Integralregning og topskat

Transkript

1 Indledning Integralregning og topskat Integralregning kan bruges til at beregne et areal mellem grafen og x-aksen i et koordinatsystem mellem to x-værdier, mens topskatten er det provenu (indtægt) som staten får fra de skatteydere, som har en større indkomst end topskatte-grænsen. I det følgende vil det blive belyst, hvordan integralregning kan bruges til at modellerer statens provenu fra mellem og topskat. 1 Figur 1. På grafen vises antal af skatteydere som funktion af indkomsten op til 1 mil. kr. (2009). Arealet under grafen er et udtryk for det samlede antal skatteydere, der tjener mellem 0 og 1 mil. kr.. Data venligst stillet til rådighed af skatteministeriet i december Modellering af antal skatteydere, der betaler topskat Fra integralregning er det kendt, at arealet mellem en ikke-negativ og kontinuert funktion f og x- aksen, mellem to x-værdier a o, hvor b > a, kan beregnes som det bestemte integral: Z a b 1 Med det nuværende skattesystem (februar 2009) er der den samme grænse for top- og mellemskat, dog med den tilføjelse, at ægtefæller har en samlet grænse for mellemskatten, således at hvis den ene ægtefælle har en indkomst under grænsen for mellemskat overføres dette til den anden ægtefælle. Derimod er topskatten individuel, således at en ægtefælde med høj indkomst skal betalt topskat af hele den del af indkomsten, der overtiger topskattegrænsen uanset ægtefældens indkomst. I det følgende vil dette forhold dog ikke blive indregnet, eftersom det vil komplicerer modelleringen ganske betydeligt. Derfor bevævnes mellem- og topskat under et som topskat nedenfor. 1

2 På figur 1 er arealet under grafen mellem x-værdier 0 og 1 mil. det samlede antal skatteydere der tjener op til 1 mil. Dette vil ikke blive forklaret her, men der kan henvises til lærebøger i matematik, som behandler det bestemte integral og summer. 2 Udfordringen er at bestemme en regneforskrift for en funktion, der med rimelighed modellerer grafen i figur 1. Denne udfordring kan løses på flere måder. Den mest præcise metode er at inddele grafen i passende intervaller, og herefter via regression bestemme regneforskrifter, der med en god korrelation beskriver grafen i de forskellige intervaller. Dette vil dog være meget omstændigt, specielt set i lyset af, at opgaven her alene er at modellerer skattegrundlaget for topskatten. Inden vi går videre er det nødvendigt af definerer nogle skattemæssige begreber, nemlig Lønindkomst før AM-bidrag - bruttoindkomst - og Lønindkomst efter AM-bidrag - nettoindkomst. Bruttoindkomsten er den løn som arbejdsiveren betaler, mens nettoindkomsten er bruttoindkomsten fratrukket AM-bidrag, som er 8 %. De øvrige skatter beregnes af nettoindkomsten, herunder også mellem- og topskat. For indkomståret 2009 er grænsen for topskatten en nettoindkomst på kr.. derfor kan man indskrænke den matematiske model, ved at se på skattegrundlaget over en vis indkomst. Vi kunne selvfølgelig vælge topskatte-grænsen, men dette ville begrænse modellens gyldighed, hvorved der ikke vil være mulighed for at beregne topskatten med en lavere grænse, end den nugældende. For at få modellen til at have den størst mulige rækkevidde ser vi, at grafen er rimelig pæn når x er større end kr. Derfor kan det antages, at vi kan bestemme en regneforskrift med en pæn korrelation (R 2 > 0,95) for indkomster i intervallet fra kr. til 1 mil. kr. I Excel-modellen Skattesystemet, der hentes på Skat og fordeling fra Columbus Web findes arket Integralregning. Her ses de underliggende data til figur 1 i det gule felt, der begynder i kolonne X. Bemærk data til x-aksen angiver indkomsten i kr. Eftersom modellen arbejder med indkomster mellem 0 og 1 mil. kr. er det hensigtsmæssigt med spring på kr. Herved indeholder modellen kun spring, idet * = 1 mil. Konsekvensen af dette valg, er at enheden i modellen er kr. Med disse data kan du selv få Excel til at tegne en graf for indkomster i intervallet fra til 1. mil kr. Herefter kan tilføjes en polynomisk tendenslinie. I den forbindelse skal det overvejes, hvilken grad polynomiet skal have. Excel giver mulighed for at vælge en grad mellem 2 og 6. Kriteriet for et godt valg er, at R 2 > 0,95. Herved fås en regneforskrift, der med rimelighed modellerer antallet af lønmodtagere som funktion af indkomsten indenfor det angivne interval. Denne funktion kaldes f. For at beregne det samlede antal skatteydere, der betaler topskat skal vi fastsætte en bundgrænse for ved hvilken bruttoindkomst, der skal betales topskat. Det kunne være de for 2009 gældende kr., men vi kan også vælge en anden grænse, alt efter hvordan vi vil indrette skattesystemet. 2 Se eksempelvis Carstensen m. fl.: MAT B2 side 198 ff. 2

