Fagansvarlige: Hans Christian Hansen Uffe Thomas Jankvist

Transkript

1 København E2014 Holdnr. Matematik i fagdidaktisk perspektiv II (10 ECTS) Kandidatuddannelsen i didaktik, matematik 20. juni 2014 Fagansvarlige: Hans Christian Hansen ([email protected]) Uffe Thomas Jankvist ([email protected]) Underviser: Hans Christian Hansen og enkelte gange Uffe Thomas Jankvist Dag og tid for undervisning, workshop og gruppearbejde: Tirsdag og fredag kl Mål (jf. gældende studieordning): Efter gennemført modul kan den studerende på et videnskabeligt grundlag, forstået som et kritisk, systematisk, teoretisk og empirisk funderet grundlag: Demonstrere overblik over og indsigt i udvalgte dele af stofområderne: geometri og algebra Demonstrere besiddelse af udvalgte faglige kompetencer, herunder: Ræsonnementskompetence: gennemføre og vurdere matematiske ræsonnementer, såsom matematisk bevisførelse, samt analysere og diskutere matematiske udsagn, såsom definitioner, sætninger og eksempler Repræsentationskompetence: analysere, diskutere og vurdere repræsentationer af matematiske sagsforhold Analysere og diskutere stofområderne og de faglige kompetencer i et fagdidaktisk perspektiv. Indhold (jf. gældende studieordning): Matematisk ræsonnements- og repræsentationskompetence Deduktiv og analytisk plangeometri, sfærisk geometri og lineær algebra samt en introduktion til studiet af flader med dels med differentialgeometriske metoder og topologiske metoder ved hjælp af Eulerkarakteristikken. Fagdidaktiske perspektiver på disse matematiske kompetencer og stofområder Et værktøjsprogram: Vi vælger Geogebra på grund af dets udbredelse i skolen, men der vil også blive givet en introduktion til hvad et stærkere program som Maple kan byde på. Undervisningssprog: Dansk 1 af 18

2 Deltagerbegrænsning: Nej Undervisningsform: Kurset afvikles som en vekselvirkning mellem foredrag, forelæsninger og fælles diskussioner, workshops og gruppearbejde. Eksamen (jf. gældende studieordning): Indstilling til eksamen forudsætter godkendelse af tre afleveringsopgaver, der stilles i løbet af kurset og som besvares indenfor angivne frister. Disse opgaver kan besvares enten individuelt eller gruppevis. De tre godkendte opgavebesvarelser udgør tilsammen en portefølje, der i en gennemskrevet version afleveres til Studieadministrationen indenfor de herfra udmeldte frister. Forud for den individuelle mundtlige eksamination foretages en lodtrækning blandt de tre indleverede opgavebesvarelser, som sammen med en tilhørende tekst fra kurset, udgør grundlaget for samtalen mellem den studerende, censor og eksaminator. Den øvrige del af porteføljen kan også indgå i samtalen. Hvilken del af porteføljen, der er blevet lodtrukket, og hvilken tekst der af eksaminator er valgt som den ledsagende, meddeles de studerende af Studieadministrationen senest en uge efter afleveringsfristens udløb. Bedømmelse sker på grundlag af en vurdering af den udtrukne del af porteføljen og den studerendes individuelle mundtlige præstation ved eksaminationen. Selve eksaminationen varer maksimalt 45 minutter inklusive votering. Litteratur: Matematikfaglig litteratur: John Stillwell (2005). The four pillars of geometry, Springer. (e-version findes på nettet) Niels Vigand Pedersen (2000). Forelæsningsnoter til linear algebra. Københavns Universitet (e-version findes på nettet) Hans Christian Hansen(2014). Ikke-euklidiske og krumme fladers geometri. Noter udviklet specielt til kurset. 44 sider. Lægges ud på Blackboard. Fagdidaktiske artikler og kapitler: J. Dieudonné (1961) New thinking in school mathematics. In OEEC: New Thinking in School Mathematics, s Raymond Duval (2006). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in Learning of Mathematics. In Educational Studies of Mathematics, 61, s Jeremy Kilpatrick, W. Gary Martin og Deborah Schifter (red) (2003). A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics NCTM: o Erna Yackel og Gila Hanna Reasoning and Proof (s ) o Douglas H. Clements Teaching and Learning Geometry ( ) 2 af 18

