Indføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation

Transkript

1 Indføring i de nyeste modeller for dynamisk asset allocation Syddansk Universitet 29. marts 2006 Den Danske Finansanalytikerforening Kvant-workshop 1

2 Oversigt 1 Indledning

3 Centrale spørgsmål En tidlig analyse Middelværdi-varians analyse Hvorfor dynamisk asset allocation? Asset allocation spørgsmål Hvordan skal en investor fordele sin investering på forskellige (klasser af) finansielle aktiver? Hvor meget skal en investor investere? Hvor stor en andel af indkomsten bør et individ spare op til pension? Hvordan afhænger svarene på ovenstående spørgsmål af investorens risikovillighed, investeringshorisont, indkomstforhold...?

4 Centrale spørgsmål En tidlig analyse Middelværdi-varians analyse Hvorfor dynamisk asset allocation? Alle investeringsråds moder Fordel, hvad du har, til syv eller otte, du ved ikke, hvad ondt der sker på jorden. Det Gamle Testamente, Prædikernes Bog, 11. kapitel, 2. vers (refereret i Florentsen og Møller: Om tommelfingerregler, Det Gamle Testamente og 10 gyldne aktieråd, Finans/invest 8/2001, pp )

5 Centrale spørgsmål En tidlig analyse Middelværdi-varians analyse Hvorfor dynamisk asset allocation? Markowitz model (1952, 1959) Antag at investoren vælger sin investering med henblik på at maksimere den forventede nytte af formuen på et givet fremtidigt tidspunkt Antag at der kan investeres i et risikofrit aktiv og en række usikre aktiver (aktier, obligationer,...), hvis afkast over perioden er normalfordelte Ingen mulighed for rebalancering i perioden Investoren kan bruge middelværdi-varians kriterium Søg blandt porteføljer på den efficiente rand

6 Centrale spørgsmål En tidlig analyse Middelværdi-varians analyse Hvorfor dynamisk asset allocation? Efficient rand med og uden risikofrit aktiv 16% 14% 12% exp. rate of return 10% 8% 6% 4% 2% 0% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% volatility

7 Centrale spørgsmål En tidlig analyse Middelværdi-varians analyse Hvorfor dynamisk asset allocation? Optimal portefølje ifølge middelværdi-varians analysen Optimal portefølje kombinerer tangent-porteføljen af usikre aktiver med det risikofri aktiv punkt på kapitalmarkedslinien Sammensætningen af tangent-porteføljen afhænger af de usikre aktivers forventede afkast, afkastvarianser og korrelationer Den optimale kombination afhænger af risikotolerancen, men kompliceret at udregne den optimale kombination for rimelige antagelser om risikotolerancen Fanger diversifikation og kvantificerer afkast/risiko tradeoff

8 Centrale spørgsmål En tidlig analyse Middelværdi-varians analyse Hvorfor dynamisk asset allocation? Hvorfor dynamisk asset allocation? Kritik af middelværdi-varians analyse og andre en-periode modeller: Antagelsen om normalfordelte afkast er hverken teoretisk eller empirisk holdbar Formålet med investeringer er at generere og flytte forbrugsmuligheder, men middelværdi-varians analysen ignorerer linket mellem investering og forbrug Individer bekymrer sig om deres forbrug gennem hele livet, ikke bare formuen eller forbruget på ét bestemt tidspunkt Middelværdi-varians analysen tillader kun køb-og-behold strategier, men investorer vil rebalancere porteføljen f.eks. ved ændringer i renter, forventede afkast, indkomstforhold m.v. Er langsigtet porteføljevalg bare en sekvens af uafhængige kortsigtede porteføljevalg? Næppe!

9 Mertons dynamiske model Aktieandel og investeringshorisont Kritik af Mertons model Mertons dynamiske model (1969, 1971) Investoren har en given startformue W 0 og en given investeringshorisont T Investoren kan ændre forbrug (c) og portefølje (π, andel i usikre aktiver) løbende Investoren maksimerer forventet nytte af forbrug i resten af livet; antages tidsadditiv [ ] T max E e δt U(c t ) dt + e δt U(W T ) c,π 0 Kræver en specifikation af dynamikken og stokastikken i priserne på de aktiver, investoren kan investere i Fler-periode optimering under usikkerhed løses med stokastisk kontrolteori (dynamisk programmering), hvilket resulterer i en ikke-lineær partiel differentialligning.

