Kapitel 3 Lineære sammenhænge
|
|
- Andreas Astrup
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk en sammenhæng mellem de variable, der indgår i formlen. I dette kapitel skal vi se på en bestemt slags sammenhænge, hvor der kun indgår to variable. Lad os starte med et eksempel. Eksempel Når man skal køre med taxa betaler man startgebyr. Lad os eksempelvis sætte det til 32,- kr. Når man så kører, betaler man efter hvor langt man kører. Kilometerprisen er 12,- kr. Vi vil i dette eksempel ikke se på betaling for ventetid, som ellers også indgår i taxapriser. Hvis man skal køre en tur på 5 km med taxa, betaler man 12,- kr. for hver kilometer, man kører, hvorfor man i alt betaler 5 12,- kr. Hertil lægges startgebyret på 32,- kr., hvorefter prisen bliver: 5 12,- kr. + 32,- kr. = 92,- kr. En tur på 10 km koster: 10 12,- kr. + 32,- kr. = 152,- kr. Således kan man fortsætte med at udregne priser for ture med forskellige længder. Man opdager ret hurtigt, at det er de samme udregninger, man foretager. Man tager nemlig turens længde i kilometer ganget med 12,kr. og lægger startgebyret til. Der er to variable i spil. Den ene variable er turens længde i kilometer. Lad os benytte symbolet x for denne variabel. Den anden variabel er prisen for turen, og vi benytter symbolet y for denne variabel. Formelen kan opskrives således: y = 12 x + 32 De to variable optræder ikke på helt samme måde i dette eksempel. Når vi kører taxa, bestemmer vi, hvor langt vi vil køre. Men prisen side 33
2 bestemmer vi ikke, for den afhænger af turens længde. Dette ses i formlen, hvor vi i princippet kan vælge hvilken som helst værdi for variablen x, men når denne er valgt, så er værdien af y bestemt ud fra formlen. Hvis x vælges til 5 km, er y nødvendigvis 92 kr. Vi vil sige, at værdien af den variable y afhænger af værdien af den variable x. Eller kort: y afhænger af x. Sådanne sammenhænge kaldes for funktionssammenhænge. Variablen x, der kan vælges frit, kaldes for den uafhængige variable. Mens variablen y, der afhænger af den valgte x- værdi, kaldes for den afhængige variable. Traditionelt benytter man i matematik symbolet x for uafhængige variable og y for afhængige variable. For at vise, at det er y, der afhænger af x, kan vi skrive: y(x) = 12 x + 32 Vi kan også fremstille sammenhængen mellem de to variable ved en graf, hvor værdierne for den uafhængige variable er afsat ud ad x-aksen og værdierne for den afhængige afsættes op ad y-aksen. Før vi kan gøre dette, skal vi udarbejde en tabel. Her vælger vi frit nogle x-værdier. x: y: Så udregnes de tilsvarende y-værdier og indskrives i tabellen: x: y: Disse værdier indtegnes som punkter i koordinatsystemet: side 34 Som det ses ligger punkterne på en ret linie, og vi kan tegne denne rette linie. På denne måde får vi tegnet grafen.
3 Lige som formlen fortæller om sammenhængen mellem de to variable, fortæller grafen også om denne sammenhæng. Hver gang vi kender en x- værdi, så kan vi finde den tilsvarende y-værdi ved at gå fra x-værdien lodret hen til grafen og derfor vandret hen til y-aksen, hvor vi aflæser den tilsvarende y-værdi. 3.1 Funktionssammenhænge. Vi møder meget ofte problemstillinger, hvor der er to variable på spil, og hvor værdien af den ene variable afhænger af værdien af den anden. Sådanne sammenhænge mellem variable kaldes for funktionssammenhænge. Definition: Funktionssammenhænge. Hvis to variable, x og y, opfylder, at hver gang vi kender værdien af den ene, x, så kan vi bestemme værdien af den anden, y, er der tale om en funktionssammenhæng. Variablen x kaldes for den uafhængige variabel. Variablen y kaldes for den afhængige variabel. En sammenhæng mellem to variable kan illustreres ved en graf i et koordinatsystem. Grafen kan tegnes ud fra en række støtte punkter, der udregnes og indsættes i en tabel. x: y: Her vælger man selv en række passende værdier for x og bestemmer så de tilsvarende værdier af y. Disse indsættes som punkter i koordinatsystemet. Herefter kan grafen tegnes som en kurven gennem disse punkter. Jo flere punkter, man har udregnet, jo mere præcis bliver ens graf. I enkelte tilfælde kan man se et system i den måde punkterne ligger på. De kunne fx danne en ret linie. Hvis det er tilfældet vil man ofte stole på, at alle de andre punkter, man kunne udregne, også vil ligge på denne rette linie. side 35
