Matematisk Formelsamling

Transkript

1 . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eè Agd Pedese Mtemtis Fomelsmlig fo de eis- Ntuvideselige Bsisuddelse

2 . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eé Agd Pedese FOOD Dee mtemtise fomelsmlig e udejdet til. ås igeiøstudeede på idustiigeiøliie på Alog Uivesitet, og de dæe omådee: - Diffeetilegig - Iteglegig - Lieæ lge - Komplese tl - Diffeetilligige - Smt de vigtigste og mest ugte divese fomle f gymsiet og ht Fomelsmlige e udejdet i f studeede i fusttio ove, t de ie fdtes oge ug fomelsmlig til mtemtiudevisige på Alog Uivesitet. Side e fomelsmlige løede med hjælp f studeede og udevisee tilpsset og foedet. Fomelsmlige ideholde på e ovesuelig og letfoståelig måde lt, hvd m ehøve til opgveegig og esme. Jic Schmidt Istitut fo Smfudsudvilig og Pllægig Alog Uivesitet 00

3 . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eé Agd Pedese Fomelsmlig til mtemti på Bsisuddelse POENS- OG EKSPONENIALEGNING...4 POENSEGLE...4 EKSPONENIAL- OG LOGAIMEFUNKIONE...4 Sivemåde...4 Femsivigsfto...4 Ntulig logitmefutio l...4 itlslogitmefutio log...4 POENSFUNKIONE...5 Sivemåde...5 Espoete...5 KOODINASYSEME...6 POLÆKOODINAE...6 Omegig f polæe til etgulæe oodite...6 Omegig f etgulæe til polæe oodite...6 Ael f uvefgæset omåde i polæ oodite...6 umfg f uvefgæset omåde i polæ oodite...6 CYLINDEKOODINAE...6 Omegig f cylidise til etgulæe oodite...6 Omegig f etgulæe til cylidise oodite...6 umitegle f et omåde i cylidise oodite...7 SFÆISKE KOODINAE...7 Smmehæg mellem etgulæe- og sfæise oodite...7 Itegtio i sfæise oodite...7 IGONOMEI...8 VILKÅLIG EKAN...8 Cosiuseltio...8 Siuseltio...8 IGONOMEISKE SAMMENHÆNGE...8 Additiosfomlee...8 igoometise futioe...8 SPECIELLE FUNKIONSVÆDIE...9 DIFFEENIALEGNING...0 EGNEEGLE...0 Diffeetieig f futioe med e viel...0 Diffeetieig f smmestte futioe med flee vile (Kædeegle)...0 Afledte futioe...0 KIISKE PUNKE OG SADDELPUNK...0 GADIEN... Avedelse f gdiet... De etigsfledede... LINEÆ APPOKSIMAION... Apposimtio fo tilvæst f futio f med e viel... Apposimtio fo tilvæst f futio f med to vile og y... ANGENPLAN... getpl ved ug f ædeegle... getpl ved ug f gdiet... INEGALEGNING... EGNEEGLE... Itegeigsfomle... igoometis itegtio... Stmfutioe... MASSEMIDPUNK...

4 Msse f plde og legeme... Mssemidtput...4 LINEÆ ALGEBA...5 VEKOE...5 Vetopodut...5 MAICE...5 De tspoeede mti...5 Idetitetsmtice...5 Mtidditio...5 Mti scl multiplitio...5 Mtipodut...5 Ivesmti...6 DEEMINAN...6 Udegig f detemite...6 egeegle fo detemite...7 æe- og søjleopetioe på detemite...7 LIGNINGSSYSEME...7 Fuldstædig løsig til et ihomoget ligigssystem...7 Løsig f ligigssysteme med Guss-Jod metode...8 Løsig f ligigssysteme med detemitmetode...8 Mtiligig...8 UM...8 Søjleum...8 æeum...8 Nulummet...8 Udeum...8 Dimesio f et udeum...9 g...9 Bsis fo et um...9 Bse fo um tilyttet e mti...9 Udvidelse f e sis fo et um...9 LINEÆ ANSFOMAION...0 Stdd mti epæsettio fo lieæ tsfomtio...0 Smmest futio...0 Ives futio...0 Stdd mti epæsettio ud f edte futiosvædie f sisvetoe...0 VEKOUM... Defiitio... Lieæ ufhægighed... Sp... Udeum... Bsis fo et vetoum... Odet sis... Kooditveto... Bsissift... Lieæe tsfomtioe... KOMPLEKSE AL...4 ELEMENÆE EGNEEGLE...4 Sivemåde...4 egeegle...4 Additio og suttio...4 Multiplitio og divisio...5 Kojugeig...5 POLYNOMIE...5 Adegdsligige...5 Biome ligige...5 Polyomie f højee gd...5 EKSPONENIALFUNKIONE...6 DIFFEENIALLIGNINGE...7 YPE AF DIFFEENIALLIGNINGE...7 Homogee diffeetilligige...7

