Matricer og lineære ligningssystemer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matricer og lineære ligningssystemer"

Transkript

1 Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium

2 Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix og matrixligninger 1 Lineære ligningssystemer 15 1 To ligninger med to ubekendte 15 Højere ordens systemer, n lineære ligninger med n ubekendte 16 3 Totalmatricer og rækkeoperationer 19 A Matricer på TI-lommeregnere 6 A1 Indtastning 6 A11 TI A1 TI-89 6 A Regning med matricer og invers matrix 6 A1 TI A TI-89 6 A3 MATH-menu og determinant 7 A31 TI A3 TI-89 7 A4 Matrixligninger 7 A41 TI-83+ og TI

3 Kapitel 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber En matrix er et rektangulært skema af tal feks Matricen ovenfor er en (4 3)matrix dvs den består af re rækker og tre søjler Helt generelt er en matrix A med m rækker og n søjler, en (m n) matrix, et skema a 11 a 1 a 13 a 1 n 1 a 1 n a 1 a a 3 a n 1 a n a A = 31 a 3 a 33 a 3 n 1 a 3 n a m 1 1 a m 1 a m 1 3 a m 1 n 1 a n 1 n a m 1 a m a m 3 a m n 1 a n n Tallene i skemaet kaldes matricens elementer og tallet i den i te rækker og j te søjle betegnes a ij, og kaldes det ij'te element I taleksemplet ovenfor er a 11 = 1, a 3 = Rækken a i1 a i a i3 a i n 1 a in

4 KAPITEL 1 MATRICER 3 kaldes den i'te række og søjlen a 1j a j a mj kaldes den j te søjle Matricer betegnes med store bogstaver A, B, og betegnes kort som (a ij ) og (b ij ) Eksempel 111 En (3 )matrix kan skrives a 11 a 1 A = a 1 a a 31 a 3 Eksempel 11 Matricen har to rækker og fem søjler og er dermed en ( 5)matrix 1 Regning med matricer Hvis vi har to matricer med samme antal rækker og søjler, kan vi lægge de to matricer sammen Det gør man ved at lægge sammen "plads for plads" = Den resulterende matrix kaldes summen af matricerne Vi denerer Denition 11 Lad A = (a ij ) og B = (b ij ) være to (m n)matricer Så deneres A + B = (a ij + b ij ) Matricen A + B kaldes summen af A og B

5 KAPITEL 1 MATRICER 4 Eksempel = giver ikke mening Opgave 13 Udregn For matrixaddition gælder følgende Sætning 14 Lad A, B og C være vilkårlige (m n)matricer Så vil (i) A + (B + C) = (A + B) + C (ii) A + B = B + A (iii) Der ndes en matrix 0, kaldet nulmatricen, som opfylder for alle A A + 0 = A (iv) Til enhver matrix A ndes en modsat matrix A, så A + ( A) = 0 Bevis De første to regler følger umiddelbart af de tilsvarende regneregler for tal, som giver A + (B + C) = (a ij ) + ((b ij ) + (c ij )) = (a ij ) + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + (c ij ) = (A + B) + C A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = (b ij ) + (a ij ) = B + A

6 KAPITEL 1 MATRICER 5 Nulmatricen skal selvfølgelig være (m n)matricen med 0 på alle pladser Den modsatte matrix til matricen A = (a ij ) får vi ved at skifte fortegn på elementerne i A dvs A = ( a ij ) Sætningen viser, at (m n)matricerne er en Abelsk gruppe med hensyn til addition, ligesom feks Z og R Ved brug af den modsatte matrix, kan vi denere dierensen A B som A B = A + ( B) Denne måde at denere på er fælles for alle grupper, og regneoperationen er dermed bare en addition af det modsatte element Feks er 7 4 deneret som 7 + ( 4) Man kan også gange en matrix med et tal Det gør man ved at gange alle elementer i matricen med tallet Denition 15 For (m n)matricen A = (a ij ) og tallet t deneres produktet t A ved t A = (ta ij ) Eksempel = Regnereglerne for multiplikation med et tal er følgende Sætning 17 Antag A og B er (m n)matricer og s og t er reelle tal Så er (i) (s t) A = s (t A) (ii) 1 A = A (iii) (s + t) A = s A + t A (iv) s (A + B) = s A + s B Bevis Regneregler følger let udfra de tilsvarende regneregler for reelle tal