3 o Stephen P. Smith Representation in School Mathematics: Children s representations of Problems ( ) o Richard Lehrer Developing Understanding of Measurement ( ) o Daniel Chazan og Michal Yerushalmy: On Appreciating the cognitive complexity og School Algebra: Research on Algebra Learning and Directions of Curricular Change (s ) Colette Laborde (2005). The hidden role of diagrams in students construction of meaning in geometry, In Kilpatrick et al.: Meaning in Mathematics Education Education committee of the European Mathematical Society (2011). Do theorems admit exceptions Solid findings in mathematics education on empirical proof schemes. (Findes på EMS hjemmeside, googl blot titlen) Skott, Jeppe; Jess, Kristine; Hansen, Hans Christian: Matematik for lærerstuderende, Delta, Fagdidaktik. Samfundslitteratur. s om videnskabsteorien omkring Eulers Polyedersætning. Hans Christian Hansen(1981). En aksiomatisk geometri med nogle vigtige fortolkninger. Nordisk Matematisk Tidsskrift, Årgang 29, hefte 1, s Lægges på Blackboard Harel, G. & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. In: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). Charlotte, NC: Information Age Publishing (Matematik for lærerstuderende, Delta, Fagdidaktik samt A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics er gennemgående lærebøger i flere kurser, ligesom nedenstående Kalkulus. The four pillars of geometry og Forelæsningsnoter til linear algebra kan enten købes som bøger eller hentes på net. Resten af artiklerne søges lagt på nettet omkring studiestart.) Supplerende litteratur Lisa Lorentzen, Arne Hole, Tom Louis Lindstrøm (2003): Kalkulus med én og flere variabler. Universitetsforlaget. Oversigt over kurset: I det følgende præsenteres programmet for undervisningen uge for uge. Hver tirsdag og fredag vil med mindre andet angives bestå af to timers klasseundervisning eller forelæsning efterfulgt af to timers workshop, hvor de studerende selv tilrettelægger arbejdet inden for en ramme og med en underviser i nærheden. Det vil være HCH med mindre underviser er angivet som UTJ. Enkelte moduler er angivet som gruppearbejde, hvor der ikke er underviser til stede, andre som vejledning, hvor der også er gruppearbejde sideløbende med at underviser giver vejledning til grupper og enkeltpersoner efter tur og plan. 3 af 18

4 Uge 36 Tirsdag og fredag kl Tema: Introduktions til kurset ved UTJ og HC. Start på Euklidisk geometri fokus på konstruktioner med passer og lineal Oplyses på Blackboard i løbet af august 14. Læringsmål: At de studerende kender og kan håndtere konstruktion med passer og lineal samt opnår kendskab til baggrunden for disse geometriske konstruktioners opståen og deres betydning internt i matematikken. Introduktion til kurset herunder dets opbygning og indhold. Afklaring af undervisningsplan. Vi arbejder med fundamentet for den Euklidiske geometri og eksempler på basale konstruktioner og principper. I den forbindelse kommer vi ind på ræsonnements- og repræsentationskompetencerne. Stillwell: Kapitel 1, 2.1 og 2.2 på Blackboard. Medbring passer og lineal. 4 af 18

5 Uge 37 Tema: Euklidisk geometri med fokus på ræsonnement Læringsmål: At de studerende forstår og kan håndtere de begreber og resultater som præsenteres i Stillwells tekst. Specielt er det målet, at de studerende har kendskab til parallelaksiomets centrale placering i Euklidisk geometri, og til det, der hos Stillwell kaldes kongruensaksiomerne, herunder disse aksiomers betydning for kendte sætninger som Pythagoras og Thales sætninger. Vi arbejder med sætninger, beviser og opgaver med fokus på ræsonnementskompetencen. Tankegangen bag den Euklidiske geometri diskuteres som én blandt flere tilgange til geometri som matematiske stofområde. Stillwell: Kapitel Yackel og Hanna: Reasoning and Proof på Blackboard. 5 af 18

6 Uge 38 Tema: Bevisskemaer og start på analytisk geometri Læringsmål: At de studerende får udbygget fagdidaktikken omkring ræsonnementer og beviser. At de studerende bliver fortrolige med indledende analytisk geometri, herunder linjens ligning, afstande, vinkler, hældninger. Tirsdag ved UTJ: Bevisskemaer, herunder spøgsmålet Do theorems admit exceptions? Fredag: Start på analytisk plangeometri Tirsdag. EMS (2011). Do theorems admit exceptions? samt Harel, G. & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof Fredag: Stillwell: Kapitel 3 på Blackboard. 6 af 18