10 Mertons dynamiske model Aktieandel og investeringshorisont Kritik af Mertons model Mertons dynamiske model, fortsat Merton (1969,1971) antager konstante investeringsmuligheder: konstant risikofrit afkast r (afkast på kontanter, obligationer) usikre aktiver har konstante forventede afkast µ i, volatiliteter σ i og korrelationer ρ ij dp it = P it [µ i dt + σ i dz it ] fremtidige aktiepriser er lognormalfordelte og aktieafkast i forskellige perioder er uafhængige af hinanden Generelt resultat: Optimal portefølje er en kombination af det risikofri aktiv og en tangent-portefølje af de usikre aktiver punkt på kapitalmarkedslinien

11 Mertons dynamiske model Aktieandel og investeringshorisont Kritik af Mertons model Mertons dynamiske model, fortsat Med konstant relativ risikoaversion γ, dvs. U(c) = c 1 γ /(1 γ): Optimale formueandele i de enkelte aktiver er konstante, uafhængig af investeringshorisonten og uafhængig af om investoren har nytte af løbende forbrug eller bare af slutformue. Med kun ét usikkert aktiv er den optimale andel π = µ r γσ 2. Formueandelen 1 π i det risikofri aktiv (bank, obligationer). Kræver løbende rebalancering at holde andele konstante Sælg vindere, køb tabere strategi Alle investorer skal holde usikre aktiver i samme forhold (f.eks. samme aktie/obligations-forhold) (OBS: Model og resultater ikke væsentligt vanskeligere at kommunikere end middelværdi-varians analyse...)

12 Mertons dynamiske model Aktieandel og investeringshorisont Kritik af Mertons model Om aktieandel og investeringshorisont i Mertons model Her er r = 4%, σ = 20% og µ er sat til hhv. 6% (flad), 9%, 12% og 15% (øverst). 100% 90% outperformance sandsynlighed 80% 70% 60% 6% 9% 12% 15% 50% 40% investeringshorisont, år

13 Mertons dynamiske model Aktieandel og investeringshorisont Kritik af Mertons model Om aktieandel og investeringshorisont i Mertons model, fortsat For µ = 9%: Merafkast på sikkert aktiv 1 år 10 år 40 år 0% 44.0% 31.8% 17.1% 25% 6.4% 22.2% 16.1% 50% 0.0% 13.1% 15.1% 75% 0.0% 5.7% 14.0% 100% 0.0% 1.3% 13.0% På lang sigt er der (givet antagelserne) større risiko for ekstreme tab på aktieinvesteringer. Flere aktier giver højere forventet afkast og højere varians trade-off For konstant relativ risikoaversion giver konstant aktieandel det optimale trade-off

14 Mertons dynamiske model Aktieandel og investeringshorisont Kritik af Mertons model Udvidelser af Mertons model er nødvendige... Stokastiske ændringer i investeringsmuligheder: Renter, forventede afkast og evt. volatiliteter på obligationer varierer over tid Forventede merafkast på aktier varierer (måske) over tid Volatiliteten på aktier varierer over tid Korrelationer mellem forskellige aktier og mellem aktier og obligationer varierer måske over tid Bør tage højde for andre aspekter af individers situation: Lønindkomst Forskellige forbrugsgoder, f.eks. bolig Pension, forsikring, usikker levetid Andre præferencer end beskrevet i Mertons model

15 Intertemporal hedging Renteændringer Ændringer i forventede aktieafkast Intertemporal hedging mod skift i investeringsmuligheder For at hedge imod ufavorable ændringer i investeringsmulighederne vil en tilstrækkeligt risikoavers investor afvige fra den optimale strategi i Mertons model Relativt til Mertons strategi overvægtes aktiver, der typisk giver høje afkast, når de fremtidige investeringsmuligheder er dårlige (lave renter, lave risikopræmier) Investorerne vil ikke placere sig på den aktuelle kapitalmarkedslinie de ofrer en kortsigtet gevinst mod at få en langsigtet sikkerhed Modeller indenfor dette område fokuserer på aktivklasser (aktier, obligationer, kontanter)

16 Intertemporal hedging mod skift i investeringsmuligheder Intertemporal hedging Renteændringer Ændringer i forventede aktieafkast Investorerne vil hedge imod skift i kapitalmarkedslinien, dvs. skift i renteniveauet r t og hældningen på linien (markedets risikopræmie) λ t = (µ t r t 1) Σ 1 t (µ t r t 1) Ref.: Nielsen & Vassalou (2006, Economic Theory) Ikke hedge mod ændringer i forventede afkast, volatiliteter og korrelationer, hvis de ikke medfører ændringer i markedets risikopræmie Selv hvis λ t er konstant, kan sammensætningen af tangentporteføljen variere over tid

17 Intertemporal hedging Renteændringer Ændringer i forventede aktieafkast Hedge mod renteændringer Overvægt obligationer høje afkast, netop når renten falder Opstil konkret model for dynamik i renter og obligationspriser Ref.: Sørensen (1999, JFQA) m.fl. Investorer bekymrer sig om reale afkast og derfor ændringer i realrenter hedge med reale, inflationssikrede obligationer Uden reale obligationer må realrenteændringer hedges bedst muligt med de handlede aktiver (nominelle obligationer, aktier) Risikopræmierne på obligationer (og aktier?) kan også afhænge af renteniveauet evt. ekstra hedge-effekter af rentevariationer Meget mere om dette emne i Carsten Sørensens indlæg 26. april

18 Intertemporal hedging Renteændringer Ændringer i forventede aktieafkast Mean reversion i aktieafkast Nogle empiriske studier tyder på mean reversion i aktieafkast, dvs. efter en periode med lave afkast vil det forventede afkast i den nærmeste fremtid typisk være relativt højt og omvendt Kan modelleres ved at lade det forventede aktieafkast (og dermed risikopræmien) variere stokastisk over tid med negativ korrelation med aktieprisen Ved mean reversion har aktier en indbygget hedge: høje afkast i situationer, hvor de fremtidige investeringsmuligheder er dårlige Overvægt aktier i forhold til Mertons strategi Aktieandelen vil nu vokse med investeringshorisonten Ref: Kim & Omberg (1996, RFS), Wachter (2002, JFQA)

19 Intertemporal hedging Renteændringer Ændringer i forventede aktieafkast Mean reversion i aktieafkast Begrænsede kvantitative effekter ved rimelig model: 90% portfolio weight 85% 80% 75% 70% horizon Mean rev GBM

20 Intertemporal hedging Renteændringer Ændringer i forventede aktieafkast Mere om aktieafkast Aktieafkast synes at udvise mean reversion på lang sigt, men momentum på kort sigt Optimal aktieandel ikke-monoton i investeringshorisonten: først aftagende, så voksende Lavere aktieandel ved lang horisont end hvis momentum ignoreres Ref.: Koijen, Rodriguez & Sbuelz (2005, WP Tilburg og Verona)

21 Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Generelt om arbejdsindkomst Arbejdsindkomst er den primære kilde til opsparing/investering for de fleste individer/husholdninger Samlet formue består af finansiel formue plus human kapital, dvs. nutidsværdien af den fremtidige arbejdsindkomst Klar horisonteffekt pga. arbejdsindkomst livscyklus perspektiv Human kapitalen er STOR for unge individer: Med en rente på 3% er nutidsværdien af en årlig indkomst på kr. i 30 år lig 9,8 millioner kr. Den optimale finansielle investering vil afhænge af størrelsen af den humane kapital, af usikkerheden på arbejdsindkomsten og af korrelationen mellem arbejdsindkomsten og finansielle aktiver

22 Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Mertons model med arbejdsindkomst: numerisk eksempel Antag konstante investeringsmuligheder Konstant risikofri rente r = 4% Et enkelt usikkert aktiv ( aktiemarkedet) med forventet afkastrate på µ = 10% og en volatilitet på σ = 20% For investorer med relativ risikoaversion γ = 2 er den optimale vægt på det usikre aktiv π = µ r γσ 2 = 75% Her ignoreres en eventuel hedge mod ændringer i arbejdsindkomst, som generelt vil indgå, hvis indkomstændringer er korreleret med ændringer i priser på finansielle aktiver.

