Matematisk Modellering 1 Cheat Sheet

Transkript

1 By a team of brave computer scientists: Mads P. Buch, Tobias Brixen, Troels Thorsen, Peder Detlefsen, Mark Gottenborg, Peter Krogshede - 1

2 Contents 1 Basalt Varianser Middelværdier α β F-test En observationsrække Main points Fraktildiagram Estimer varians og middelværdi Konfidensinterval SAS To observationsrækker Main points Homogenitet Estimater Konfidensintervaller SAS Flere Observationsrækker Main points Lineær regression Main points Test Multinomialfordelingen Test Likelihood Likelihood teori Likelighood ligning Handy formler Ln regneregler Maksumum likelihood Differentiering Lommeregner 8 9 Fordelinger 8 Side 2 af 8

3 1 Basalt 1.1 Varianser estimerede varians = emperisk varians, man siger σ 2 s 2 σ 2 χ 2 (frihedsgrader)/frihedsgrader Variansen er også kendt som mean square. se s. 78 og/eller 125.n 1.2 Middelværdier estimerede middelværdi µ x. N(µ, σ 2 /n) se side α fordeling s. 155, gider ikke skrive den ind :/ 1.4 β Fordeling s. 155, gider ikke skrive den ind :/ 1.5 F-test tester hvor langt to fordelinger er fra hinanden P obs = 1 F (f 02 f 01, f 01 ) hvor f 02 er fra framodellen og f 01 er fra tilmodellen 2 En observationsrække 2.1 Main points Findes på side 78. Her er lidt ekstra facts: S er sum af observationer s 2 er estimat af varians (empiriske varians) σ er spredning σ 2 er varians 2.2 Fraktildiagram Beregningsskema på s. 31. OBS! Det p 1 der bruges i Φ 1 er p 1 i den forgående søjle divederet med 100. Side 3 af 8

4 Virtuel test for normaldata Det kan antages at data er normalfordelte hvis de ikke afviger systematisk fra en ret linje på sandsynlighedspapir. Middelværdien kan ca aflæses som x værdien ved y = 0. Her ca 10 (beregnet til 10.82) 2.3 Estimer varians og middelværdi Se fordelinger i main points Middelværdi Første formel på s. 64 Varians Formel fra side 64 for s 2 Frihedsværdier: f = n Konfidensinterval s 2 = 1 S2 (USS n 1 n ) For 95% konfidensinterval skal α = 0.05 så (1 α) = (1 0.05) = For fomler se main points. 2.5 SAS Her skal være et ScreenShot af fra en aflevering med ring om hvad vi kan læse ud fra det. Side 4 af 8

5 3 To observationsrækker 3.1 Main points Findes på side Homogenitet Test for homogenitet for σ 2 og µ findes i main points. 3.3 Estimater Alt efter model, kan man bruge disse estimater: σ 2 i s 2 (i) = 1 n i 1 (USS i S2 i n i ) σ 2 χ 2 (f (i) )/f (i) Hvor f 1 = f (1) + f (2) = n. 2 µ i x i. = S i n i N(µ i, σ2 i n i ) σ 2 s 2 1 = f (1)s 2 (1) + f (2)f 2 (2) f (1) + f (2) σ 2 χ 2 (f 1 )/f Konfidensintervaller µ x.. = S 1 + S 2 n 1 + n 2 N(µ, σ2 n. ) Brug formlerne fra én observationsrække på side 79. Fælles varians [ C 95% (σ 2 f 1 s 2 1 ) = χ (f 1), f 1 s 2 ] 1 χ (f 1) Forskellig varians C 95% (σ 2 i ) = [ f (i) s 2 (i) χ (f (i)), f (i) s 2 ] (i) χ (f (i)) Fælles (og forskellig) middelværdi (varians ukendt) [ s 2 1 s 2 ] 1 C 95% (µ (i) ) = x i. t 0.975, x i. + t n i n i Hvis der er fælles middelværdi, brug da x.. Side 5 af 8

6 3.5 SAS 4 Flere Observationsrækker 4.1 Main points Findes på side 114. Udregninger med USS, S & n findes på side Lineær regression 5.1 Main points Findes på side 155. comparison of regression lines: s Test Ens varians for 2 regressioner: Vi går fra modellen M 0 til M 1 ved at lave F-test fra Main Points s. 94. Skema til beregninger og i lineære regressioner og fordelinger for parametre findes på s Side 6 af 8

7 6 Multinomialfordelingen 6.1 Test først skal der regnes en -2lnQ(x) værdi, til det kan formlem på side 344 bruges. Pobs er herefter = 1 F X 2 (k 1 a)( 2lnQ(x)) (Hvilket svarer til CDF(ChiSquareDistribution(k- 1-a)),-2lnQ(x)) 6.2 Likelihood for at finde likelihood funktionen for en Multinomial distribution, se s.305m, husk at brøken kan forkortes som på s.301m 7 Likelihood teori Likelighood funktionen er sandsynlighedsfunktionen (PDF). Hvis dert er over flere, er det produktet af sandsynlighedsfunktionerne. 7.1 Likelighood ligning differentier logarritmen til likelihood funktionen 7.2 Handy formler ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 ( y = = y 1 1/2) 3 ( = y 1) 1/2 3 ( 1 ) 3/2 = y 1/2 y Likelihood funktionen er tæthedsfunktionerne ganget samme. Tæthedsfunktionen for en normalfordeling: f X (x) = 1 (x µ)2 e 2σ 2 2πσ Ln regneregler ln(e x ) = x e ln(x) = x ln(x y) = ln(x) + ln(y) ln(x / y) = ln(x) ln(y) ln(x y ) = y ln(x) ln(1) = Maksumum likelihood Udled Log(L(x)) (Log likelihood), find derefter maksimum af funktionen: Dette kan gøres ved at sætte den differentierede funktion til 0, og ulede variablen derefter. Husk at tjekke at resultatets differentiering er 0 for at tjekke af det er maksimum funktionen. Side 7 af 8

8 7.5 Differentiering Bl.a. flip af param inde i ln 8 Lommeregner Generelt for TI-89: Catalog = F3 = Brug alpha til at finde funktionen Funktion TI-89 TI-Tobias Φ 1 (p) invnorm(p) placeholder Φ(p) normcdf(-,p) placeholder F χ 2 (k 1)(Ba) chi2cdf(0,ba,k-1) placeholder F F (k 1,n. k) (F ) FCdf(-,F,k-1,n.-k) placeholder t 1 α/2 (f) inv t(-,α/2,f) placeholder u 1 α/2 invnorm(α/2,0,1) placeholder χ 2 1 α/2 (f) invchi2(1-α/2,f) placeholder 9 Fordelinger Hvis det gælder at X. N(u, o) X. N(u, o/n) Side 8 af 8