7 Uge 39 Titel: Indledende analytisk geometri - Geometri i koordinatsystemet Læringsmål: At de studerende bliver fortrolige med beskrivelsen af isometrier i analytisk plangeometri. At de studerende fagligt og fagdidaktisk kan diskutere isometrier som en tilgang til geometri i et videre perspektiv. Der arbejdes med analytisk beskrivelse af translation, rotation, spejling og glidespejling. samt med generaliseringer af isometribegrebet og spejlinger til sfærer og rum. Stillwell: Kapitel 3 Hansen (1981), s på Blackboard. 7 af 18

8 Uge 40 Titel: Pædagogisk brug af GeoGebra et dynamisk geometri program. Vejledning vedr. første afleveringsopgave Læringsmål: At de studerende får kendskab til GeoGebra som geometrisk redskab på brugerniveau med henblik på udvikling til anvendelse som didaktisk redskab. Selve den tekniske beherskelse af grundlæggende Geogebra forudsættes. At de studerende får lagt linje og arbejdsplan for den første afleveringsopgave, så den kan afleveres på tirsdag og præsentere for deres sparringgruppe på næste fredag. Tirsdag: Der arbejdes med et Geogebraperspektiv på udvalgte øvelser og enkelte af beviserne fra kapitel 1-3 i Stillwell med fokus på ræsonnements- og repræsentationskompetencerne. Fredag: Vejledning vedr. første afleveringsopgave. Fastlæggelse af responsgrupper. Læreren cirkulerer mellem grupperne. Laborde: The hidden role of diagrams in students construction of meaning in geometry Clements: Teaching and Learning of Geometry på Blackboard. Sørg for at have downloaded Geogebra på din bærbare. 8 af 18

9 Uge 41 Titel: Linear algebra Vektorer og vektor rum Læringsmål: At de studerende opnår fortrolighed med vektorer og vektor rum, herunder indre produkt, lineær afhængighed og trekantsuligheden samt at de studerende bliver fortrolige med den didaktiske diskussion om lineær algebra burde afløse euklidisk geometri i på skolens afsluttende trin. Der vil blive arbejdet med løsning af opgaver fra Stillwell og artiklen af Dieudonné. Senest tirsdag afleveres først afleveringsopgave i førsteudgaven. Som led i afleverings- og godkendelsesproceduren forsvares og diskuteres opgaven fredag i de sidste to timer med responsgruppen, der senest tirsdag kl. 18 har fået den tilsendt/udleveret. Stillwell: Kapitel 4, dog ikke 4.7 Dieudonné: New thinking in school mathematics på Blackboard. 9 af 18

10 Uge 42 Titel: Flere optikker på de samme geometriske fænomener Læringsmål: At de studerende bliver fortrolighed med at lineær algebra i todimensionale rum, analytisk geometri og euklidisk geometri kan beskrive de samme geometriske forhold samt de forskellige ræsonnementer disse teorier hver for sig udvikler kan styrke forståelsen af geometriske sammenhænge. Der vil blive arbejdet med løsning af opgaver, dels fra Stillwell og Vigand men især afrundingsopgaven hos Hansen (2014), s Der er ikke tilknyttet lærer til kurset i denne uge. Stillwell: Kapitel 4, dog ikke 4.7 Hansen (2014), s. 4-5 Der er mulighed for gruppearbejde både tirsdag og fredag, men man kan vælge at omlægge til selvstændige individuelle studier. 10 af 18

11 Uge 43 Titel: Lineær algebra matricer og lineære afbildninger Mål: At de studerende opnår fortrolighed med matricer og lineære afbildninger, herunder forskellige typer af matricer - såsom enheds-, trappe- og inverse matricer - sammenhæng mellem matricer og lineære afbildning, samt matrixregning. Temaer/indhold: Vi arbejder med stoffet fra primært fra et algebraisk perspektiv, men søger også efter repræsentationer af stoffet i forskellige former for virkelighed. Vigand: Kapitel på Blackboard. 11 af 18

12 Uge 44 Titel: Lineær algebra lineære ligningssystemer Mål: At de studerende opnår fortrolighed med løsning af lineære ligningssystemer ved hjælp af Gauss Jordan elimination og ved hjælp af GeoGebra, samt at de studerende får udbygget deres kendskab til repræsentationer ligninger og tilhørende fagdidaktik. Temaer/indhold: Vi arbejder med løsning af op til n lineære ligninger med n ubekendte både algebraisk, geometrisk og ved hjælp af GeoGebra. Sideløbende arbejder vi med stofdidaktikken omkring ligninger og skolealgebra, afsluttende med et kort fælles inspirationsworkshop om en struktur på anden afleveringsopgave, der skal trække på arbejdet i ugerne Vigand: Kapitel Smith: Representation in School Mathematics: Children s Representation of Problems Daniel Chazan og Michal Yerushalmy: On Appreciating the cognitive complexity og School Algebra Forberedelse til undervisningen. på Blackboard. 12 af 18