7 KAPITEL 1 MATRICER 6 Opgave 18 I følgende opgave er A = , B = 1 3, C = , D = , E = Udregn (i) 4 B (ii) C (iii) 3 A E (iv) D + D Vi vil også indføre produktet af to matricer Det er ikke alle matricer, der kan ganges sammen Hvis vi skal kunne gange A med B, skal matricen A have lige så mange søjler, som B har rækker Hvis A er en (m n)matrix, skal B være en (n p)matrix Produktet A B bliver en (m p)matrix og hovedprincippet i multiplikationen kan illustres ved guren Vi vælger en række i den første matrix og en søjle i den anden Så bevæger vi os hen gennem rækken og ned gennem søjlen, idet vi ganger de tilsvarende elementer i rækken og søjlen med hinanden og lægger produkterne sammen Resultatet bliver et element i produktmatricen på pladsen med numre efter den første matrixs række og den anden matrixs søjle Produktmatricen får lige så mange rækker som den første matrix og lige så mange søjler som den anden Vi illustrerer princippet med et eksempel =

8 KAPITEL 1 MATRICER 7 = Vi har ganget en ( )matrix med en ( 3)matrix og resultatet er en ( 3)matrix Selve denitonen på multiplikationen er Denition 19 Lad A = (a ij ) være en (m n)matrix og B = (b ij ) en (n p)matrix Så er produktet A B (m p)matricen givet ved A B = (a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj ) Matrixmultiplikation adskiller på et meget vigtigt punkt fra multiplikation af tal Selv om man kan udregne A B, er det ikke sikkert, at man kan udregne B A, og hvis begge produkter kan udregnes, er de normalt ikke ens Hvis vi feks ser på matricerne A og B A = B = vil A B = = 6 1, = mens 3 0 B A = = =

9 KAPITEL 1 MATRICER 8 A B bliver en ( )matrix og B A en (3 3)matrix Opgave 110 Udregn følgende produkter (i) , 7 5 (ii) , (iii) , (iv) , (v) Kontroller regningerne ved brug af en lommeregner (med TI-83+ og TI- 89, se side 6) Selv om produktet A B og har B A har samme størrelse, behøver de stadig ikke blive ens Opgave 111 Lad A = Udregn, B =

10 KAPITEL 1 MATRICER 9 AB = og BA = Sætning 11 For multiplikation af matricer gælder regnereglerne (i) (s A) B = s (A B) = A (s B) (ii) A (B + C) = A B + A C (iii) (A + B) C = A C + B C (iv) A (B C) = (A B) C Bevis Forbigås Sammen med de øvrige regneregler bevirker ovenstående regler, at man stort set kan regne med matricer som med tal, men med en betydningsfuld forskel Normalt er A B B A Derfor må man ikke ændre på rækkefølgen af faktorerne i et matrixprodukt 13 Kvadratiske matricer og determinant En (n n)matrix a 11 a 1 a 1 n 1 a 1n a 1 a a n 1 a n a n1 a n a n n 1 a nn kaldes også en kvadratisk matrix I en kvadratisk matrix siges et elementet a ij at stå i diagonalen, hvis i = j Når i j, står elementet uden for diagonalen En kvadratisk matrix kaldes en diagonalmatrix, hvis alle elementerne uden for diagonalen er 0

11 KAPITEL 1 MATRICER 10 En diagonalmatrix med lutter 1-taller i diagonalen kaldes en enhedsmatrix og betegnes med E eller evt E n,n, hvis man vil fremhæve antallet af rækker og søjler Nedenfor ses eksempler på nogle diagonalmatricer, hvoraf den sidste er en enhedsmatrix For en vilkårlig (n n)matrix A vil A E n,n = A og E n,n A = A dvs at multiplikation med E fra højre eller venstre ikke ændrer den oprindelige matrix Denne egenskab svarer til egenskaben ved tallet 1, når vi ganger tal sammen Opgave 131 Sæt A = og E = Udregn AE = og EA = Til en kvadratisk matrix A knyttes et tal det(a), kaldet determinanten af A For en ( )matrix A = a 11 a 1 a 1 a

