BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

Transkript

1 MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget i egæset omg i selve oge, iet e ikke e keesto o C-iveuet. De vil til væe ekelte tiløjelse he, som ikke e ævt i oge, me k tækes som suppleee mteile til B- og -iveuet et gæle isæ kpitel 3 om polomie Me velig hilse Rsmus else

2 KPITEL LINEÆRE FUNKTIONER Sætig sie 37 Fo e lieæ uktio = + gæle t ge e e et lije og Tllet give skæige me -kse Tllet give hælige vs. m gå u og op Skæige me -kse sve til t =. Deo e skæigspuktet lig me uktiosvæie = + = + = Heme e e øste el vist. t vise t et e e et liie me hælige, sve til t vise t hve gg oøges me, skives =, oøges me, skives =. Til e tilælig -væi, e -væie. Nå m gå til høje, så å m +. Fuktiosvæie e he +. Dette e vist på igue +? Hælige e eo = + = isæt t oskite e = + = + + gg i i øste petes, og hæv miuspetese ve t æe oteg = eue utkket =, =. tilge e ku + Deo e =, og heve e sætige evist. Sætig sie Hvis ge o e lieæ uktio gå igeem puktee så k oskite estemmes u ølgee to omle, og, Kees ku eet pukt og hælige, så k også m ie oskite ve t sætte i i ee omel:

3 D puktee, og, ligge på ge gæle e t og og og * Nu sættes -væiee i i oskite isolees i egge ligige ve t tække hhv. og Vi sætte u e to utk lig hie Vi smle ee på e ee sie, på e e sie ve t tække og lægge til på egge sie. Sæt ue o e petes Fo t isolee iviees me på egge sie, hvove m å Heme e pukt evist. t egue omle o pukt, e et em. Dee omel h vi emlig lleee uet i lije se *. De siste el: Vi ve t = +. Nu isætte vi e ue omel o isæt t om på e to siste le sæt ue o e petes Heme e et øskee vist

4 KPITEL 3 NDENGRDSPOLYNOMIER hjælpesætig ikke me i oge egspolomiet k omskives til Dette vises ve t ege glæs vs. t gge petese u og ege em til e velkete om: Heme e et øskee vist. Sætig sie 6 Fo egspolomiet gæle: Hvis > så e e to ulpukte Hvis = så e e et ulpukt Hvis < så e e ige ulpukte Nulpuktee estemmes ve omle De tges uggspukt i et vi skl vise He ettes kvtsætige + = + + Det siste le i petese okotes me og omle o iskimite isættes i øke til sist gges i i petese og e siste øk eles op i to øke et og teje le euees me De to es øke me oskelligt oteg gå u me hie. De siste øk okotes me, hvove et øskee emkomme.

5 et tge uggspukt i omle hjælpesætig. Ve hjælp ee k vi estemmeulpuktee: t ie ulpukte sve til t løse = Utkket o hjælpesætig isættes. He skl isolees De siste øk lægges til på egge sie De iviees me på egge sie M tge kvtoe på egge sie og huske t åe e positive og e egtive løsig skl me Nu hæves petese på veste sie og øke tækkes på egge sie Til sist smles e to øke på é øksteg iet e h smme æve. løsige he ses et t hvis >, e e to oskellige løsige. Hvis =, å m e smme løsig iet m hhv lægge til og tække. Dvs. e ku e é løsig. Hvis <, k m ikke sætte i i e ue omel, iet m ikke k tge kvtoe et egtivt tl og e e eme ige løsige i ette tilæle. Heme e et øskee vist Sætig 3 sie 56 Toppuktet o egspolomiet e givet ve T, Hvis m etgte et simple polomium =, e et emt t se t et h toppukt i,. Lve m heete e plleloskig hele ple, så toppuktet lttes, til, live estttet me og me., Deo live oskite æet = til = = + = + * estttes me og estttes me. Og smtiigt ettes t = He lægges til på egge sie Ige ettes t = ve e plleloskig toppuktet.

6 F hjælpesætig ve vi t e geeelle oskit = + + k omskives til ølgee om ** Smmehole vi u e to omle * og **, k vi se t et geeelle polomium = + + sve til e plleloskig toppuktet til, =, Heme e e øskee omel vist. På et å vil vi og lve et meget smtee evis. Hjælpesætig B ikke me i oge L p og q væe ulpuktee o egspolomiet D gæle p q p q. et ette omle o ulpuktee i sætig. Føst evises pukt : p q Deæst evises pukt He skives e to øe sætig D e to øke h smme æve, k e sættes på ælles øksteg. De to kvtøe gå u me hie iet e h oskelligt oteg. Heme e øke eueet og til sist k e okotes me i tælle og æve.

7 q p Sætig ikke me i oge egspolomiet k ktoisees ete sie ulpukte hvis e e ogle, sålees t q p Dette esultt evises emmest ve t gge petesee u som kotol og uge esulttee hjælpesætig B. pq q p pq p q q p Heme e et øskee vist. De to øe sætig sættes i. M gge to øke ve t gge tælle me tælle og æve me æve. I tællee gekees to tls sum gge to tls iees. Dvs. t vi ette e velkete omel + = Smtiigt ettes t I tællee isættes t = Miuspetese hæves og og gå u. Nu okotes me i tælle og æve. Vi gge e to petese smme ve t gge hvet le i e ee petes me egge le i e e He smles e to -le og sættes ue o e petes He isættes e to esultte om øee p og q hjælpesætig B He hæves miuspetese He gges i på hvet le i petese Heme give ktoiseige etop oskite som øsket

8 KPITEL 5 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER Sætig 7 sie 97 Fo e ekspoetiel uktio gæle t e eltive tilvækst e kostt = De eltive tilvækst e eieet helt geeelt o lle uktioe som. I ee isættes oskite o e ekspoetielle uktio, heve å m: Heme e et øskee vist. Sætig 8 sie 98 Hvis ge o e ekspoetiel uktio gå igeem puktee, og, så k oskite estemmes u ølgee to omle Dette e eiitioe på Foskite isættes Vi uge potesegeegle +m = m, vs. + = = Vi sætte e ælles kto ueo e petes D stå i åe tælle og æve, k et okotes u.