13 Uge 45 Titel: Anden afleveringsopgave Læringsmål: De studerende skal udbygge det indholdsmæssige grundlag for den anden af tre afleveringsopgaver. Tirsdag: Fælles, gruppe- og individuel vejledning i den anden afleveringsopgave. Torsdag aften, aflevering af førsteudgaven af afleveringsopgaven, der sendes til responsgruppe og lærer senest kl. 16. Fredag: Generel respons fra lærer, derefter forsvares og diskuteres opgaven i de sidste par timer med responsgruppen, som led i afleverings- og godkendelsesproceduren. Litteraturen fra uge 41 til 44 De studerende forbereder inden tirsdag forslag til indhold og struktur af den anden afleveringsopgave, og forbereder sig torsdag aften eller fredag morgen på at give respons til responsgruppe. 13 af 18

14 Uge 46 Titel: Hyperbolsk og sfærisk geometri Mål: At de studerende bliver opmærksomme på at ændring af de helt fundamentale aksiomer i euklidisk geometri giver anledning til nogle ikke-euklidiske geometrier, der i en vis forstand er lige så sande og sommetider nyttige som den euklidiske geometri. De studerende kan beskrive den hyperbolske geometri og foretage beregninger i en sfærisk geometri. Temaer/indhold: Vi arbejder med konkrete øvelser og opgaver. Hansen (2014), s Lehrer : Developing Understanding og Measurement i Kilpatrick et al (2003) på Blackboard. 14 af 18

15 Uge 47 Titel: Introduktion til projektiv geometri og Duvals teorier om repræsentation. Mål: De studerende kender flere fortolkninger af en projektiv geometri og får udbygget deres viden om repræsentation. Temaer/indhold: Tirsdag: Vi søger at ændre den sfæriske geometri, så der kun går en enkelt linje gennem to forskellige punkter. Resultatet kaldes den projektive plan, men hvor kommer betegnelsen projektiv fra. Fredag (UTJ): Repræsentationers rolle i matematiklæring illustreret med Duvals teorier. Hansen (2014) s Duval: A cognitive analysis of problems of comprehension in learning of Mathematics. på Blackboard. 15 af 18

16 Uge 48 Titel: Introduktion til differentialgeometri/ analyse : Mål: At de studerende får kendskab til differentiation af en funktion af to variable og hvordan partielle afledede afslører hvor man skal søge efter lokale maksima, minima og sadelpunkter. At de studerende kender til hvordan et stærkt matematikprogram som Maple kan repræsentere sådanne funktioner grafisk på en måde, hvor man visuelt kan opsøge maksima og minima. Færdighed i brug af Maple indgår ikke som mål.. Pæne funktioner af to variable og deres partielle afledede. Hvordan lokale minima og maksima skal søges blandt de stationære punkter, hvor de partielle afledede begge er 0. Hansen (2014), s på Blackboard 16 af 18

17 Uge 49 Titel: Afrunding på differentialgeometri og en duft af topologi via Eulertallet Mål: At de studerende kan bestemme de lokale maksima, minima og sadelpunkter på todimensionale flader i tredimensionale rum ved hjælp af enkelt- og dobbeltpartielle afledede. At de studerende kan bestemme Eulertallet for sfære og torus og argumentere for eulertallets invarians på en given flade. At de studerende får en første ide til indhold og struktur for tredje afleveringsopgave Temaer/indhold: Hansen (2014): afrunding differentialgeometri og topologi s Skott et al. (2008), s på Blackboard. 17 af 18

18 Uge 50 Titel: Vejledning og gruppearbejde Læringsmål: De studerende skal udbygge det indholdsmæssige grundlag for den tredje af tre afleveringsopgaver. Tirsdag: Fælles, gruppe- og individuel vejledning i den tredje afleveringsopgave. Torsdag aften, aflevering af førsteudgaven af afleveringsopgaven, der sendes til responsgruppe og lærer inden kl. 16. Fredag: Generel respons fra lærer, derefter forsvares og diskuteres opgaven i de sidste par timer med responsgruppen, som led i afleverings- og godkendelsesproceduren. Litteraturen fra uge De studerende forbereder et forslag til indhold og struktur af den tredje afleveringsopgave inden tirsdag, og forbereder sig torsdag aften eller fredag morgen på at give respons til responsgruppe.. 18 af 18