Matematisk Formelsamling

Transkript

1 Udge Alle eghede foeholde Jck Schmd og Reé Agd edee emk Fomelmlg fo og 4 emee Id Clgeøe Alog Uee

2 Udge Alle eghede foeholde Jck Schmd og Reé Agd edee FORORD Dee memke fomelmlg e opdelg dejde l å geødeede på d-geøle på Alog Uee og de dække omådee: - Geome - Dffeellgge Fomelmlge e dejde f deede fo oe de kke fde oge g fomelmlg l memkdege på d-geøle på Alog Uee Sde e fomelmlge løede med hjælp f deede og deee lpe og foede Fomelmlge deholde på e oekelg og lefoåelg måde l hd m ehøe l opgeegg og ekme Jck Schmd I fo Smfddklg og llægg Alog Uee

3 INDHOD GEOETRI5 RODUKTER 5 kpodk 5 lpodk5 Kydpodk elle ekopodk 5 Rmpodk5 ARAETERFRESTIING 5 e 5 l6 IGNINGER6 e ple 6 l mme6 SKÆRINGSUNKTER OG INIER6 Skæg mellem o le ple 6 Skæg mellem o le mme 6 Skæg mellem o ple mme 7 Skæg mellem le og pl mme8 ORTOGONAROJEKTION 8 ojeko f e eko på e de8 ojeko f e pk på e le 8 ojeko f e pk på e pl 8 ojeko f e le på e pl 8 AFSTANDE I RUET9 Afde mellem o pke9 Afde mellem e pk og e le9 Afde mellem e pk og e pl9 Afde mellem o pllelle le 9 Afde mellem o dkæe le Afde mellem o pllelle ple VINKER I RUET Vkle mellem o le Vkle mellem e le og e pl Vkle mellem o ple KOORDINATSKIFT Koodkfeeko Dejg f koodyem hoedehedekoee Dejg f koodyem koode Dejg og flyg f koodyem koode KURVER Bekele Dffeeo f ke Tgeeko Bomleko Nomleko Belægde Belægde om pmee Kmg Kmg ple Kmg mme Oklockel4 Oklopl4 Too τ 4 FERGUSSONKURVER EER KUBISKE SINES 4 Defo 4 Regekoee5 Udegg f polyome fo keykkee6 BEZIÈRKURVER6 Smmehæg mellem Fego- og Bezèke7

4 FADER7 Bekele f flde7 Nomleko 7 Tgepl 7 Flde fdmelfom 7 Flde fdmelfom 8 ægde f keykke på flde 8 Ael f fldeykke8 Hoedkmg8 ddelkmg 8 Gkmg 8 ke på flde 8 DIFFERENTIAIGNINGER TYER AF DIFFERENTIAIGNINGER Homogee dffeellgge Ihomogee dffeellgge eæe dffeellgge eæe dffeellgge f e ode med koe koeffcee eæ fhægge fkoe ØSNINGER TI DIFFERENTIAIGNINGER GENERET Eke og eydghed Fldædg løg l e homoge dffeellgg Fldædg løg l e homoge dffeellgg Spepoopcppe ØSNINGER TI ORDENS DIFFERENTIAIGNINGER HOOGENE ORDENS IGNINGER ED KONSTANTE KOEFFICIENTER Kkelgg øg l lgg med eelle ødde kkelgge øg l lgg med kompleke ødde kkelgge øg l lgg med eel doelod kkelgge HOOGENE N TE ORDENS IGNINGER ED KONSTANTE KOEFFICIENTER Kkelgg øg l lgg h R e ødde kkelgge øg l lgg h R e od gge kkelgge øg l homoge lgg h α±β C e od gge kkelgge INHOOGENE IGNINGER ED KONSTANTE KOEFFICIENTER INHOOGENE IGNINGER ED VARIABE KOEFFICIENTER Vo f pmee ORDENSREDUKTION AF HOOGENE IGNINGER4 øg l ode lgg å e løg e ked4 EUER-CAUCHY IGNINGER4 ode Ele-Cchy lgg 4 e ode Ele-Cchy lgg 5 AACETRANSFORATIONER 5 Defo 5 ee5 plcefomoe f fledede fkoe5 plcefomoe f egle5 Tlo på -ke 6 Tlo på -ke6 Foldg6 Dffeeo f fomeede 6 Iego f fomeede 6 Tfomo f peodke fkoe7 Dhmel pcp7 plcefomeede fkoe7 EGENVÆRDIETODEN FOR HOOGENE SYSTEER 8 odeyeme8 odeyeme (me-fjedeyeme 9 FOURIERRÆKKER eodke fkoe

