DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Bin Packing Problemet
|
|
- Pia Markussen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse. Opgave stilles fredag 9. marts 2007 og skal afleveres seest tirsdag 20. marts 2007 kl i DIKU s studieadmiistratio. For at blive godkedt skal der være gjort et reelt forsøg på at løse samtlige spørgsmål. Besvarelse skal udarbejdes i grupper på to til tre deltagere. Grupper med é deltager kræver skriftlig accept fra istruktore midst e uge før opgave skal afleveres. Læs veligst hele opgaveformulerige igeem ide du går i gag. Hits til opgavere ka fås ved øvelsere, hvor der er afsat tid til at arbejde med projektopgave. Idledig Bi packig problemet er et vigtigt optimerigsproblem idefor produktiosplalægig, pakig m.m. Bi packig problemet er NP-hårdt at løse [1]. Formelt ka bi packig problemet defieres på følgede vis: Lad der være givet gestade som hver har e tilkyttet vægt w j. Lad der edvidere være givet et uedeligt atal beholdere (bis) der hver ka rumme vægte c (kapacitete). Opgave er u at fordele gestadee i beholdere, så ige beholderes kapacitet overskrides, og således at der beyttes færrest mulige beholdere. Hvis vi bruger biære variable x i j til at agive om e gestad j abriges i beholder i, og v i til at agive om beholder i beyttes, får vi følgede matematiske formulerig af problemet: miimize subject to i=1 v i (1) w j x i j cv i, i = 1,..., (2) x i j 1, j = 1,..., (3) i=1 x i j {0,1}, i, j = 1,..., (4) v i {0,1}, i = 1,..., (5) Vi vil betege formulerige (1) (5) for e simple formulerig. Objektfuktioe (1) agiver at vi skal bruge færrest mulige beholdere, mes begræsig (2) agiver at hvis v i = 0 så ka der ikke pakkes oget i beholdere og hvis v i = 1 så ka der pakkes kapacitete c. Begræsig (3) sikrer at hver gestad j bliver pakket, og begræsigere (4) og (5) sikrer at alle beslutigsvariable er boolske. Det atages ormalt at alle koefficieter w j og c er positive heltal. Det atages edvidere at w j c for alle j da ma ellers ikke ka fide e lovlig løsig. 1
2 Eksempel 1 I det følgede eksempel er c = 9 og der er givet = 7 gestade med følgede vægte: j w j Opgave 1 Løs istase fra eksempel 1 til optimalitet ved brug af CPLEX. Rapporter de fude løsig samt atal brach-ad-boud kuder som CPLEX brugte (agiv Nodes og Iteratios). E god heuristik til at løse bi packig problemet er first fit decreasig. Her sorters gestadee efter aftagede vægt, og alle beholdere er til at begyde med tomme. Nu betragtes gestadee i de sorterede rækkefølge. Hver gestad j abriges i de første beholder (dvs. de beholder med lavest ummer) hvor der er plads. Opgave 2 Aved first fit decreasig heuristikke på eksempel 1 og vis at ma herved fider følgede løsig bi gestade vægt , , Giv tilstrækkeligt med detaljer til at ma ka følge algoritme. Hvis ma keder e øvre græse m for atal beholdere, der skal beyttes i e optimal løsig, ka dette udyttes til at begræse atal beslutigsvariable v j således at ma ku har disse variable for j = 1,..., m. Dette ka reducere størrelse af modelle (1) (5) betragteligt. Græseværdier Hvis vi LP-relaxerer bi packig problemet (1) (5) får vi følgede problem miimize subject to i=1 v i (6) w j x i j cv i, i = 1,..., (7) x i j 1, j = 1,..., (8) i=1 0 x i j 1, i, j = 1,..., (9) 0 v i 1, i = 1,..., (10) Løsigsværdie til LP-relaxerige beteges z LP. Opgave 3 Fid z LP for istase fra eksempel 1. 2
3 Det er oplagt at z LP giver e edre græseværdi for bi packig problemet. Me desværre er kvalitete af dee relativt dårlig. Ma ka opå e strammere græseværdi ved at omskrive problemet som følger: Opgave 4 Opskriv for istase i eksempel 1 samtlige måder e beholder ka pakkes på. (Dvs. agiv i tabel-form de valgte gestade, og deres vægt-sum). Atag at der fides to lovlige pakiger P 1 og P 2 hvor samtlige gestade i pakig P 1 også idgår i pakig P 2, me pakig P 2 yderligere ideholder e eller flere gestade. Så ka vi slette pakig P 1 idet vi ikke er dårligere stillet ved at avede pakig P 2 i stedet. (Vi ka altid smide ekstra gestade væk i e løsig). Opgave 5 Brug dee observatio til at fjere ogle pakiger fra forrige opgave og opskriv de tilbageværede pakiger. Lad R betege mægde af pakiger af e ekelt beholder. Lad edvidere a i j agive om gestad j idgår i pakig i. Vi ka beytte dette til at opskrive e alterativ formulerig af bi packig problemet, som vi beteger koloe formulerige. Lad x i agive om pakig i R beyttes. Dermed bliver modelle: mi s.t x i (11) i R a i j x i 1 j = 1,..., (12) i R x i {0,1} i R (13) Her sikrer (12) at hver gestad j bliver pakket, mes (13) sikrer at hver pakig bliver brugt ul eller e gag. Opgave 6 Opskriv koloe formulerige af eksempel 1 (gere reduceret i hehold til opgave 5) Opgave 7 Løs koloe formulerige af eksempel 1 til LP-optimalitet med CPLEX. Opgave 8 Løs koloe formulerige af eksempel 1 til IP-optimalitet med CPLEX. Rapporter atal brach-ad-boud kuder som CPLEX brugte (agiv Nodes og Iteratios). Opgave 9 Bevis at ma får strammere græseværdier ved at løse LP-relaxerige af koloe formulerige ed ved at løse LP-relaxerige af de simple formulerig. (Hit: Idet de to formuleriger har samme objektfuktio skal ma blot vise at løsigsrummet for det ee problem er skarpt ideholdt i det adet problem. Ma skal m.a.o. vise at ehver løsig til koloe formulerige også er e løsig til de simple formulerig. Edvidere skal ma vise at der fides midst e istas hvor koloe formulerige giver e strammere græseværdi ed de simple formulerig). Desværre ka der være ekspoetielt mage måder hvorpå e ekelt beholder ka pakkes, og dermed bliver koloe formulerige i praksis uløselig grudet det store atal beslutigsvariable. Hvis ma ku er iteresseret i at løse LP-relaxerige af koloe formulerige (11) (13), ka problemet løses ved at geerere koloere efterhåde som der bliver brug for dem. Ma ka da håbe på at problemet ka løses til LP-optimalitet ude at geerere mere ed e lille brøkdel af koloere. 3
4 For at illustrere pricippet, betragt ige de LP-relaxerede koloe formulerig af eksempel 1, hvor vi ku betragter pakigere fra first fit decreasig heuristikke. Dette fører til følgede LPmodel mi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 s.t. x 2 1 x 4 1 x 2 1 x (14) 4 1 x 1 1 x 5 1 x 3 1 Lad y j betege de duale variabel svarede til begræsig (12) for gestad j. De duale variable for oveståede eksempel er y 1 = y 2 = y 5 = y 6 = y 7 = 1 mes y 3 = y 4 = 0. Opgave 10 Giv e ituitiv fortolkig af de duale variable y j. Opgave 11 Idet de ituitive fortolkig af de duale variable udyttes, fid ved ispektio de mest lovede pakig i R, fra opgave 5 som skal tilføjes modelle. Ma behøver ikke at kede mægde R for at løse problemet fra opgave 11. Opgave 12 Vis at problemet med at fide de mest lovede pakig i R som skal tilføjes til modelle ka formuleres som et kapsack problem. Dette problem kaldes pricig problemet. Opgave 13 Agiv et kriterie for hvorår det ikke ka betale sig at medtage e y pakig af e beholder (Hit: betragt de reducerede omkostig af e pakig). Opgave 14 Udvid oveståede koloe formulerig (14) med de ye pakig som blev fudet i opgave 11. Løs det udvidede problem (14) med CPLEX og bestem de ye duale variable y 1,...,y 7. Opgave 15 Getag processe med at fide de mest lovede pakig ved brug af metode fra opgave 12, tilføj de til modelle (14) og bestem de ye duale variable. Stads processe år stop-kriteriet fra opgave 13 ås. Giv tilstrækkeligt med detaljer i hvert skridt. Opgave 16 Sammelig de to løsiger fra opgave 7 og 15 med hesy til LP-løsigsværdi og størrelse af de edelige model. Noter Til opgave beyttes CPLEX. Da der ku er ogle få CPLEX-liceser til rådighed på DIKU bedes ma logge ud fra CPLEX relativt hurtigt efter at have kørt si istas. CPLEX liceser er tilgægelige på og maskiere. CPLEX ka drille år ma vil fide de duale variable: Hvis ma bruger formulerige vil CPLEX have e usylig dual variabel kyttet til begræsige. Dette ka medføre at de reducerede omkostiger udreges forkert. Det emmeste er helt at udelade græser på variablee. Det er ikke ødvedigt at sikre x i 1 (da vi miimerer), og x i 0 er uderforstået for LP-problemer. 4
5 Litteratur [1] [2] L. A. Wolsey, Iteger Programmig, Wiley, Chichester, UK,
6 Skematisk løsig Svar 1 Problemet løses med CPLEX!" $!$$% $$ &'!$ %$$%!()*$+,$- $$$%$$ &'$%$$%()*&+,$- $$$%$$ &'$%$$%()*&+,$- $$$%$$&'$%$$%()*+,$- $$$%$$ &'$%$$%()*&+,$- $.,&!&.,&!&.,& & $ &&.,&!&.,&!%%%%%&.,&!(((((&.,&!'''''&.,& +,& $+,& $+,& +,& $+,& $+,&!&+,&!&+,& +,&!&+,&!%&+,&!(&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& $+,& &+,& &+,& +,& &+,& %&+,& (&+,& / 01 2$!$!!%$!( $ %$( $ %$( $%$( $ %$(! 3 Output: " 7 /8!"8 "! :9<;!! =,?>@ A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,&!*CB"3 $,$- D EFGH.3!"8/ 06) I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 6
7 !!% (!' 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6) / 0 0"?> Atal brach-ad-boud kuder (odes) er 0, mes atal iteratioer (iteratios) er 19. Svar 2 First fit decreasig. Sorterer gestade 8, 6, 6, 5, 4, 4, 2. bi gestade vægt , , Bemærk at vi bruger 5 beholdere, så vi har e øvre græse på løsigsværdie som er m = 5. Svar 3 LP-solutio /8 78 );!7 /8 9 ;! 6,?> '''''''''* -- A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,&!( D EFGH.3!"8/ 06) I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 -?> -?> %%%%%(! -?> %%%%%(!( -?> ' -?> -?> % ( -?>!%%%%( -?> -----!' 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6) / 0 0"?> Svar 4 samtlige pakiger er: pakig gestade vægte vægt sum , , , , , , , ,
8 Svar 5 Af disse er de udomierede: pakig gestade vægte vægt sum 1 1, , , , , , , , Svar 6 Idet vi begræser os til de udomierede pakiger får vi formulerige: $$&$%('$*!" $$&.,& %(.,&.,& % '.,& *.,& ($'.,&.,&! 3 Bemærk at begræsiger x j 1 ikke er ødvedige Svar 7 Hvis vi løser koloe problemet til LP-optimalitet får vi: D EFGH."!7! 53 > E 0 /8 78 ); 7 /8 9 ;!! =, >@ A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! D EFGH.3!"8/ 06) I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 % -?> ( -?> ' -?> * 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6)!*/ 0 0"?> Svar 8 Løses problemet til IP-optimalitet får vi: D EFGH.$0 /3! 7 >@8 7 E 0" 8 7?>@8 7 0 /3 > /3 &, - > --! > D EFGH."!7 0 3&/ 550 5/ "0?> 4 EE 0!"8! 8 J / 3$0" /! 3 "8 J> E /0" % "8! 2/! 3$* "! 0" > E 0!"8!, -?> --!?> 4 E 7 / J9 /8/! " 7 /8!1 /! 3 / 8 1 "" $0 8 / / "!!"8 "! 6 &, -?>@--! > B"3 D B"3 F ;! B"3 4 D /!7 - - >@--- > ?> ---- > ---!- > " 7 /8!"8 "! :9<;!! =,?>@ A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! &,CB"3 $,$- D EFGH.3!"8/ 06) 8