5 Ihomogee diffeetilligige...7 Lieæe diffeetilligige...7 Lieæe diffeetilligige f te ode med ostte oefficiete...7 LØSNINGE IL DIFFEENIALLIGNINGE GENEEL...7 Esistes og etydighed...7 Fuldstædig løsig til e diffeetilligig...7 Fuldstædig løsig til e ihomoge diffeetilligig...8 Supepositiospicippet...8 etigsliie til gæt f ptiulæ løsig til e ihomoge ligig...8 LØSNINGE IL. ODENS DIFFEENIALLIGNINGE...8 Homoge. odes diffeetilligig...8 Ihomoge. odes diffeetilligig...8 LØSNINGE IL HOMOGENE. ODENS DIFFEENIALLIGNINGE...9 Kteligig...9 Løsig til ligig med eelle ødde i teligige...9 Løsig til ligig med omplese ødde i teligige...9 Løsig til ligig med eel doeltod i teligige...9 LØSNINGE IL HOMOGENE N E ODENS DIFFEENIALLIGNINGE...9 Kteligig...9 Løsig til ligig hvis e od m gge i teligige...0 Løsig til homoge ligig hvis α±βi C e od m gge i teligige...0

6 Potes- og espoetilegig Potesegle s s s s s ( ) s ( ) 0 s s Espoetil- og logitmefutioe Sivemåde Espoetielt vosede elle ftgede futioe f med femsivigsfto elle væstte, sives på fome: f ( ) f ( ) ( ) Femsivigsfto Hves de to pute (, y ) og (, y ) på e et liie i et eeltlogitmis ooditsystem, så e futioe espoetiel, og femsivigsftoe e: y y Ntulig logitmefutio l y e l y l e l l l ( ) l l l l l ( ) itlslogitmefutio log y 0 log y log 0 log log log ( ) 4

7 log log log log log ( ) Potesfutioe Sivemåde Potesfutioe med espoet sives på fome: f ( ) De gælde t: y y Espoete Hves de to pute (, y ) og (, y ) på e e et liie i et doeltlogitmis ooditsystem, så e futioe e potesfutio, og espoete e: log y log y log log 5

8 Kooditsysteme Polæoodite Polæ oodite sives på fome (, θ), hvo e modulus og θ e gumetet. Omegig f polæe til etgulæe oodite cos θ y si θ Omegig f etgulæe til polæe oodite y Ael f uvefgæset omåde i polæ oodite f ( θ) Aelet f θ α til θ β e: β α ( f ( θ) ) A dθ umfg f uvefgæset omåde i polæ oodite α θ β og ide ( θ) yde ( θ) ( cos θ, θ) z f si β α yde ( θ) ( θ) ( z ) ddθ f ( y) V, ide Hvis ( cos θ, si θ) A β da f så give doeltiteglet elet f : α yde ide ( θ) () ( θ) ddθ da Cylideoodite Cylideoodite sives på fome (, θ, z) Omegig f cylidise til etgulæe oodite cos θ y si θ z z Omegig f etgulæe til cylidise oodite y 6

9 t θ y umitegle f et omåde i cylidise oodite Hvis sives i cylideoodite som: θ, z α θ β, θ θ, z, θ z z, θ så e: {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}, β ( θ) (, θ) (, y, z) f ( cos θ, si θ, z) f α ( θ) z z (, θ) dz d dθ Sfæise oodite Sfæise oodite sives på fome ( ρ, φ, θ) Smmehæg mellem etgulæe- og sfæise oodite ρ y z ρsi φ cos θ y ρsi φsi θ z ρ cos φ Itegtio i sfæise oodite (, y z) f ( ρ si φ cos θ, ρ si φ si θ, ρ cos φ) f, θ θ φ ρ φ ρ ( φ, θ) f ( φ, θ) U ( ρsi φcos θ, ρsi φsi θ, ρ cos φ) ρ ρ siφ dρ dφ dθ si φ dρ dφ dθ 7

10 igoometi Vilålig tet Cosiuseltio Gælde fo vilålig tet med sidee, og c og tilhøede vile A, B og C. c cosc Siuseltio Gælde fo vilålig tet med sidee, og c og tilhøede vile A, B og C. c si A si B si C igoometise smmehæge Additiosfomlee cos cos si si ( s t) cos( s) cos( t) si( s) si( t) ( s t) cos( s) cos( t) si( s) si( t) ( s t) si( s) cos( t) cos( s) si( t) ( s t) si( s) cos( t) cos( s) si( t) igoometise futioe ( π) cos ( π) si ( ) cos ( ) si ( π ) cos ( π ) si cos si cos si cos si π cos si π si cos si cos si ( cos ) cos ( cos ) cos cos si si si cos cos 4cos cos si si 4si 8

11 Specielle futiosvædie gde 0º 0º 45º 60º 90º ditl 0 π 6 π 4 π π si 0 cos 0 t 0 π ditl gdtl gdtl ditl π - 9

12 Diffeetilegig egeegle Diffeetieig f futioe med e viel ( f ± g)( ' ) f '( ) ± g ( ) ( f g)( ' ) f '( ) g( ) g' ( ) f ( ) f ' f '( ( )( ) ) f g ' ( ) f '( ) g( ) g' ( ) f ( ) ( g( ) ) ( f o g) ' ( ) f ' ( g( ) ) g' ( ) Diffeetieig f smmestte futioe med flee vile (Kædeegle) ( ), e e futio f vile. ( t), g ( t),..., g ( t) ( g( t), g ( t),..., g ( t) ) f,..., g e futioe f viel. f diffeetiees på følgede måde: df f g( t), g( t),..., g( t) g'( t)... f g( t), g( t),..., g( t) g'( dt ( ) ( ) ) t Afledte futioe Futio f() d Afledt futio f ( ) Futio f() d Afledt futio f ( ) l e e d d cos si e si cos e t t cos l si cos t Kitise pute og sddelput De e itis put i ( y) A f, B f ( ) (, ) f ( ) y y, f f, å ete 0 elle å ie egge y f og f y esistee. 0

13 ( ) C f yy, Δ AC B Hvis > 0 og > 0 Hvis > 0 og < 0 Hvis < 0 Δ A så h f lolt mi i (, ) Δ A så h f lolt m i (, ) Δ så h f sddelput i (, ) Gdiet Gdiet f (,, c) f f (, y, z) i P (,, c) : Gdiete pege i de etig, hvo futioe vose hutigst. f (,, c) f (,, c), f (,, c), f (, c) ( ) y z, Avedelse f gdiet Lieæ pposimtio etigsfledede getpl til flde, og tget til uve De etigsfledede De etigsfledede D u f (P) f f i P give med hvile te f ædes i etige u, hvo vetoe u h lægde. f ( P) f ( P) u D u Lieæ pposimtio Apposimtio fo tilvæst f futio f med e viel ilvæst i f ldes Δ f f ( Δ) f ( ) f ( Δ) f ( ) df f ( ) Δ Apposimtio fo tilvæst f futio f med to vile og y ilvæst i f ldes Δ f f ( Δ, y Δy) f (, y) f ( Δ, y Δy) f (, y) df f (, y) Δ f (, y) Δy elle f Δ, y Δy f, y df f, y Δ, Δy ( ) ( ) ( ) ( ) y getpl getpl ved ug f ædeegle E flde i ummet e givet ved f (, y) z getple α til flde i putet (,, f (, ) ) α : f (, ) ( ) f y (, )( y ) ( z f (, ) ) 0 Nomlvetoe til flde i putet (,, f (, ) ) e givet ved: e givet ved:

14 ( f (, ), f (, ), ) y getpl ved ug f gdiet E flde i ummet e givet ved f (, y, z) 0 getple α til flde i putet (, c) α : f (,, c) ( ( ), ( y ), ( z c) ) 0, e givet ved:

15 Iteglegig egeegle Itegeigsfomle f ( ) d F( ) ( ) g( ) d F( ) g( ) F( ) g' ( f ( g ) ) g' ( ) d f ( t) dt, hvo t f ) d ( g( ) igoometis itegtio u e e viel og e e ostt. Hvis iteglet ideholde Så sustitue med Og ug t u θ u t θ u sec θ u si si θ cos θ u t θ sec θ u sec θ t θ Stmfutioe Futio f() Stmfutio f ( ) d Futio f() Stmfutio f ( ) l l cos si e e si cos e t e l cos t t l cos si cos si l cos ( ) 4 si 4 si ( cos ) si d Mssemidtput Msse f plde og legeme Msse f et plomåde med tyelse og desitet ρ (, y) i et givet put (, y) e: m ρ(, y ) da

16 Msse f et legeme med desitet ρ (, y, z) i et givet put ( y, z) m ρ(, y, z ) dv, e: Mssemidtput Mssemidtputet i et plomåde med msse m og desitet ρ (, y) i et givet put (, y) e: ρ(, y) da m y y ρ(, y) da m Mssemidtputet i et legeme med msse m og desitet ρ (, y, z) i et givet put ( y, z) ρ(, y, z) dv m y y ρ(, y, z) dv m z z ρ(, y, z) dv m, e: 4

17 5 Lieæ lge Vetoe Vetopodut ( ) ( ),, og,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) c c v si Mtice E mti sives på fome m m A L M O M L De tspoeede mti A e de tspoeede mti f A. A femomme ved t spejle mtice A i digole mellem og m Idetitetsmtice Idetitetsmtice I e mtice med -tlle på lle ii og ulle på este f ij idetitetsmti I Idetitetsmtice e ltid e mti. Mtidditio A og B e m mtice [ ] ij ij B A Mti scl multiplitio [ ] ij A Mtipodut A e e m mti

18 B e e s mti AB e e m s mti Mtipodutet fås ved t tge slpodutet f æe i i A og søjle j i B, og plcee dette på plds ij i AB. egeegle fo mtipodut AB BA (Dette gælde geeelt, me ie i lle tilfælde) ( AB ) C A( BC) ( A ) B A( B) ( AB) IA A A ( B C) AB AC A B C AC ( ) BC ( A ) A ( A B) A B ( AB ) B A Ivesmti A e e mti Hvis følgede udty e gældede så e A ivetiel: AC CA I C e A s ivese A det( A ) 0 g A ( ) A fides ved elemetæe æeopetioe så [ A I ] ~ [ I A ] AA A A I AB B A ( ) Detemit Detemite sives på fome ( A) det M L O L A e e mti Hvis det( A ) 0 så e A ivetiel Hvis to æe i e mti A e es, så e det(a)0 M Udegig f detemite det ( A ) ' '... ' {,,..., } ( A ) s' s s' s... s ' s s {,,..., } det det i j hvo coftoe ' ( ) det( A ) ij ij udvilig efte æe udvilig efte søjle s 6

19 A ij e mtice, de e femommet ved t fjee æe i og søjle j i A. Hvis de ove elle ude digole mellem og u stå ulle e: det A L ( ) egeegle fo detemite det ( AB) det( A) det( B) ( A ) det( A) det c det A sve til t gge lle led i é æe elle søjle med c ( ) æe- og søjleopetioe på detemite æeopetioe på æe i og j h følgede osevese: æeopetio Koseves det( A) i j c c det( A) i i i c det ( A) i j ilsvede gælde det smme fo søjleopetioe S på søjle i og j. Ligigssysteme A e et ihomoget ligigssystem A 0 e et homoget ligigssystem Et ligigssystem A e: - Kosistet, hvis det h e elle flee løsige. - Iosistet, hvis det ige løsige h, dvs. det ideholde e æe som edefo: c 0 Et ligigssystem A sives på fome: A Fuldstædig løsig til et ihomoget ligigssystem Alle løsige til A e givet ved p h, hvo p e e ptiulæ løsig og h e e løsig til det homogee ligigssystem A 0 7

