Kapitel 12: Valg under usikkerhed

Transkript

1 1 November 25, 2008

2 2 Usikkerhed Usikre faktorer: Fremtidige priser Fremtidig (real)indkomst Vejret Andre agenters handlinger (strategisk interaktion).... Håndtering af usikkerhed: Forsikring (sundhed, liv, bil, bolig, arbejde,...) Spredning af risiko. Investeringer i maskiner/værdipapirer Igen - Anvendelse af model for forbrugeren!

3 3 Præferencer over usikkerhed Vores model for valg var: vælg det bedst mulige alternativ Vi udvider nu mængden af alternativer til også at omfatte usikkerhed Dette betyder også at præferencerne skal kunne rumme usikkerhed formelt ingen ændring - kun fortolkningsmæssigt men!!! - den mere struktur på alternativerne kan give mere struktur på præferencerne

4 4 Alternativer med usikkerhed - eksempel Antag at der er 2 varer, men at verdenen kan beskrives en mængde af tilstande Ω = {a, b}. Dette betyder at der er 4 varer: varebundt (x 1, x 2 ) hvis tilstanden er a varebundt (y 1, y 2 ) hvis tilstanden er b Mængden af alternativer er elementer i R 4.

5 5 Forventet nytte modellen Vi ønsker en model for en agent s præferencer for lotterier over pengebeløb (indkomst). I økonomisk teori, antages ofte at agent ønsker at maksimere den forventede nytte u, hvor u er nytten af indkomst. Eksempel på lotteri: Agent vinder 900 kroner med sandsynlighed 1/2, and 0 kroner med sandsynlighed 1/2. Hvis u(900) = 12 og u(0) = 2, da er forventet nytte: E(u) = 1/2u(900) + 1/2u(0) = 1/2u(900) + 1/2u(0) = 1/ /2 2 = 7. Men forventet værdi af lotteri er: 1/ /2 0 = 450.

6 6 Hvis agent ønsker at maksimere den forventede værdi af en funktion u, E(u), da kaldes u nogle gange for elementarnytten eller von Neumann-Morgenstern. Kan vises at hvis E(u) og E(v) begge er elementarnyttefunktioner for en agent, da er v en affin monotont voksende transformation af u. Med andre ord: u er entydigt bestemt op til en vilkårlig affin monotont voksende transformation.

7 7 Risikoavers vs. risikosøgende agent Agent er risikoavers, hvis agent altid foretrækker at erstatte et lotteri med dets forventede værdi. Eksemplet: u(450) > 7 Agent er risikosøgende, hvis agent altid foretrækker et lotteri frem for at modtage dets forventede værdi. Eksemplet: u(450) < 7 Agent er risikoneutral, hvis agent altid indifferent mellem et lotteri og at modtage dets forventede værdi.

8 8 Eksempel: Forsikring forsikring: handel med forbrug over usikkerhed K er forsikringsbeløbet: i tilfælde af uheld udbetales K uanset hvad betales der i forsikringspræmie γk Tilstande: s 1, uheld sker ikke, indkomst m 1 s 2, uheld sker, indkomst m 2 < m 1 hvad er beløb tilrådighed i forskellige tilstande ved en forsikring: s 1, c 1 = m 1 γk s 2, c 2 = m 2 + K γk Budgetlinien: 1 γ γ c 1 + c 2 = 1 γ γ m 1 + m 2 Forbrugerens valg: max c1,c 2 u(c 1, c 2 ) s.t 1 γ γ c 1 + c 2 = 1 γ γ m 1 + m 2

9 9 Eksempel: Investering i risikable aktiver et risikabelt aktiv (en aktie, maskine) aktivet giver et afkast på r g hvis det går godt(ssh=π) og r b hvis det går dårligt (ssh=1 π) (r b < 1 < 0 < r g ) w er formuen, x mængden af risikabelt aktiv Formuen i forskellige tilstande ved en portefølje x: God: W g (x) = w + (1 + r g )x Dårlig: W b (x) = w + (1 + r b )x Hvis forventet nytte er nytten af en portefølje x U(x) = πu(w + (1 + r g )x) + (1 π)u(w + (1 + r b )x) Optimal valg af portefølje: du dx = 0 eller πu (w +(1+r g )x)(1+r g )+(1+π)u (w +(1+r b )x)(1+r b ) = 0 Anden ordens afledte U (x) = πu (1 + r g ) 2 + (1 π)u (1 + r b ) 2

10 10 Eksempel: Investering i risikable aktiver, fortsat lad nu u(w) = ln w, da fås Optimal valg af portefølje: 1 + r g π w + (1 + r g )x 1 + r b + (1 + π) w + (1 + r b )x = 0 eller x = w(π(1 + r g ) + (1 π)(1 + r b )) (1 + r g )(1 + r b ) Bemærk at x > 0: det vil altid være optimalt med en positiv investering i det risikable aktiv!