5 Defo ge og lge fkoe Foeække f lge og lge fkoe øg f dffeellgge h Foeække Vmeledglgge TRIGONOETRISKE FUNKTIONER S og co Hypeolk og co Addofomlee Tgoomeke fkoe Specelle fkoæde 4 4

6 5 GEOETRI RODUKTER kpodk [ ] [ ] co Vgge egeke: co ho e kle mellem de o ekoe lpodk [ ] ˆ Ael f dpæd pllelogm Kydpodk elle ekopodk k j Vgge egeke: ( ( ( og ( ( ( k k k ( c c Rmpodk [ ] ( eppedm dpæd Volme f c c c c c ARAETERFRESTIING e e geem og : OQ : O l ho l Q

7 l l α ho α og c e o fhægge ekoe α : α : OQ O c ho Q α l α ho α OQ O α : : ho Q α IGNINGER e ple [ ] omleko l le l og l OQ O ho Q [ y] l elle y d l mme Q elle y cz d ho Q [ y z] α y z ple α H α og og e leæ fhægge å e [ ] om e e ked pk og [ c] omleko l SKÆRINGSUNKTER OG INIER Skæg mellem o le ple To le ple k ee - kæe hde e pk - æe pllelle - æe mmefldede l: y d m: y d Skæge mellem l og m få ed løg f lggyeme: d ~ d y Skæge mellem o le ge ed pmeefemllg fde ed mme femggmeode om Skæg mellem o le mme ekee edefo Skæg mellem o le mme To le ple k ee - kæe hde e pk - æe pllelle - æe mmefldede - æe dkæe 6

8 OQ l: [ y z] O m: [ y z] Skæge mellem l og m få ed løg f lggyeme: O OQ d OQ O ~ Heed eemme og Skægpke få ed dæe pmeefemllge fo l elle pmeefemllge fo m Skæg mellem o ple mme To ple mme k ee - kæe hde e le - æe pllelle - æe mmefldede α : y cz d β : y c z d De øke e pmeefemllg ( fo kægle mellem α og β: y z Skæge mellem α og β fde ed edcee edeåede m l edcee ækkefom c d c d De koloe ho de kke e po ælge l de fe pmee og de de o koode fde om fko f ed glæ o H e f koodee le ælge e f de de l de fe pmee og de edge kood fde om fko f Ekempel: H ele le om: c d?? ~ c d?? ælge z l de fe el kægle z og og y om fko f fde ed glæ o de edceede m Heed få pmeefemllge fo kægle mellem de o ple y 7

9 Skæg mellem le og pl mme E le og e pl mme k ee - kæe hde e pk - æe pllelle - æe mmefldede l: [ y z] O α : y cz d Skæge mellem l og α fde ed dæe y og z fo le l lgge fo ple α og deed fde æde fo de fe pmee Skægpke få ed dæele f de fde æd fo pmeefemllge fo l ORTOGONAROJEKTION ojeko f e eko på e de ojekoe p f på e ge ed: p ( e e ho e p co ho e kle mellem og ojeko f e pk på e le e l: [ y z] O R y z k [ ] ojekoe R l f e pk R på e le l få ed: OR l O R l ho e e pk på l og R l e ekoe f l pojekoe f R på l R R l ojeko f e pk på e pl l α : [ y z] O c R y z k [ ] ojekoe R α f e pk R på e pl α e ge ed: ORα OR Rα R ho R α R e ekoe f pojekoe f R på α l pke R R Rα R ho e omlekoe l α ojeko f e le på e pl l α : [ y z] OQ c y z O e l: [ ] 8