12 KAPITEL 1 MATRICER 11 er determinanten af A tallet det(a) = a 11 a a 1 a 1 For determinanten af A benyttes også en skrivemåde med lodrette streger det(a) = det a 11 a 1 a 11 a 1 = a 1 a a 1 a Eksempel 13 Ifølge denitionen bliver det 3 = = 10 3 = det -1 = ( 1) ( 6) 3 = 6 6 = For en (3 3)matrix A = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 deneres determinanten af A, det(a), som tallet det(a) = a 11 a a 33 +a 1 a 3 a 31 +a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 11 a 3 a 3 a 1 a 1 a 33 Determinanten skrives også a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 Eksempel = ( 1) 3 ( ) ( 1) ( ) = ( ) ( 8) 18 = 1

13 KAPITEL 1 MATRICER 1 Hvis man ser på leddende i udtrykkene for determinanterne, kan man se, at de er produkter, som hver indeholder præcis én faktor fra hver række og én fra hver søjle, og alle leddene repræsenterer de mulige valg Nogle produkter indgår med fortegnet +, andre med Vi vil ikke her komme inde på, hvad der bestemmer fortegnet Fremgangsmåden til beregning af determinanter af matricer, der er større end (3 3)matricer er det samme, men der kommer rigtigt mange led (n! for en (n n)matrix) Der ndes ere smarte metoder til at beregne determinanter, men vi vil stille os tilfreds med at kunne nde determinanter ved at bruge lommeregner (eller mat-programmer) Opgave 134 Find følgende determinanter ved håndkraft , Find følgende determinanter ved brug af lommeregner , Invers matrix og matrixligninger Hvis determinanten for en matrix A er forskellig fra nul, ndes en matrix A 1, som opfylder A 1 A = A A 1 = E Matricen A 1 kaldes A's inverse matrix Opgave 141 Undersøg om matricen

14 KAPITEL 1 MATRICER 13 er den inverse til matricen For ( )matricer er det nemt at nde den inverse matrix, hvis den ndes, altså hvis determinanten ikke er nul Antag A = a c med det(a) = ad bc 0 Så er den inverse matrix A 1 A 1 = b d 1 d b ad bc c a (11) (1) For at vise, at dette er sandt, udregnes A 1 A A 1 A = 1 d b ad bc c a a c b d = 1 ad bc da bc db bd ca + ac cb + ad = 1 ad bc ad bc 0 0 ad bc = = E Opgave 14 Vis, at A A 1 = E med A som i (11) og A 1 som i (1) Den inverse matrix kan også skrives A 1 = 1 d b det A c a For større matricer er der ikke nogen simple udtryk, der giver den inverse matrix Hvis man har brug for den inverse matrix kan man få den udregnet på lommeregneren

15 KAPITEL 1 MATRICER 14 Opgave 143 Find den inverse matrix til matricen ved håndkraft Find den inverse matrix til matricen ved hjælp af lommeregneren Inverse matricer kan bruges til at løse matrixligninger Hvis vi ser på ligningen A X = B, hvor A, X og B er matricer, kan vi isolere matricen X, når A har en invers matrix Hvis vi nemlig ganger med A 1 på begge sider, får vi A 1 (A X) = A 1 B, som ifølge regnereglerne er (A 1 A) X = A 1 B Da A 1 A = E og E X = X, bliver X = A 1 B Her skal man være opmærksom på rækkefølgen af matricerne på højre side, og den skal respekteres Tilsvarende kan man løse ligningen A X + B = C, hvis A er invertibel Løsningen bliver X = A 1 (C B)

16 Kapitel Lineære ligningssystemer 1 To ligninger med to ubekendte Man kommer tit ud for at skulle løse to ligninger med to ubekendte som feks x + y = 3 5x + 3y = 7 Løsningen er x = og y = 1 og kan ndes ved feks at isolere y i den øverste ligning og sætte det fundne udtryk for y ind i den anden ligning og nde x Den fundne x-værdi sættes så ind i udtrykket for y og y beregnes Man kan i stedet bruge matricer ved at skrive ligningerne på en lidt anden måde x + y = 3 5x + 3y 7 Venstre side kan nu omskrives til et produkt af matricer x + y = 1 x 5x + 3y 5 3 y, så vi alt i alt får en matrixligning 1 x 5 3 y = 3 7 Næste trin er nde den inverse til ( )matricen Vi sætter 15