3 Det er klart, at jo lavere en grænse vi vælger des flere skal betale topskat og omvendt. Derfor er antallet af topskatteydere en funktion af den valgte bundgrænse. : f: Funktionen der angiver antallet af skatteydere som funktion af indkomsten a: bigraget, der i mange år har været på 8 % : grænsen for betaling af topskat i kr g n : grænsen for betaling af topskat i kr N : Antal af topskatteydere som funktion af grænsen Da nettoindkomsten er bruttoindkomsten fratrukket AM-bidrag må det gælde: g n a A ^ g n = a A gb Herved er nettoindkomst-grænsen udtrykt med bruttoindkomstgrænsen. Årsagen til, at dette skridt er nødvendigt er, at i den offentlige debat anvendes oftest nettoindkomstgrænsen, mens det for den enkelte lønmodtager oftest er bruttoindkomstgrænsen, den løn der udbetales af arbejdsgiveren der indgår i overvejelserne i relation til topskat. Som nævnt er antallet af skatteydere i et indkomstinterval det bestemte integral: N = Z f x g n dx =Z Hvor enhederne for grænserne er kr. Modellering af topskatteydernes samlede skattegrundlag Ovenfor har vi modelleret, hvor mange skatteydere, som betaler topskat. Næste skridt er at modellerer deres samlede indkomst. Ligesom antallet af topskatteydere er en funktion af bundgrænsen, er skattegrundlaget det også. S : Samlet skattegrundlag for topskatteydere som funktion af grænsen Det må gælde, at den samlede indkomst for dem som tjener kr. er antallet af lønmodtagere der tjener dette beløb gange beløbet. Dette kan matematisk udtrykkes x A a hvor x = 50 da enheden på x-aksen er kr. For at bestemme det samlede skattegrundlag for alle topskatteyderer skal vi bestemme det bestemte integral S a = Z x A 3

4 Modellering af topskatte-grundlaget Ovenfor har vi fundet den samlede indkomst for topskatteyderne, opgaven er nu at modellerer den del af indkomsten der skal betales topskat af. S t : Topskattegrundlaget som funktion af grænsen Dette gøres ved at bestemme den del af den samlede indkomst, der ikke skal betales topskat af, hvilket jo netop er den del af indkomsten, som ligger under topskattegrænsen. Dette beløb svarer til nettoindkomst-grænsen gange antallet af topskatteydere: g n A N a = a a A gb AZ Dette fratrækkes det samlede skattegrundlag S, som vi bestemte ovenfor: S t a = S gb a A gb AZ a A gb =Z x A a a A gb AZ Modellering af statens provenu af topskatten Ovenfor har vi modelleret det samlede beløb, der skal betales topskat af, tilbage står at beregne provenuet. t: topskatteprocenten : Provenuet af topskatten som funktion af grænsen P t Provenuet er topskatteprocenten ganget med det samlede nettobeløb a A S t g n (bruttobeløbet fundet ovenfor fratrukket AM-bidrag a). P t = t A a A S t a^ P t a = t A a h a A jz a A gb x A a a A gb AZ i f x dx k Sammenfatning Med ovenstående regneforskrift kan man ved hjælp af en polynomisk regression fra data, der findes i arket Integralregning i Excelfilen Skattesystemet, bestemme en regneforskrift for f. 4

5 Herefter kan man ud fra en samfundsfaglig vurdering argumenterer for passende valg af bruttoindkomstgrænsen for hvornår der skal betales topskat og topskatteprocenten t modellerer statens provenu. I den forbindelse kan det overvejes om AM-bidraget a uændret skal være 8%. Bemærk at modellens begrænsning er, at den ikke medtager skatteydere med en løn over 1. mil. kr. 5