20 Løsig f ligigssysteme med Guss-Jod metode A Ligigssystemet educees med æeopetioe, idtil de e pivot elle ul-æe i lle mtices æe. Heæst fides i med glæs sustitutio. æeopetioe: i j c i i i i c j Løsig f ligigssysteme med detemitmetode A A e e mti og [,,..., ] det( Bi ) i det( A) hvo B i e de mti de fås ved t esttte søjle i i A med Mtiligig Mtiligige X A B Mtiligige X BA AX B, hvo X e de uedte mti, løses ved: XA B, hvo X e de uedte mti, løses ved: um Søjleum Søjleummet til e m mti A e: sp ( s, s,..., s ) hvo s, s,..., s e søjlee i A æeum æeummet til e m mti A e: sp (,,..., m ) hvo,,..., m e æee i A Nulummet Nulummet N f e mti e defieet ved: N A 0 { } Udeum Hvis e delmægde W f e luet ude åde dditio og multiplitio, så e W et udeum f W luet ude dditio u, v W u v W W luet ude slmultiplitio v W, v W 8

21 Hvis w,,..., et udeum f, w,..., w så e W sp( w w w ) Dimesio f et udeum ( W ) tl ufhægige vetoe iw dim g æeg Dimesioe f æeummet Søjleg Dimesioe f søjleummet De gælde t g Søjleg æeg g Atl pivot'e i de educeede mti gligige: g A ullity A ( ) ( ) m mti og ( A) hvo A e e ullity e tllet f fie vile i løsige til 0 A Bsis fo et um w, w,..., w og W e et udeum f. De gælde så t { w, w,..., w } e e sis fo W, hvis ehve veto i W etydigt sives: sp( w, w,..., w ) dvs. w, w,..., w, hvilet etyde t w, w,..., w e lieæt ufhægige. E sis fo et udeum W fides ved:. Opstil e mti A f søjlevetoee w j. A educees til educeet æefom H. Alle w j, svede til hvo de e pivot i søjle j i H, udgø e sis fo W Hus det e ie søjlevetoee f H me f A Bse fo um tilyttet e mti A e e mti med educeet æefom H Bsis fo æeummet udgøes f de æe 0 i H Bsis fo søjleummet udgøes f de søjle f A, hvo de tilsvede e pivot i H Bsis fo ulummet udgøes f vetoee femommet ved løsig f 0 A Udvidelse f e sis fo et um Et um h sisvetoee,,.., m og sl udvides til. De opstilles mtice: L m e e L e, hvo e, e,.., e e ehedsvetoee i Mtice educees til educeet æefom, og de tilsvede søjle, hvoi de e pivot, i de opidelige mti udgø e sis fo. 9

22 0 Lieæ tsfomtio E futio m : e e lieæ tsfomtio hvis: ( ) ( ) ( ) v u v u Bevig f dditio ( ) ( ) u u Bevig f slmultiplitio fo lle v u og i og lle Hvis e fildig sives på fome: ( ) A e de luet ude dditio og slmultiplitio og e defo e lieæ tsfomtio. Stdd mti epæsettio fo lieæ tsfomtio m : e e lieæ tsfomtio og A e e m mti ( ) A, hvo stdd mti epæsettioe A e: ( ) ( ) ( ) e e e A L Smmest futio m : med stdd mti epæsettio A m : med stdd mti epæsettio B ( )( ) ( ) ( ) ( ) AB o Ives futio h e ives hvis og u hvis A h e ives: ( ) A Stdd mti epæsettio ud f edte futiosvædie f sisvetoe m : Følgede futiosvædie e edte: ( ) ( ) ( ) v v v M hvo,,.., e vetoe i og v v v,,.., e vetoe i m Ehedsvetoee i fides som lieomitio f,,.., og de eyttes t lieæe tsfomtioe e luede ude slmultiplitio og dditio. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t e s s s s s s e e M

23 Slee, s,..., t fides ved: I I t M t L ~ M M L s s Vetoum Defiitio Et vetoum e e mægde V med: Additio: Fo u, v V fides u v V Slmultiplitio: Fo og v V fides v V som opfylde: A ( u v ) w u ( v w) A u v v u A De fides e veto 0 V som opfylde 0 v v A4 Fo hve v V fides v V som opfylde v ( v ) 0 S ( v w) v w S ( s) v v sw S ( sv ) ( s)v S4 v v Fo lle u, v, w V og, s Desude sl de gælde: 0 v ( ) v v Lieæ ufhægighed X e e mægde f vetoe i V. X e lieæt ufhægig hvis,..., 0... fo,,..., X og,,..., 0 Sp X e e mægde f vetoe i V sp ( X ) mægde f vetoe i V de sives som,...,, hvo {,,..., } e e edelig delmægde f X og,,...,,,..., m så e:,..., m m,..., m Hvis X e edelig: X { } sp ( ) { } sp(x) e et udeum f V, de ldes udeummet udspædt f X.