17 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 16 A = Så bliver A 1 = = Vi ganger nu med A 1 fra venstre på begge sider af matrixligningen og får x = 3-1 3, y -5 7 så x y = 3 + ( 1) , dvs x y = 1, som giver x = og y = 1, hvilket det jo også gerne skulle Matricen A i eksemplet kaldes koecientmatricen, da dens elementer er koecienterne i ligningerne Første række indeholder koecienterne i den første ligning, og anden række indeholder koecienterne i den anden ligning Hvis determinanten af en koecientmatrix er forskellig fra nul, har de to ligninger med to ubekendte præcis en løsning, som kan ndes som i eksemplet ovenfor Højere ordens systemer, n lineære ligninger med n ubekendte Hvis man har en tredje ubekendt z, skal vi have en ligning mere, så vi har 3 ligninger med x, y and z Vi tager følgende ligninger x + y + z = 1 3y z = x y + 8z = 7

18 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 17 som kan omskrives til matrixligningen x y z = -1 7 Koecientmatricen er nu en 3 3 matrix, som vi igen kalder A Hvis det(a) 0, ndes der præcis en løsning, som ndes ved at gange matrixligningen igennem med A 1 fra venstre Vi nder determinanten af A på lommeregner til og den inverse matrix til Vi ganger igennem med A 1 x y z = og ganger matricerne på højre side sammen (det kunne man jo også gøre på lommeregneren) x y z = 11 ( 1) + ( 9) + ( 5) 7 ( ) ( 1) ( 3) ( 1) og får x y z = Dvs at løsningen bliver x = 64, y = 13 og z = 37

19 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 18 I det generelle tilfælde er et lineært ligningssystem med n ligninger og n ubekendte et system af n ligninger på formen a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n Ligningssystemet kan skrives på matrixformen a 11 a 1 a 1n x 1 b 1 a 1 a a n x b = a n1 a n a nn eller kort Ax = b, hvor A er en n n matrix, b er en n 1 matrix og x er den n 1 matrix, der skal ndes Hvis deta 0, kan vi nde A 1 og ligningen har præcis en løsning x x = A 1 b hvor x 1 x x = Hvis deta = 0 kaldes matricen singulær, og så har ligningssystemet enten ingen løsninger eller uendeligt mange løsninger (Ligningsystemets evt løsninger kan ndes feks ved brug af Gauss elimination) Opgave 1 Løs ligningssystemerne og x n 4x + y = 7 x n x + 5y = 7 x 1 + 5x = 7 x 1 7x = 5 b n

20 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 19 Opgave Løs følgende 3 ligningssystemerne x y z = y + 3z = 0 x 3y + 3z = 4 x 1 3x + x 3 = 6x 1 + 4x + 11x 3 = 1 5x 1 x x 3 = 17 3x 1 + x = 11 x 1 5x + x 3 = 15 3x + 7x 3 = 17 Opgave 3 Løs ligningssystemet x 1 x 3 + 4x 4 = 4 x 1 + x 4x 3 + 6x 4 = 9 x 1 + x + 5x 3 3x 4 = 9 3x 1 + 3x 5x 3 + 4x 4 = 15 3 Totalmatricer og rækkeoperationer Vi vil nu se på en måde til at løse m lineære ligninger med n ubekendte, når m n Vi ser altså på et system a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Når man skal løse ligningssystemet, foretager man nogle omformninger, der erstatter det oprindelige ligningssystem med et nyt, som har præcis de samme løsninger Et ligningssystems løsninger ændres ikke, hvis vi skriver ligningerne i en anden rækkefølge ganger en ligning igennem med et tal forskelligt fra nul lægger et tal gange en af ligningerne til en anden af ligningerne