9 I / 0 /!8 B/ A "8! "! I /8 ( ' * 88$" 0&/ 0 /!8 & & 0/! 5 6)!*/ 0 0"?> Atal brach-ad-boud kuder (Nodes) er 0, mes atal iteratioer (iteratios) er 4. Så problemet er blevet emmere at løse. Svar 9 Vi skal vise at ehver løsig til koloe-problemet også er e løsig til de simple formulerig. Atag at vi har LP-løsige x 1,...,x R til koloeproblemet (11) (13). Da problemet ikke ædrer sig ved at vi bytter rudt på koloere, ka vi atage at de første k koloer har løsigsværdi x i > 0. Vi sætter u v i = x i for i = 1,...,k og x i j := a i j x i for i = 1,...,k, j = 1,..., Alle adre variable sættes til ul. Dee løsig er også lovlig for de simple formulerig (1) (5). Der gælder emlig for ehver koloe i koloe problemet og dermed så vi har for de simple formulerig. Edvidere gælder der at x i 1 og a i j 1 så også og w j a i j c w j a i j x i cx i w j x i j cv i x i j = a i j x i 1 v i = x i 1 Da løsige til koloe-problemet er e lovlig løsig til de simple formulerig, vil løsigsværdie for de simple formulerig ikke være midre ed de tilsvarede for koloeproblemet. Istase fra eksempel 1 viser at der fides e istas hvor koloe-problemet har e skarpt større løsigsværdi ed de simple formulerig. Svar 10 hvis vi sætter p j = y j er de reducerede omkostig af e pakig givet ved 1 p j x j, hvor variable x j = 1 hvis elemet j idgår i pakige. Da pakige skal være lovlig er vi iteresseret i at miimere følgede optimerigs problem: miimize subject to 1 p j x j (15) w j x j c, (16) x j {0,1}, j = 1,...,. (17) 9
10 der ka briges på maksimerigsform maximize subject to hvilket gekedes som et kapack problem. p j x j (18) w j x j c, (19) x j {0,1}, j = 1,...,. (20) Svar 11 Koloegeererig iteratio 0! " $ % &" &' &, &- &. &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Tilføjer pakig 1:! " $ % &" &: &; &- &. &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Tilføjer pakig 8:! " $ % &" &, &: &- &. &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Tilføjer pakig 7:! " $ % &" &, *9(+- * * * * * &: &; *9(+- * * * * * &- &. *9(+- * * * * * &/ 0 1 2" 3 54 &"!3 2"6 7"' 6/ "38 "9( Ikke flere pakiger med egativ reduceret omkostig 10
11 Koloegeererig ude det store skrivearbejde For små-problemer ka ma med fordel opskrive alle koloer (som illustreret i edeståede fil). For de koloer som p.t. ikke skal medtages i modelle, sættes de tilhørede x-variabel til 0. Dette sparer ikke alee e del skrivearbejde, me de duale variabel svarede til begræsige x = 0 vil etop agive de reducerede omkostig for de ye pakig. I edeståede formulerig er alle pakiger 1-9 medtaget, samt de to pakiger 10,11 (som er domierede me alligevel idgår i løsige fra first-fit-decreasig). Start formulerige fra (14) svarer da til koloere 2, 6, 9, 10, 11, mes beslutigsvariable for alle adre koloer sættes til ul. $$&$%('$*$!-!" $$&., %(.,., % '., *., ($'!-.,.,,- $ ' $,- $ *,- $!- $,- $ ($,- $! '$,- $!! 3 D EFGH."!7 0 3&/ 550 5/ "0?> FE$E 0 "8! 8 / 3!0" /! 3 "8!! J> 880" /! 3& "8 8 / 3?> E 0!"8!, -?> --!?> /8 78 );!7 /8 9 ;! 6,?> A "8! "! =, -?> --!?> 4 0/ "! D EFGH.3!"83 /) D "! 0/! 6B/ /8 E 0 % (! ) 88$" 03!/870! $ 0/! 5 6)!/ 0 0" > Det ses at costrait c12 (begræsige v7 = 0) har reduceret omkostig -1, så pakig 7 er de æste koloe der skal medtages. Bemærk at der er mage ækvivalete LP-løsiger, og derfor kue CPLEX også have valgt e ade koloe. 11
DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereIntroduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem
Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com
ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereTIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og
TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereInformation til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!
Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!
Læs mereHvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?
Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst
Læs mereCykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel
Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs merePsyken på overarbejde hva ka du gøre?
Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereScorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?
Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer
Læs mereBekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)
Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereAnalyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)
Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereBranch-and-bound. Indhold. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU ( )
Brach-ad-boud David Pisiger Videregåede algoritmik, DIK (005-06) 6 Kvalitet af græseværdifuktioe 3 6. Eksempler på domias....................... 3 7 Kritiske og Semikritiske delproblemer 34 8 Kuste at
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H
ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges
Læs mereDårligt arbejdsmiljø koster dyrt
Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereFacilitering ITU 15. maj 2012
Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog
Læs mereinfo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.
ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.
Læs mereDK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring
DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)
Læs mereLokalplan-, delområde- og byggefeltregler. Plandata.dk
Lokalpla-, delområde- og byggefeltregler Pladata.dk Eksporteret de 30. april 2018 Idholdsfortegelse 1 Lokalpla... 3 2 Delområder og byggefelt... 9 2 1 Lokalpla plaid Alle Nej Plaid skal altid være udfyldt
Læs merePrisfastsættelse af digitale goder - Microsoft
Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0
Læs mereNanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereBeregning af prisindeks for ejendomssalg
Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige
Læs meren n ' 8 DK. 2012 Ansøgning om byggetilladelse/ Anmeldelse af byggearbejde D D D D 3 3 3 3 3 3 E 3
WS101651W omska 18 12 2012 10 17 SEPBARCOE 0U121 Syddjurs Kommue Hovedgade 77 8410 Røde Telefo 87 5 50 00 Kommues av og adresse Syddjurs Kommue Borgerservice Hovedgade 77 8410 Røde ' 8 K. 2012 Udfyldes
Læs mereViden Om Vind oftere, stop i tide
Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereNanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereBlisterpakninger i det daglige arbejde
Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.
Læs mereDen grådige metode 2
Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium
Læs mereTænk arbejdsmiljø. Træsektionen. allerede i udbudsfasen
Foto: Bria Berg Træsektioe Træsektioe uder Dask Byggeri er med sie godt 2.500 medlemsvirksomheder de største sektio uder Dask Byggeri, og er desude e af de mere aktive sektioer med ege uderudvalg for tekik,
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereVejledning til at udfylde skema: Ændring i budgettet: Beskrivelsen fra budgetændringen. Her tilføjes SBSYS sagsnummer.
Sagsr. 00.01.00-A00-63-14 Dato 9-6-2015 Sagsbehadler Aette Wedt Opfølgig på budget 2015 Sudheds- og psykiatriudvalget Nedeståede oversigt viser de pukter på Sudheds- og psykiatriudvalget, som der formelt
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereModul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Læs mere