: if A[i, i] <> 0 then # operationer er da nødvendige for k from i + 1 to n do # addere til række k c := A[k, i] / A[i, i]: # c beregnes så A[k, i] bliver 0 for j from i to n do # addition af c gange række i A[k, j] := A[k, j] + c A[i, j] # til række k end do end do end if end do c Vis ved brug af formlerne i b, at det kun koster n 2 simple regneoperationer at løse et lineært ligningssystem med en n n trappematrix som koefficientmatrix, konkludér at en evt løsning til et generelt n n ligningssystem kan findes via On 3 simple regneoperationer d Antag, at vi skal have beregnet A 1 ganget en vektor b Vi finder en effektiv algoritme til at beregne A 1 via 2n 3 + On 2 simple regneoperationer ganger denne matrix på vektoren b Kunne vi have sparet nle beregninger, når Gauss-elimination nu kun koster 2 3 n3 + On 2 operationer? TØ-Opgave 9 Determinant som biprodukt ved Gauss-elimination: Lav nle få udvidelser af prramskitsen i TØ-Opgave 8, så determinanten af koefficientmatricen beregnes lige efter Gauss-eliminationen TØ-Opgave 10 Determinanter, der er lette at beregne: Bestem, uden at regne ret meget, værdien af følgende determinanter Brug NVP eller definitionen på deta i Forelæsningsnote 4 a e b f c g d h
8 TØ-Opgave 11 Række- eller søjleudvikling af determinant: Udregn følgende determinant ved at udvikle efter en passende række eller søjle jf NVP, Afsnit 37 31: TØ-Opgave 12 En lineær afbildning fra R 2 2 til R 2 2 : Betragt følgende afbildning fra R 2 2 til R 2 2 : x1 x f 2 x1 + x = 2 0 x 3 x 4 2x 1 + 2x 2 x 1 x 2 a Vis, at f er en lineær afbildning b Find via en isomorfi φ : R 2 2 R 4 baser for underrummene fr 2 2 ker f Tip: Se på Isof = φ f φ 1 : R 4 R 4 c Check at Dimensionssætningen er opfyldt for f d Er f surjektiv, injektiv eller bijektiv? e Vis, at to endeligt-dimensionelle isomorfe underrum altid har samme dimension Tip: Definition 432 Sætning 425 f Lad f t : R 2 2 R 2 2 være afbildningen f t = φ 1 Isof t φ Vis ved kun at bruge sætninger fra NVP, at f t R 2 2 ker f t er 2-dimensionelle, find den omvendte afbildning til f indskrænk : f t R 2 2 fr 2 2, hvor f indskrænk har samme værdier som f Tip: f t R 2 2 fr 2 2 består hhv af matricerne a b 0 0 c 0 2c d, hvor a, b, c, d R g Udvid basen for ker f til en basis for R 2 2 TØ-Opgave 13 Beregninger i vektorrummene C n C m n : Idet der henvises til Forelæsningsnote 5 vedr vektorrummene C n C m n, bedes I udregne x y, y x, 2 + 5ix y, x 2 + 5iy, x x, x, 2 + 5ix 2 + 5ix 2 + 5ix, når x = 2 + 3i i 2 i y = 1 i 2 + 2i 3
9 TØ-Opgave 14 Determinanter af Hermiteske hhv symmetriske matricer: Idet der henvises til Forelæsningsnote 5 vedr Hermiteske matricer, bedes I vise, at følgende Hermiteske matricer har reelle determinanter ved at udregne dem: i 3 4i i i 3 4i 3 + 2i 3 I bedes så vise, at følgende symmetriske matricer ikke har reelle determinanter ved at udregne dém: i 3 + 4i i i 0 2 i 3 2i 3 + 4i 3 2i 3 + i TØ-Opgave 15 Fra komplekse vektorer matricer til reelle: Følgende observation kan være nyttig, når man skal arbejde med komplekse vektorer matricer i prrammeringsspr, hvor typen complex mangler: En vilkårlig vektor z C n matrix C C m n kan skrives på formen z = x+i y C = A+i B, hvor x, y R n A, B R m n Ved at samle de reelle led de imaginære led i ligningssystemet A + i Bx + i y = b + i c, får man da omformet det komplekse ligningssystem til et reelt system: A B B A x y = b c Løs følgende ligningssystem ved udelukkende at arbejde på reelle tal: i 3i 1 5i z1 TØ-Opgave 16 Eksisterer tallet 1?: z 2 = 8i 5i 4 Diskutér følgende bevis for, at 1 = 1 medfører 1 = 1: 1 = 1 1 = = = 1 1 = = 1
Lineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereMatematik Camp Noter og Opgaver
Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereP (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIndhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLinAlgDat 2014/2015 Google s page rank
LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mere