21 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 0 Disse omformninger svarer til nogle tilladte rækkeoperationer i ligningssystemets totalmatrix (se nedenfor) Først skriver man ligningssystemet på matrixform a 11 a 1 a 1n x 1 b 1 a 1 a a n x b = a m1 a m a mn x n b m Totalmatricen fås ved at supplere matricen A med koecienterne med en søjle med b erne b 1,, b m a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b a m1 a m a mn b m og en lodret streg, som markerer overgangen fra vestre side og højre side i ligningssystemet De nævnte omformninger af ligningssystemet svarer til nogle ændringer i rækkerne i totalmatricen, som kaldes rækkeoperationer Det er tilladt at lade to rækker skifte plads gange en række igennem med et tal forskelligt fra nul lægge et tal gange en række til en anden række Ved brug af rækkeoperationer kan man omforme totalmatricen til en matrix med lutter 0'er under diagonalen Det giver et ligningssystem, der er forholdsvis simpelt at løse ved "baglæns regninger" Eksempel 31 Vi vil løse ligningssystemet 3x + y + z = 39 x + 3y + z = 34 x + y + 3z = 6 som har totalmatricen

22 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 1 Vi bytter først om på den øverste række R 1 og den nederste R 3 (skrives kort R 1 R 3 ) Vi skaer os nu 0'er under 1-tallet i den første søjle ved trække gange den øverste række fra den anden række og 3 gange den øverste række fra den tredje række Det er selvfølgelig tilladt, da det at trække respektiv 3 gange en række fra, svarer til at lægge respektiv 3 gange rækken til = De to operationen skrives kort ved hjælp af dynamiske lighedstegn Skrivemåden R := R R 1 betyder, at den nye R fås som den gamle R minus gange R 1 Man skriver omformningen ovenfor kort R := R R 1 R 3 := R 3 3R Vi vil nu skae os et 0 i stedet for -4 i den nederste række Det gør vi ved at lægge 4 gange R til R R 3 := R 3 4R og endelig dividerer vi den sidste række igennem med R 3 := R Den nederste række i totalmatricen giver umiddelbart, at z = 11 4 Række giver, at y 5z = 18 dvs y = 18 5z Da z = 11 4, bliver y = = 17 4

23 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER og ifølge den øverste række, er x = 6 y 3z = = 37 4 Ligningssystemet har altså løsningen x = 37 4, y = 17 4, z = 11 4 I eksemplet er deta 0, så vi kunne have brugt A 1 (fundet på lommeregner) til at nde løsningen Eksemplet er valgt for illustrere metoden, når regningerne bliver pæne Eksempel 3 Matricen A for ligningssystemet 3x + z = x + 14y + 8z = 18 7x 7y = 5 har determinant 0 Derfor har ligningsystemet enten ingen løsning eller uendeligt mange løsninger Vi opskriver totalmatricen og vi vil skae os nuller under diagonalen Vi omformer totalmatricen R := 3R + R R 3 := 3R 3 7R 1 R := 1 R R 3 := R + R Den nederste ligning 0x + 0y + 0z = 0 er altid sand Hvis vi sætter z = t giver den anden række, at 1y + 14t = 9 dvs at y = 9 14t 1 = 9 1 3t Den øverste række giver, at 3x + t =, altså x = 3 3 t

24 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 3 Ligningssystemet har dermed uendeligt mange løsninger, en for hvert reelt tal t, som er givet ved x = 3 9 t, y = 3 1 t, z = t 3 Tallet t kaldes ofte en parameter, og udtrykkene ovenfor kaldes en parameterfremstilling af løsningen Eksempel 33 Hvis vi ændrer højre side i den nederste ligning i ligningssystemet i Eksempel 3 til 3 3x + z = x + 14y + 8z = 18 7x 7y = 3 er matricen A den samme og determinanten stadig nul Når man udfører de samme rækkeoperationer som før, får vi R := 3R + R R 3 := 3R 3 7R R := 1 R R 3 := R + R Den nederste ligning bliver nu 0x + 0y + 0z = 4, som aldrig er sand Ligningssystemet har dermed ingen løsninger Eksempel 34 Ligningssystemet x 1 x + x 3 + 3x 4 = 1 x 1 + x + 5x 3 x 4 = 1 x 1 6x x x 4 = 6 svarer til totalmatricen