4 3.2 Lineære funktioner. I mange tilfælde bliver grafen for en funktionssammenhæng til en ret linie. Vi vil her se på disse typer af sammenhænge. Definition: En sammenhæng mellem to variable, x og y, kaldes for lineær, hvis den kan skrives således: y = ax + b hvor a og b er to reelle tal. Eksempel Sammenhængen: y = 4x + 5 er lineær, idet den kan skrives som y = ax + b med a = 4 og b = 5. Sammenhængen: y = 5x er også lineær, idet a = 5 og b = 0. Sammenhængen: y = x 2 er ikke lineær. Hvis man tegner grafen, vil man opdage, at den ikke bliver en ret linie. Eksempel Sammenhængen y = 2x + 7 er lineær med a = 2 og b = 7. Vi opstiller en tabel: x: y: Og her ud fra kan grafen tegnes: side 36
5 Det bemærkes, at grafen bliver en ret linie. Vi vil undersøge betydningen af de to tal, a og b, der optræder i regneforskriften y = 2x + 7. Skæringspunktet med y-aksen findes, hvor x har værdien 0. Det ses i tabellen, at det bliver 7, netop b-værdien. Endvidere ses, at hver gang x-værdien vokser med 1, vokser y-værdien med 2. Dette svarer præcis til tallet a. Hvis x vokser med 2 fx fra 0 til 2, eller fra 1 til 3, vokser y-værdien med 4, altså 2 2. Voksen y-værdien med 3 fx fra 0 til 3, eller fra 1 til 4, vil y- værdien vokse med 6, altså 2 3. Vi vil undersøge lineære funktionssammenhænge lidt nærmere. Hvis vi indsætter x = 0 i regneforskriften: y = ax + b får vi: y = a 0 + b = b Dette betyder med andre ord, at grafen vil skære y-aksen i punktet ( 0, b ). Hvis vi har en bestemt x-værdi, lad os kalde den x 1 og øger den med 1 til en ny x-værdi, lad os kalde den x 2, så er x 2 = x Vi siger, at vi har givet x-variablen en absolut tilvækst på Δx = 1. Tegnet Δ læses delta og står for ændring eller tilvækst. Så vil vi udregne de tilsvarende y-værdier: Til x 1 svarer: y 1 = ax 1 + b Til x 2 = x svarer: y 2 = ax 2 + b = a(x 1 + 1) + b = Det betyder altså, at y-værdien er vokset med a. = ax 1 + a 1 + b =y 1 +a side 37
6 Hvis ændringen i x er lig med 1, Δx =1, vokser y-værdien med a. Altså vokser grafens y- værdier med samme trin, nemlig tallet a, hver gang vi går et skridt ud ad x-aksen. Alle de små trekanter på figuren er altså ens, hvorfor grafen må være en ret linie. Tallet a kaldes for hældningskoefficienten. Dette tal beskriver, hvor stejl linien er. Hvis hældningskoefficienten er negativ, bliver y-ændringen negativ, og det svarer til at linien går nedefter. Nu vil vi igen betragte en ændring i x-værdierne fra x 1 til x 2. Den absolutte ændring i x- variablen er altså Δx = x 2 x 1. Vi udregner den tilsvarende ændring i y: Δy = y 2 y 1 = (ax 2 + b) (ax 1 + b) = ax 2 + b ax 1 b = ax 2 ax 1 = a (x 2 x 1 ) a Δx Dette vil altså sige, at hver gang x øges med en bestemt størrelse, vil y øges med samme størrelse blot ganget med tallet a. Vi kan sammenfatte vores undersøgelser i disse definitioner og sætninger: Definition Absolut tilvækst af variable. Hvis en variabel, x, ændrer værdi fra et tal x 1 til et andet tal x 2, siges den absolutte tilvækst (eller ændring) af x at være: Δx = x 2 x 1 side 38
7 Sætning Graf for lineær sammenhæng Grafen for en lineær sammenhæng, y = ax + b, er en ret linie i et almindeligt koordinatsystem. Tallet a angiver liniens hældningskoefficient, og det angiver, hvor meget y-værdien ændres, når x-værdien øges med 1. Tallet b angiver liniens skæring med y-aksen. Sætning Tilvækster for lineære sammenhænge I en lineær sammenhæng: y = ax + b, gælder, at hvis den uafhængige variabel, x, har den absolutte ændring Δx, vil den afhængige variabel, y, få den absolutte ændring: Δy = a Δx 3.3 Er der en lineær sammenhæng? Hvis man har et datamateriale, der viser samhørende værdier mellem to variable kan man undersøge, om der er en funktionssammenhæng mellem dem, altså om den ene afhænger af den anden, ved at indtegne punkterne i et koordinatsystem. Hvis de indtegnede punkter ligger tilfældigt fordelt i en sky i koordinatsystemet, må man konkludere, at der slet ikke er en sammenhæng mellem de to variable. Hvis de danner et mønster, dvs. hvis de følger en kurve, er der tilsyneladende en sammenhæng mellem de to variable. Hvis denne kurve danner en næsten ret linie, kan vi konkludere, at der er tale om en lineær sammenhæng. Figur: Tilfældige punkter: Punkter danner kurve: Punkter danner ret linie: Ingen sammenhæng. Sammenhæng, ikke lineær. Tilnærmelsesvis lineær sammenhæng. side 39
