Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET

Transkript

1 AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET

2 HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjylland Student år 005 fra Dronninglund Gymnasium Efter gymnasiet: Militæret Australien Startede på matematik på Aarhus Universitet i 007 Sommeren 00: BSc i matematik Nu: Stud.cand.scient i statistik

3 STUDIERNES OPBYGNING Her er jeg

4 HVORDAN SER EN UGE UD?

5 JOBMULIGHEDER Private erhvervsliv et hav af muligheder: Handel Banker Konsulent- og rådgivningsvirksomhed Medicinalindustri Sundhed Forskning: Universiteter Interesseorganisationer Private virksomheder Undervisning: Gymnasier Handelsskoler Seminarer Ikke Gallup!

6 Hvorfor statistik? Kan forudsige fremtiden Kan bruges som beslutningsgrundlag: Politik Aktiekurser Medicinske forsøg Risikovurdering Spilteori

7 Statistik og virkeligheden I perioden faldt antallet af fødsler samtidig med at antallet af storkepar i Danmark faldt. Klar sammenhæng mellem drukneulykker og issalg! Når der sælges mange is, er der mange der drukner! Bør der investeres mere i rynkecreme? Der er en overdødelighed blandt folk med rynker!

8 Normalfordeling

9 Normalfordeling Måske den vigtigste fordeling overhovedet. Har toppunkt i sin middelværdi, og er symmetrisk fordelt her omkring. Model for hvordan et stort antal statistiske elementer fordeler sig omkring deres middelværdi.

10 Eksempler Højde, vægt Kvalitetstest Blodtryksændring IQ

11 En normalfordelt observation Vi vil nu betragte normalfordelt data. Dvs. data, som er nf ( µ ; σ) Hvor µ er middelværdien og σ er standardafvigelsen.

12 En normalfordelt observation Vi betragter altså nf ( µ ; σ ) x Vi beregner ofte som er det bedste gæt på den sande værdi af. µ Og som er det bedste gæt man kan komme på den sande værdi af. s σ

13 Normalfordelingen, grafisk Den normerede normalfordeling, dvs. nf(0;) Grafen viser tæthedsfunktionen. Areal

14 Normalfordelingen, grafisk En tilsvarende graf kan laves for enhver normalfordeling, nf( µ ; σ) Samme form som før, blot anden placering. Arealet stadig.

15 Fordelingsfunktionen Fordelingsfunktionen Φ(x) angiver sandsynligheden for, at X er mindre end et tal x, dvs Φ(x) Sandsynlighed for at x Dvs. at Φ(x) er en voksende funktion, med værdier mellem 0 og.

16 Eksempler: Fordelingsfunktionen Vi betragter altså hvor middelværdien er 30 og spredningen 4. Bestem fordelingsfunktinen. Dvs. find sandsynligheden for at x To metoder: Bestem sandsynligheden som arealet under grafen for tæthedsfunktionen fra - til 33. nf (30;4) Bestem fordelingsfunktionens værdi i 33.

17 Eksempler: Fordelingsfunktionen Bestem sandsynligheden som arealet under grafen for tæthedsfunktionen fra - til 33.

18 Eksempler: Fordelingsfunktionen Bestem fordelingsfunktionens værdi i 33.

19 Eksempler: Fordelingsfunktionen Eksempel : Intelligenskvotient scorer nf(00,5) regn selv

20 Eksempler: Fordelingsfunktionen Eksempel : En maskine på en fabrik nf(0, 0.) regn selv

21 Eksempel: Fluer og gift 6 fluer udsættes for nervegift, der måles hvor lang tid der går, før fluerne besvimer.

22 Flue nummer i Φ^(-) ((i-0.5)/6) Ln(tid) Tid

23 N(0,)-fraktil tid Hvis vores målinger er normalfordelte forventer vi at kunne indtegne dem som en ret linje i fraktilplottet. Dette er ikke tilfældet, men målingerne ser ud til at de kunne være logaritme fordelt. Derfor tages logaritmen til tiden og vi indtegner igen.

24 N(0,)-fraktil Målingerne ligger om en pæn ret linje, hvorfor vi kan antage, at logaritmen til tiden er normalfordelt. Dvs. vi betragter modellen: nf lntid ( µ ; σ )

25 Vi beregner efterfølgende skøn for standardafvigelsen og middelværdien vha. formlerne:.05 ) (4.6 5 ) ( )....6 ( n S USS n s x x x USS S n x x x x S

26 Eksempel: Læseevner Der betragtes to 3. klasser. Den ene klasse modtager ekstra læsetræning, mens den anden klasse er en kontrolklasse med almindelig læseundervisning. Efter 8 uger får eleverne en læsetest. Klasse Træning Testresultat Kontrol

27 Læseevner Fraktilplots viser at målinger i hver klasse kan beskrives med en normalfordeling, dvs:. Klasse Klasse træning kontrol følger en følger en nf nf ( µ ( µ træning kontrol ; σ ; σ træning kontrol ) ) Vi ønsker nu at finde estimater for middelværdi og standardafvigelse i hver af de to klasser.

28 Først beregnes: ) ( ) ( x x USS x x USS x x S x x S kontrol træning kontrol træning

29 Kontrol Træning USS S n Klasse 7. ) (463 ) ( 0 ) 08 ( ) ( n S USS n s n S USS n s S n x S n x kontrol træning kontrol træning

30 Vi ønsker nu at teste hypotesen H :σ σ træning kontrol altså et test for samme standardafvigelse i de to klasser. Dette gøres ved teststørrelsen: F P obs s s træning kontrol 0 7. ( x) ( F F( f 0.4, )( )) ( (0,)(0.4)) f F F F Hvor vi finder FF(0,) findes ved fcdf(-,0.4, 0, )0.05

31 Da p-værdien er større end 5 % accepterer vi hypotesen, dvs vi har modellen: Klasse Klasse træning kontrol følger en følger en nf nf ( µ ( µ træning kontrol Den fælles standardafvigelse kan estimeres ved: ; σ) ; σ) s f træning s f træning træning f f kontrol kontrol s kontrol

32 Vi ønsker nu at teste hypotesen H : µ µ træning kontrol altså et test for samme middelværdi i de to klasser. Dvs. et test for om den ekstra læsetræning har en effekt.

33 Dette gøres ved teststørrelsen: t( x) s x træning ( n træning x kontrol n kontrol ) ( 4.5 ) 3.7 P obs ( x) ( F t( f ) ( t( x))) ( F t(4) (.7)) 0.07 Hvor vi finder Ft(4) findes ved tcdf(-,.7, 4)0.9858

34 Da p-værdien er mindre end 5 % forkaster vi hypotesen om ens middelværdier. Dvs den ekstra læsetræning har en effekt.

35 Hvorfor er det godt at kunne sin statistik???

36 TV-quiz Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged. Du vælger en dør, lad os sige nr., og tv-værten, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged. Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr.?" Er det nu en fordel af vælge om?

37 Sandsynligheden for at man vælger døren med bilen ved det første valg er /3, hvilket også vil være chancen for at vinde bilen, hvis man holder fast på sit første valg. På den anden side er sandsynligheden for at vælge en dør, som skjuler en ged /3, og en spiller, som oprindeligt har valgt en ged, vinder bilen ved at vælge om.

38 Vi har altså 3 mulige udfald.. 3.

39 I to ud af tre tilfælde kan det betale sig at skifte dør, og i et ud af tre tilfælde kan det ikke betale sig. Ens chance for at vinde fordobles altså ved at vælge om, når spilstyreren tilbyder det.

40 Er mænd klogere end kvinder?

41 Professor i psykologi ved Aarhus Universitet, Helmuth Nyborg påstod at have opdaget mænd gennemsnitligt er 7 % klogere end kvinder. Senere opdagede han en regnefejl, så forskellen kun var 5 %... Men kan dette resultat være rigtigt?

42 Problemer med Nyborgs resultat: - Lille datamateriale (5 personer) - Hvordan er disse udvalgt - Hvordan måles intelligensen? - Statistisk metode

43 Nyborg modellerede hvert køns intelligens ved en normalfordeling. Han anvendte et test, der ikke gav mulighed for kvinder kunne være klogere end mænd. Havde han i stedet anvendt et ganske almindeligt t-test for at middelværdien var den samme i de to grupper (de to køn), ville han have fået accept. Men der er flere problemer

44 Nyborg hævdede: for hver kvinde med en IQ på over 45 vil der være mænd Er Nyborgs 5 testpersoner repræsentative (og ellers giver undersøgelsen ingen mening!) må de fleste ligge nær middelværdien. Et så lille datasæt kan derfor ikke sige noget om hvordan fordelingen er i de mere ekstreme tilfælde.

45 Statistiker på prøve Klinisk Epidemiologisk Afdeling (KEA) Undersøge patient-populationers prognose Adgang til: CPR-registret Receptdatabase Operationsdatabase Cancerregister Fødsels- og dødsregister

46 Statistiker på prøve Immunforsvarets rolle i forbindelse med brystkræft-recidiv Herpes Zoster og kræft?

47 Spørgsmål og kommentarer