24 Udeum Et udeum W f V e e delmægde W V de opfylde: W Ø v, w W v w W luet ude dditio v W v W fo luet ude slmultiplitio Et udeum f et vetoum e selv et vetoum. Bsis fo et vetoum E mægde B ldes sis fo V hvis sp B og B e lieæt ufhægig ( ) V Atl vetoe e det smme fo lle se fo V, og dette tl ldes dimesioe. V 0 e de tomme mægde sis fo V og V h dimesio 0. Hvis { } Odet sis E odet sis B ( ),,..., fo et vetoum V estå f dim(v) ufhægige vetoe i e estemt æefølge. Mtice M B L ldes sismtice. Kooditveto il ehve veto v i vetoummet V med sismti ooditveto v B M således t v M v... B B M B e de yttet e etydig Kooditvetoe v B til e veto v i vetoummet V med odet sis B fides ved: M v ~ I, hvo I e idetitetsmtice. [ ] [ ] B v B Bsissift De hves et vetoum med to odede se B og B og tilhøede sismtice M B og M B'. Hvis v B e ooditvetoe til e veto v mht. M B fides ooditvetoe v B' fo v mht. M B' ved v ' C, ' v hvo C ' ldes ooditsiftemtice f B til B. B B B B C B,B' fides ved: C B, B' B' B B,B M M elle [ M M ] [ I C ] B ' B ~ B, B '

25 Lieæe tsfomtioe V og W e vetoum. E futio : V W ldes e lieæ tsfomtio hvis: ( u v ) ( u) ( v ) ( u) ( u) Fo lle u, v V og A Alle lieæe tsfomtioe sives på fome ( ) Billedmægde/Billedummet (ge) f e: ( V ) { ( v ) v V} som e et udeum f W. V v v V Søjleummet f A ( ) ( ) { } Kee f e: e( ) [] 0 { ( ) 0} v V v som e et udeum f V. e 0 v V v 0 Nulummet f A { } ( ) [] ( ) e() e løsigsmægde til de homogee lieæe ligig ( ) 0 Hvis de ihomogee ligig ( ) løsig e ( ) p h e ptiulæ løsig p, så e de fuldstædige

26 Komplese tl Mægde f omplese tl sives C i C hvo, og i Elemetæe egeegle Sivemåde e et omplest tl C og sives: ( α βi) i α e eldele f e ( ) α β e imgiædele f Im ( ) β sives på polæ fom: θ : Numeis vædi elle Modulus θ : Agumet/hovedgumet Smmehæg mellem polæ og etgulæ fom e: α β t θ α α cos θ β si θ β egeegle,, c C ( c) ( ) c ( c) c c c c c fo 0 Additio og suttio α β i og α β i ( α α ) ( β β )i ( α α ) ( β β )i 4

27 Multiplitio og divisio θ sφ s θ φ ( α α β β ) ( α β β α )i s s θφ θ φ Kojugeig α iβ e et omples tl i e det ojugeede omplese tl Polyomie Adegdsligige Løsigee til z e givet ved: α α ( ) z ± i sig β hvis β 0 hvo sig ( β) hvis β < 0 ilsvede e løsige på polæ fom, hvo z, θ z θπ Løsigee til z z c 0 e givet ved: ± w z hvo w D 4c z θ Biome ligige Biome ligige e ligige på fome [ ] θ p z π z θ π θ cos p i si p hvo p 0,,,..., z π θ Polyomie f højee gd i C og, i P ( z) z z z

28 ( z) ( z )( z )... ( z ) hvo {,,..., } P e ødde. Hvis z e od i polyomiet, så e z også od Espoetilfutioe, y og z, w C e iy e z w z e e ( cos y isi y) e w 6

29 Diffeetilligige ype f diffeetilligige Homogee diffeetilligige Diffeetilligige siges t væe homogee, å futioe f og des fledede L( ) e 0, dvs. L ( ) 0 Ihomogee diffeetilligige Diffeetilligige siges t væe ihomogee, å futioe f og des fledede L ( ) e e futio q () t, dvs. L q(t ( ) ) Lieæe diffeetilligige d d... dt dt L: V Wetege fildige L( f ) dt E fildig siges så t væe lieæ hvis L ( c c ) cl( ) cl( ) fo lle V, V og lle ostte d 0 Lieæe diffeetilligige f te ode med ostte oefficiete E diffeetilligigs ode e fgjot f højest fledede f. At oefficietee e ostte etyde t,,..., 0 e ostte. d dt d d... 0 q( ) dt t dt Løsige til diffeetilligige geeelt Esistes og etydighed Fo ethvet tlsæt ( t 0, 0, v, v,..., v ) fides de etop ee løsig ϕ() t til d d d diffeetilligige... 0 q( t) fo hvile dt dt dt ϕ t og ϕ t 0 v hvo,,..., ( 0 ) 0 ( ) ( ) Fuldstædig løsig til e diffeetilligig Fo ehve lieæ diffeetilligig ( ) L q gælde, t hvis,,..., e løsige til de homogee ligig, så e c c... c også løsig til L ( ) 0 7

30 Fuldstædig løsig til e ihomoge diffeetilligig Smtlige løsige til de ihomogee ligig L ( ) q fås ved t ddee smtlige løsige til de homogee ligig med e ptiulæ løsig til de ihomogee ligig. Supepositiospicippet Hvis i e løsige til L ( ) qi fo i,...,, d e... løsig til ligige: L ( ) q q... q hvo i e e ostt. etigsliie til gæt f ptiulæ løsig til e ihomoge ligig d d d... 0 q( t) dt dt dt t Hvis q () t e så gæt på de ptiulæe løsig t Ae, hvo A e e uedt ostt som fides ved idsættelse i diffeetilligige. () t Hvis q() t cos( t) elle q() t si( t) () t Acos ( t) B si( t) så gæt på de ptiulæe løsig, hvo A og B e uedte ostte som fides ved idsættelse i diffeetilligige. ct Hvis q() t e cos( t) elle q() t e ct si( t) ct ct ( t) Ae cos ( t) Be si( t) så gæt på de ptiulæe løsig, hvo A og B e uedte ostte som fides ved idsættelse i diffeetilligige. Hvis q() t et polyomium f te gd så gæt på de ptiulæe løsig () t t t... t 0, hvo,,...,, 0 e uedte ostte som fides ved idsættelse i diffeetilligige. Løsige til. odes diffeetilligige Homoge. odes diffeetilligig d p( t) 0 dt De fuldstædige løsig e givet ved: p() t dt t ce () Ihomoge. odes diffeetilligig d p( t) q( t) dt De fuldstædige løsig e givet ved: () () () p t dt p t dt t e () e q t dt c 8

31 Løsige til homogee. odes diffeetilligige d d 0 0 dt dt Dette omftte løsig f homogee. odes diffeetilligige med ostte oefficiete. Kteligig Kteligige til diffeetilligige: d d 0 0 dt dt e givet ved: 0 0 Løsig til ligig med eelle ødde i teligige og e de eelle ødde til teligige. De fuldstædige løsig e så: t t () t c e c e Løsig til ligig med omplese ødde i teligige α ± βi e de eelle ødde til teligige. De fuldstædige løsig e så: αt αt ( t) c e ( βt) c e si( βt) cos Løsig til ligig med eel doeltod i teligige e de eelle doeltod til teligige. De fuldstædige løsig e så: t t c e c te t () Løsige til homogee te odes diffeetilligige d d d dt dt dt De fuldstædige løsig til e homoge diffeetilligig f te ode estå f futioe, dvs. t c f c f... c f () Kteligig Kteligige til diffeetilligige: d d d dt dt dt e givet ved:

32 Løsig til ligig hvis e od m gge i teligige De fås m futioe: t t t m t c e, cte, ct e..., cmt e Løsig til homoge ligig hvis α±βi C e od m gge i teligige De fås m futioe: c e α t cos βt c e α t si βt c M c ( ), ( ), te α t cos( βt), c te α t cos( βt) m 4, m αt m αt t e cos( βt), c t e si( βt) m 0