23 Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Investor med relativ kort investeringshorisont Finansiel formue: Human kapital: Aktieinvestering Risikofri investering Sikker indkomst 0 (0%) (100%) Finansiel inv (150%) (-50%) Total position (75%) (25%) Noget usikker indkomst (50%) (50%) Finansiel inv (100%) 0 (0%) Total position (75%) (25%) Meget usikker indkomst (100%) 0 (0%) Finansiel inv (50%) (50%) Total position (75%) (25%)

24 Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Investor med relativ lang investeringshorisont Finansiel formue: Human kapital: Aktieinvestering Risikofri investering Sikker indkomst 0 (0%) (100%) Finansiel inv (300%) (-200%) Total position (75%) (25%) Noget usikker indkomst (50%) (50%) Finansiel inv (150%) (-50%) Total position (75%) (25%) Meget usikker indkomst (100%) 0 (0%) Finansiel inv. 0 (0%) (100%) Total position (75%) (25%) Med sikker eller kun lidt usikker indkomst: aktieandelen vokser med investeringshorisonten Modsat hvis indkomsten ligner aktien

25 Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Mertons model med arbejdsindkomst Konstant rente r Aktieindeks: dp t = P t [µ dt + σ dz t ] Lønrate: dy t = y t [α dt + ξ dz t ] Da bliver den optimale aktieandel for en investor med konstant relativ risikoaversion: π t = W t + H t µ r W t γσ 2 H t ξ W t σ = µ r γσ 2 + H ( ) t 1 µ r W t σ γσ ξ Potentielt meget større aktieandel end i modellen uden arbejdsindkomst ( betydelig låntagning) H t voksende i investeringshorisonten π t voksende i investeringshorisonten hvis µ r > ξγσ

26 Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Individer vil beskytte den samlede formue (finansiel + human) mod renteændringer potentielt meget større obligationsandel end i modellen uden arbejdsindkomst ( betydelig låntagning) Muligvis hedgeeffekter afhænger af korrelationer mellem arbejdsindkomst og finansielle aktiver Muligvis afhænger forventet indkomstvækst og indkomstvolatiliteten af økonomiens tilstand, som afspejles i realrenteniveauet mere komplicerede effekter på optimal asset allocation Ref.: Munk & Sørensen (2005, WP)

27 Andre aspekter af arbejdsindkomst Generelt om arbejdsindkomst En simpel model med arbejdsindkomst Arbejdsindkomst og renteusikkerhed Andre aspekter af arbejdsindkomst Den optimale investeringsstrategi for investorer med høj human kapital i forhold til finansiel formue vil ofte involvere en betydelig grad af låntagning måske ikke praktisk muligt Lånerestriktioner kan væsentligt reducere nutidsværdien af fremtidig arbejdsindkomst. Ref.: Munk (2000, JEDC) Umuligt at hedge perfekt mod alle indkomstændringer Individuelle investorer bør underinvestere i aktier, som er højt korreleret med deres arbejdsindkomst 58% af Enrons 401k pensionsfond var placeret i Enron aktier før aktierne faldt med 98,8% i 2001 Individer med fleksibelt arbejdsudbud kan tillade sig at tage større finansielle risici typisk unge, højtuddannede Variationer henover livscyklen i forventet indkomstvækst og indkomstvolatilitet Hvordan skal udviklingen i arbejdsindkomst og samvariation med finansielle aktiver modelleres?

28 Opsummering Perspektivering Opsummering af denne præsentation Asset allocation bør studeres i en dynamisk sammenhæng stokastiske investeringsmuligheder skift over tid i investorens situation optimale langsigtede beslutninger forskellige fra optimale kortsigtede beslutninger Renteusikkerhed vigtig for fordelingen på aktier, obligationer og kontanter Antagelser om variationer i aktiernes forventede afkast afgørende for hvordan aktieandelen skal afhænge af investeringshorisonten Arbejdsindkomsten er en central størrelse for individers optimale investeringsbeslutninger henover livscyklen

29 Opsummering Perspektivering Vigtige udestående spørgsmål Bedre model for samvariationen mellem aktier og obligationer? Bedre model for arbejdsindkomst og dens samvariation med finansielle variable? Bedre model for investorernes præferencer? Hvordan skal vi tage højde for usikkerhed om de anvendte parametre i modellen? Hvordan skal vi tage højde for usikkerhed om den rigtige model? Hvor vigtigt er det at bruge en meget kompleks/virkelighedsnær model? Hvordan hænger individers finansielle investeringer sammen med deres andre finansielle beslutninger f.eks. vedr. bolig (køb/salg/leje, belåning, konvertering)?