MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

Transkript

1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016

2 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette uddrag indeholder kapitel 6 som handler om differentialregning og modellering med f. Der vil blive foretaget beregninger samt illustrationer i CAS programmer herunder GeoGebra. Maple 2016 anvendes til de mere komplicerede udregninger, idet man forudsætter, at man kan anvende CAS til eksamen. For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne Side 1 ud af 9

3 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Opgave STX matematik A niveau, kapitel 6 Differentialregning og modellering med f Funktionen f er givet ved f(x) = 1 4 x3 x 2 x + 4 a) Der tegnes en graf over funktionen i GeoGebra. Det ses, at grafens nulpunkter er x = 2 x = 2 x = 4 Men man ønsker alligevel at tjekke efter. f(x) = 0 Så løses en ligning 1 4 x3 x 2 x + 4 = 0 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 2 x = 2 x = 4 Det passer. Man ønsker en tangent der går gennem i det sted, hvor den mindste førstekoordinat er. I dette tilfælde er det P = ( 2,0). Man differentierer funktionen og indsætter 2 i f og f samt tangentens ligning. f( 2) = 1 4 ( 2)3 ( 2) 2 ( 2) + 4 = 0 f ( 2) = 3 4 ( 2)2 2 ( 2) 1 = 6 Man har tangentligningen t 1 = 6(x + 2) + 0 t 1 = 6x + 12 Fortsættes næste side Side 2 ud af 9

4 Opgave b) Det antages også, at der er en anden tangent der løber den vej som P gør. Desuden ligger tangenten t 2 på f. Så punkterne er P = ( 2,0) og Q = (x 0, y 0 ). Man kan her anvende formlen fra MAT C lineære funktioner a = y 2 y 1 x 2 x 1 Her ændres der lidt i formlen, idet man allerede kender det ene punkt. Det andet punkt er stadig en ubekendt variabel altså; a = y 0 0 x 0 ( 2) Her er y 0 funktionen f(x). a = (1 4 x 0 3 x 2 0 x 0 + 4) 0 x 0 ( 2) Da tallet a er hældningskoefficienten har man det fra den afledede, så den kan man sætte lig med ovenstående. 3 4 x2 2x 1 = ( 1 4 x3 x 2 x + 4) 0 x ( 2) Her er der kun en ubekendt, x. Der løses en ligning. 3 4 x2 2x 1 = ( 1 4 x3 x 2 x + 4) 0 x ( 2) Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 3 Her er x = 3, hvilket må svare til den anden koordinat, Q. Nu findes y koordinaten. f(3) = = 5 4 Hermed er koordinatsættet til den anden tangentligning Q = (3, 5 4 ) Figuren tegnes ikke, men funktionen over den (overflade) er givet ved O(x) = 13 3 π x x a) Overfladen bestemmes, når radius er 2dm. O(2) = 13 3 π = Så overfladen af beholderen er dm 2 Fortsættes næste side Side 3 ud af 9

5 b) Funktionen differentieres. O 13 π 2x (x) = 40 3 x 2 Som er den afledede af O(x). Derved sættes den afledede lig med 0. O (x) = 0 Så løses en ligning. 13 π 2x 3 40 x 2 = 0 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = Så har man det, der skulle give det mindste overflade. Nu gøres der prøve. O 13 π 2 1 (1) = 3 O 13 π 2 2 (2) = 3 Monotonilinjen forklarer det hele = = Opgave Det ses, at x ikke kommer under 0, for x > 0. Det giver også god mening, når radius ikke må være negativ Derved er konklusionen, at O(x) er aftagende i intervallet [0; ] og voksende i intervallet [ ; [ En virksomhed fremstiller en vare, funktionen er givet. O(x) = x 3 30x x + 30 a) Den maksimale pris findes ved at differentiere ovenstående, men først trækkes 308 fra 500, da det er den faste pris for et ton. O (x) = 3x 2 60x Der løses en ligning for O (x) = 0 3x 2 60x = 0 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = 4 x = 16 Fortsættes næste side Side 4 ud af 9

6 Det ses, at producenten får mest indtjening ved produktion af 16 tons af en bestemt vare. Der gøres nu prøve. O (3) = = 39 O (10) = = 108 O (17) = = 39 Så giver det mere mening, at produktionen af 16 tons af en bestem vare giver en maksimal pris. Opgave Derved er konklusionen, at O(x) er voksende i intervallet ] ; 4] og voksende i intervallet [16; [ samt aftagende i intervallet [4; 16]. Nu kan man gøre prøve. F(x) = P(x) O(x) Her er P(x) = 308x F(4) = ( ) = 382 F(16) = ( ) = 482 Så det vil lønne sig i indtjeningen, hvis firmaet producerer 16 tons af deres eftertragtede vare. Det hele løses i Maple a) Asffasasf Side 5 ud af 9

7 Opgave Det hele løses i Maple a) Afafasafaa Opgave Der er givet en kasse a) Man ønsker et udtryk for udgiften til materialeforbruget af kassen. Her er sidelængderne x og h lavet af materiale A og toppen og bunden af materiale B. Dvs. formlerne A sider = 4 (x h) = 4xh A top = x 2 A bund = x 2 Derved er formlerne så A = 4xh + 2x 2 Men for hver cm man har, er prisen for materiale A 2kr og materiale B 3kr. Altså A(x, h) = 8xh + 6x 2 Fortsættes næste side Side 6 ud af 9

8 b) Der opstilles et regneudtryk V(x). Her anvendes volumeformlen V = l b h Her er l og b lig med x og h er lig med h, altså V = hx 2 Materialeudgiften er 100kr, altså 100 = 8xh + 6x x 2 = 8xh Som indsættes i formlen for volumen. V(x) = x x2 ( ) 8x Som er udtrykket. c) Funktionen differentieres x2 8x V (x) = 9 4 x Som sættes lig med x = 0 Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. x = Så har man sin rod for den afledede. Der gøres prøve. V (2) = = 3.5 V (3) = = 7.75 Hermed er der en tegning for monotonilinjen. = h Så konklusionen er, at V(x) er voksende i intervallet [0; ] og aftagende i intervallet [ ; [ Side 7 ud af 9

9 Opgave Det løses i Maple a) Asffsaafs Opgave Det løses i Maple a) Fasfasasf Fortsættes næste side Side 8 ud af 9

10 b) Afssfaasffs Opgave Funktionen f er givet ved f(x) = 2x + sin(x) a) Der løses en ligning for f Numerisk solve i Maple b) Her er f(x) = c hvor kravet er een løsning. Dette ses nedenfor: Det ses her, hvordan funktionen den vokser konstant. Her er f en kontinuert funktion. (Dvs. man kan se den afledede) Så hermed er der altså kun een løsning for f, fordi f (x) > 0, derved kommer den aldrig under x-aksen, hvilket kan ses på den oprindelige voksende funktion. Slut på kapitel 6 - Differentialregning og modellering med f Kapitel 7 handler om Integralregning fra bogen: Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Side 9 ud af 9