10 ojekoe l α f e le l på e pl α e ge ed: OQ ORα [ p] ho OR α e pojekoe f e pk R l på α (dege om oefo ojeko f e pk på e pl og p e pojekoe f egekoe fo l på omlekoe fo α p AFSTANDE I RUET Afde mellem o pke y z Q y z e o pke ple ( og ( d( Q ( ( y y ( z z Afde mellem e pk og e le e l: [ y z] O R y z k [ ] Afde mellem R og l e ge ed: R d( R l Vekoe R e ekoe mellem e pk på l og pke R Afde mellem e pk og e pl l α : [ y z] OQ c R y z k [ ] Afde mellem R og α e ge ed: QR QR ( c d( R α c Vekoe QR e ekoe mellem e pk Q på α og pke R Afde mellem o pllelle le l : [ y z] OQ l : [ y z] OQ H o le l og Q Q d( l l l e pllelle e fde ( Vekoe Q Q e ekoe mellem e pk på l og l d l l mellem dem ge ed: 9

11 Afde mellem o dkæe le l : [ y z] OQ l : [ y z] OQ H o le l og ge ed: QQ d ( l l l kæe hde elle e dkæe e fde ( ( [ QQ ] Vekoe Q Q e ekoe mellem e pk på l og l Afde mellem o pllelle ple l α : [ y z] OQ c β : y z O d l [ ] e d l l mellem dem Afde mellem α og β fde om fde mellem de ee pl og e pk de de pl om Afde mellem e pk og e pl VINKER I RUET Vkle mellem o le l : [ y z] OQ l : [ y z] OQ Vkle θ mellem lee l og l fde ed co θ Vkle mellem e le og e pl e l: [ y z] O α : y z OQ l [ ] c Vkle γ mellem l og α fde ed ( co 9 γ ho c e omlekoe l α Vkle mellem o ple l α : [ y z] OQ c l β : [ y z] O d e Vkle γ mellem α og β fde ed α β co γ ho α c og β d e e hehold α og β omleko α β

12 KOORDINATSKIFT [ ] j og [ ] y eege hehold de ye hoedehedekoe og de ye koode og [ ] j og [ ] y eege de opdelge hoedehedekoe og koode Koodkfeeko co co og T co co Dejg f koodyem hoedehedekoee Nye hoedehedekoe å koodyeme deje med kle j co j j co j j T Opdelge hoedehedekoe: j co j j co j j Dejg f koodyem koode Nye koode å koodyeme deje med kle y co y y co y y T Opdelge koode: y co y y co y y Dejg og flyg f koodyem koode Nye koode å koodyeme deje med kle og flye y y T ho e flyge f opdelge ogo l ye ogo

13 Opdelge koode: ho y y e flyge f ye ogo l opdelge ogo De gælde følgede mmehæg mellem de o flyge: T KURVER Bekele Ke eke med pmeefemllg ho pmeee e d [ y z ] Sed [ y z ] Hghed y z Acceleo [ ( ] H e ke e ekee om e fko ( y [ f ] f få pmeefemllg ed: Dffeeo f ke ( ( f f f ( ( Addo meefemllg gge med lfko kpodk Kydpodk Tgeeko Ehedgeekoe l de e ge ed ( : H ( ( ( ( å e: H ( å e: ( ( lm ( og ( Nå ( lm å e de pdge Bomleko ( ( ( Ehedomlekoe l de e ge ed ( :

14 Nomleko Ehedomlekoe l de e ge ed ( : ho e ehedgeekoe og e ehedomlekoe Belægde Belægde f e ke f ( l ( ( d ho ( ( y ( ( z ( e Belægde om pmee Smmehæge mellem lmdelg pmeefemllg ( og elægdepme- efemllg l e l ( ho e elægde f l Kmg Kmg e defee κ ho R e d fo ckle R Kmg ple Kmg pke e (elægde om pmee κ ˆ e hoedomlekoe ho Kmg pke e (d om pmee [ ] κ e plpodke ho [ ] Kmg mme Kmg pke e (elægde om pmee κ ho e hoedomlekoe Kmg pke e (d om pmee κ

15 Oklockel E oklockel e de ed ppokmeede ckel l e pk - Gå geem pke - H mme geeg - H mme kmgeko κ Ckle d Kmgd ϕ κ Ckle cem ϕ c l co κ κ κ κ κ Ckle lgge e pl dpæd f og Ckle pmeefemllg ( ( Oklopl E oklopl ω e de ed ppokmeede pl l e pk - Gå geem pke - Ideholde geekoe l - Ideholde ( ( κ ( ( elle ω e pl geem dpæd f { ( ( } { ( ( } meefemllg: ( ho { } R gg: OQ O ( ( ( ho Q [ y z] ω Too τ Too τ e e dyk fo ho mege e ke de g d ho hg oklople ω ppe ( ( τ FERGUSSONKURVER EER KUBISKE SINES Defo Fegoke e e ke de geemløe e ække pke l e pæ og gl e Keykkee mellem pkee og e ge ed e gdpolyomm p fo - - De gælde fo pkee de mmede keykkee: p p ( 4

16 5 gelede gælde de fo egekoee edee f keykkee : p p Slelg gælde de fo de de fledede ( p f edekoe ( p : ( p p og fo ke edepke ( ( p p Regekoee Nå pkee l e ked fde egekoee l ed løg f lggyeme: (æg mæke l edepkee e fokellge f de de pke Oeåede e l løe lggyeme: A A Nedefo e A - ge fo A om og 66 m: ( A ( A ( A ( A

17 Udegg f polyome fo keykkee De kke ple mellem o pke fo [;] k ke på o måde: p Koeffceee e: p ( ( p p p p p p p p ( ( ( ( ( ( ( ( p p F p( F p F ( p ( F ( ( 4 p Fegopolyomee e: F F 4 F F BEZIÈRKURVER Bezèke e ge ed fe pke Q Q Q og Q ho Q og Q e edepkee og Q og Q e mgee de påke ke mellem edepkee Q Q Q Q Ke e ge ed pmeefemllge: q B Q B Q B Q B B ( og!!(! ( ( Q ho gd-bezèpolyomee e: B B B ( ( 6 ( B 6

18 Smmehæg mellem Fego- og Bezèke Q Q q Q Q QQ q Q Q Q Q ( FADER Bekele f flde Flde k æe ge ed e pmeefemllg med o fe le: ( ( y( ( z elle e lgg: F y ( z Smmehæge mellem pmeefemllg og lgg e: F( y z ( ( F Nomleko Ehedomlekoe e pk ( ( ( ( ν ( ( Tgepl e ge ed: : meefemllg fo gepl ( OQ O ( ( fo R gg fo gepl ( ( ( ν ho [ y z] : e e lkålg pk Flde fdmelfom d E d F dd G d ho koeffceee fo flde fdmelfom e: E ( ( F ( ( G ( ( De gælde ( ( E G F 7

19 Flde fdmelfom Koeffceee fo flde fdmelfom e ge ed: e ( ν ( f ( ν ( g ν ho ν ( ( ( e ehedomlekoe ægde f keykke på flde De o fe le ke op om fko f de å de dykke e ke på flde: ( ægde f e keykke l f de l e å ge ed: d l ( ( d d Ael f fldeykke Aele f e fldeykke elle og e ge ed: A ( E G F ( dd Hoedkmg Hoedkmgee κ og κ e hehold de mmle og de mkmle kmg κ og κ å ld kele på hde Hoedkmgee fde ed: κ ± H ± H K ddelkmg ddelkmge H e geeme f de mkmle og de mmle kmg κ og κ : E g F f G g κ κ H E G F ( Gkmg Gkmge e podke f de mkmle og de mmle kmg κ og κ : e g f K κ κ E G F ke på flde kee på flde klde: Ellpke h K > De pke opæde ho flde e doelkm og egge kmge pege æk f omlekoe d hele flde lgge på de ee de f geple κ og κ h mme foeg 8

20 olke h K Hypeolke h K < De pke opæde ho flde k e km e eg d de e kke doelkm E pk e ogå polk h flde e e pl De pke opæde ho de e ddelpk på flde d å de ee hoedkmg e eg og de de e po κ og h mod foeg κ 9

