Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Transkript

1 Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med linjen m og går gennem punktet. Hældningskoeffecienten kan bestemmes: Koordinatsættet indsættes i linjens ligning: Linjens ligning bliver altså: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Vi skitserer trekanten i GeoGebra:

2 Siden a beregnes ved hjælp af den Pythagoræiske sætning: at 5 digits (1.2.1) 5.66 (1.2.2) bestemmes ved hjælp af cosinus i en retvinklet trekant: kan nu beregnes ved hjælp af vinkelsummen i en trekant: (1.2.3) (1.2.4) 1c - Ulighed Ved beregning skal følgende ulighed løses: Vi får løsningsmængden: 1d - Tangent Vi får opgivet en funktion med regneforskriften: Vi skal bestemme ligningen for den tanget til grafen som er parallel linjen m, der er givet ved: Vi bestemmer hældningskoeffecienten:

3 Da den første afledede er et udtryk for hældningskoeffecienten sættes denne lig med 3, og x- værdien for tangenten med hældningen 3 bestemmes: 1 Vi opstiller tangentligningen hvor x-værdien indsættes: (1.4.1) Vi bestemmer funktionsværdien til : 8 Dette indsættes sammen med hældningskoeffecienten i tangentligningen: (1.4.2) 1e - Invers funktion Vi får opgivet funktionen: Vi bestemmer regneforskriften for den inverse funktion ved at bytte om på x og y: 1f - Sammensat funktion Vi får opgivet to funktioner: Vi bestemmer definitions- og værdimængder:

4 Vmg er bestemt udfra minimum aflæst på grafen i GeoGebra: Vi sammensætter funktionen : Vi ser at 2 (1.6.1), hvorfor definitionsmængden for den sammensatte funktion kan bestemmes: Differentialkvotienten bestemmes: 1g - Skæringspunkt

5 Vi får opgivet to funktioner: Vi skitserer graferne i GeoGebra: Vi bestemmer skæringspunktet ved at sætte de to udtryk lig hinanden: (1.7.1) Da vi nu har bestemt x-værdien til skæringspunktet indsættes denne i det ene af udtrykkene for at bestemme y-værdien:

6 Skæringspunktet bliver da: (1.7.2) 1h - Logaritmisk ligning Ved beregning skal vi løse nedenstående ligning: Vi omskriver til den logaritmiske grundligning : Løsningsmængden bliver da: (1.8.1) Opgave 2 Om en trekant ABC oplyses:

7 Vi skitserer trekanten i GeoGebra: 2a - Siderne a og b Først beregnes ved hjælp af vinkelsummen i en trekant: 92 Siderne a og b beregnes ved hjælp af sinusrelationen. Først siden a: (2.1.1) 2.07 (2.1.2) Vi beregner nu siden b ved hjælp af cosinusrelationen: 7.66 (2.1.3) 2b - Højden Vi ser at Vi bestemmer i trekant ABQ: Vi kan nu bestemme i trekant BCQ: 75 (2.2.1)

8 2 Ved hjælp af cosinus i en retvinklet trekant (trekant BCQ) kan vi nu bestemme højden er den hosliggende katete til : (2.2.2) da dette (2.2.3) 2c - Areal Arealet af trekant ABC beregnes: 7.93 (2.3.1) 2d - Siden d i trekant DEF I en anden trekant DEF får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Siden d beregnes ved hjælp af cosinusrelationen: 9.70 (2.4.1) 2e - Medianen

9 Vi bestemmer først da denne går igen i både trekant DEF og DFZ. Vinklen bestemmes ved hjælp af cosinusrelationen: Vi bestemmer linjestykket FZ da denne må være det halve af d: (2.5.1) Medianen 4.85 kan nu bestemmes ved hjælp af cosinusrelationen: (2.5.2) 6.44 (2.5.3) Opgave 3 Vi får opgivet funktionen: 3a - Da vi ikke må dividere med nul kan vi bestemme hvilke værdier x ikke må antage: Vi får altså definitionsmængden: (3.1.1) For at bestemme den første afledede forkorter vi først den oprindelige funktion, så regneforskriften kommer til at stå på fælles brøkstreg:

10 Den første afledede bestemmes udfra vores regneregel om division: Vi har følgende: Dette indsættes i vores generelle regneregel: 3b - Monotoniintervaller Ved hjælp af skal vi bestemme funktionens monotoniintervaller. Først bestemmet den første afledede funktions skæringspunkter med x-aksen: Hernæst bestemmes fortegnsvariationen for den første afledede, ved at beregne en værdi i hvert interval: (3.2.1) Fortegnsvariation 3 (3.2.2) (3.2.3)

11 (3.2.4) 3 (3.2.5) Vi ser altså at funktionens monotoniforhold må være som følger: Lok. mak s. Lok. min. Monotoniforhold Funktionen er altså aftagende i intervallerne: Og funktionen er voksende i intervallerne: 3c - Ekstrema Vi ser fra bestemmelse af monotoniforholdene, at funktionen har lokalt maksimum i og lokalt minimum i. Funktionsværdierne og dermed koordinatsættet bestemmes ved at indsætte disse værdier i regneforskriften for funktionen: Funktionen har altså lokalt maksimum i:

12 Samme fremgangsmetode bruges til at bestemme koordinatsættet til det andet ekstramum: Funktionen har altså lokalt minimum i: 3d - Tangent Vi skal bestemme ligningen for tangenten til grafen for i punktet. Vi indsætter denne x-værdi i tangentligningen: Funktionsværdien af 2 bestemmes: 9 Hældningskoeffecienten bestemmes som funktionsværdien af den første afledede af 2: (3.4.1) Disse tal indsættes i tangentligningen: 3 (3.4.2) 3e - Skæringspunkter Vi skal bestemme skæringspunkterne mellem grafen for f og nedenstående funktion: Vi sætter udtrykkene lig hinanden:

13 Vi ved at brøken er nul hvis tælleren er nul. Vi kan derfor finde x-værdierne til skæringspunkterne om i en almindelig andengradsligning: De tilhørende funktionsværdier bestemmes ved at indsætte x-værdierne i den ene af regneforskrifterne: Skæringspunkterne bliver da: