NY SKRIFTLIGHED I MATEMATIK DEL II

Transkript

1 1 NY SKRIFTLIGHED I MATEMATIK DEL II Matematiklærerforeningen for gymnasiet har i forlængelse af udviklingsprojekt fra skoleåret 2009/2010 i skoleåret 2010/2011 haft endnu et udviklingsprojekt i ny skriftlighed. Formålet har her været at følge op på sidste års udviklingsprojekt. Dette er sket ved både at konkretisere og eksemplificere nogle af anbefalingerne fra sidste år, men også ved at få sat fokus på specielt temaopgaver. Som tilfældet var sidste år, har også dette projekt haft til formål at indsamle og dele erfaringer med at undervise i de mange nye typer af skriftlig matematisk fremstilling og at få diskuteret evalueringskriterier og metoder i forhold til de skriftlige produkter. Desuden har projektet været en del af et større arbejde om ny skriftlighed i de gymnasiale uddannelser som afsluttes oktober Arbejdsgruppen har arbejdet med den nye skriftlighed i tre undergrupper. Emnerne for disse er: Temaopgaver Rettestrategier og progression SRP Deltagende lærer Dorte Agerkvist, Herlev Gymnasium og HF Ulla Stampe Jakobsen, Herlev Gymnasium og HF Louise Jensen, Herlev Gymnasium og HF Lars Bo Kristensen, Egå Gymnasium Ib Michelsen, VUC Skive Morten Overgaard, Københavns VUC Peter Pedersen, Avedøre Gymnasium Katja Kofod Svan, Rysensteen Gymnasium Torben Svendsen, Haderslev Katedralskole Camilla Zacho, Roskilde Gymnasium Rasmus Østergaard, Nykøbing Katedralskole Janus Lylloff, Mulernes legatskole (projektets tovholder for matematiklærerforeningen) Denne rapport er en sammenfatning af projektets website

2 2 Indholdsfortegnelse DEL 1: MATEMATIK, TEMAOPGAVER OG DEN NY SKRIFTLIGHED 4 HVAD ER EN TEMAOPGAVE? 5 SKRIFTLIGE PRODUKTER I TEMAOPGAVER 6 SAMMENHÆNGEN MELLEM TEMAOPGAVER OG EKSAMEN 6 GEOMETRI SOM EKSEMPEL 7 TEMAOPGAVE: N KANTER 8 TEMAOPGAVE: LANDMÅLING 11 TEMAOPGAVE: KLASSISK GEOMETRI 14 TEMAOPGAVE: COSINUS OG SINUSRELATIONER 15 TEMAOPGAVE: AFSTANDE I PLAN OG RUM 16 EKSEMPLER PÅ EKSAMENSSPØRGSMÅL TIL GEOMETRI UD FRA TEMAOPGAVER 17 DEL 2: VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE, RETTESTRATEGIER OG PROGRESSION 18 VARIATION I DET SKRIFTLIGE ARBEJDE 18 PROCESSKRIVNING OG RETTESTRATEGIER 30 FRA OPGAVEFORMULERING TIL EVALUERING 30 TRIN 1: EKSPLICITTE KRAV TIL DET SKRIFTLIGE PRODUKT 30 TRIN 2: SKRIVEPROCESSEN OG LØBENDE VEJLEDNING AF ELEVERNE 30 TRIN 3: SLUTEVALUERING 31 DEL 3: SRP I MATEMATIK 33 DET GYLDNE SNIT I 1. G 33 DET GYLDNE SNIT I 2. G 34 DET GYLDNE SNIT I 3. G 37 KRYPTOLOGI I 1.G: FORMIDLING AF KRYPTOLOGISKE GRUNDBEGREBER 38 KRYPTOLOGI I 2.G: BASAL TALTEORI OG RESTKLASSEREGNING 40 KRYPTOLOGI I 3.G: ENIGMA OG ANDRE KRYPTOSYSTEMER 41 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 1G 42 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 2G 44 RADIOAKTIVITET OG SANDSYNLIGHED I 3G 46 REFLEKSIONER OG SRP 47 TYPER AF SRP OPGAVER 47 I. BRUG AF MATEMATIK I LITTERÆR SAMMENHÆNG 47 II. BRUG AF SIMULERING ELLER EKSPERIMENTEL MATEMATIK 48 III. BRUG AF MATEMATISKE MODELLER 48 IV. FAGLIG FORMIDLING MED DANSK. 48 V. MATEMATIK I KULTUREL ELLER HISTORISK SAMMENHÆNG. 49 AFSLUTTENDE KOMMENTAR: MATEMATIK OG SRP 50 TILEGNELSE AF NYT STOF 50 ANDRE FORMER FOR SKRIFTLIGHED I FORBINDELSE MED SRP: 51 VURDERING AF SRP: SOLO TAKSONOMI OG KOMPETENCER 52

3 3 DE 10 BUD TIL SRP: 52 VIDERE HENVISNINGER: 53 BILAG 1: EKSEMPLER PÅ OPGAVEFORMULERING TIL DEL 2 54 BILAG 2: EVALUERINGSARK TIL BEDØMMELSEN AF SKRIFTLIGE PRODUKTER TIL DEL 2 59

4 4 Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed Forfattere til del 1: Morten Overgård Nielsen, Katja Kofod Svan, Janus Lylloff, Peter Pedersen og Lars Bo Kristensen Om gruppens arbejde: I forbindelse med indførelsen af prøveform c) til mundtlig eksamen i matematik kom der i læreplanerne krav om, at "en betydelig del af eksamensspørgsmålene skal være udformet således, at det er muligt at inddrage gennemførte emne og projektforløb med tilhørende elevrapporter". Hvor udviklingsprojektet sidste år gav en række forskellige eksempler på temaopgaver, har fokus i denne gruppes arbejde været at få præciseret hvad begrebet helt dækker over. Desuden er udarbejdet eksempler på temaopgaver og tilhørende eksamensspørgsmål inden for emnet Geometri og på alle niveauer fra C til A. Den ny skriftlighed sætter fokus på dels udvikling af elevernes skrivekompetencer og dels anvendelsen af skriftlighed som led i tilegnelsen af faglig viden og kompetence (jf. alle fire gymnasiale uddannelsesbekendtgørelser). Det er med den ny skriftlighed blevet alle fags ansvar at bidrage til den studieforberedende skrivekompetence og ikke kun fagets egen skriftlige eksamen. I uddannelsesbekendtgørelsen beskrives studieforberedende skrivekompetence som følgende: - Eleverne skal kunne finde og udvælge relevant stof samt behandle og skriftligt formidle centrale enkelt og flerfaglige emner. - Eleverne skal under anvendelse af faglig viden, grundlæggende metoder i faget/fagene og relevant dokumentation kunne give en klar, sammenhængende og nuanceret skriftlig fremstilling, der bygger på følgende studieforberedende skrivekompetencer: - genrebevidsthed - sproglig korrekthed - disposition - argumentation - anvendelse af citater, figurer, illustrationer m.v. - præsentation (f.eks. talepapir til mundtlig fremlæggelse og powerpointpræsentation) - relevante henvisninger, noteapparat og litteraturliste. Med den ny skriftlighed er der tillige kommet et bredere register af skriftlige genrer i fagene, og i matematik er temaopgaverne en af nyskabelserne. Vi ser brugen af temaopgaverne i matematik som en måde at imødekomme væsentlige elementer af ny skriftlighed på. Temaopgaverne kan anvendes som en måde at få matematikfagets alsidighed frem på. Arbejdet med dem kan gøre faget mere almentdannende, end når man kun arbejder med traditionelle matematikopgaver. Vi tror, at eleverne lærer mere og forstår temaet dybere, når man arbejder med forskellige måder at skrive på. Temaopgaver er samtidig nyttige i forhold til fagets egne eksamener. Temaopgaver er i læreplanen for matematik blevet en central del af undervisningen og kan opfattes som en ny Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

5 5 måde at strukturere stoffet på. I de første års arbejde med temaopgaverne har der primært været fokus på deres anvendelighed i forbindelse med den mundtlige eksamen (frem til 2012 prøveform c). Imidlertid kan temaopgaverne også spille en betydelig og vigtig rolle som forberedelse til den skriftlige eksamen, hvor der gives 2 point til helhedsindtrykket for hver opgave. Derudover kan temaopgaverne naturligt indgå som et centralt redskab til at lære matematik og matematiske kompetencer. Ved at konkretisere fokus og krav for de enkelte dele af temaopgaverne vil temaopgaverne være med til at give et bedre overblik over matematiske emner, træne forskellige skrivekompetencer samtidig med at problembehandlingskompetencen kan bringes i spil på en tilfredsstillende måde. Hvad er en temaopgave? I alle vejledningerne til læreplanerne for matematik fra 2010 omhandler afsnit 2.7 temaopgaver. En temaopgave defineres i nærværende materiale som en samling skriftlige produkter inden for samme overordnede tema. Et tema kan enten være et emne eller en kompetence, fx vækst, geometri, funktioner, differentialregning, infinitesimalregning, matematiske modeller, differentialligninger, statistik, optimering, matematisk ræsonnement eller matematiske repræsentationer. Temaopgaven skal i udgangspunktet ikke dække et helt emne eller kompetence i sig selv, men blot dele heraf og kan således supplere behandlingen af en kompetence eller emne på passende vis. En temaopgave sættes sammen af flere forskellige typer af skriftlige produkter, dvs. det er ikke blot et nyt ord for fx projektrapporter. Temaopgaven kan knyttes til et konkret undervisningsforløb eller temaopgaven kan sættes sammen af skriftligt arbejde fra forskellige undervisningsforløb inden for samme tema. Temaopgaven kan derfor udvikle sig over de forskellige årstrin i matematikundervisningen og dermed komme til at indeholde flere og flere elementer indenfor det aktuelle tema. Formålet med en temaopgave er, at eleven behandler og dermed indlærer temaet via en stribe forskellige og forskelligartede opgaver på forskellige niveauer. Den færdige temaopgave skulle derved give eleven et bedre overblik over temaet. Temaopgavens delopgaver kan fx være rapportering af eksperimentelt arbejde, formidling af teoretisk stof, løsning af træningsopgaver, skriftlige eksamensopgaver, eksempler på anvendelser m.m. Delopgaverne kan være mere eller mindre stilladserede. Dele kan være meget selvstændige, måske som projektrapporter, og andre kan være ret lukkede. Progressionen i læringen bør fremstå af temaopgaven. De forskellige delopgaver i en temaopgave har forskellige mål. Nogle delopgavers mål kan være at træne matematisk kommunikationskompetence, herunder sproglig præcision (fx gennem formidling af teoretisk stof), andre delopgavers mål kan være at træne løsning af opgaver til skriftlig eksamen (fx løsning af tidligere eksamensopgaver, udarbejdelse af egne eksamenslignende opgaver), målet med andre igen kan være at øge den matematiske forståelse for stoffet gennem skriftlig formulering og formidling. Det vil være hensigtsmæssigt at formulere klare mål for hver af delopgaverne. En temaopgave afleveres ikke nødvendigvis som ét færdigt produkt, der skal rettes af læreren. Dele af temaopgaven laves måske i grupper, andre individuelt. Læreren må overveje, hvilke dele af delopgaverne der skal rettes af læreren, hvilke der skal rettes af andre elever, hvilke Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

6 6 der skal genafleveres, og hvilke der slet ikke skal rettes (i forhold til konkrete rettestrategier, henvises til dokumentet rettestrategier og progression, som er lavet i forbindelse med dette arbejde). Skriftlige produkter i temaopgaver Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper: - Mindre træningsopgaver, der træner et emne eller en metode. - Tidligere stillede eksamensopgaver eller vejledende eksamensopgaver, der har til formål at vise kravene til eksamen. - Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og som indeholder større grad af kompleksitet end træningsopgaver og eksamensopgaver. Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af teori eller beviser. Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil indeholde følgende dele: - Problemfelt - Redegørelse for metode (numerisk, formel eller syntetisk) - Behandling af problem - Konklusion Temaopgaver sættes sammen af ovenstående delelementer på en måde, så den kan bruges til at strukturere stoffet for eleven og give overblik. Ikke alle tre af ovenstående skriftlige produkter skal nødvendigvis altid være til stede i en temaopgave, men for at tilgodese ny skriftlighed bør en temaopgave indeholde flere forskellige typer af skriftligt arbejde. Desuden bør der (ifølge undervisningsvejledningen) altid være elementer af matematisk ræsonnement, anvendelse i form af opgaveregning og behandling af mere komplekse problemer til stede. Med matematisk ræsonnement tænkes både teori og beviser. Dette kan indtænkes på flere måder, fx i formidlingsopgaver eller i en projektrapport. Man kan ligeledes indlægge indledende skriveøvelser (fx tænkeskrivning, mindmapping, hurtigskrivning mv.) i forbindelse med en temaopgave, hvor eleverne skydes ind på opgaven/emnet. Denne del bedømmes derfor som oftest ikke. Dermed er det målet, at temaopgaver kan være med til at udvikle elevers generelle skrivekompetence i højere grad end de traditionelle matematikopgaver, fordi der i temaopgaver også er fokus på matematikholdig tekstfremstilling og formidling af matematik. Samtidig trænes nogle af de studieforberedende skrivekompetencer, som også anvendes i større skriftlige opgaver. Sammenhængen mellem temaopgaver og eksamen Skriftlig eksamen tilgodeses ved, at der trænes skriftlig matematik på en mere varieret måde, så flere læringsstile tilgodeses, og så de forskellige emner og opgavetyper, der forekommer til skriftlig eksamen, er behandlet på en måde, der giver et for eleven mere helstøbt billede. Det Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

7 7 er vores bagvedliggende erfaring og opfattelse, at et for snævert fokus på eksamensopgaver ikke er den bedst mulige forberedelse til skriftlig eksamen for eleverne. Mundtlig eksamen tilgodeses, ved at der til en betydelig del af eksamensspørgsmålene ifølge bekendtgørelsen skal tilknyttes temaopgaver eller projektrapporter. Et struktureret arbejde med temaopgaverne kan derfor sikre eleverne et bedre udgangspunkt til disse dele af eksamensspørgsmålene, ligesom der i arbejdet med temaopgaverne naturligt er fokus på formidling af stof. Dette giver eleverne et bredt erfaringsgrundlag hen mod en eventuelt mundtlig eksamen. Et eksamensspørgsmål, der tager udgangspunkt i en temaopgave lægger op til, at eleven selv kan vælge niveauet for den mundtlige fremlæggelse. Geometri som eksempel Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper, der indgår i en samlet temaopgave, kan se ud indenfor et konkret emneområde: Geometri. Der fokuseres i det følgende på nedenstående typer af opgaver (citat fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed ): Matematikopgaver med forskellig grad af kompleksitet inden for temaet. Opgaverne kan være stillet af læreren eller af andre elever. Der skelnes mellem følgende opgavetyper: - Mindre træningsopgaver, der træner et emne eller en metode. - Tidligere stillede eksamensopgaver eller vejledende eksamensopgaver, der har til formål at vise kravene til eksamen. - Mere krævende matematikopgaver (der ikke kan kategoriseres under en af de øvrige) og som indeholder større grad af kompleksitet end træningsopgaver og eksamensopgaver. Formidlingsopgaver, hvor temaet (eller dele heraf) formidles på forskellig måde afhængig af modtager. Dette kan både være formidling af et emne (fx et referat af et forløb) og formidling af teori eller beviser. Projektrapporter. Disse vil tage udgangspunkt i en problemformulering, som læreren eller eleven udformer. Projekter er af undersøgende karakter og arbejdet vil være mindre lærerstyret end i de øvrige opgavetyper. Projektet kan fx omhandle matematiske ræsonnementer. Projektrapporten bør i sin endelige udformning være en sammenhængende tekst og kan bruges som træning i at skrive matematikholdige tekster, herunder SRO, SRP, AT-synopsis og SSO. Projektrapporten vil indeholde følgende dele: - Problemfelt - Redegørelse for metode (numerisk, formel eller syntetisk) - Behandling af problem - Konklusion I forlængelse af præsentationen af opgaverne findes kommentarer til deres indhold m.m. De fem eksempler kan enten bruges som selvstændige temaopgaver eller sættes sammen til en større temaopgave. Dette kan tilrettelægges på flere måder. Eleverne kan på forhånd få en opgavebeskrivelse af den samlede temaopgave, eller de kan få de enkelte dele efterhånden. Et hold vil nok ikke vælge at lave alle fem eksempler om geometri, men kun et udvalg af dem. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

8 8 Hvorvidt temaopgaven opbevares i en elektronisk eller fysisk mappe, må ligeledes være op til den enkelte lærer og elev. Temaopgave: n kanter Formål: At udvikle og træne logiske, matematiske ræsonnementer. Arbejdsform: Individuelt arbejde med mulighed for samarbejde undervejs. Produkt: Et resumé med formidling samt besvarelse af opgaver. Du skal svare på spørgsmålene i dette dokument. Skriv besvarelserne ind i dokumentet efter spørgsmålene og gem dokumentet på din egen computer. I må gerne arbejde sammen, men du skal skrive selv. Det er vigtigt, at du ikke blot skriver i stikord, men i hele sætninger, når du svarer på spørgsmålene. Du skal altså ikke bare skrive svaret, men huske argumenter for dit svar. Tænk på, at en klassekammerat skal kunne læse svaret, uden at have været igennem det samme forløb som dig. Brug så korrekt matematisk notation, som du kan. Opgaverne skal ikke afleveres samlet, men du skal specielt vise din lærer dine svar på spørgsmål 4, 10 og 12. Og du skal til slut skrive et kort resume af dine spørgsmål (se spørgsmål 16) det skal afleveres. I en trekant er vinkel A=29 og vinkel B=58 1. Bestem størrelsen af den sidste vinkel, dvs. vinkel C Tegn en sekskant enten på et stykke papir eller i et geometriprogram. Del den ind ud fra skitsen nedenfor: 2. Hvad er vinkelsummen i sekskanten? Husk, du skal (stadig) argumentere for dit svar. 3. Gør noget lignende med en otte kant hvad er vinkelsummen her? Du skal nu forsøge at kombinere de to opgaver ovenfor kan du se en sammenhæng mellem dine argumenter? 4. Opstil på baggrund af seks og otte kanten en formel for vinkelsummen i en n kant. Det vil sige, at du angive en formel, som kan bruges til at udregne vinkelsummen i en figur med n kanter. 5. Brug din formel til at regne vinkelsummen i en 24 kant. En geometrisk figur kaldes regulær, hvis alle vinkler og sider er lige store. 6. Hvordan ser en regulær trekant ud og hvad kaldes den også? 7. Hvor store er vinklerne i en regulær trekant? 8. Hvor store er vinklerne i en regulær sekskant? 9. Hvad med en regulær otte kant? 10. Opstil en formel for den enkelte vinkel i en regulær n kant. Forsøg at bruge en matematisk formel. Du skal nu betragte dine regulære figurer som fliser, der kan lægges i en indgang til et hus. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

9 9 Det viser sig nemlig, at man skal tænke lidt over, hvilke regulære fliser man køber ind, hvis man gerne vil have en indkørsel uden mellemrum mellem fliserne! 11. Kig på billedet ovenfor, og beskriv med ord, hvad sker de steder, hvor fliserne mødes med andre fliser. Hvilke krav er der til flisernes vinkler i disse møder? Du skulle nu gerne have nået frem til, at det ikke er ligegyldigt, hvilken form de regulære fliser har. 12. Hvilke former af regulære n kanter kan fliserne have, for at du kan lykkes med at dække en indgang med ens fliser, uden at der opstår mellemrum mellem fliserne? 13. Kan du bruge 12 kanter til denne opgave? Hvorfor/hvorfor ikke? 14. Kan du udelukke nogen flisetyper? Som en afsluttende del af opgaven skal du nu prøve at lave et mønster af fliser, som ikke kun består af ens regulære fliser. Men kravet er igen: Der må ikke være mellemrum mellem fliserne. 15. Fliselæg en indkørsel med regulære n kant fliser. Argumenter for, hvilke kombinationer af fliser, du bruger undervejs. 16. Skriv et kort resume (ca. 20 linjer) af dine arbejdsgange, og svar på spørgsmålene Resuméet skal skrives, så det kan læses af en klassekammerat, som ikke har arbejdet med spørgsmålene. Husk de vigtigste punkter. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

10 10 Kommentarer til temaopgaven n kanter Denne temaopgave består primært af små træningsopgaver med en indlagt formidlingsopgave (opgave 16). Temaopgaven har fokus på at redegøre for teori og i mindre grad på at regne matematikopgaver. Temaopgaven indeholder ligeledes et element af undersøgende karakter (spørgsmål 15). Afleveringsdelen er resuméet og understreger dermed temaopgavens placering som en formidlingsopgave. Men der er indlagt kontrolfaser i forbindelse med opgave 4, 10 og 14. Opgaven er primært henvendt til matematik C eller 1. g. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

11 11 Temaopgave: Landmåling Formål: Formålet med denne temaopgave er at skabe indsigt i, hvordan trigonometri bliver anvendt i praksis. Arbejdsform: Gruppearbejde. Produkt: Opgaven består af tre dele med hver sit problem med tilhørende underpunkter. Besvarelserne til hver af de tre dele samles i en projektrapport. Husk at gøre rede for metoderne i de forskellige dele ved brug af et passende antal mellemregninger, en forklarende tekst samt en skitse og evt. et billede af situationen. I de opgaver, hvor I selv skal bestemme længder eller højder, kan I med fordel tage billeder (fx med jeres mobiltelefon) og inkludere i rapporten. Billedet kan ikke erstatte en skitse. Materiale: Gyldendals Gymnasiematematik grundbog B1 side 34 til 46 samt udleverede noter fra Knud Erik Nielsen og Esper Fogh, Naturfag for 1. g (HAX data2000) skal ligge til grund for opgavens besvarelse. Bemærk: Træningsopgaver skal ikke med i den endelige temaopgave, men er lektier til den pågældende dag. Afstandsmåling med ensvinklede trekanter Litteratur: Nielsen & Fogh: side 188 og 189 Grundbogen: s (se ovenfor) Problemfelt: Hvordan måler man en højde ved brug af ensvinklede trekanter? Træningsopgaver: Efter Nielsen & Fogh opgave 175 side 198. Gengivet med tilladelse fra forlaget. Underpunkter a) Redegør for, hvilken matematik det er nødvendigt at have kendskab til for at besvare problemfeltet? Opskriv nødvendige begreber, formler definitioner, sætninger osv. b) Kom med to eksempler på hvordan man bestemmer en højde. Husk en præcis og uddybende forklaring af metoden, hvor I bruger begreber og sætninger fra del a). c) Hvilke styrker og svagheder er der ved metoden? Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion, der indeholder, hvad I er kommet frem til. Husk, at konklusionen skal besvare problemfeltet. Afstandsmåling vha. vinkelmåling. Litteratur: Nielsen & Fogh: side 188 og 189 Grundbogen: s (se ovenfor) Problemfelt: Hvordan bestemmer man afstande mellem to punkter og højder af genstande ved at måle vinkler? Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

12 12 Træningsopgaver: 192 side 199 i Nielsen & Fogh. (se ovenfor) Efter Nielsen & Fogh opgave 190 og 192 side 199. Gengivet med tilladelse fra forlaget Underpunkter a) Redegør for, hvilken matematik det er nødvendigt at have kendskab for at kunne løse dette problem? Opskriv nødvendige begreber, formler definitioner, sætninger osv. b) Beskriv, hvordan man gør, når man skal bestemme en længde og en højde. Brug en teodolit til at måle vinkler med, og husk en præcis og uddybende forklaring af metoden, hvor I bruger begreber og sætninger fra del a). c) Hvilke styrker og svagheder er der ved metoden? Sammenlign denne metode med metoden i første del. Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion om, hvad I er kommet frem til. Husk, at konklusionen skal svare på problemstillingen. Tegning af kort ved triangulering Litteratur: Nielsen & Fogh: side 196 og 197 Grundbogen: s (se ovenfor). Træningsopgaver: Opgave 196 og 200 side 200 i Nielsen & Fogh (se ovenfor). Problemfelt: Hvordan laver man et præcist kort over et område? Efter Nielsen & Fogh opgave 196 og 200 side Gengivet med tilladelse fra forlaget. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

13 13 Underpunkter a) Redegør for, hvad triangulering er. Hvilke matematiske begreber, formler, definitioner osv. er nødvendige at have kendskab til for at forstå, hvad triangulering er? b) Beskriv, hvordan man gør ved at tegne et kort. Husk en præcis og uddybende forklaring af metoden, hvor vigtige begreber fremhæves. c) Hvilke styrker og svagheder er der ved metoden? Sammenlign denne metode med metoderne i de to første dele. Konklusion: Skriv en sammenhængende konklusion om, hvad I er kommet frem til. Husk, at konklusionen skal svare på problemstillingen. Kommentarer til temaopgaven landmåling Denne temaopgave består af tre dele, som tilsammen udgør en projektrapport den følger meget stringent overvejelser om problemfelt, redegørelse for metoder, behandling af problem og konklusion. Formidlingsdelene/ræsonnementet er bundet op til det givne problemfelt og udgør således en del af den undersøgende karakter i projektdelen. Projektrapporten kan sammen med træningsopgaverne udgøre en temaopgave eller indgå med andre opgave i en større temaopgave der også kan pege mere eller mindre frem mod den skriftlige eksamen. Temaopgaven består altså for eleven af træningsopgaverne samt projektrapporten, mens det kun projektrapporten der afleveres og rettes af læreren. Træningsopgaverne kan evt. rettes af andre elever i gruppen eller gennemgås i løbet af timerne. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

14 14 Temaopgave: Klassisk geometri Formål I dette forløb skal du forsøge at bruge matematiske metoder til at nå frem til sammenhænge for geometriske figurer. Disse skal formuleres som matematiske sætninger som du skal argumentere for. Produkt I skal i grupper aflevere en temaopgave på ca. 3 sider bestående af svar på arbejdsspørgsmålene nedenfor. Temaopgaven skal danne baggrund for en fremlæggelse, hvor I skal overbevise jeres klassekammerater om de sammenhænge, sætninger og argumenter I har fundet. Arbejdsspørgsmål Konstruer en tilfældig trekant vha. jeres CAS værktøj, og tegn de tre vinkelhalveringslinjer. Deformer trekanten (ved at flytte rundt på dens hjørner), og undersøg, om I kan afsløre en egenskab ved de tre vinkelhalveringslinjer og deres skæringspunkt. Formuler resultatet som en sætning, og overvej, hvorfor det kan passe. Tegn en cirkel med centrum i vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt, og juster cirklens radius, så den netop rammer alle tre sider i trekanten (dvs. cirklen tangerer siderne i trekanten). Lav så om på trekantens form (ved at trække i et hjørne), og se, om I kan justere cirklen, så den stadig tangerer alle tre sider. Formuler resultatet som en sætning, og overvej, hvorfor det kan passe. (Tilsvarende spørgsmål om midtnormaler og omskreven cirkel, medianer og højder kan tilføjes, hvis det ønskes eventuelt deles ud på forskellige grupper.) Konstruer en firkant, og forbind de fire siders midtpunkter, så der dannes en ny firkant inden i den første. Deformer den store firkant, og hold øje med den lille. Hvad ser der ud til at gælde for den? Prøv at formulere en sætning, der omhandler denne opdagelse, og overvej, hvorfor den kan passe. Arbejdsform: pararbejde Materialer: Noter om klassisk geometri. Kommentarer til temaopgaven klassisk geometri Denne temaopgave er i udgangspunktet en formidlingsopgave, men har ikke en klassisk opbygning. Den indeholder dog både problemfelt, metoderedegørelse, behandling af problem og konklusioner. Og der er eksperimenterende/undersøgende dele, samt krav til ræsonnement. Desuden indeholder temaopgaven en formidlingsopgave, fordi sammenhænge og argumenter skal fremlægges for resten af klassen gennem det nedskrevne. Der kan yderligere indlægges kortere skriveøvelser i den indledende del, f.eks. hurtigskrivning om alt hvad eleverne på forhånd ved om trekanter, og differentiering, hvis dette ønskes. Forud for arbejdet med temaopgaven ligger et kort forløb om klassisk geometri, herunder matematikkens opbygning. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

15 15 Temaopgave: Cosinus og sinusrelationer Formål At arbejde med og forstå et geometrisk bevis. At skrive noter for at skabe overblik over bevis. Træning af mundtlig og skriftlig dimension. Materiale Kopieret materiale fra tre forskellige matematikbøger med de to beviser, samt ti udvalgte eksamensopgaver inden for emnet. Arbejdsform Gruppearbejde. Produkt Mundtlige fremlæggelser for resten af klassen med baggrund i en drejebog, som ikke skal afleveres. Besvarelse af udvalgte eksamensopgaver (som uploades til klassens elektroniske platform). Retning og kommentering af en anden gruppes opgavebesvarelser (som sendes tilbage til gruppen, der har udarbejdet den). Arbejdsgang Studielæs de tre beviser, samtidigt med at I tager noter på et stykke papir. Hvilket af de tre beviser foretrækker I? Redegør for, hvorfor I foretrækker dette bevis (denne forklaring skal med i jeres mundtlige fremlæggelse). Gennemarbejd nu jeres udvalgte beviser, så I kan fremlægge det (lav en drejebog ). Udvælg fem opgaver fra materialet, som I ønsker at løse. Klargør argumenterne for, hvorfor I vælger netop disse opgaver. Forklaringen skal stå som indledning på jeres besvarelse. Udarbejd besvarelsen, og upload den til klassens konference. Hent en anden gruppes besvarelse af fem opgaver ned fra konferencen. Ret og kommenter disse opgaver. Gennemlæs kommenteringen af jeres egne besvarelser Kommentarer til temaopgaven cosinus og sinusrelationer Denne temaopgave indeholder mange forskellige dele. Der indgår skriveøvelser (i den indledende del af bevisførelsen), matematikopgaver (tidligere stillede eksamensopgaver), formidlingsopgaver ( drejebogen til fremlæggelsen, redegørelser undervejs). Retning og kommentering af andre gruppers opgaver inddrager forskellige dele af ovenstående. Alt efter hvordan man ønsker aflevering og fremlæggelse, kan der skrues på de forskellige dele. Herunder hvor meget, der skal rettes af læreren og af elever. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

16 16 Temaopgave: Afstande i plan og rum Formål At skabe overblik over afstandsberegning i plan og rum både med hensyn til beregninger og med hensyn til beviser. Materiale Grundbogens indhold om afstande og afstandsberegning (Jensen, Jessen og Overgård Nielsen: Matema10k A niveau). I skal i gruppen udvælge centrale afstandsberegninger [her kan man som lærer justere, hvad man ønsker skal med]. Desuden skal I vælge en sætning for en afstandsformel, som I ønsker at bevise. Arbejdsform Gruppearbejde. Produkt Skriv en temaopgave, der indeholder oversigt over, hvad I vurderer, der er centrale afstandsberegninger i plan og rum. Rapporten skal indeholde eksempler på afstandsberegninger (enten som opgaver fra bog eller andet eller selvproducerede), og den skal indeholde mindst et eksempel på bevis for sætning for en afstandsformel. Målgruppen for opgaven skal være elever på samme niveau som jer. Rapporten skal være i elektronisk form, så den kan formidles til resten af klassen. Kommentarer til temaopgaven Afstande i plan og rum Denne temaopgave indeholder eksempler på formidlingsopgaver, idet målet er at formidle beviserne. Materialet kan justeres efter ønske. Eleverne kan selv finde eksempler på opgaver, eller de kan få som opgave at konstruere opgaver. Det kan gøre mere eller mindre frit for den enkelte gruppe at vælge sætning, der skal bevises. Denne temaopgave gør det nemt at niveaudifferentiere, da eleverne selv skal vælge, hvilken sætning der skal bevises, og de lægger dermed selv niveauet for temaopgaven og det tilhørende mundtlig eksamensspørgsmål. Det er afgørende, at eleverne får dette at vide på forhånd. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

17 17 Eksempler på eksamensspørgsmål til geometri ud fra temaopgaver Følgende eksamensspørgsmål er formuleret ud fra eksemplerne på temaopgaver i geometri. C niveau B niveau Geometri Redegør for n kanter på baggrund af din temaopgave n kanter. Geometri Redegør for landmåling på baggrund af din temaopgave landmåling. B eller A niveau Geometri Redegør for landmåling på baggrund af din temaopgave landmåling. Fremlæg og bevis cosinusrelationen. A niveau Geometri og vektorer Redegør for klassisk geometri på baggrund af din temaopgave klassisk geometri. Udvælg eksempler på sætninger, og fremlæg mindst ét bevis 1. A niveau Geometri og vektorer På baggrund af din temaopgave afstande i plan og rum skal du redegøre for beregning af afstande i plan og rum. Vælg selv én eller flere sætninger om afstande 1, og bevis den valgte sætning eller de valgte sætninger. 1 Vi har diskuteret, om kravet i formuleringerne er klare nok. Det er naturligvis afgørende, at læreren grundigt orienterer om, hvordan valg har betydning for karakteren. Desuden er spørgsmålet et eksamensspørgsmål på A niveau. Den enkelte elever skal hjælpes til at vælge et eller flere beviser, som vedkommende magter at fremlægge. Del 1: Matematik, temaopgaver og den ny skriftlighed

18 18 Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression Forfattere til del 2: Ulla Jakobsen, Louise Jensen, Ib Michelsen og Camilla Zacho Om gruppens arbejde: I denne gruppe er arbejdet med, hvordan man kan arbejde med skriftlig matematik på flere forskellige måder. Dette betyder at de forslag og ideer som er blevet udarbejdet her, kan finde anvendelse indenfor hele spektret af skriftligt arbejde på ungdomsuddannelserne. Hvor den forrige gruppe havde 16 forskellige temaopgaver er resultatet af anstrengelserne denne gang 16 forskellige former for skriftligt arbejde. Dette kan forhåbentligt give inspiration til at træne eleverne i alt fra skriftlig eksamen over temaopgaver til SRP.: Variation i det skriftlige arbejde I det følgende gives en række eksempler på elementer til variation af det skriftlige arbejde. Eksemplerne er som følger: 1. Vurdering af autentiske elevbesvarelser. 2. Teori koblet til opgaver. 3. Opgaver med indbyggede fejl. 4. Opgaver med gode råd og vink. 5." Stilladseringsopgaver" 6. Mindmaps 7. Find en der. (Cooperative Learning) 8. Hvad har jeg haft om? 9. Konstruktion af spil 10. Brug af Clickers 11. Konstruktion af opgaverr 12. Manuskript til mundtlig eksamen Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

19 19 1. Vurdering af autentiske elevbesvarelser. Skriftlig aflevering over 2 omgange. Løs nedenstående opgave og lav din besvarelse, som du ville gøre til en eksamen. Opgave. Udviklingen i antallet af elever, der har valgt 9.klasse på efterskole i perioden , kan tilnærmelsesvis beskrives ved modellen y = ,06 x, hvor y er antal elever i 9.klasse på efterskole og x er antal år efter 2000 a) Hvad fortæller tallene 6410 og 1,06 om antal elever i 9.klasse på efterskolen? b) Hvor mange elever var der i 9.klasse på efterskole i 2004 ifølge modellen? Kommenter modellen, når det oplyses, at antallet af elever i 2004 var Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til hvert spørgsmål i følgende besvarelser og begrund dit valg. Eksempler på autentiske elevbesvarelser af spørgsmål a): Eksempel 1: Det er konstanter i en eksponentiel udvikling Eksempel 2: Det er nogen tal i en formel der bruges til at beregne hvor mange elever der gik på efterskole efter et vist antal år efter Eksempel 3: Der er tale om en eksponentiel funktion. Tallet 6410 fortæller, hvor mange elever der var i 9.klasse i år 2000, mens 1,06 fortæller, hvor meget elevtallet vokser pr. år. Eksempel 4: b er udgangspunktet (værdien af y ved x aksens 0) 6410 står på b s plads og er altså antallet af elever i år ,06 står på a s plads og er fremskrivningsfaktor. 1,06 svarer til en årlig vækst i elevtallet på 1,06 1 = 0.06 = 6% Eksempel 5: 6410=antal elever i ,06=er hvor meget det stiger med pr. år. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

20 20 Eksempel 6: Tallet 6410 betyder, at der i periodens start, i år 2000, var 6410 elever i 9.klasse på efterskole. Tallet 1,06 betyder at antallet af elever i 9. Klasse på efterskole er steget med 6% om året i perioden Eksempler på autentiske elevbesvarelser af spørgsmål b): Eksempel 1: ,06 4 = 8092,48 Ifølge modellen var elevtallet steget til 8092 i 2004 Modellen er tæt på at være helt præcis. Afvigelsen på 26 er ganske lidt ud af det samlede elevtal og må siges at være plot, når man tager i betragtning hvor mange forhold omkring valg af efterskole, som modellen ikke kan tage højde for. Eksempel 2: y = ,06 4 = 8092 elever I år 2004 var der altså ifølge modellen 8092 elever i 9.klasse på efterskole. Når det oplyses, at der i virkeligheden var 8118 elever, må vi konstatere at 24 modellen vurderer 24 elever eller 0,3% ( = 0,003 = 0,3%) for lavt. Dermed 8118 må modellen siges at ramme meget præcist. Måske også mere præcist end man kan forvente fordi det er tale om en eksponentiel model. Stigningen af antal elever på efterskolen må kun forventes at vokse eksponentielt i en periode fordi der ikke i ændringen i antallet af elever i 9.klasse efterskole ikke i sig selv ligger en eksponentiel vækst. Det må vurderes at være et tilfælde at man kan anvende denne model og modellen må forventes kun at være korrekt i en kortere periode. Eksempel 3: Antal elever i 2004: y = ,06 4 = 8092,48 Der er ca elever i Det oplyses at antallet af elever i 2004 var Det fortæller at elevtallet vokser mere nogle år end andre. Modellen er således ikke helt entydig. Angiv hvor mange point ud af 10, der skal gives til din sidemands besvarelse. Lav din besvarelse (om), så du får flest mulige point. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

21 21 2. Teori koblet til opgaver. Aflevering i eksponentielle sammenhænge a) Beskriv 3 metoder til at finde fremskrivningsfaktoren, når man 1. kender 2 punkter 2. kender vækstraten 3. kender fordoblings eller halveringskonstanten b) En række opgaver der benytter de 3 ovenstående metoder. a) kan evt. diskuteres i slutningen af timen parvis/gruppevis mv. 3. Opgaver med indbyggede fejl. Læreren udarbejder et antal opgaver med indbyggede fejl. Det kan være manglende indledende tekst, konklusioner, enheder, figurer, definition af ukendte størrelser og forskellige former for regnefejl mm. Eleverne retter opgaverne (finder fejlene) enten som en aflevering eller i timerne. Opgave 1. Figuren viser en gavlkonstruktion i et sommerhus. Nogle af konstruktionens mål ses på figuren. a) Bestem længden af bjælkerne AB og BD. b) Bestem længden af bjælken BC samt BCD Besvarelse af opgave 1 (med fejl): Figuren (se opgaven) viser en gavlkonstruktion i et sommerhus. Udsnit af figuren: Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

22 22 B = B = 119 Finder d: d 5 sin(25 ) sin(119 ) d 5 sin(119 o ) sin(25 o ) d 10,34 Finder a: a sin(36 o ) 5 sin(119 o ) a 5 sin(36 o ) sin(119 o ) a = 3,36 dvs. bjælken BD er ca. 3,36 m lang Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

23 23 Nyt udsnit af figuren: Finder x: x 2 = , ,36 cos(65 ) x = 36 3, , 36 cos(65 o ) x 5,5 m ( BCD = C) Finder vinkel C: cos(c ) 6 2 5,5 2 3, ,5 C = 33,6 Opgave 2. På et ur har den store viser og den lille viser længder på henholdsvis 6 cm og 4 cm. Hvor stor er afstanden mellem visernes spidser kl ? Besvarelse af opgave 2 (med fejl): Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

24 24 12 x 6 cm cm x 2 = cos(60 ) x 2 = cos(60 ) x 2 = 28) x = 28 x 5,29 dvs. afstanden mellem den store viser og den lille viser er ca. 5,3 cm 4. Opgaver med gode råd og vink. Løs nedenstående opgave og lav din besvarelse, som du ville gøre til en eksamen. Opgave. En kasse skal laves af en rektangulær metalplade. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

25 25 Pladens længde er 60 cm og pladens bredde er 40 cm I hvert hjørne af pladen fjernes et kvadrat med sidelængde x, og siderne foldes op langs de stiplede linjer og svejses sammen til en kasse. Kassen skal laves, så den får det størst mulige rumfang. a) Find den værdi af x, der giver det maksimale rumfang. Gode råd og vink: 1. Find en formel for længde, bredde og højde ved hjælp af x, 2. Lav en formel for kassens rumfang. Kald rumfanget for V(x). 3. Angiv det mindste og det højeste tal, som x kan være. 4. Lav en monotonilinje for din rumfangsfunktion, V(x). 5. Bestem ud fra monotonilinjen, hvad x skal være for, at rumfanget er størst muligt. 6. Husk enhed i konklusionen. 5. Stilladseringsopgaver (temaopgaver og almindelige opgaver) a) Beregningerne er givet, og eleven skal lave den forklarende tekst. b) Den forklarende tekst er givet, og eleven skal lave beregningerne. c) Udfyldningsopgaver. 6. Mindmaps De to eksempler neden for er autentiske elev producerede mindmaps Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

26 Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression 26

27 27 Mindmaps kan både laves i timerne og som aflevering. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

28 28 7. Find en der. (CL) Find en der.. kan sige Pythagoras sætning med ord Skriv den her: Underskrifter kan formlen for a i lineær vækst Skriv formlen her: kan formlen for a i eksponentiel vækst Skriv formlen her: ved, hvad a i forskriften for et 2.gradspolynomium siger om parablen Skriv svaret her: kan formlen for parablens toppunkt Skriv formlen her: kan fortælle, hvornår man skal bruge cosinusrelationerne til at bestemme en vinkel Skriv svaret her: finde en anden betegnelse for den afledede Skriv betegnelsen her: kan fortælle, hvad a i lineær vækst er med et ord Skriv svaret her: kan fortælle, hvad a i eksponentiel vækst er med et ord Skriv svaret her: kan fortælle, hvad integralregning f.eks. kan bruges til Skriv svaret her: kan forklare, hvad en ligebenet trekant er Skriv svaret her: Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

29 29 8. Hvad har jeg haft om? Skriv ½ 1 side om det emne, du lige har haft om afleveres evt. også til din dansklærer. 9. Konstruktion af spil Vendespil (f.eks. med formler man skal kunne uden hjælpemidler). Brætspil (f.eks. med formler man skal kunne uden hjælpemidler). Kortspil (som dem fra Trip). Bankospil. Puslespil (eksamensopgaver og/eller beviser klippes i stykker; eleverne samler dem i den rigtige rækkefølge). 10. Brug af Clickers Alle elever er tvunget til at skrive noget. 11. Konstruktion af opgaver Eleverne konstruerer selv opgaver, som løses af andre elever i klassen. ( evt. træk en opgave fra hatten og regn den på tavlen). 12. Manuskript til mundlig eksamen Da eksamensspørgsmålene er kendt på forhånd, kan man lade eleverne lave en skriftlig præsentation af ét eller flere eksamensspørgsmål som aflevering. Fokus skal så bl.a. være på, om eleven redegør for centrale dele inden for emnet. har overblik. kan gøre rede for begreber og definitioner (og evt. sætninger og beviser afhængig af niveauet). Kan tolke og opstille modeller. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

30 30 Processkrivning og rettestrategier Fra opgaveformulering til evaluering I det følgende behandles det skriftlige arbejde som evalueres og kommenteres af underviseren. Det skriftlige arbejde har til formål at udvikle elevernes matematiske kompetencer og studieforberedende skrivekompetencer samtidig med, at eleverne tilegner sig faglig viden. Arbejdet med at udvikle elevernes kompetencer gennem det skriftlige arbejde kan tilrettelægges i nogle trin fra udarbejdelse af selve opgaveformuleringen til evaluering af det skriftlige produkt: 1. Udarbejdelse af opgaveformulering med eksplicitte krav til elevens skriftlige produkt. 2. Vejledning og coaching undervejs i skriveprocessen og løbende vejledning af eleverne. 3. Evaluering med specifikt fokus Nedenfor er nogle forslag til, hvordan man kan tilrettelægge de enkelte trin i forløbet, og hvad man bør have i tankerne, når opgaven formuleres; skriveprocessen er i gang, og det endelige produkt evalueres. Trin 1: Eksplicitte krav til det skriftlige produkt Som underviser skal man gøre sig klart, hvad der er opgavens formål, mål og genstandsfelt samt, hvilke formalia og kompetencer der i særlig grad evalueres. For at tydeliggøre de eksplicitte krav til elevens skriftlige produkt bør en opgaveformulering indeholde følgende Beskrivelse af formål, mål og genstandsfelt. Angivelse af specifikke krav og format samt genre. Information om hvilke kompetencer der trænes og evalueres. Beskrivelse af evalueringskriterier. Formål, mål, genstandsfelt, formalia og kompetencer vil variere mellem de forskellige typer af opgaver og inden for en enkelt type af opgaver. Forudsætningen for at eleven kan arbejde målrettet i forhold til evalueringskriterierne er, at eleven ved, hvad de enkelte kompetencer dækker over. Eksempler på opgaveformuleringer kan ses i bilag 1. Trin 2: Skriveprocessen og løbende vejledning af eleverne Som hjælp til at komme i gang med et skriftligt produkt kan eleverne bruge forskellige tænkeskrivningsteknikker som eks. mindmapping, hurtigskrivning, brainstorming m.v. som udgangspunkt for det endelige produkt. En anden mulighed er, at eleverne individuelt eller i mindre grupper arbejder med deres skriftlige produkt i den skemalagte undervisning. Her kan de arbejde med beregninger, bevisførelse, formuleringer og præcision i tekstafsnit, fortolkninger, analyser eller andet kan indgå i den procesorienterede skrivning. For at bevidstgøre eleverne om hvad de forskellige studieforberedende skrivekompetencer dækker over, kan eleverne analysere tekster med henblik på at afdække, hvordan forskellige skrivekompetencer bruges i teksterne, som evt. kan være udarbejdet af eleverne selv. Afhængig af omfang, krav og indhold i det skriftlige produkt har eleverne løbende brug for vejledning fra underviseren. Vejledningen kan være kollektiv eller individuel afhængig af, Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

31 31 hvad elevernes behov er. Hvis eleverne arbejder med den samme opgaveformulering, kan kollektiv vejledning give dem faglige og strukturelle input, men der kan også være behov for individuel vejledning eller vejledning i mindre grupper med forskelligt fokus. I de situationer, hvor eleverne arbejder med forskellige opgaver (differentierede krav), kan den kollektive vejledning især være centreret omkring formalia, mens individuel eller gruppevejledning kan fokusere på det faglige indhold. Respons og coaching Coaching og respons kan udformes på forskellige måder individuelt eller i gruppe og med evaluering fra både underviser og elever. Som eksempel kan eleven/gruppen aflevere et delvist færdigt produkt, en udvalgt del af det endelige produkt eller en genaflevering af et tidligere produkt. Underviseren, en elev eller en gruppe giver mundtlig og/eller skriftlig respons på det afleverede produkt. Respons kan evt. være fra både underviser og elever og have som sigte, at eleverne gennem coaching fra læreren bliver i stand til at give konstruktiv kritik på det faglige indhold, valg af metoder, disposition, notation, om teksten er sproglig korrekt, om tankegangen fremgår klar mm. Gennem coaching og respons vil eleverne blive bevidste om, hvad der karakteriserer et godt og et dårligt skriftligt produkt og kan bruge deres viden til at kvalificere deres egne skriftlige fremstillinger. Ved procesorienteret feedback er det vigtigt, at der er fokus på styrker og svagheder i det produkt, der evalueres, og at eleverne er instrueret i at coache og give hinanden konstruktiv respons. Trin 3: Slutevaluering Evaluering af det skriftlige arbejde skal ske i overensstemmelse med de evalueringskriterier, der er udstukket i opgaveformuleringen og handler både om at evaluere kompetencerne og give konstruktiv kritik, som eleverne kan bruge til at udvikle deres kompetencer. Fokus: Bedømmelseskriterier ved skriftlig eksamen Evalueringskriterierne ved bedømmelse af det skriftlige eksamenssæt er almengyldige uanset, hvilken type skriftligt produkt eleverne arbejder med, og derfor skal de have disse kriterier for øje, når de udarbejder deres skriftlige produkter. For at bevidstgøre eleverne om hvorvidt deres tankegang fremgår klart af det skriftlige produkt, kan man benytte et evalueringsark (se bilag 2.) som følger den enkelte elevs besvarelser, og som udfyldes af underviseren ved bedømmelsen af det skriftlige produkt. Arket skal bruges som et supplement til de kommentarer, der tilføjes i det skriftlige produkt. Evalueringsarket vil over tid give både lærer og elev et indblik i, om eleven er i stand til at lave skriftlige produkter, hvor bl.a. tankegangen fremgår klart. Evalueringsarket vil også tydeliggøre, om der er nogle generelle mangler, som går igen i de skriftlige produkter, hvilket giver eleven mulighed for mere bevidst at arbejde på at forbedre sine skriftlige produkter. Fokus: Anvendelse af IT værktøj Et mere specifikt fokus for evalueringen kan være elevens anvendelse af IT værktøjer som eksempelvis CAS, der giver mulighed for at bruge et interaktivt redskab, hvor forskrifter og variable defineres, kommandoer anvendes, delresultater genbruges, simuleringer foretages, data analyseres osv. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

32 32 Evalueringen skal vurdere i hvilket omfang, eleven udnytter IT værktøjet, og hvilke styrker og svagheder der er i elevens brug af IT værktøjet. Man kan give forslag og eksempler på, hvordan eleven kan udnytte værktøjets faciliteter samt give eleven indsigt i fordele og ulemper ved brug af IT værktøjet. Fokus: Point og opsamling I en skriftlig aflevering som indeholder besvarelser af eksamensopgaver kan underviseren i evaluering nøjes med at angive antal point ud for de enkelte delopgaver i henhold til bedømmelseskriterierne ved den skriftlige eksamen. Når besvarelserne udleveres til eleverne, skal de i par eller mindre grupper gennemgå deres besvarelser og vurdere, hvad der skal tilføjes for at opnå et højere pointtal i delopgaverne. Fokus: Lav en opgave, besvar en opgave og ret en besvarelse Eleverne kan selv prøve at formulere opgaver, og for at de kan vurdere kvaliteten af deres egen opgaveformulering, kan en anden elev besvare opgaven, som efterfølgende bedømmes af den, der oprindeligt stillede opgaven (se bilag 1). Fokus kan være på, om den stillede opgave er meningsfuld og kvaliteten i besvarelsen af opgaven. Som lærer kan man kommentere både opgaveformuleringen, elevbesvarelsen og elevevalueringen. Det giver eleverne mulighed for at sammenligne deres egen bedømmelse med lærerens bedømmelse, og de kan derigennem vurdere i hvilket omfang, de er i stand til at finde fejl og mangler samt styrker og svagheder i en given opgavebesvarelse. Bibliografi Niss, M., Jensen, T. H., Andersen, T. B., Andersen, R. W., Christoffersen, T., Damgaard, S., et al. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning. Undervisningsministeriets forlag. Del 2: Variation i det skriftlige arbejde, rettestrategier og progression

33 33 Del 3: SRP i matematik Forfattere til del 1: Dorthe Agerkvist, Torben Svendsen og Rasmus Østergaard. Om gruppens arbejde: I det forrige udviklingsprojekt var fokus på at nogle generelle overvejelser over det at skrive SRP i matematik. Dette er nu blevet forsøgt uddybet på to måder: For det første er udarbejdet tre forløb om henholdsvis Det Gyldne Snit, Kryptering og Radiaktivt Henfald, som viser hvordan man gennem de tre år på matematik A kan træne eleverne i at skrive SRP gennem mindre opgaver Desuden er der blevet udarbejdet nogle generelle overvejelser over hvad der kendetegner en god SRP og nogle gode råd til, hvordan man gennem læsestrategier andre former for træning i at tilegne sig nyt stof kan forberede eleverne bedst muligt til at skrive en god SRP. Det gyldne snit i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt emne, her det gyldne snit Rammer og vilkår: 6 timer Afslutningsprodukt: Max. 2 sider tekst derudover figurer. Teksten skal være rettet mod elev på tilsvarende trin. Produktet kommenteres af de andre elever. Eleverne sætter sig selv ind i det matematikfaglige, men de undervises i brug af geometriprogram. De undervises også i, hvordan man skriver formler, laver tabeller og indsætter billeder. Aktiviteter Eleverne præsenteres for problemformuleringen samt formålet med forløbet. Eleverne starter med at læse selv om det gyldne snit, fx kap. 1 i Det gyldne snit af Jesper Frandsen, Systime De besvarer små spørgsmål til teksten, herunder skal de lave simple konstruktioner med det gyldne snit i hånden samt indtegne det gyldne snit på et eller flere udvalgte billeder, fx Albrecht Durer The Adoration of the Magi 1504 ( Of The Magi.html). Del 3: SRP og matematik

34 34 Derefter demonstrerer læreren brugen af et geometriprogram (fx geogebra) eller brug af lommeregner til geometriske konstruktioner, og eleverne eksperimenterer selv med størrelsen af det gyldne snit samt at konstruere dette. Så introducerer læreren, hvorledes man indsætter formler i et tekstbehandlingsprogram, kopierer billeder ind i teksten, tegner på billeder osv. Problemformulering: Fortæl om det gyldne snit og giv en definition af dette. Beskriv hvorledes det gyldne snit kan konstrueres, gerne med eksempler. Forklar om sammenhængen mellem det gyldne snit og kunst og/eller arkitektur og giv eksempler på dette. Teksten skal indeholde formler, billeder, billeder med det gyldne snit indtegnet og tabeller, samt være skrevet så en anden elev i 1. g kan læse det uden at vide noget om det gyldne snit på forhånd. Evaluering Teksterne læses og kommenteres af en anden gruppe. Teksten rettes til, og det tilrettede læses af læreren. Der gives ikke karakterer. Succeskriteriet er, at eleverne laver nogle pæne og forståelige tekster. Det gyldne snit i 2. g Mål - Eleverne skal selv lave små beviser og formidle dem skriftligt. Del 3: SRP og matematik

35 35 - Konstruere små eksempler selv. - Eleverne skal bevidstgøres om matematiske metoder, her deduktiv kontra induktiv metode. Rammer og vilkår 10 timer herefter aflevering med løsning af 2. gradsligningen, et eller flere beviser og egne eksempler. Aktiviteter Eleverne skal opstille og løse 2.gradsligningerne. De læser dette selv f.eks. efter Bjørn Grøns noter fra emu en s Noterne er bygget op med mange øvelser undervejs, som eleverne laver selv undervejs. De arbejder selvstændigt og i grupper. Undervejs laver de også selv små geometriske konstruktioner, også i andre geometriske figurer. Derefter skal eleverne selv prøve sig frem med at finde det gyldne snit i geometriske figurer samt i hverdagsting og/eller billeder. Eleverne præsenteres for Fibonaccitallene og opskriver de første 12 tal. Derefter udregner eleverne forholdet mellem de to foregående tal og opdager, at dette nærmer sig det gyldne snit. Så introducerer læreren begreberne induktiv og deduktiv, samt diskuterer disse metoder og deres brug med eleverne. Eleverne arbejder med deres aflevering. De udvælger selv hvilke beviser, de vil have med jf. problemformuleringen, samt konstruerer eksempler selv. Problemformulering I skal præsentere det gyldne snit og give et eksempel på konstruktion af dette. Så skal I løse de gyldne 2. gradsligninger. I skal bevise to selvvalgte egenskaber for Ф og /eller Ф. Desuden skal I lave nedenstående opgave. I skal også give mindst et eksempel fra hverdagen på, hvor man kan møde det gyldne snit. Eksemplet skal I selv finde. Del 3: SRP og matematik

36 36 Som opgaver kan man både bruge konstruktionsopgaver og små beviser. Dette giver en mulighed for at lave undervisningsdifferentiering. Man kan også udlevere et bevis med blanke punkter i, som eleverne så selv skal udfylde resten. Eksempler på beviser: 1. Vis at 1 + Ф 3 = Ф(1 Ф 3 ). 2. Vis at (Ф + 1)(Ф 1) = Ф. 3. Vis at Ф 1 Ф 1 4. Den korte side i en gylden trekant har længden a. Angiv, udtrykt ved Ф, længden af de to længste sider. 5. De lange sider i en gylden trekant har længden a. Angiv, udtrykt ved Ф, længden af den korte side. 6. I den gyldne trekant ABC, hvor siden BC er den korte side, indtegnes vinkelhalverings linien fra B. Denne skærer siden AC i punktet D. Angiv forholdet mellem arealerne af ABC og BDC. Andre forslag kan fx findes i Jesper Frandsen, De(t) gyldne snit. Evaluering Produktet er en skriftlig aflevering til læreren på max. 5 sider. Læreren retter og kommenterer. Der gives karakterer. Del 3: SRP og matematik

37 37 Det gyldne snit i 3. g Mål - Læse og forstå en historisk matematisk tekst og oversætte det til nutidens matematisk sprog - Styrke elevernes bevistekniske evner (induktionsbeviser og rekursionsbeviser) - Øge elevernes metodebevidsthed Rammer og vilkår Et forløb med 10 moduler á 95 min. Aktiviteter: Læreren introducerer Fibonaccitallene og fortæller om sammenhængen med det gyldne snit. Derefter gennemgår læreren små beviser af forskellige typer, fx direkte bevis, induktionsbevis og rekursionsbevis. Eleverne læser beviserne og træner dem mundtligt ved at fremlægge for hinanden i små grupper. Derefter læser eleverne selv en original matematisk tekst og oversætter det til nutidigt sprog. Dette gøres i grupper. Det kunne være kaninproblemet eller hestekøbsopgaverne i Liber Abaci af Fibonacci (se fx Kilder og kommentarer til ligningernes historie, Kirsti Andersen, Trip 1986, s. 135ff), eller beviset for Euklid II, sætning 11 (se fx Jesper Frandsen, De(t) gyldne snit s. 153). Nu får grupperne forskellige sætninger, som de selv skal lave et lille induktionsbevis for. Arbejdet afleveres og læreren retter det. Det kunne fx være: 1. Bevis formlen F 1 + F 3 + F F 2n 1 = F 2n 2. Bevis formlen F 2 + F 4 + F F 2n = F 2n Bevis formlen n 2 = 4. Bevis formlen F n F n+1 F n 2 = F n F n 1 Andre forslag kan fx findes i Jesper Frandsen, De(t) gyldne snit. Bagefter gennemgår eleverne beviserne i matrixgrupper for hinanden. Samtidig udleveres det rettede skriftlige arbejde til de andre elever. Succeskriteriet er, at de andre elever kan læse og forstå beviserne. Evaluering Skriftlig aflevering til læreren, der kommenterer. Eleverne retter det skriftlige, der derefter kopieres og gives til de andre elever i forbindelse med gennemgangen af beviserne. Litteraturliste: Bjørn Grøn: Noter til Det gyldne snit og Fibonaccitallene, placeret på Del 3: SRP og matematik

38 38 Jesper Frandsen, De(t) gyldne snit i kunst, natur og matematik, Systime, 2. udgave Kilder og kommentarer til ligningernes historie, Kirsti Andersen, Trip Kryptologi i 1.g: Formidling af kryptologiske grundbegreber Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal forstå den grundlæggende tankegang inden for basal kryptologi. Det der således er i fokus er vægten på selvstændig tilegnelse af nyt matematisk stof, samt formidling af dette. Det der er centralt er derfor at forstå matematiske begreber og definitioner og selvstændigt formidle disse gennem selvstændige eksempler og forklare disse så en ligemand uden samme specialviden kan forstå det. Plan for fem lektioner om emnet. Lektion 1 Emne: At knække en kode Indhold: Eleverne skal knække kryptotekster først et cæsar skift så en almindelig monoalfabetisk substitution endelig en monoalfabetisk substitution med blokke af længde fem. Nye begreber: 1) Klartekst og kryptotekst 2) Frekvensanalyse, bigram og trigram 3) Monoalfabetisk substitution og additivt kryptosystem (skift) Lektion 2 Emne: Transposition og steganografi Indhold: Præcisering af begreberne transposition, steganografi og substitution Brug af disse begreber omkring det at sikre information på forskellige måder kryptosystem generelt og anvendt på monoalfabetisk substitution Nye begreber: 1) Transposition (stikord: Anagram) 2) Steganografi (stikord: Pin kode, usynligt blæk og 1 bit 3) Substitution 4) Kryptosystem Lektie: 3 Emne: Overvejelser omkring kryptosystemer Indhold: Definition af de generelle kategorier, arbejde med et monolfabateisk kryptosystem truslerne mod monoalfabetisk substitution via frekvensanalyse i islamisk og europæisk middelader og renæssance (religiøse studier, udbredelse af bøger, politiske intriger) Nye begreber: 1) Kryptering og dekryptering Del 3: SRP og matematik

39 39 2) Nøgle og chiffer 3) Kryptografi 4) Kryptoanalyse (stikord: lingvistik, statistiske test) 5) Matematisk problem og bit størrelse 6) Frekvensanalyse (stikord: bigram, trigram) 7) Kerchhoff s princip: Sikkerheden må kun bero på størrelsen af nøglen Lektion 4 Emne: Hvorfor ikke bare monoalfabetisk substitution Indhold: Kigger på forsøg på at reparere monoalfabetisk substitution og hvorfor det slog fejl. Vurdering af trusler, sårbarhed, risici, anvendelighed og størrelse ved monoalfabetisk substitution Nye begreber: 1) Stærk monoalfabetisk substitution (Tomme symboler og fejlstavning) 2) Trusler, sårbarhed og risici 3) Anvendelighed og implementering (stikord: 4) Styrken af koden (stikord: Bit størrelse, NP P problem) 5) Brug af ROT 13 i dag Lektion 5 Emne: Formidling af monoalfabetisk substitution. Indhold: Introduktion til skriftlig øvelse i at formidle deres viden. Eleverne skal svare skrive en besvarelse af følgende Opgaveformulering: Du skal med udgangspunkt i historien om Mary Stuarts cifferskrift forklare monoalfabetisk substitution. Du skal herunder bruge relevante begreber, samt herunder komme ind på hvordan det virker, samt hvorfor man holdt op med at anvende det Litteraturliste: Peter Landrock & Knud Nissen: Kryptologi fra viden til videnskab. Abacus 1997, s.7 35 Simon Singh: Kodebogen. Videnskaben om hemmelige budskaber fra oldtidens Ægypten til kvantekryptering. Oversat af Jan Teuber, Gyldendal 2001 (engelsk udgave 1999), s.9 59 Christopher Swenson: Modern Cryptoanalysis. Techniques for Advanced Code Breakting, Wiley Publishing 2008, s.xiii 6 Del 3: SRP og matematik

40 40 Kryptologi i 2.g: Basal talteori og restklasseregning Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal får kendskab til basale definitioner og sætninger inden for talteori. Foruden en repetition af begreberne fra 1.g er fokus på en selvstændig tilegnelse af nyt matematisk stof, men her vil der komme et øget fokus på at bruge af definitioner og sætninger. Vejen til at gøre dette består i en øvelse omkring en matematisk analyse af affine systemer. Plan for fem lektioner om emnet. Lektion 1 Emne: Affine systemer Indhold: Beskrivelse af skift ved affin afbildning Bestemmelse af invers afbildning til skift Lineær transformation Bestemmelse af invers afbildning til skift (hvornår kan det lade sig gøre) Nye begreber: Affin afbildning, herunder skift og lineær transformation Lektion 2 Emne: Division ved rest Indhold:. Definition af divisibilitet Sætning om division med rest Regning med restklasser (addition og multiplikation) Nye begreber: Divisor, kvotient og multiplum, Modulo og principal rest Lektion 3 Emne: Fælles Divisor Indhold: Euklids Algoritme Nye begreber: Fælles divisior, største fælles divisor og primisk, linearkombination Lektion 4 Emne: Kongruensregning Indhold: Regning med kongruenser forkortelse i kongruenser Nye begreber: Kongruent modulo n, indbyrdes primisk og Eulers φ funktion Lektion 5 Emne: Invers funktion til affin afbildning Indhold: Inverst element og kriterier for inverst element Nye begreber: Inverst element modulo n, kryptoanalyse af affine afbildninger Projektopgave: Som afslutning skriver eleverne en opgaver, hvor fokus er på korrekt brug af definitioner og sætninger, samt en selvstændig formidling af matematisk stof. Opgaveformulering: Du skal redegøre for, hvilke krav man kan stille til a og b, for at den affine afbildning f ( x) ax b(mod 29) beskrive et kryptosystem. Du skal videre bestemme Del 3: SRP og matematik

41 41 den inverse funktion til f, samt redegøre for, hvor mange affine afbildninger der giver et kryptosystem. Endelig skal du gennem egne eksempler vise, hvordan man laver kryptoanalyse af affine systemer. Litteraturliste: Neil Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography (Graduate Texts in Mathematics 114). Springer (1987), s Hele kapitel 3:Cryptography er spændende (men svært til 2.g) Peter Landrock & Knud Nissen: Kryptologi fra viden til videnskab. Abacus 1997, s og s (opgaver om affine systemer anbefales) Kryptologi i 3.g: Enigma og andre kryptosystemer Introduktion: Formålet med forløbet er, at eleverne skal have træning i at anvende den grundlæggende tankegang inden for anvendt kryptologi. Fokus som i 2.g er stadigt mere den selvstændige tilegnelse af nyt matematisk stof, samt formidling af dette. Det der i højere grad end før, er det skriftlige arbejde og muligheden for at bearbejde matematisk stof. Projektopgave: Som træning i at skrive SRP, er fokus her på selvstændig formidling og perspektivering af læst stof, til det materiale, som eleverne har arbejdet med i 1.g og 2.g. Det klart bedste elevmateriale på dansk findes på som specielt for dygtige elever er rigtig god. Man bør overveje at lave løbende retning, så fokus kommer på elevernes produkt. Eleverne skal til sidst besvare følgende opgave: Problemformulering: Du skal først med udgangspunkt i kryptologiske grundbegreber redegøre for, hvordan Enigma fungerer. Du skal dernæst diskutere hvilke matematiske muligheder man fra allieret side havde for at bryde koden. Del 3: SRP og matematik

42 42 Radioaktivitet og sandsynlighed i 1g Mål Eleverne skal efter dette forløb a) have fået en introduktion til modellering b) være i stand til at lave regression med et passende værktøj c) kunne lave tabeller med data og indsætte grafer i et tekstbehandlingsprogram d) sortering af information Aktiviteter Simulering med terninger Der skal et stort antal terninger, der skal gøre det ud for radioaktive kerner. Terningerne kastes og de terninger, der viser 6 er henfaldet og lægges bort. Der kastes igen med de resterende terninger, og igen lægges de henfaldne terninger bort. Således forsættes der et passende antal gange. Til sidst vurderes det, hvor lang tid der er gået med mellem hvert kast. Del 3: SRP og matematik

43 43 På figuren er t tiden, N antal overlevende kerner og t tiden mellem to kast. I løbet af tiden t henfalder 1/6 af kernerne og 5/6 overlever svarende til en fremskrivningsfaktor på 5/6. Det kan anskueliggøres på følgende måde: t t N 5 6 Der altså tale om eksponentiel vækst. Forsøget kan bruges som en introduktion til modellering, herunder forskellen mellem deterministiske og stokastiske modeller. Produktkrav: Tabel med resultater En fitning med den eksponentielle model ved hjælp af regression En passende grafisk fremstilling der kan bruges som bilag til en SRP opgave Simulering med computerprogram Simulering kan udbygges med et passende hjemmelavet computerprogram eller lommeregnerprogram. Programmet skal kunne lave en lodtrækningsprocedure i stil med forsøget med terningerne med forskellige henfaldssandsynligheder. Nedenfor er vist et eksempel lavet i Maple. De røde kasser henfalder til blå kasser. I det viste eksempel er henfaldssandsynligheden 10 % og efter 13 sekunder er der 425 kerner tilbage. Ved hjælp af programmet kan man for en given henfaldssandsynlighed bestemme antal overlevende kerner N til forskellige tider t. Det muliggør en eksperimentel tilgang til begrebet halveringstid. For en eksponentiel model N N a 0 t er halveringstiden bestemt ved Del 3: SRP og matematik

44 44 T log 2 log a Her er a 1 p, hvor p er henfaldssandsynligheden, så T log 2 log 1 p (1) Ved hjælp af simuleringen fås sammenhørende værdier af p og T 1, der kan sammenlignes 2 med (1). Produktkrav: En tabel der præsenterer de væsentligste af de mange data En eksperimentel eftervisning af (1) Tidsforbrug 6 timer Radioaktivitet og sandsynlighed i 2g Mål Formidling af resultater fra simuleringer i dagligdagssprog Aktiviteter Forløbet er planlagt til at finde sted, når eleverne er fortrolige med differentialkvotienten og dens tolkning som en hastighed. Simpelt henfald Først diskuteres ligningen dn k N (2) dt som en model for radioaktivt henfald. Modellen kan afprøves i fx Modellus: Del 3: SRP og matematik

45 45 Modellus kan hentes gratis på Det vil måske være en fordel hvis læreren indtaster modellen på forhånd, så der ikke skal bruges for meget tid på det edb tekniske. Modellen afprøves for forskellige værdier af k og forløbet af grafen undersøges. Produktkrav: En redegørelse for hvorfor (2) er en rimelig model for radioaktivt henfald. En forklaring i dagligdagssprog på hvilken betydning k har for forløbet af henfaldet. Kædehenfald Simulering af kædehenfald, hvor et radioaktivt stof A, henfalder til et andet radioaktivt stof B, der henfalder videre til C, der er stabilt: Systemet kan modelleres med: Del 3: SRP og matematik

46 46 da k 1 A dt db k2 B k1 A dt (3) dc k 2 B dt Igen kan modellen afprøves i Modellus. Nedenfor er vist to eksempler. I begge tilfælde er k1 0,1mens k2 0, 2 idet første tilfælde og k2 0,05 idet andet tilfælde. A B C Produktkrav: En redegørelse for hvorfor (3) er en rimelig model for kædehenfald. En sammenlign i dagligdagssprog af 2 forskellige simuleringer. Tidsforbrug 6 timer Radioaktivitet og sandsynlighed i 3g Mål At kunne formulere beviser. Aktiviteter I 2.g forløbet er det beskrevet hvordan modellen dn dt k N (4) for radioaktivt henfald kan undersøges eksperimentelt ved hjælp af et simuleringsprogram som modellus. Nu er det tid til mere teoretiske overvejelser. Del 3: SRP og matematik

47 47 Differentialligninger Begrebet differentialligninger indføres. (4) løses og der føres bevis for entydighed. Produktkrav En redegørelse for hvordan (4) kan løses og et bevis for eksistens for entydighed. Neutronaktivering Dernæst inddrages en model for neutronaktivering. Ved beskydning af 103 Rb med neutroner dannes 104 Rb, der er radioaktivt. Det giver modellen dn dt k N S (5) hvor S er en konstant, der udtrykker hvor mange 104 Rb, der dannes pr. sekund. Det vises hvordan (5) løses. Produktkrav En redegørelse for hvordan (5) kan løses. Tidsforbrug 10 timer Refleksioner og SRP Det følgende papir er tænkt som nogle mere overordnede overvejelser til arbejdet med SRP. Det er således ikke så konkret, men kan forhåbentligt bidrage til overvejelser og diskussioner om, hvad der kan kendetegne en god SRP. Typer af SRP opgaver Ikke alle studieretningsprojekter er ens. Der er flere genrer eller måder matematikken kan indgå på. Herunder følger fem typer SRP som alle stiller forskellige krav til lærere og elever. Til hver af disse er angivet tre egnede emner og en opgaveformulering. I. Brug af matematik i litterær sammenhæng Emner: Kehlmann: Measuring the World, Mlodinow: The Drunkards Walk og Abbott: Flatland Opgaveformulering: Flatlands [HI MA] Med udgangspunkt i Abbotts Flatland og den vedlagte tekst, ønskes først en redegørelse for Victoriatidens debatter om social klasse og køn.dernæst ønskes med udgangspunkt i Flatland en Del 3: SRP og matematik

48 48 matematisk analyse af, hvordan et to dimensionelt væsen oplever en kegle, som passerer Flatland, samt hvordan et tre dimensionelt væsen oplever en hyperkube passerer Spaceland. Endelig ønskes en vurdering af betydningen af Abbotts værk for sin samtid. II. Brug af simulering eller eksperimentel matematik Emner: Challenger ulykken, Meningsmålinger og Vietnamlotteriet Opgaveformulering: Challengerulykken [HI MA] Du skal først kort redegøre for det amerikanske rumfartsprogram indtil Challenger ulykken med særligt henblik på forholdet mellem NASA og det politiske system. Dernæst skal du gennem simuleringer i Datameter og brug af statistiske test undersøge grundlaget for at man valgte at opsende Challenger. Endelig skal du diskutere konsekvenserne af Challenger ulykken for det amerikanske samfund i almindelighed og NASA i særdeleshed. III. Brug af matematiske modeller Emner: Epidemier, Radioaktivt henfald og økonomisk politik Opgaveformulering: Epidemier og Epidemimodeller [HI MA] Du skal først redegøre for mediernes forskellige scenarier for H1N1 influencen fra foråret Du skal dernæst gøre rede for matematiske modeller, som kan bruges til at modellere H1N1 og dens spredning. Du skal her specielt med udgangspunkt i den vedlagte opgave udlede SI og SIRmodellen og eksakt eller numerisk løse de differentialligninger, som fremkommer på den måde med forskellige valg af parametre. Du skal endelig bruge disse modeller til at forudsige udviklingen af H1N1 i Danmark i perioden og på baggrund heraf diskutere mediernes og dine modellers forudsigelsesevner. Bilag: Opgave: Opstil en differentialligning for I(t) i en simpel SI model, hvor den relative væksthastighed af smittede er proportional med antallet af raske individer og hvor N( t) I( t) S( t). Redegør for karakteristika for løsninger til differentialligningen. IV. Faglig formidling med dansk. Emner: Artikel til Chili, Hjemmeside til Fuglsang Kunstmuseum, Undervisningsmateriale til folkeskoleklasse Opgaveformulering: Formidling af faglig viden om poker [DA MA] Du skal udarbejde en skitse til en hjemmeside med tilhørende undersider med gode råd til, hvordan man som nybegynder bliver en habil pokerspiller. Overvej hvordan man på den første side kan gøre læseren interesseret i at studere hjemmesiden nærmere. Del 3: SRP og matematik

49 49 Hjemmesiden skal rumme elementer, som ville være nyttige at kende for en kommende pokerspiller. Du skal med løsning af de vedlagte opgaver specielt komme ind på sandsynlighederne for udvalgte hænder, på hvornår det kan betale sig at folde/calle/raise og hvordan man læser en modstander ved brug af Bayes sætning. Hjemmesidens målgruppe er den alment interesserede og vidende læser, der gerne vil være en habil pokerspiller. Besvarelsen skal med inddragelse af retoriske og argumentationsteoretiske overvejelser begrunde den valgte formidlingsform i relation til målgruppen. Du bestemmer selv, om begrundelsen indleder eller afslutter besvarelsen. Bilag: Opgaver Opgave 1: Du har to mulige hænder: a) es og 7 b) 8 og 8. Floppet er knight 7 og 3. Er a) eller b) den stærkeste hånd? Opgave 2: Du mener at kunne gennemskue, at en anden spiller med 15 % sandsynlighed er en galning, som raiser 90% af sine hænder. Med 85 % sandsynlighed er han en mere normal person, som raiser 15 % af sine hænder. I første runde undlader han at raise. Hvad er sandsynligheden for han er en galning alligevel? Opgave 3: Du har hånden es og 4. Floppet er knægt 3 og 8. Alle checker. Det fjerde kort er 5. En spiller før dig better. Skal du folde, calle eller raise? V. Matematik i kulturel eller historisk sammenhæng. Emne: Islamisk videnskab, den naturvidenskabelige revolution og the Calculus Wars Opgaveformulering: Islamisk Matematik Der ønskes først en redegørelse for et udvalg af forskellige teorier om forholdet mellem islam og videnskab med særlig vægt på matematikken. Dernæst ønskes gennem en redegørelse for arbejder af matematikerne Al Khwarizmi, Khayyam og al Kashi en analyse af matematikkens rolle indenfor Islam. Du skal i forbindelse hermed løse den vedlagte opgave. Endelig ønskes en diskussion af, hvilke af de førnævnte teorier der i lyset af denne analyse bedst stemmer overens med det teorier, der blev redegjort for i starten af opgaven. Bilag: Opgave: Vis at den procedure Omar Khayyam beskriver til at løse En terning og sider er lig med et tal svarer til at løse ligningen x p x p q. Vis også at ligningen kan løses ved at bestemme skæringspunktet mellem en bestemt parabel og en bestemt cirkel. Del 3: SRP og matematik

50 50 Afsluttende kommentar: Matematik og SRP Matematik i SRP kræver som antydet ovenfor andet end de kompetencer der er i spil til skriftlig eksamen. Blandt disse bør specielt nævnes den selvstændige udvælgelse, tilegning og formidling af matematisk stof. Vil man gøre eleverne klar til SRP er det derfor nødvendigt at arbejde med andre genrer end traditionelle skriftlige afleveringer i den daglige undervisning. Hvordan dette kan gøres vil kort blive behandlet i det følgende. Tilegnelse af nyt stof Foruden et godt emne er det helt centralt at eleverne lærer at læse og forstå matematik på egen hånd. Skal de lære det, må man bruge tid på at lære dem det. Et eksempel på en skabelon til brug i timerne kan være følgende fra Egå Gymnasium 2010: Sådan læser man en matematisk tekst Matematiske tekster adskiller sig fra de fleste andre fags tekster. De er tit komprimerede og bygget meget systematisk op. Man vil ofte ikke kunne forstå et givet afsnit uden at have læst og forstået det foregående. De naturvidenskabelige lærebøger indeholder for det meste både teoriafsnit, beviser, eksempler og øvelser/opgaver. Hvordan studielæser du et eksempel? Eksempler er gennemgåede/gennemregnede problemstillinger i relation til den behandlede teori. Disse eksempler hjælper dig til at lære at takle opgaver ved at vise dig, hvordan forskellige problemstillinger kan løses. Gennemgå eksemplerne grundigt så du er sikker på, at du har forstået løsningsmetoden for den pågældende problemstilling. Dette gøres ved selv at regne eksemplet igennem og få styr på hvad der sker undervejs. Hvordan studielæser du et bevis? Lav to kolonner på dit papir i den venstre skriver du beviset ned linje for linje, i den højre skriver du forklaringer på hvad der sker fra linje til linje i beviset (evt. hvilke sætninger/regneregler der benyttes). Derefter skal du i kolonnen til højre kolonne markere hvis der optræder gode ideer, som bærer hele beviset og nedenunder kan du evt. opsummere de bærende elementer i beviset i to tre sætninger. Hvordan bruger du lærebogen når du skal løse opgaver? Start med at bruge bogens stikordsregister til at finde den relevante teori. Led efter eksempler (sandsynligvis i samme afsnit) med problemstillinger, der ligner. Øvelser og opgaver vil ofte have en problemstilling svarende til de gennemgåede eksempler. Har du forstået gennemgangen i eksemplet vil du være godt rustet til at løse opgaven. En sværere opgave kan være opbygget således, at du skal kombinere løsningsmetoder fra flere eksempler. Efterhånden som du bliver mere rutineret, kan du sikkert nøjes med formelsamlingen. Del 3: SRP og matematik

51 51 Hvordan læses brødteksten i en matematikbog? Matematiske tekster skal læses og bearbejdes bid for bid. Ofte må du standse op og arbejde særligt med et bestemt afsnit. Indimellem gælder det måske blot en enkelt tekstsætning. Lige som ved al anden studielæsning kan man ikke nøjes med bare at læse lektien igennem en gang eller to. Den skal gennemarbejdes. Hav blyant og papir liggende ved siden af, når du læser. Undervejs vil du få brug for at skrive, regne og tegne. Det kan være noter du laver til senere brug og for at kunne indlære stoffet, og det kan være skitser og udregninger. Det er helt afgørende, at du øver dig i lektiens teoretiske stof ved f.eks at stille hv spørgsmål, på den måde kan du høre dig selv i vigtige begreber. Stil dig selv følgende spørgsmål hver gang du læser lektier: Hvad handler teksten om? Hvilke vigtige formler (f.eks. beregningsformler, kemiske stofformler) er der i teksten? Er der nye begreber, hvad betyder begreberne? Hvilke forkortelser og symboler bruges der evt. for begreberne? Hvordan hænger begreberne sammen? Kører du helt fast, skal du notere ned, hvad problemet er, så du kan stille præcise spørgsmål til din lærer i den følgende time. Det bedste du kan gøre er at genlæse teksten samme dag, som du har fået den gennemgået. Tænk kritisk forstod du stoffet? Og husk forbered dig også lige op til næste lektion. Andre former for skriftlighed i forbindelse med SRP: Der er flere former for skriftlighed, der kan bruges i SRP, men som man normalt ikke arbejder med skriftligt. Som eksempler på, hvordan man enten i timerne eller gennem skriftlige afleveringer kan træne disse genrer kan nævnes at eleverne skal kunne: 1. Opstille en matematisk model ud fra en tekst 2. Genskrive et bevis med manglende udregninger og forklaringer 3. Omskrive en matematisk tekst til almindeligt dansk 4. Oversætte en kilde med matematik til moderne notation Bemærk at alle disse opgaver er på et højt SOLO-taksonomisk niveau, hvor eleverne kombinerer deres viden inden for de forskellige emner. Eksempler på hvordan dette kan trænes kunne være 1. At opstille SIR-modellen [Baktoft: Matematik i virkeligheden s.47-48] Del 3: SRP og matematik

52 52 2. At bestemme løsningsformlen for tredjegradsligningen [Kilder til ligningernes historie s.175f] 3. At oversætte værdier for middelværdier, som fremkommer ved simulering af en H 0 - hypotese. til normalt dansk 4. Fortolkning af konstanterne i en harmonisk svingning eller en logistisk vækst, hvor konstanterne er bestemt ved regression. 5. At oversætte uddrag af Omar Khayyams Algebra [Kilder til ligningernes historie s ] Vurdering af SRP: SOLO taksonomi og Kompetencer Selv om det er læreplanens mål der bestemmer karakteren for en SRP, synes det nye fokus på en SOLO taksonomi at have sine fordele specielt i opgaver hvor den anvendte matematik fylder meget. For eleverne er det erfaringsmæssigt sværere end man tror, at gennemføre modelleringsprocesser. Her kan skemaer over en SOLO taksonomi hjælpe se MATHIT s.23, men også graden af beherskelse af de mere generelle matematikkompetencer kan være en målestok se Niss: Kompetencer i matematiklæring s.45. For at opsummere vær mere bred i forståelsen af, hvad der kendetegner god matematik. Det vil gøre det nemmere at finde samarbejdspartnere og give elever en mere fair bedømmelse. De 10 bud til SRP: 1. Fornuftig brug af IT værktøjer og CAS programmer til tegninger og til at skrive tekst og formler, som ser ordentligt ud. 2. Selvstændigt arbejde med beviser, Vælg beviser med muligheder for selvstændighed dvs. egne mellemregninger, forklaringer og figurer. 3. Brug af egne og relevante eksempler, dvs. vælg egne tal eller opgaver fra bøger i stedet for eksempler fra bøger. 4. Brug af originale matematiske kilder, frem for lærebøgers oversættelse af matematikeres arbejde, kan gøre mere triviel matematik til SRP stof. 5. Holde fokus i udvælgelsen af stoffet, så der kommer en rød tråd gennem opgaven og omfanget overholdes. 6. Korrekt brug af notation og symboler, herunder ikke kun skrive jeg solver ligningen. Brug ikke CAS notation før og efter de beregninger, som CAS programmet laver. 7. Binde fagene sammen så der både er enkeltfaglige og fællesfaglige spørgsmål. [se de fem eksempler ovenfor] 8. Beherske de forskellige repræsentationsformer i form af tabeller, grafer, ligninger og tekst. 9. Bruge korrekt matematisk terminologi, herunder forståelse for og formidling af disse udtryk. 10. Brug af modeller og simulering inden for sandsynlighedsregning og differentialligninger til data behandling og teoretisering/generalisering. Del 3: SRP og matematik

53 53 Videre henvisninger: Tim Nielsen: Erfaringer med studieretningsprojektet, LMFK bladet 4/2010 som bl.a. diskuterer den gode opgaveformulering. Kurt Jensen & Mette Nørholm Jessen: Studieretningsprojekt i matematik og dansk, LMFK bladet 6/2009. Om SRP i kombination med dansk med udgangspunkt i formidling af matematik til en given målgruppe På findes materiale om de generelle overvejelser til arbejdet med AT og SRP projekt.html har gode ideer og henvisning til inspirationsmateriale Jørgen Dejgaard & Jes Sixtus m.fl.: MATHIT. En inspirationsbog til anvendelse af computer i matematikundervisningen, Matematiklærerforeningen 2010 Mogens Niss m.fl. (red.): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til matematikundervisning i Danmark (Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie 18), UVM 2002 Del 3: SRP og matematik

54 54 Bilag 1: Eksempler på opgaveformulering til del 2 Polynomier I første del af dette opgavesæt skal du arbejde med de forskellige regneregler og sætninger som vi har arbejdet med i forbindelse med forløbet om polynomier. Du skal kunne kvadratsætningerne, nulreglen, løse en andengradsligning vha. diskriminanten og diskriminantformlen, bestemme koordinater til parablens toppunkt samt have viden om hvordan konstanterne a, b, c og d "styrer" parablens udseende og antal løsninger til andengradsligningen alt sammen uden brug af hjælpemidler. Hvis du har svært ved at bruge kvadratsætningerne, skal du i hver delopgave med kvadratsætninger lave en mellemregning, som hjælper dig til at regne rigtigt, men som også giver mulighed for at jeg kan se hvor eventuelle fejl opstår, og for at jeg kan kommentere og hjælpe dig til at kunne bruge kvadratsætningerne. Anden del af opgavesættet er en formidlingsopgave baseret på det eksperimentelle arbejde i TI interactive, hvor du har arbejdet med polynomier, parablers udseende, toppunktets placering, nulpunkter m.m. Formidlingsdelen skal indeholde følgende Opsamling og konklusion på eksperiment i Gyldendals Gymnasiematematik. Diagrammer som illustrerer dine iagttagelser og konklusioner vælg et passende antal. Tre forskellige måder som et andengradspolynomium kan skrives på og udbyttet heraf. Tekst på mellem 300 og 400 ord formuleret på almindeligt dansk. Evalueringskriterier: I bedømmelsen vil der blive lagt vægt på om tankegang fremgår klart af besvarelsen, hvilket blandt andet vurderes ud fra kravene i de fem kategorier Tekst Notation og lay out Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion Der vil også blive lagt vægt på følgende Sproglig korrekthed Disposition Håndtering formler, herunder at kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold Anvendelse af it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Del 3: SRP og matematik

55 55 Under motorhjelmen på en klimamodel Referat af foredraget Undermotorhjelmen på en klimamodel i forbindelse med Naturvidenskabsfestivalen. I denne aflevering indgår en formidlingsopgave, hvor I skal demonstrere at I har viden om anvendelse af matematik inden for klimamodellering, at I har forståelse for modelleringsprocessen og at I kan tale matematik. Når man arbejder med modellering forsøger man at beskrive virkeligheden nogen gange med stor succes og andre gange uden held, og nogen gange i et omfang som til en vis grad beskriver virkeligheden. I processen med at opstille og anvende en model af virkeligheden behandler man typisk fem forskellige områder: 1. Den matematiske model beskriver en situation fra virkeligheden 2. Den matematiske model angiver sammenhænge mellem variable størrelser fra virkeligheden (tid, pris, temperatur, hastighed, befolkningstal ) 3. Den matematiske model indeholder parametre (kilometerpris, startgebyr, begyndelsestemperatur, årlig rente i procent, ) der er karakteristiske for den situation fra virkeligheden, der skal beskrives. 4. Modellen kan have et begrænset gyldighedsområde 5. En model kan bruges til at give større indsigt i og overblik over den situation fra virkeligheden, der skal beskrives, og anvendes fx til prognoser og andre beregninger. I grupper skal I lave et referat af foredraget Under kølerhjelmen på en klimamodel og en analyse af klimamodellen i forhold til de fem områder der behandles ved modellering. Teksten skal have en længde på ord, og skal afleveres elektronisk i Lectio. Nyttige links fra DMI som I måske kan bruge til afleveringen (der er nogle figurer): og Del 3: SRP og matematik

56 56 Det gyldne snit og Fibonacci tallene Vi får brug for viden om det gyldne snit når vi skal på studierejse til Firenze med dansk og når der skal skrives SRO i musik og matematik, og derfor skal I frem til vinterferien arbejde i grupper med Det gyldne snit og Fibonacci tallene. Modulplan gruppearbejde i timerne Mandag den 7/2 Gruppearbejde: Side 1 3 Definitioner + øvelse 1 3. Onsdag den 9/2 Gruppearbejde: Side 3 5 Øvelse Torsdag den 10/2 Gruppearbejde: Side 6 Øvelse 7 Mandag den 14/2 Gruppearbejde: Side 7 8 Øvelse 8 12 (medbring en pc per gruppe) Onsdag den 16/2 Gruppearbejde: Side 8 11 Øvelse (vi springer øvelse 14 over) Skriftligt arbejde 4 elevtimer Der udarbejdes et gruppe produkt som indeholder udvalgte ræsonnementer og beviser fra undervisningsmaterialet og som afleveres onsdag den 2. marts i første modul. Se boks på næste side. Løbende evaluering med feedback fra CZ Undervejs i forløbet skal I aflevere udkast til dele af det endelige produkt, som jeg læser igennem, retter og kommenterer inden næste modul. Mine rettelser og kommentarer skal indarbejdes i det endelige produkt. Onsdag den 9/2 Aflevere udkast til besvarelse af øvelse 1+2 Torsdag den 10/2 Aflevere udkast til besvarelse af øvelse Mandag den 14/2 Aflevere udkast til besvarelse af øvelse 7.1 eller 7.2 Onsdag den 16/2 Aflevere udkast til besvarelse af øvelse 13 Faglige mål, kernestof og supplerende stof I skal kunne: håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer på grundlag af trekantsberegninger og udnytte dette til at svare på givne teoretiske spørgsmål redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori Kernestoffet er regningsarternes hierarki og forholdsberegninger i ensvinklede trekanter. Det supplerende stof omfatter et deduktivt forløb om det gyldne snit og Fibonaccitallene, og en smule matematik-historie. Del 3: SRP og matematik

57 57 Krav til afleveringen Alle tekstafsnit formuleret i et korrekt, klart og tydeligt sprog. Alle øvelser skal ledsages af indledende og forbindende tekst, læsevenligt layout, forklaringer og mellemregninger og konklusioner præsenteret i et klart sprog. Der arbejdes så vidt muligt i eksakte værdier. Alle beviser opstilles med to spalter: en venstrespalte med de matematiske trin og en højrespalte med forklaring af de matematiske trin. Indhold: Indledning om det gyldne snit, hvor det forklares hvad et gyldent rektangel er og hvad det gyldne snit er. Øvelse 1 Øvelse 2 samt en sætning knyttet til øvelsen Øvelse 4 Øvelse 5 inklusiv vellignende skitser. Øvelse 6 inklusiv geometriske konstruktioner vha. passer og lineal. Øvelse 7.1 eller 7.2 inklusiv skitse. Introduktion af Fibonaccitallene og deres relation til det gyldne snit, herunder en kort beskrivelse af hvordan Fibonaccitallene fremkommer og eksemper herpå. Øvelse (ikke øvelse 14) Afrunding af projektet Udkast afleveres løbende se planen på forrige side Det endelige projekt med de indarbejdede rettelser og kommentarer afleveres 2. marts. Samspil med andre fag Musik (SRO) og Dansk (studierejse) På sigt er det meningen at I skal kunne demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling Desuden skal det supplerende stof og samspillet med andre fag (musik og dansk) perspektivere og uddybe kernestoffet samt udvide den faglige horisont. Del 3: SRP og matematik

58 58 Stil en opgave, få den løst og bedøm den Opgave 1 Du skal selv formulere en opgave inden for integralregning. Opgaven skal indeholde to delspørgsmål a og b og skal være på niveau med eksamensopgaverne inden for emnet. Find inspiration i hæftet med vejledende eksamensopgaver eller i B2 arbejdsbogens opgaver (side 66 til 74). Din opgave skal du give elektronisk til den elev der står efter dig på klasselisten og uploade til Lectio senest mandag den 12. april. Opgave 2 Du har selv modtaget en opgaveformulering af den elev der står før dig på klasselisten. Besvar opgaven og aflever den elektronisk senest onsdag den 14. april til den elev du fik opgaven af. Opgave 3 Du skal bedømme besvarelsen, dvs. at du skal kommentere og rette besvarelsen og vurdere i hvilket omfang besvarelsen lever op til de faglige mål som er beskrevet på nedenfor. Kommentarer og rettelser noteres på en papirversion af besvarelsen. Det endelige produkt der afleveres til mig skal indeholde Din egen opgaveformulering Elevbesvarelse af opgaven Dine tilføjede kommentarer og rettelser En kort vurdering af i hvilket omfang elevens besvarelse lever op til de faglige mål Bedømmelse og faglige mål Bedømmelsen er en vurdering af, i hvilket omfang elevens præstation lever op til de faglige mål: Eleverne skal kunne: håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold anvende forskellige fortolkninger af stamfunktion og forskellige metoder til løsning af differentialligninger anvende it værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Del 3: SRP og matematik

59 59 Bilag 2: Evalueringsark til bedømmelsen af skriftlige produkter til del 2 Del 3: SRP og matematik

60 Del 3: SRP og matematik 60