21 DIFFERENTIAIGNINGER TYER AF DIFFERENTIAIGNINGER Homogee dffeellgge Dffeellgge ge æe homogee å fkoe f og de fledede ( d ( e Ihomogee dffeellgge Dffeellgge ge æe homogee å fkoe f og de fledede ( e e fko f d f ( ( eæe dffeellgge d f d E fldg ge å æe leæ h: ( c c c( c( fo lle V V og lle koe d d d d : V Weege fldge ( eæe dffeellgge f e ode med koe koeffcee E dffeellgg ode e fgjo f høje fledede f A koeffceee e koe eyde e koe d d d d d f d eæ fhægge fkoe To fkoe og ge æe leæ fhægge å Wokdeeme W( e fokellg f d: ( W ØSNINGER TI DIFFERENTIAIGNINGER GENERET Eke og eydghed Fo ehe læ ( fde de eop ee løg ϕ l dffeellgge: d d d f d d d fo hlke: k ϕ og ϕ ho k ( ( ( k

22 Fldædg løg l e homoge dffeellgg Fo ehe homoge leæ dffeellgg ( gælde h e løge l de homogee lgg å e de komplemeæe løg elle de fldædge løg c : c c c ( ogå løg l ( c Fldædg løg l e homoge dffeellgg Smlge løge l de homogee lgg ( f ( få ed ddee mlge løge l de homogee lgg c med e pklæ løg p l de homogee lgg d c p Spepoopcppe H l lgge: f f f ho e e ko e løge l ( f ( ( ( ( ( fo d e løg ØSNINGER TI ORDENS DIFFERENTIAIGNINGER E ode dffeellgg på fome: d Q d løe ed: Beeg egofkoe ρ d e lplce dffeellgge på he de f lghedege med ρ : d ρ ρ ρ Q d Vee de f lghedege e å de fledede f e podke ρ ( ( : D [ ρ ] ρ( Q( 4 Begge de f lgge egee og de løe mh : D [ ρ ] d ρ Q [ ρ Q d C] ρ d HOOGENE ORDENS IGNINGER ED KONSTANTE KOEFFICIENTER d d d d Dee omfe løg f homogee ode dffeellgge med koe koeffcee

23 Kkelgg Kkelgge l dffeellgge: d d d d e ge ed: R R øg l lgg med eelle ødde kkelgge og e de eelle ødde l kkelgge De fldædge løg e å: c c e ce øg l lgg med kompleke ødde kkelgge α ± β e de eelle ødde l kkelgge De fldædge løg e å: c α α c e ( β c e ( β co øg l lgg med eel doelod kkelgge e de eelle doelod l kkelgge De fldædge løg e å: c e c e c HOOGENE N TE ORDENS IGNINGER ED KONSTANTE KOEFFICIENTER d d d d d d De fldædge løg c l e homoge dffeellgg f e ode eå f fkoe d c f c f c f c Kkelgg Kkelgge l dffeellgge: d d d d d d e ge ed: R R R øg l lgg h R e ødde kkelgge De få fkoe: c e c e c e c øg l lgg h R e od gge kkelgge De få fkoe: c c c c e c ( øg l homoge lgg h α±β C e od gge kkelgge De få fkoe: α α c e co β c e β c ( ( ( α α ce co( β c4e co( β α α c e co( β c e ( β

24 INHOOGENE IGNINGER ED KONSTANTE KOEFFICIENTER Regle l gæ f e pklæ løg p l dffeellgge på fome: d d d f ( d d d e ge elle edefo f p A A A A co k k ( Aco k B k ( e ( co k k e ( Aco k B k ( e e ( A A A A ( ( co k k [ co k( A A A A k( B B B B ] Små oge hee l koe de opæde fkoe f dge Soe oge hee l kede koe om kl fde ed dæele f de gæede løg p dffeellgge ælge å o ge led de pklæe løg p le e ko gge e komplemeæ løg c D de komplemeæe løg kl fde fø e pklæ løg k fde INHOOGENE IGNINGER ED VARIABE KOEFFICIENTER Dffeellgge med le koeffcee e på fome: d d d f ( d d d ho koeffceee e fkoe f Vo f pmee De he e e gd homoge dffeellgg og de kede fhægge løge c c c c ( l de homogee lgg De øke fde e pklæ løg p l de homogee lgg De gæe på e pklæ løg på fome: p ( ( ho fkoee e kede og kl eemme fde ed løg f lggyeme:

25 4 ( ( ( ( ( ( f Ved Cme egel få: d W f W W f W ho W e Wokdeeme ( ( ( ( ( ( W og W e Wokdeeme W ho de e koloe ( ( e dkfe med ORDENSREDUKTION AF HOOGENE IGNINGER øg l ode lgg å e løg e ked Kede e løg l de homogee ode lgg: q p fde de de løg ed: [ ] d e d p EUER-CAUCHY IGNINGER ode Ele-Cchy lgg E ode Ele-Cchy lgg ke på fome: q p See og ( ( få: ( q p ( q p Nå de e eelle ødde lgge e de geeelle løg: c c

26 Nå de e eel doelod lgge e de geeelle løg: c c l Nå de komplek kojgee od ± e de geeelle løg: ( c co( l c ( l e ode Ele-Cchy lgg E ode Ele-Cchy lgg ke på fome: ( ( See få: ( ( ( H de e fokellge ødde lgge e de komplemeæe løg: c c c AACETRANSFORATIONER Defo d f æe defee fo > å e plcefomoe f f: {f} e f d F {f} F( - {F(} f ee plcefomoe e leæe d { f g } { f } g { ( } plcefomoe f fledede fkoe H f e koe og yk dffeeel å: f f F f { f } { } ( ( ( { f } { f } f ( F( f ( f ( ( { } ( f { f ( } f ( f ( f ( plcefomoe f egle H f e yk koe fo m f ekpoeel ode å e: F f τ dτ { } f H de flede f f τ dτ e le å eye dee æg på f τ dτ 5

27 Tlede gælde: - F f τ dτ H F e le å eye dee æg på - { F ( } Tlo på -ke e f F { } ( d de plcefomeede l f ( hoefe dye med - { F( } e f ( e fde om de plcefomeede l f d de e plcefomeede f F( - fde om de ee plcefomeede f F( hoefe de gge med e Tlo på -ke f e { ( ( } F( Tlede e: e F { } ( f ( - Foldg Foldge f * g f de yk koee fkoe f og g e defee fo om: ( f * g( f ( τ g( τ dτ plcefomeede f foldede fkoe e ge ed: { f * g } { f ( } { g } og - { F G } f ( * g( G d de ee plcefomeede f F( ( fde om foldge g( f * NB f * g f g Dffeeo f fomeede H f e yk koe fo m f ekpoeel ode å e: f F { } ( Tlede gælde: f - { F } -{ F } Iego f fomeede H f e yk koe fo m f ekpoeel ode å e: f F( σ dσ 6

28 Tlede gælde: f - { F } - F ( σ dσ Tfomo f peodke fkoe H f e peodk med peode p og yk koe fo å e: e { f } e f p p d Dhmel pcp ge fyke yeme k eke med dffeellgge: f ( ( plcefomee og X( olee: H X F W klde fo hedkoeffcee øge få ed Dhmel pcp: w( τ f ( τ dτ plcefomeede fkoe f F( f F( co k ( > k ( > k k ( > k ( > (! coh k ( > ( > k k ( > Γ( h k k ( > ( > k k e co k π ( k > e > e k k ( k ( > e! ( > ( e ( ( > ( [[ ] δ h ( > ( e ( > I oeåede el e eegelee: k ko R ko R e mægde f hele l ( 7

29 Ehedepfkoe e ( fo < fo Fkoe [ ] e defee ed [ ] Fkoe Γ e defee ed: Γ ( e d de øe hell de kke e lg elle oege Fkoæde dege geeel kke efe oeåede dyk me lå op elle dege efe edeåede: Γ (! ho lhøe mægde f hele l Γ Γ ( ( Γ π EGENVÆRDIETODEN FOR HOOGENE SYSTEER odeyeme De øke e komplemeæ løg ( c l de homogee lggyem: Femggmeode e følgede: Fø eemme egeædee λ λ λ lhøede A [ j ] ed lgge: A λi λ de λ λ Fo he egeæd λ l λ fde e lhøede egeeko ed løg f lggyeme: A λi ( D de e edelg mge leæ fhægge løge ælge e kompoe hof de de fde F ælge f og og eemme 8