25 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4 R := R R 1 R 3 := R 3 R 1 R 3 := R 3 + R Ligningen svarende til den nederste række er altid opfyldt, og vi har kun to andre ligninger Hvis vi sætter x 3 = s og x 4 = t, skal og x + 3s 4t =, altså x = 1 3 s + t x 1 x + s + 3t = 1, altså x 1 = 1 s 3t s + t = 7 s t Løsningerne kan dermed skrives x 1 = 7 s t x = 1 3 s + t x 3 = s x 4 = t hvor s og t er relle tal Disse kaldes også her parametre og vi har ovenfor angivet en parameterfremstillingen af løsningen Opgave 35 Løs ligningssystemerne x y = 3x + y + 7z = 1 6x 5y + 7z = 1 x 1 + x + 3x 3 = 1 x 1 + 5x 3x 3 = 11x x 1x 3 = 11 x + 3y z = 7 x y + 3z = 1

26 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 5 x + y + z + u = 1 x y + z u = 3x 4y + 3z 3u = 3

27 Bilag A Matricer på TI-lommeregnere A1 Indtastning A11 TI-83+ Matricer indtastes på TI-83+ ved at vælge ND og x 1 og EDIT Vælg matricens navn og tryk Enter Så indtastes antal rækker og søjler og matricens elementer Indtastningen afsluttes med ND og QUIT A1 TI-89 Matricer indtastes på TI-89 ved at vælge APPS, Data/Matrixeditor og NEW Under Type vælges :Matrix og i variabel indtastes matricens navn feks A (pil op og a) Slå ALPHA fra og indtast antal rækker og søjler og ENTER Nu indtastes A's elementer og indtastningen afsluttes med ND og QUIT A Regning med matricer og invers matrix A1 TI-83+ Når man har indtastet en matrix A, kan den indlæses i displayet ved at taste ND, x 1 og vælge [A] Man kan nu lægge to indtastede matricer A og B sammen ved at indlæse A, trykke +, indlæse B og ENTER På samme tilsvarende måde udregnes A B og A B Den inverse matrix til A ndes ved at indlæse A og trykke x 1 A TI-89 Når man har indtastet to matricer A og B og feks skal lægge dem sammen eller gange dem sammen, vælges HOME og man skriver man blot A+B 6

28 BILAG A MATRICER PÅ TI-LOMMEREGNERE 7 eller A B og ENTER Tilsvarende med A B Den inverse matrix til A ndes ved at skrive A og trykke 1 A3 MATH-menu og determinant A31 TI-83+ Når man indtaster ND, x 1 og vælger MATH kan man se en menu, h- vor man bla kan vælge 1: det( Gør man det med ENTER, står der det( i displayet Indlæser man matricen og trykker ENTER, beregnes determinanten A3 TI-89 Når man taster ND og MATH, vælger 4 : ENTER, får man en menu frem, hvor man bla kan vælge : det Gør man det med ENTER, står der det( i basislinjen Vi indtaster matricens navn, ) og ENTER, og determinanten er beregnet A4 Matrixligninger A41 TI-83+ og TI-89 Hvis man skal løse matrixligningen AX = B indtastes en totalmatrix med A's elementer efterfulgt af B's elementer feks som C Under MATH-menuen vælges rref(, og matricen C indsættes Tryk ENTER og X læses som den matrix, der følger efter enhedsmatricen i displayet

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Anvendelse af lineære ligningssystemer

Anvendelse af lineære ligningssystemer Anvendelse af lineære ligningssystemer i kemi Grete Ridder Ebbesen Virum 23. august 2005 Anvendelse af lineære ligningssystemer i kemi Indhold Afstemning af reaktionsskemaer. De almindelige metoder....................2

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer Lineære ligningssystemer Olav Geil Januar 000 Eksempel 1 Ligningssystemet 1) kan også skrives Matricen kaldes for koefficientmatricen for ligningssystemet 1) Ligningssystemet 1) er fuldstændig beskrevet

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab. Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Svar på opgave 336 (Januar 2017)

Svar på opgave 336 (Januar 2017) Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad

Læs mere