8 Når man har tegnet en ret linie i et koordinatsystem, har man ofte brug for at finde regneforskriften, der hører til den lineære sammenhæng. Derfor vil vi udlede nogle formler til dette brug: Sætning: Regneforskrift for lineær sammenhæng Hvis grafen for en funktionssammenhæng mellem x og y er en ret linie, er regneforskriften givet ved: y = ax + b Hvis man kender koordinaterne til to punkter på grafen, P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ), kan hældningskoefficienten, a, beregnes ved denne formel: Tilsvarende kan b findes ved formlen: b = y 1 a x 1 For at bevise disse formler ser vi på den retlinede graf, som har regneforskriften y = ax + b blot kender vi endnu ikke værdierne for tallene a og b. Men da punkterne P 1 = (x 1, y 1 ) og P 2 = (x 2, y 2 ) ligger på grafen, ved vi at: ( ) og: y 1 = ax 1 + b y 2 = ax 2 + b Derfor er: y 2 y 1 = ax 2 + b (ax 1 + b) = ax 2 + b ax 1 b side 40 = ax 2 ax 1
9 = a (x 2 x 1 ) Hvoraf følger: Af ligningen ( ) får man: y 1 ax 1 = ax 1 + b ax 1 = b som er sidste regel i sætningen. Eksempel Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P 1 = (1, 4) og P 2 = (6, 6). Vi aflæser x 1 = 1 og y 1 = 4 x 2 = 6 og y 2 = 6 Hældningskoefficienten beregnes som: Herefter kan skæringen med y-aksen beregnes: b = y 1 a x 1 = 4 0,4 1 = 3,6 Regneforskriften for den lineære sammenhæng er derfor: y = 0,4 x + 3,6 side 41
10 Opgaver til kapitel 3 Opgave 1: Taxafirmaet Vakse Viggo Vognmand kører i Lilleby. Man betaler 25,- kr for en tur plus 7,- kr. pr. km. a. Hvad koster en tur på 10 km? b. Hvis prisen for en tur er 39,- kr. hvor langt har man så kørt? c. Udfyld en tabel som denne: Turens længde Turens pris d. Indtegn punkterne fra tabellen i et koordinatsystem, hvor du har sat turens længde ud ad x- aksen og turens pris op ad y- aksen. Forbind punkterne med en kurve. Hvordan ser kurven ud. I samme by er der et andet taxaselskab, nemlig Byens Taxa. De udregner prisen for en taxatur efter denne formel: Pris = antal km 5,50kr. + 34,00kr. e. Udfyld en tabel som denne for Byens Taxa og tegn den tilsvarende graf på samme måde som i d). Tegn grafen i samme koordinatsystem som den foregående: Turens længde Turens pris f. Hvornår kan det bedst betale sig at køre med Vakse Viggo Vognmand, og hvornår er det billigst at køre med Byens Taxa? Opgave 2: Teleselskabet Kort Sagt beregner månedsprisen for et mobilabonnement således: p = 0,85 x + 75,00 hvor x er antallet minutter, der er talt i telefonen, og p er månedsprisen. a. Forklar i ord, hvad de to tal 0,85 og 75,00 i formlen betyder. b. Kort sagt har også abonnementet Lang snak hvor du betaler 250,- kr. pr. måned og har fri taletid. Hvornår kan det betale sig at skifte til Lang snak? Opgave 3: Rumfanget af en pyramide kan beregnes som en tredjedel gange højden og ganget med grundfladens areal. Indfør passende variable og opstil en formel for pyramidens rumfang. side 42
11 Opgave 4: En gårdejer vil lave en indhegning til sine høns. Han har 20m hønsenet til rådighed. Indhegningen laves op ad muren til laden, så han behøver kun at indhegne den på de tre sider. Opstil en formel, der viser hvordan arealet af hønsegården afhænger af x og bestem hvordan hønsegården skal indrettes, så den får størst muligt areal. Opgave 5: Et stykke papir, der måler 30cm på den ene led og 20 på den anden, skal bruges til at fremstille en kasse. a. Indfør passende variable og opstil en formel til beregning af kassens rumfang. b. Forsøg dig frem med forskellige kassefaconer og find ud af, hvad rumfanget af den største kasse vil blive. Opgave 6: Bestem tallene a og b i disse lineære sammenhænge. a. y = 2x + 5 b. y = - 3x + 7 c. y = x + 3 d. y = 2x e. y = - 2x +4 f. y = 6 + 3x side 43
12 Opgave 7: Reducér udtrykkene og undersøg, om der er tale om en lineær sammenhæng. Hvis der er tale om en lineær sammenhæng, skal du angive tallene a og b i den reducerede regneforskrift: a. y = 3(x + 2) b. y = 2(x 2) + 3(3 x) c. y = (x + 1)(x 3) x(x+2) Opgave 8: Tegn graferne for disse lineære sammenhænge i et koordinatsystem: a. f(x) = 2x 3 b. g(x) = 0.5x + 4 c. h(x) = 3x Opgave 9: Bestem regneforskriften for disse lineære funktioner: Opgave 10: En lineær funktion går gennem punkterne (3,1) og (5,7). Bestem en regneforskrift for denne funktion. Opgave 11: Undersøg om punkterne (3,7), (6,13) og (500,1001) ligger på samme rette linje. Opgave 12: Firmaet Arnold Fiskkær & Søn opdrætter fisk i et dambrug. De får leveret 5000 fiskelarver, der hver vejer ca 10 gram, og de udsættes i fiskebassinet. Når fiskene er store nok, fiskes de op af bassinet og sælges til dybfrost. Erfaringsmæssigt vejer hver fisk ca. 260 gram efter 10 uger. I nærheden af fiskebassinet er der en mågekoloni. Mågerne fanger nogle af fiskene i bassinet. Arnold Fiskkær regner med, at mågerne tager omkring 200 fisk pr. uge. a. Vi antager, at vægten af fisken vokser som en lineær funktion af tiden. Angiv en regneforskrift for denne funktion som funktion af tiden efter fiskene blev udsat i bassinet angivet i uger. b. Angiv en forskrift for den funktion der angiver antallet af fisk som funktion af antallet af uger efter fiskene blev udsat i bassinet. c. Vurder, hvornår det bedst kan betale sig at tømme bassinet for fisk. side 44