30 De e kke ld mlg fde leæ fhægge løge l lgge me å de fde få leæ fhægge løge l yeme f dffeellgge: H de fde eelle kke mlplcle egeæde få leæ fhægge løge l yeme f dffeellgge: λ λ λ e e e ( H de fde kompleke kojgeede egeæde λ p ± q med lhøede egeekoe ± le løge: p p e ( co q q e ( co q q Hef få de o løge: p Re( e ( co q q p Im e co q q ( ( De komplemeæe løg l yeme f dffeellgge le å: c c c c ( odeyeme (me-fjedeyeme e-fjedeyeme edefo e e odeyem eåede f e me m og fe fjede k k k k k4 m m m Bege yeme med me m defee: m m e m m ( k k k k ( k k k k k k Shedm K k4 Syeme f ode dffeellgge få ed: K K A ( 4 ( k k k ( k k k 9

31 H mce A h eelle ege egeæde λ ω λ ω λ ω med lhøede egeekoe å få e geeel løg l lggyeme ed: co ω ω ( ho og e koe I de pecelle lfælde ho e kke mlplcel egeæd ge æde λ med lhøede egeeko le løge: ( FOURIERRÆKKER eodke fkoe E fko f e peodk med peode p h: f ( p f ( ho p > p ge de mde peode Defo d f æe e yk koe fko med peode å e Foeække FS f f f ge ed: f FS f ( π co π ho Foekoeffceee og e ge ed: π π f co d fo π π π f π femkomme ed æe d fo ge og lge fkoe ge fkoe h egeke: f ( f ( fo < < d de e ymmeke om y-ke elle [-;] f Ulge fkoe h egeke: f ( f ( fo < < d de e ymmeke om ogo elle [-;] f Foeække f lge og lge fkoe d f æe defee på elle < < d e e: f ( < < ge ddele: f ( f ( < < f ( < < Ulge ddele: f ( f ( < <

32 Foeække FS f f e lge fko f e: π FS f ( co Cofoeække f f Foeække FS f f e lge fko f e: π FS f ( Sfoeække f f øg f dffeellgge h Foeække De e ge dffeellgge med edeegelee: ( ( c( f ( fo < < med degelee ( ( Udd fø f l elle < < Uddele e ee lge elle lge Fod f e yk gl h dee Foeække: π π f ( FS f ( co Ag dffeellgge h løge med Foeække: π π ( FS ( co NB Hk og kke e de mme om Se FS f og FS d dffeellgge og eem koeffceee og c 4 Udeøg om edeegelee emme Såfem edeegelee emme he e fomel Foeækkeløg Vmeledglgge Vmeledglgge gælde fo empee ( e lg yd g om fko f de og ede k Beg egydeleegelee d ho Heed få ( f Beg degelee ed og e lægde på ge Heed e hlke f edeåede lfælde de e le om Ge gæeædpoleme ho de o ede e hold ed e ko empe (he : ( f ( ( (

33 øge l dffeellgge e: ( k e π π ho e ge ed: ( d f π Ge gæeædpoleme ho de o ede e oleede (e meflow geem edee: ( ( ( ( øge l poleme e: π π co ( k e ho e ge ed: co ( d f π

34 TRIGONOETRISKE FUNKTIONER S og co k k e e cok k k e e k ho k e e ko R og Hypeolk og co k k e e coh k k k e e h k ho k e e ko R Addofomlee co co( co( ( ( co co( co( ( ( ( co( co( ( ( co( co( ( ( ( ( ( Tgoomeke fkoe co ( co co ( co co co co co 4co co 4 y y co co y co co y y co co y

35 Specelle fkoæde Gde º º 45º 6º 9º Rdl π π π π 6 4 S Co T - 4