9 t et pukt, ligge på ge ete t,. Deo k vi skive to ligige op: og tilsvee o et et pukt og og D optæe i egge ligige, så isolees ette ve t iviee heholsvis og ove på e e sie. D egge ligige give et utk o, så k e sættes lig me hie. De gges me på egge sie De iviees me på egge sie Potesegeegle m m ettes Fo t isolee, tges e te o på egge sie Sætig sie 8 Fo e voksee ekspoetiel uktio e ooligskostte T l l l½ Fo e tgee ekspoetiel uktio e ooligskostte T½. l. evis Vi evise ku ooligskosttes useee, iet eviset o hlveigskostte oløe logt til ette evis. t T e ooligskostt ete t + T = ovevej ette Ekeltlogitmisk kooitsstem + T Vi tgge lit på ee ligig:

10 T T T T T l T T l T l l l T l Vi h ist oskite o = Deæst h vi okotet me på egge sie Nu iviees me He ettes egeegle Vi euee ekspoete m m Fo t isolee T, uge vi l på egge sie Vi uge egeegle l = l Til sist iviees me l Heme e et øskee vist. et o hlveigskostte køe på smme måe, me tge uggspukt i ligige +T ½ = ½. Sætig 9 sie 5 Ge o e ekspoetiel uktio e e et lije i et ekeltlogitmisk kooitsstem Dette evis kæve t vi h st på logitmeegeeglee. D et ekeltlogitmisk kooitsstem h e logitmisk -kse, så eeges logitme til : De ekspoetielle uktio h oskite Nu uges logitme på egge sie: log log log log log log log log B Vi uge egeegle log = log + log Vi uge egeegle log = log e ttes om på ækkeølge Log e e et tl kl et. Tilsvee kles log = B Me e logitmisk -kse og e lmielig -kse, så h vi e et lije.

11 KPITEL 7 - POTENSFUNKTIONER Sætig 3 sie 6 Hvis ge o e potesuktio gå igeem puktee, og, så k oskite estemmes u ølgee to omle l l elle 3 lige eviset o sætig 8 t et pukt, ligge på ge ete t og tilsvee o et et pukt,. Deo k vi skive to ligige op: og og l l l l l l Fo t ie omle o, tges uggspukt i e lije i uegigee iet potesegeegle ettes. Heme e et øskee vist D optæe i egge ligige, så isolees isse ve t iviee og ove på e e sie D vi h to utk o, så k isse sættes lig hie Fo t smle -leee, så gges ove. Heæst iviees me Utkket oige sie Nu e e to le me isoleet på veste sie Potesegeegle ettes Nu skl ekspoete isolees. Dette gøes ve i øste omgg t uge l på egge sie. Nu uges logitmeegeegle l = l Nu iviees me l, hvove vi h isoleet som øsket.

12 Sætig sie 5 Ge o e potesuktio e e et lije i et oeltlogitmisk kooitsstem lige evis o sætig 9 Potesuktioe h oskite Nu uges logitme på egge sie: log log log log log log log log log log B Vi uge egeegle log = log + log Vi uge egeegle log = log e ttes om på ækkeølge Log e e et tl kl et. Tilsvee kles log = B D et oeltlogitmisk kooitsstem h åe logitmisk -kse og -kse, så ses et vi å e et lije, hvove et øskee e vist.

13 KPITEL RENTE- OG NNUITETSREGNING Sætig sie Femtisvæie e uitet e givet ve omle E uitet estå else til st ete til e st temisto som vist på tislije. Hvis e e else, så e e - temie mellem øste og siste else se igu. De øste else å t tække ete gge, e æste gge og så viee. De siste else tække ikke ete, væie opgøes umielt ete e siste else. Deo k skives som ølgee sum * Fo t omskive ette ettes et smt tik: M gge summe * me + og tække e to utk hie. Det vise sig t give e smt omskivig et e eo et kles et tik, et e ikke oget m elles k se omle Deo gges egge sie * me +. ** e e gget i i petese Nu tækkes e to utk hie, vs. m eege ** * M h eo ølgee tilge Nu se vi t egge utk h lle e miteste le til ælles. Disse le euees u, hvove ku et øste og siste e tilge - temie else

14 Heme e omle evist e gges i i petese til veste veste sie euees og gå u e iviees me sættes ueo e petes, og eme ue o øke Sætig sie 3 Nutisvæie e uitet e givet ve omle Nutisvæie e opgjot temi ø øste else. De e eo temie mellem og, og eo e oskelle mellem e to, etetilskivige Deo k m skive t e iviees me + egeegle uges på = + u isættes omle o tiligee + gges op på egge le i tællee egeegle - = - = = ettes på = + Heme e e øskee omel evist. - temie temie