2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereFUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13
En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for
Læs mereSammenhæng mellem variable
Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...
Læs mereLektion 7 Funktioner og koordinatsystemer
Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereFunktioner. Funktioner Side 150
Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereModellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner.
Modellering Modellering betyder at lave en matematisk model, der beskriver en praktisk situation. I det følgende arbejdes med lineære funktioner. Der er forskellige trin, når der modelleres. De er beskrevet
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereLøsningsforslag Mat B 10. februar 2012
Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereOversigt. funktioner og koordinatsystemer
Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereMattip om. Den rette linje
Mattip om Den rette linje Du skal lære om: Sammenhænge og hvordan de kan afspejles Kan ikke Kan næsten Kan Den rette linjes ligning Koordinatsæt og sildeben Hældningstal og skæring med 2. aksen 2018 mattip.dk
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereNår eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:
Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereMatematik i grundforløbet
Mike Vandal Auerbach Matematik i grundforløbet y x www.mathematicus.dk Matematik i grundforløbet. udgave, 208 Disse matematiknoter er skrevet til matematikundervisningen i grundforløbet (som det ser ud
Læs mereMatema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen
Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (4 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 HFE093-MAB
Matematik B Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (4 timer) HFE093-MAB Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereVariabelsammenhænge og grafer
Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereRegneark Excel fortsat
Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer
Læs mereEn funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.
Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs merePotensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir
1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereLøsninger til matematik B-niveau HF maj 2016 April 2017
Løsninger til matematik B-niveau HF maj 2016 April 2017 www.matematikhfsvar.page.tl Cristina Sissee Jensen Side 1 af 4 Løsninger til matematik B-niveau HF maj 2016 April 2017 www.matematikhfsvar.page.tl
Læs mereNetværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2016
Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,
Læs mereNetværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014
Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereDet grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.
Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereLineære funktioner. Erik Vestergaard
Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereOpg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.
18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereLommeregnerkursus 2008
Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereGEOMETRI I PLAN OG RUM
LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige
Læs mereGUX. Matematik. B-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX152 - MAB
GUX Matematik B-Niveau August 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX152 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereIntroduktion til den afledede funktion
Introduktion til den afledede funktion Scenarie: Rutsjebanen Tilsigtede viden Bredere kompetencemål Nødvendige matematiske forudsætninger Tid Niveau Materialer til rådighed At give en forståelse for konceptet
Læs meregrafer og funktioner trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 2 ISBN: 978-87-92488-12-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK. onsdag den 11. april Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 3x MA, 3z MA og 3g MA/2 MATEMATIK onsdag den 11. april 2018 Kl. 09.00 14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs merevækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereMatematik Aflevering - Æggebæger
Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,
Læs mere