Indledende obligations- og rentestrukturanalyse

Transkript

1 Indledende obligations- og rentestrukturanalyse Christian Riis Flor Claus Munk Første version: januar 1997 Denne version: januar 2007 Undervisningsnote til faget Finansiering (tidligere finansiering/investering) på HA-, mat.øk.- og Ha-dat-uddannelserne på Syddansk Universitet. Vi takker Anders Damgaard, Leif Dydensborg, Bjarne Graabech Sørensen samt tidligere studerende for rettelser og bemærkninger til tidligere versioner. Yderligere kommentarer modtages gerne. Lektor ved Institut for Virksomhedsledelse og Økonomi, Syddansk Universitet, Campusvej 55, 5230 Odense M. Telefon: Fax: Internet hjemmeside: Professor ved Institut for Virksomhedsledelse og Økonomi, Syddansk Universitet, Campusvej 55, 5230 Odense M. Telefon: Fax: Internet hjemmeside:

2

3 Indhold Forord 7 1 Indledning Introduktion Standardprincipper for afvikling af lån Annuiteter Stående lån Serielån Det danske pengemarked og obligationsmarked Pengemarkedsinstrumenter Det danske obligationsmarked Danske statsobligationer Danske realkreditobligationer Øvrige obligationer på det danske marked Særlige regler om udtrækning Konventioner Kurs og effektiv rente Definitioner Kurs og effektiv rente på standardobligationer Valør på et terminstidspunkt Valør mellem to terminstidspunkter Beregning af effektiv rente Rentestruktur, diskonteringsfunktion og forwardrenter Indledende bemærkninger

4 4 Investering i obligationer 4.2 Ingen-arbitrage princippet Diskonteringsfaktorer og nulkuponobligationer Nulkuponrenter og forwardrenter med årlig rentetilskrivning Nulkuponrenter og forwardrenter med flere rentetilskrivninger pr. år Nulkuponrenter og forwardrenter med kontinuert rentetilskrivning Bestemmelse af rentestrukturen på baggrund af observerede obligationspriser Forklaringer på rentestrukturens udseende Variabelt forrentede obligationer Måling og styring af renterisiko Risici ved obligationsinvesteringer Macaulay-varighed Macaulay-varighed for standardobligationer Valør på et terminstidspunkt Valør mellem to terminstidspunkter Macaulay-konveksitet Effektiv rente og Macaulay-risikomål for porteføljer af obligationer Om anvendeligheden af Macaulay-risikomålene Fisher-Weil mål for renterisiko Andre risikomål Beskatning af obligationsafkast Indledende bemærkninger Pensionsafkastbeskatningsloven Kursgevinstloven Metoder til opgørelse af skattepligtige kursgevinster Nøgletal efter skat Realkreditobligationer og -lån Obligationslån vs. kontantlån Generelt om konverterbare obligationer Konvertering af danske realkreditobligationer Rentetilpasningslån FlexLån Afdragsfrie lån

5 Indhold 5 Løsninger til test-dig-selv 115 Opgaver 119 Litteratur 128 Indeks 133

6

7 Forord Ændringerne i denne udgave knytter sig primært til de nye rentekonventioner på det danske obligationsmarked, der er blevet indført pr. 8. februar 2001, og enkelte referencer er blevet fornyet. I forhold til tidligere udgaver er Christian Riis Flor blevet medforfatter. Odense, august 2004 Christian Riis Flor Enkelte referencer er blevet fornyet, og der er tilføjet et indeks. Endvidere gives som noget nyt en kort behandling af afdragsfrie lån. Som et pædagogisk tiltag er der tilføjet en række test-dig-selv spørgsmål i slutningen af hvert kapitel. Løsninger til disse spørgsmål kan findes i slutningen af noten. Odense, januar 2007 Christian Riis Flor

8

9 Kapitel 1 Indledning 1.1 Introduktion Dette skrift beskæftiger sig med værdiansættelse af aktiver, der giver anledning til en eller flere fremtidige betalinger, hvis størrelse og tidsmæssige placering er kendt. Sådanne aktiver siges at have en deterministisk betalingsstrøm. I den indledende investeringsteori, som behandlet i f.eks. Christensen og Sørensen (2005), antages de betragtede investeringer netop at have en deterministisk betalingsstrøm. I praksis vil der ved de allerfleste realinvesteringer være en betydelig usikkerhed om de fremtidige betalinger. Ved en lang række finansielle investeringer, f.eks. i aktier, vil der ligeledes være en vis usikkerhed om de fremtidige betalinger fra aktivet. Der findes imidlertid også en række finansielle aktiver, der lover ejeren en deterministisk betalingsstrøm. De typiske eksempler er obligationer og bankindskud til en fast rente. Strengt taget vil også betalingerne fra disse aktiver være forbundet med en vis usikkerhed. For eksempel kan ejeren af en obligation risikere, at udstederen af obligationen går konkurs og dermed ikke kan betale de lovede beløb. Til andre obligationer kan der være tilknyttet betingelser eller rettigheder, der gør, at den aftalte betalingsstrøm kan erstattes af en anden betalingsstrøm. Disse aktiver værdiansættes typisk i første omgang som om betalingsstrømmen er helt sikker, og derefter kan man så forsøge at justere værdien for at tage højde for usikkerhedselementerne. De allerfleste aktiver med en deterministisk betalingsstrøm har karakter af et lån. Udstederen af aktivet optager et lån, mens ejeren af aktivet har krav på ydelser bestående af renter og afdrag på lånet. Typisk giver afviklingen af lånet anledning til en betalingsstrøm en ydelsesrække der falder indenfor en af tre klasser: annuiteter, stående lån og serielån. I Afsnit 1.2 vil vi genopfriske disse låntypers

10 10 Investering i obligationer karakteristika. I Kapitel 2 vil vi se nærmere på de finansielle aktiver, der med lidt god vilje kan siges at give deterministiske betalingsstrømme. I den forbindelse vil vi beskrive det danske pengemarked og det danske obligationsmarked. Dernæst vender vi os i Kapitel 3 imod værdiansættelsen af deterministiske betalingsstrømme. Værdien af en sådan betalingsstrøm opgøres som nutidsværdien af de fremtidige betalinger med passende diskonteringsrente(r). Begreberne kurs og effektiv rente defineres, og vi udleder sammenhænge mellem disse to størrelser for annuiteter, stående lån og serielån. De relevante diskonteringsrenters afhængighed af løbetiden danner en kurve, der benævnes rentestrukturen. I Kapitel 4 defineres rentestrukturen mere præcist, og begreberne diskonteringsfunktion, nulkuponrente og forwardrente introduceres, ligesom sammenhængen mellem rentestrukturen og markedspriserne på obligationsmarkedet diskuteres. Selvom et aktiv giver kendte fremtidige betalinger, er den fremtidige værdi af aktivet usikker, såfremt der er usikkerhed omkring de fremtidige diskonteringsrenter. I Kapitel 5 studerer vi forskellige mål for obligationers renterisiko og ser på hvorledes disse mål kan bruges til styring af renterisikoen. For enhver investor er det naturligvis betalingsstrømmen efter skat, der er relevant. I Kapitel 6 gennemgås kort de danske regler for beskatning af obligationsafkast. Kapitel 7 beskriver de særlige forhold for danske realkreditlån og -obligationer nærmere, herunder diskuteres også konverterbare obligationer og rentetilpasningslån. Skriftet afsluttes med en række opgaver. 1.2 Standardprincipper for afvikling af lån Vi vil i dette afsnit kort repetere de typer af betalingsstrømme, der fremkommer ved afviklingen af annuitetslån, stående lån og serielån. Flere detaljer og eksempler kan ses i Christensen og Sørensen (2001). Vi vil generelt lade n betegne antallet af resterende betalingstidspunkter. Betalingen eller ydelsen på det j te af disse betalingstidspunkter (regnet fra i dag og frem i tiden) betegnes med Y j. Ydelsen er sammensat af en rentebetaling I j og et afdrag Z j, således at Y j = I j + Z j for alle j = 1,2,...,n.

11 1.2 Standardprincipper for afvikling af lån Annuiteter En annuitet afvikles med lige store ydelser i hver termin, dvs. Y j = Y for alle j. Med en nominel værdi på 100, n resterende terminer og en terminslig nominel rente på R, bliver den terminslige ydelse (1.1) Y = 100α 1 n R, hvor 1 n α = (1 + R) j = n R j=1 1 (1 + R) n. R Rentebetalingen i en termin er den terminslige nominelle rente multipliceret med restgælden efter forrige terminsydelse. Umiddelbart efter den j te termin er resten af ydelsesrækken præcis en annuitet med n j resterende terminer og terminslig ydelse Y = G j α 1. Restgælden efter j terminer er derfor n j R G j = Y α n j R = 100α 1 n R α n j R, og rentebetalingen i termin j + 1 bliver således I j+1 = R G j = RY α n j R = 100R α 1 n R α n j R. Afdraget er forskellen mellem den samlede ydelse og rentebetalingen, altså Z j+1 = Y I j+1 = Y RY α n j R = Y (1 Rα ) n j R ( ) 1 (1 + R) (n j) = Y 1 R R = Y (1 + R) (n j) = Y (1 + R) n (1 + R) j. Specielt er Z j+1 = (1 + R)Z j, så afdraget vokser geometrisk over lånets løbetid. Eksempel 1.1 Betragt en (fiktiv) 8% annuitetsobligation med udløb 15/ og én årlig termin. Den 20/ har denne obligation fem resterende terminer, så den terminslige (=årlige) ydelse er Y = 100α 1 = % Størrelsen α n R kaldes også annuitetsfaktoren, se f.eks. Christensen og Sørensen (2001).

12 12 Investering i obligationer Termin Afdrag Rente Ydelse ¾ Tabel 1.1: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 1.1. Ydelsesrækken på denne dato er derfor (pr. 100 kroner nominel værdi) som vist i Tabel 1.1. Der er tre interessante grænsetilfælde af en annuitet: (a) R = 0: Da α n for R 0 (brug f.eks. l Hôspital s regel eller definitionen), bliver ydelsen Y = 100/n, hvilket også er indlysende, når der ikke skal n R betales renter. 2 (b) n = 1: Da er α n=1 R = 1 (1 + R) 1 R = (1 + R)(1 (1 + R) 1 ) (1 + R)R = R (1 + R)R = R, så ydelsen i den eneste resterende termin bliver Y = 100α 1 1 R = 100(1 + R), altså hovedstolen 100 plus en rentebetaling på 100R. (c) n : Da α n R 1 R for n, bliver ydelsen Y = 100R, dvs. der betales kun renter af restgælden lånet afdrages aldrig. Et sådant lån kaldes for uamortisabelt eller for en evigtvarende annuitet. 2 l Hôspital s regel siger følgende. Lad f og g være to kontinuert differentiable funktioner, hvor begge funktioner er defineret på en mængde, der indeholder punktet z 0. Antag at f(z 0) = g(z 0) = 0, men at g (z 0) 0. Så er lim z z0 f(z) g(z) = f (z 0 ) g (z 0 ). Såfremt f (z 0) = g (z 0) = 0, men g (z 0) 0, så er f(z) lim = z z0 g(z) limz z f (z) = f (z 0 ) 0 g (z) g (z 0 og så fremdeles (under forudsætning af at funktionerne kan ) differentieres tilstrækkeligt mange gange).

13 1.2 Standardprincipper for afvikling af lån 13 Termin Afdrag Rente Ydelse Tabel 1.2: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel Stående lån Stående lån indfries fuldt ud ved udløb, dvs. der er ingen løbende afdrag. For et stående lån med n resterende terminer, en terminslig pålydende rente på R og en nominel værdi på 100 er ydelserne derfor givet ved 100R for j = 1,2,...,n 1, (1.2) Y j = 100(1 + R) for j = n. ¾ Eksempel 1.2 Obligationen 6% stående lån 2009 (inkonverterbar), som er udstedt af den danske stat, har én årlig termin og udløber 15/ Ydelsesrækken pr. 20/ (pr. 100 kroner nominel værdi) er derfor som vist i Tabel 1.2. Igen betragter vi tre grænsetilfælde: (a) R = 0: når den pålydende rente er nul, er der kun én ydelse på lånet, nemlig hele den nominelle værdi, som betales på udløbstidspunktet. Hele afkastet på et sådan lån fremkommer derfor ved forskellen mellem den nominelle værdi og det udbetalte låneprovenu. (b) n = 1: ydelsen i den eneste resterende termin er 100(1 + R). (c) n : uamortisabelt lån.

14 14 Investering i obligationer Termin Afdrag Rente Ydelse Tabel 1.3: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel Serielån Serielån er karakteriseret ved at have lige store afdrag i hver termin, dvs. Z j = 100 n, j = 1,2,...,n. Renten betales af den til enhver tid værende restgæld. Efter j 1 terminer er der afdraget ialt 100(j 1)/n, så rentebetalingen i den j te termin er ( I j = 100R 1 j 1 ), j = 1,2,...,n, n hvor R er lånets terminslige nominelle rente. Den samlede ydelse i den j te termin er derfor ( ( 1 (1.3) Y j = Z j + I j = 100 n + R 1 j 1 )), j = 1,2,...,n. n ¾ Eksempel 1.3 Betragt en (fiktiv) 12% S 2007 obligationen, der er en serieobligation. Den har én årlig termin og udløber 15/ Pr. 1/ er der tre resterende terminer, så ydelsesrækken (pr. 100 kroner nominel værdi) er som vist i Tabel 1.3. Lad os igen betragte tre grænsetilfælde: (a) R = 0: de resterende ydelser er alle lig 100/n. (b) n = 1: ydelsen i den eneste resterende termin er 100(1 + R). (c) n : uamortisabelt lån. Ved at sammenligne grænsetilfældene for de tre hovedtyper af betalingsstrømme kan vi konkludere, at for lån med én resterende termin eller med uendeligt mange resterende terminer er afviklingsprincippet irrelevant.

15 1.2 Standardprincipper for afvikling af lån 15 Den lille hurtige test-dig-selv (a) Hvad forstås ved en deterministisk betalingsstrøm? (b) Givet ydelsen Y j og afdraget I j, hvad er da afdraget? (c) Hvad karakteriserer en annuitet? (d) Hvor meget ændrer rentebetalingerne sig ved de forskellige terminer for et stående lån? (e) Hvor meget ændrer afdragene sig ved de forskellige terminer for et serielån? (f) Hvad betyder afviklingsprincippet for et uamortisabelt lån?

16

17 Kapitel 2 Det danske pengemarked og obligationsmarked 2.1 Pengemarkedsinstrumenter Pengemarkedet er et marked for forskellige typer af lån og indskud af typisk meget store beløb med kort løbetid (normalt op til ét år). Deltagerne i markedet er primært Nationalbanken og pengeinstitutter, og pengemarkedet kaldes således ofte for inter-bank markedet. En del store erhvervsvirksomheder og institutionelle investorer (pensionskasser, forsikringsselskaber m.m) deltager dog også. Markedsaktørerne bruger først og fremmest pengemarkedet til indbyrdes likviditetsudjævning. Nationalbanken deltager for at påvirke de korte renter som et led i pengepolitikken. Rentedannelsen på pengemarkedet influerer på pengeinstitutternes ind- og udlånsrenter og har derfor også stor betydning for virksomheders og privatpersoners låneomkostninger. Handler på pengemarkedet sker direkte ved kontakt mellem to parter, evt. ved brug af en pengemarkedsmægler. Parterne kan naturligvis indgå præcis den aftale, der passer dem bedst, men oftest anvendes de følgende typer af handler: Et deposit er en låneaftale mellem to pengeinstitutter over en given periode uden sikkerhedsstillelse. Sådanne aftaler svarer til de aftalelån eller aftaleindskud privatpersoner eller virksomheder kan lave med pengeinstitutter. En repo eller genkøbsforretning er et udlån mod sikkerhed i obligationer. Långiveren har fuld dispositionsret over obligationerne i lånets løbetid, men er naturligvis forpligtet til at tilbagelevere en tilsvarende obligationspost ved lånets tilbagebetaling. Nationalbanken tilfører normalt likviditet til pengeinstitutterne en gang om ugen i form af genkøbsforretninger af 14 dages løbetid. Den tilbudte rente kaldes

18 18 Investering i obligationer for genkøbsrenten, reporenten eller bare udlånsrenten. Nationalbanken udbyder desuden indskudsbeviser, hvorved pengeinstitutter kan placere penge i Nationalbanken i 14 dage. Renten på disse indskudsbeviser er identisk med udlånsrenten. Dermed kan Nationalbanken opsuge likviditet. Indskudsbeviserne kan sælges tilbage til Nationalbanken mod et mindre fradrag i prisen. Pengeinstitutterne kan desuden placere penge i Nationalbanken på en foliokonto, som de frit kan hæve på. Renten på disse konti kaldes foliorenten. 1 En valutaswap er et bytte af deposits i to forskellige valutaer. Den ene part køberen af valutaswappen låner et kronebeløb mod aflevering af udenlandsk valuta, typisk dollars, til den anden part sælgeren af valutaswappen. Når lånet udløber, får køberen den udenlandske valuta tilbage mod at aflevere kroner. En valutaswap svarer derfor til en repo med sikkerhed i udenlandsk valuta. En FRA (Forward Rate Agreement) eller renteterminskontrakt er en aftale om et fremtidigt lån i en bestemt periode til en rente fastlagt ved aftalens indgåelse. Repo er, deposits og valutaswaps har typisk løbetider på 1, 7 og 14 dage, 1, 2, 3, 4, 5 og 6 måneder, men 9- og 12-måneders deposits og valutaswaps anvendes også. 2 FRA-aftaler omfatter normalt 3-måneders lån begyndende om 3 eller 6 måneder. Til pengemarkedet regner man også sommetider de såkaldte skatkammerbeviser, som er korte statsobligationer. Disse er beskrevet nærmere i Afsnit 2.3. Priserne/renterne på pengemarkedsinstrumenter relateres ofte til de såkaldte CIBOR-renter (Copenhagen Inter Bank Offered Rate). Disse renter beregnes udfra en række pengeinstitutters stillede rentesatser på lån uden sikkerhed. Nationalbanken opgør hver dag CIBOR for løbetider på henholdsvis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 og 12 måneder. Der findes lignende rentesatser i andre lande, f.eks. bruges LIBORrenter (London Inter Bank Offered Rate) ofte i forbindelse med internationale låneaftaler. Nationalbanken offentliggører desuden en dag-til-dag rente baseret på priser på indskud af 1 dags varighed. Endelig fastsætter Nationalbanken den såkaldte diskonto, som i sig selv primært har signalværdi. I en årrække har diskontoen imidlertid været identisk med foliorenten, der som nævnt ovenfor har overordentlig stor betydning for hele rente- 1 Kun indskud indenfor tildelte rammer forrentes. Det er (fra april 1992) ikke tilladt at have en negativ saldo på en foliokonto. 2 Der handles også valutaswaps med løbetider på over 1 år, men disse er pr. definition ikke en del af pengemarkedet.

19 2.2 Det danske obligationsmarked 19 dannelsen. 2.2 Det danske obligationsmarked Obligationer kan karakteriseres som omsættelige, standardiserede lånebeviser. Låntageren (debitor) udsteder en serie af ensartede obligationer, dvs. obligationer med ens ydelsesrækker. Sålænge der udstedes nye obligationer i samme serie, kaldes serien for åben, ellers lukket. Man kan opfatte det som om låntagerens samlede lån bliver splittet op i mange mindre, ensartede lån, nemlig et lån for hver obligation. Hovedstolen på den del af lånet, som den enkelte obligation svarer til, kaldes obligationens nominelle (pålydende) værdi. På det danske obligationsmarked har de allerfleste obligationer en nominel værdi på 1 øre, omend kurserne traditionelt noteres pr. 100 kroner nominel værdi, eller med andre ord i procent af den nominelle værdi. Obligationens udløbstidspunkt er tidspunktet for obligationens sidste ydelse, altså den sidste termin. Den nominelle (pålydende) rente er den rente, der anvendes ved beregning af de enkelte terminers rentebetaling. Af historiske årsager kaldes den nominelle rente ofte for kuponrenten. Bemærk, at det er obligationens årlige nominelle rente, der angives. Hvis den årlige nominelle rente er R, og obligationen har m terminer pr. år, så er den terminslige nominelle rente lig R/m. En obligation benævnes efter dens afviklingsprincip som en annuitetsobligation, en stående obligation, en serieobligation eller en uamortisabel obligation. En stående obligation med en nominel rente på nul kaldes en nulkuponobligation. Alle andre obligationer kaldes undertiden for kuponobligationer. Hver serie af obligationer, der er noteret på Københavns Fondsbørs, er tildelt en fondskode, som entydigt identificerer serien. Bemærk, at der på Fondsbørsen handles med en afviklingsperiode på tre børsdage, dvs. en handel, der indgås en given dag, har først valør tre børsdage senere, hvor betalingen for handlen så finder sted. 3 Det danske obligationsmarked på Københavns Fondsbørs er blandt de seks-syv største obligationsmarkeder i Europa. Den gennemsnitlige daglige omsætning var i 2003 omkring 28 milliarder kroner fordelt på cirka 5100 daglige handler. De noterede obligationer havde ved udgangen af 2003 en samlet kursværdi på 2559 milliarder 3 Skatkammerbeviserne, som beskrives nedenfor, handles dog med to dages valør.

20 20 Investering i obligationer kroner (og en nominel værdi på 2512 milliarder kroner) Danske statsobligationer Den største enkelte obligationsudsteder på det danske marked er den danske stat. For at finansiere et eventuelt underskud på statsbudgettet og indfri tidligere optagne lån udsteder staten obligationer både på det danske marked (i danske kroner) og på de internationale markeder (både i danske kroner og udenlandsk valuta). I 2003 udgjorde statsobligationerne ca. 25% af obligationsmarkedet målt på kursværdi og ca. 30% målt på omsætning. Medio 2000 var der noteret 22 serier af fast-forrentede danske statsobligationer. Heraf var der 13 stående obligationer, 5 serieobligationer, samt 4 uamortisable obligationer. De stående obligationer betegnes som stående lån eller statsgældsbeviser, afhængigt af obligationernes løbetid ved udstedelsen. De fire uamortisable obligationer blev udstedt omkring 1900-århundredeskiftet og handles ikke særligt ofte. Omsætningen er koncentreret i få udvalgte, såkaldte toneangivende obligationer. I 1999 bidrog statsobligationen 6% stående lån 2009 f.eks. med hele 13% af den totale omsætning på det danske obligationsmarked. De stående obligationer og serieobligationerne har alle én årlig termin (på nær en enkelt serieobligation med to årlige terminer), og de fleste har løbetider på under 10 år, men der handles også en serieobligation med udløb i 2017 og et stående lån med udløb i Udover ovennævnte obligationer udsteder staten også skatkammerbeviser. Hver tredje måned udbyder Nationalbanken en ny serie af skatkammerbeviser ved en åben auktion, hvorefter de optages til notering på Fondsbørsen. Skatkammerbeviserne bærer ingen kuponrente, dvs. der er tale om nulkuponobligationer. Ved udstedelsen har beviserne en løbetid på 9 måneder, så der på ethvert tidspunkt handles tre serier af skatkammerbeviser med løbetider på henholdsvis 0 3 måneder, 3 6 måneder og 6 9 måneder. Investering i skatkammerbeviserne kan ses som et alternativ til et aftaleindskud på pengemarkedet. Skatkammerbeviserne har en nominel værdi på 1 million kroner, og priserne noteres direkte pr. styk, altså pr. 1 million kroner nominelt, fremfor som en pris pr. 100 kroner nominelt. Ydermere handles skatkammerbeviserne med to dages valør, hvorimod alle andre obligationer på Københavns 4 Disse tal er hentet fra Københavns Fondsbørs Fact Book 2004, der gratis kan downloades fra Fondsbørsens hjemmeside

21 2.4 Danske realkreditobligationer 21 Fondsbørs som nævnt handles med tre dages valør. Den samlede omsætning af skatkammerbeviser var i 2003 på 159 milliarder kroner opgjort til kursværdi. Endelig noteres der på Fondsbørsen præmieobligationer, som har interesse for især private investorer. Disse obligationer er ligeledes udstedt af den danske stat. Præmieobligationer er stående obligationer i den forstand, at hovedstolen afdrages på én gang. Det specielle ved præmieobligationer er, at rentebetalingen er ukendt. Den samlede rentebetaling til obligationerne i en given serie af præmieobligationer deles i et vist antal præmier af varierende størrelse, som fordeles til obligationsejerne ved lodtrækning. 2.4 Danske realkreditobligationer En af årsagerne til det danske obligationsmarkeds betydelige størrelse er det danske realkreditsystem. Realkreditinstitutterne yder lån mod pant i fast ejendom. Lånene finansieres ved udstedelse af obligationer. Efterfølgende optages obligationerne traditionelt til notering på Københavns Fondsbørs. Ved udgangen af 2003 var kursværdien af de noterede realkreditobligationer tilsammen ca. 70% af den samlede kursværdi på obligationsmarkedet, og omsætningen af realkreditobligationer udgjorde i 2003 ca. 67% af den samlede obligationsomsætning på Københavns Fondsbørs. 5 Realkreditmarkedet er underlagt en detaljeret regulering ved lov. Der er lovmæssige regler om løbetiden, størrelsen og afviklingsformen på de lån, som realkreditinstitutterne må tilbyde. Realkreditinstitutterne er underlagt et balanceprincip, som siger, at de samlede betalinger, som et institut skal svare obligationsejerne, kun må afvige minimalt fra de samlede betalinger, som instituttet modtager fra låntagerne. Desuden skal realkreditinstitutterne have reserver af en vis størrelse. Obligationerne udstedes i serier, og kreditor/debitor forholdet er i modsætning til markedet for sælgerpantebreve anonymiseret. Der er en stor sikkerhed bag realkreditobligationer. For det første har realkreditinstituterne betydelige reservefonde, som er opbygget på baggrund af låntagernes løbende betalinger af bidrag. 6 Er fondens midler ikke tilstrækkelige til at indfri obligationsejernes krav, må real- 5 Ved udgangen af 2002 var kursværdien af de noterede realkreditobligationer ca = 52%. 6 Udover reservefondsbidragene betaler låntagerne også administrationsbidrag til realkreditinstituttet.

22 22 Investering i obligationer kreditinstituttet tære på egenkapitalen. Rækker dette heller ikke, så er det instituttets låntagere, der serievis hæfter solidarisk for forpligtelserne med de belånte ejendomme. Dette blev sidst taget i anvendelse i 1930 erne, hvor låntagerne i bestemte serier blev opkrævet ekstraordinære reservefondsbidrag. Som en konsekvens af balanceprincippet har realkreditinstitutterne traditionelt anvendt obligationer med samme afdragsprofil og løbetid som de ydede lån. 7 De fleste ydede lån er i øjeblikket fast-forrentede annuitetslån med en løbetid på 10, 20 eller 30 år og fire årlige terminer, hvilket går igen på obligationssiden. Sådanne lån har som beskrevet i Afsnit en konstant ydelse før skat. Da rentebetalingen er fradragsberettiget, og den udgør en faldende del af den samlede ydelse, vil ydelsen efter skat på et annuitetslån vokse i lånets løbetid. Bemærk, at ydelsesrækken for obligationen kan afvige fra en ægte annuitet, hvis serien er åben over flere terminer. 8 Der tilbydes traditionelt to typer af lån: kontantlån og obligationslån. Vi skal beskrive de to typer af lån i Afsnit 7.1. Tidligere måtte realkreditinstitutterne kun yde obligationslån i form af de såkaldte mix-lån, som bestod af en kombination af et annuitetslån og et serielån, således at ydelsen efter skat var nogenlunde konstant i lånets løbetid. Derfor er der på Fondsbørsen også noteret en række serieobligationer udstedt af realkreditinstitutterne. Sammenhængen mellem lån og obligationer er ikke til stede ved de såkaldte rentetilpasningslån, herunder Realkredit Danmarks meget omtalte FlexLån. Også disse lån er typisk annuitetslån, men lånene er finansieret ved udstedelse af en række stående obligationer med en løbetid på højst 11 år. Vi skal se nærmere på denne lånetype og de tilhørende obligationer i Afsnit 7.4. En vigtig egenskab ved traditionelle danske realkreditlån er, at låntageren har ret til at indfri restgælden før udløb ved at opkøbe de bagvedliggende obligationer til kurs 100. Obligationerne siges da at være konverterbare. På nær de fire gamle uamortisable obligationer er alle danske statsobligationer inkonverterbare. Vi ser nærmere på de specielle egenskaber ved konverterbare obligationer i Afsnit Betydningen af balanceprincippet er undersøgt i Grosen (1993). 8 Realkreditserier er typisk åbne i et års tid.

23 2.5 Øvrige obligationer på det danske marked Øvrige obligationer på det danske marked Udover obligationer udstedt af den danske stat og realkreditinstitutterne er der på Københavns Fondsbørs noteret obligationer udstedt af andre kreditinstitutter (Kommunekredit, Danmarks Skibskreditfond) og af en del internationale organisationer, samt den svenske og den finske stat. Enkelte af de sidstnævnte obligationer er noteret i udenlandsk valuta. I modsætning til andre lande (f.eks. USA) er det i Danmark (endnu) ikke særligt almindeligt, at erhvervsvirksomheder udsteder obligationer, men der er dog enkelte undtagelser. Således har virksomheder som Øresundskonsortiet, Storebæltsforbindelsen, Hypotekbanken, FIH (Finansieringsinstituttet for Industri og Håndværk) fået optaget erhvervsobligationer til notering på Fondsbørsen. Enkelte banker har også udstedt erhvervsobligationer for at få supplerende ansvarlig indskudskapital. Erhvervsobligationer afvikles typisk som et stående lån, men der er ofte knyttet særlige bestemmelser til disse lån. 9 Bemærk desuden, at man ved erhvervsobligationer skal tage højde for muligheden for at den udstedende virksomhed ikke er i stand til at betale de aftalte afdrag. Der er altså en konkursrisiko ved at investere i sådanne obligationer. 10 Der er også virksomheder (aktuelt er det TKD og en række banker), som har udstedt såkaldte konvertible obligationer, hvilket er obligationer, hvor obligationsejeren efter nærmere regler kan ombytte obligationen med et antal aktier i den udstedende virksomhed. 11 En anden type af obligationer, som ikke falder ind under de tre standardtyper, er de såkaldte indeksobligationer. De blev indført i 1982, hvor både inflationen og 9 For eksempel har Den Danske Bank udstedt obligationer, hvor ydelserne afhænger af udviklingen i det amerikanske S&P500 aktieindeks! 10 Der er naturligvis også en teoretisk risiko for, at den danske stat går konkurs, men når en stat får betydelige økonomiske vanskeligheder, kan den trykke flere penge. Risikoen for at ejere af statsobligationer ikke får de aftalte ydelser kan således negligeres. Bemærk, dog at den reale værdi af de fremtidige ydelser vil falde, hvis staten øger pengemængden for at kunne betale afdrag på gælden. 11 Bemærk forskellen mellem konverterbare obligationer og konvertible obligationer. Sprogbrugen i diverse avisers kurslister og mange andre steder er dog ikke helt i overensstemmelse med denne sondring. Således kaldes konverterbare obligationer (f.eks. realkreditobligationer) ofte for konvertible obligationer.

24 24 Investering i obligationer renterne var meget høje efter nutidens standard. Den grundliggende idé er, at den underliggende restgæld og/eller ydelsen inflationskorrigeres. Dette giver en sikkerhed for den reale værdi af de fremtidige ydelser, hvor traditionelle obligationer giver bestemte nominelle ydelser. Indeksobligationerne skulle især anvendes til langsigtet finansiering af almennyttigt boligbyggeri og erhvervsbyggeri, men er senere udvidet til finansiering af landbrugsejendomme, skibsbyggeri og konstruktion af vedvarende energianlæg. På grund af de komplicerede lånekonstruktioner, skattemæssige forhold og den senere lave og tilsyneladende stabile inflationsrate har indeksobligationerne ikke fundet den store interesse blandt potentielle investorer. For en nærmere beskrivelse af indeksobligationer henvises til Jensen (2005, Kap. 13). I midten af 1990 erne introducerede Unibank de såkaldte CMO er, hvilket står for Collateralized Mortgage Obligation, på det danske marked. Dette er obligationer, som er udstedt med sikkerhed i en pulje af realkreditobligationer. De samlede betalinger fra denne pulje ligger til grund for betalingerne til CMO erne. CMO erne inddeles i forskellige klasser ( trancher ), og der er bestemte regler for hvorledes de samlede ydelser fra realkreditpuljen fordeles på de forskellige klasser. F.eks. kan der være forskel på den nominelle rente, der anvendes ved beregning af de enkelte klassers ydelser, således at nogle investorer modtager en stor del af deres afkast i form af en rentebetaling, mens andre investorer slet ingen rentebetaling får. Blandt andet på grund af forskelle i beskatningen af de enkelte investorers afkast kan en sådan fordeling være fordelagtig. Der kan også være forskel på den måde de enkelte trancher påvirkes af konverteringer i den bagvedliggende pulje af realkreditobligationer. Der er i øjeblikket noteret et par CMO-serier på Københavns Fondsbørs, men omsætningen i disse obligationer er meget begrænset. 2.6 Særlige regler om udtrækning Den ydelse, som udstederen skal betale til obligationsejerne består af renter og afdrag. Afviklingen af udstederens samlede afdrag til obligationsejerne foregår i princippet ved at hver obligation får den del, der modsvarer deres andel af den totale serie. Denne form for udbetaling af afdrag kaldes for matematisk udtrækning. Ydelsen til den enkelte obligationsejer består derfor af udtrækning og en rentebetaling. De nuværende rentekonventioner i.f.m. udtrækning blev indført d. 8. februar

25 2.6 Særlige regler om udtrækning Et stykke tid før en termin, typisk 1 3 måneder, bliver det publiceret, hvor stor en andel af den samlede nominelle obligationsbeholdning, der bliver udtrukket. For en given obligationsserie benævnes andelen til udtrækning som udtrækningsprocenten. Udtrækningsprocenten er defineret som det procentvise forhold mellem beløbet, der udtrækkes, og den cirkulerende nominelle mængde, og officielt angives den altid med 10 decimaler. Hvis der kun er én termin tilbage, så skal alle obligationerne selvfølgelig indfries. Udtrækningsproceduren er derfor kun relevant for annuitets- og serieobligationer med mere end én tilbageværende termin. Dagen, hvor offentliggørelsen finder sted, kaldes for udtrækningstidspunktet eller publiceringsdagen. De obligationer, der indfries fuldt ud ved den kommende termin, forsvinder fra handlen på publiceringsdagen, hvorefter der udelukkende handles obligationer, som kun tildeles rentebetaling ved førstkommende termin. Dette medfører naturligvis, at de obligationer, der handles på et givet tidspunkt aldrig har fået tildelt udtrækning og derfor stadigvæk har samme nominelle værdi, som da de blev udstedt. For at håndtere afregningen af udtrækningen er stykstørrelsen (den nominelle værdi) af én obligation sat til 1 øre. 13 Ejer man f.eks. 100 kr. nominel værdi af en obligationsserie, betyder stykstørrelsen på 1 øre, at man ejer = stk. obligationer i den pågældende serie. I de følgende eksempler vil vi almindeligvis antage en nominel beholdning på 100 kr. Den del af den terminslige ydelse, som kaldes rentebetaling, skal i princippet kompensere långiveren, dvs. obligationsejeren, for at have stillet restgælden til rådighed for låntageren siden forrige terminstidspunkt. Har obligationen været handlet siden forrige termin, er det imidlertid ikke den samme långiver i hele terminsperioden. Alligevel er det den person, som ejer obligationen på terminstidspunktet, der får hele rentebetalingen udbetalt. For at kompensere for dette skal køberen af en obligation betale sælgeren en såkaldt vedhængende rente på valørdagen. Den samlede pris for en obligation er derfor summen af kursen og den vedhængende rente. Bemærk, at man på obligationsmarkedet regner med den såkaldte faktisk/faktisk konvention, dvs. man bruger det faktiske antal kalenderdage i beregningerne Man kan læse mere om rentekonventionerne og ændringerne i Anker, Pedersen og Sortkjær (2001). 13 Såfremt obligationen er udstedt i euro, er stykstørrelsen 1 eurocent. 14 Tidligere var tidspunktet for retten til renten af historiske årsager 30 dage før terminen. Man

26 26 Investering i obligationer Hvordan beregnes den vedhængende rente? Lad os se et tilfælde, hvor der sker en handel med valør i mellem to terminer. Da får køberen hele rentebetalingen ved den førstkommende termin, selvom sælgeren har ejet obligationen en del af terminsperioden. For at kompensere sælgeren for dette skal køberen på valørdagen betale sælgeren en vedhængende rente på (2.1) v = H R D m s, hvor H er det nominelle beløb, R er her den årlige nominelle rente, D er antallet af faktiske kalenderdage fra og med forrige terminstidspunkt til men ikke med valørdagen, s er det faktiske antal kalenderdage i den nuværende terminsperiode, og m er det årlige antal terminer. 15 Ydelsesrækken for en obligation vil ændre sig betydeligt på udtrækningstidspunktet. Dette er illustreret i det følgende eksempel. Eksempel 2.1 Som beskrevet i Eksempel 1.3 på side 14 er obligationen 12% S 2007 en serieobligation med én årlig termin og udløbstidspunkt 15/ Vi antager, at obligationsejeren har en nominel beholdning på 100 kr. Obligationen har termin den 15/2 2005, og publiceringsdagen for denne termin er 15/ (antagelse i dette eksempel). Ved handler med valør i tidsrummet fra forrige termin, dvs. 15/2 2004, til publiceringsdagen 13/ vil ydelsesrækken derfor være som i Tabel 2.1. Betragtes ydelsesrækken efter publiceringsdagen og indtil næste termin vil obligationsejeren ikke modtage et afdrag på de tilbageværende obligationer, men ejeren vil stadigvæk modtage rentebetalingen hørende til disse. Lad os antage, at udtrækningsprocenten er 2, Obligationsejeren får derfor udtrukket 2,5 kr. på publiceringsdagen, og han har derfor en tilbageværende nominel beholdning siger, at 30 dage før en termin fragår rentekuponen, dvs. at køber man en obligation færre end 30 dage før en termin, så får man ikke nogen rentebetaling udbetalt ved den førstkommende termin. Det gør derimod investoren, der ejede obligationen præcis 30 dage før terminstidspunktet. Køber man en obligation flere end 30 dage før en termin (og beholder den indtil kuponen er fragået), så får man hele rentebetalingen udbetalt, selv om man kun har ejet den en del af terminsperioden. Bemærk endvidere at man på obligationsmarkedet tidligere (før d. 8. februar 2001) regnede med 30 dage pr. måned (og dermed 360 dage pr. år). For en obligation med termin den 15. marts fragår kuponen derfor den 15. februar, uanset det faktiske antal dage i februar. Enkelte obligationsserier benytter stadig denne konvention. 15 Idet der benyttes det faktiske antal kalenderdage, kan terminsperioden variere. Hvis der f.eks. er kvartårlige terminer, vil terminsperioden være enten 90, 91 eller 92 dage.

27 2.6 Særlige regler om udtrækning 27 Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 2.1: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 100 kr. nominel værdi før udtrækning. Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 2.2: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 97,50 kr. nominel værdi efter udtrækning. (efter udtræk) på 97,50 kr. (Hvilket svarer til 9750 stk.) Ydelsesrækken bliver derfor som vist i Tabel 2.2. Ved handel med valør fra terminen den 15/ og indtil næste udtrækningstidspunkt (publiceringsdag) er der naturligvis en termin mindre end ¾ før, og ydelsesrækken for obligationsejeren vil derfor være som i Tabel 2.3. Normalt vil vi dog fastholde 100 kr. som nominel værdi i eksemplerne. I så tilfælde ændres Tabel 2.2 og Tabel 2.3 til Tabel 2.4 og Tabel 2.5. Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 2.3: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 97,50 kr. nominel værdi efter termin d. 15/ og indtil næste udtrækning.

28 28 Investering i obligationer Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 2.4: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 100,00 kr. nominel værdi efter udtrækning. Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 2.5: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 2.1 pr. 100,00 kr. nominel værdi efter termin d. 15/ og indtil næste udtrækning. 2.7 Konventioner På pengemarkedet bruges ved renteberegninger traditionelt simpel rentetilskrivning, og der regnes med det faktiske antal dage. På obligationsmarkedet bruges derimod sammensat rentetilskrivning. På begge markeder opgøres renterne typisk pr. år. For nærmere information om rentesregning henvises læseren til Christensen og Sørensen (2001). I de følgende afsnit om værdiansættelse og risiko vil vi fokusere på obligationer. De anvendte metoder og principper kan imidlertid anvendes på alle finansielle aktiver med deterministiske betalinger. Den lille hurtige test-dig-selv (a) Hvad er en nulkuponobligation? (b) Hvad er forskellen på en konverterbar henholdsvis en konvertibel obligation? (c) Hvad er vedhængende rente, og hvorledes beregnes denne?

29 Kapitel 3 Kurs og effektiv rente 3.1 Definitioner Kursen på en obligation afspejler nutidsværdien af de fremtidige ydelser. Vi kan repræsentere ydelsesrækken som en mængde af par {(t,y t ) t = t 1,t 2,...,t n }, eller kort {(t,y t )} tn t=t 1, hvor t 1,...,t n er den tidsmæssige afstand fra valørdagen til terminstidspunkterne, og Y t er ydelsen på terminstidspunkt t. Her er i dag (analysetidspunktet, f.eks. valørdagen for en handel) normeret til tidspunkt 0. Idet vi skal justere for den vedhængende rente, kan vi generelt udtrykke kursen k som k = NV ( {(t,y t )} tn t=t 1 ) v, hvor NV ( ) angiver nutidsværdien af en ydelsesrække. Bruger vi en konstant diskonteringsrente r (opgjort pr. termin med terminslig rentetilskrivning), er så kursen kan angives som (3.1) k = NV ( {(t,y t )} tn t=t 1 ) = t n t n t=t 1 Y t (1 + r) t, t=t 1 Y t (1 + r) t v. Denne formel giver altså en teoretisk kurs ved en given konstant diskonteringsrente r. Bemærk, at k r < 0 og 2 k r 2 > 0, hvilket betyder, at kursen er en aftagende, konveks funktion af diskonteringsrenten. Et eksempel på kursens afhængighed af diskonteringsrenten kan ses i Figur 5.1 på side 71.

30 30 Investering i obligationer Den effektive rente på en obligation er den konstante diskonteringsrente y, der gør den tilbagediskonterede værdi af obligationens fremtidige ydelser lig anskaffelsesprisen, dvs. markedskursen (handelskursen) plus den vedhængende rente. En obligations effektive rente er således den interne rentefod i ydelsesrækken. Den effektive rente er ofte blevet fortolket som et mål for den faktiske forrentning, der kan opnås ved investering i obligationen, og obligationer er blevet rangordnet på baggrund af deres effektive rente. Der er imidlertid en række problemer ved denne fortolkning og anvendelse. Fortolkningen forudsætter således geninvestering til samme effektive rente, og den effektive rente tager ikke hensyn til investeringens løbetid eller den enkelte obligations afdragsprofil, ligesom usikkerheden om de fremtidige ydelser (pga. udtrækningsproceduren og evt. konverterbarhed) ignoreres. Det kan derfor generelt ikke retfærdiggøres at sammenligne effektive renter for obligationer med forskellige løbetider eller forskellige afdragsprofiler. 3.2 Kurs og effektiv rente på standardobligationer På standardobligationer vil vi i det følgende måle tiden og renten pr. termin, og vi betegner de terminslige ydelser med Y 1,...,Y n. Som nævnt ovenfor antager vi, at den terminslige diskonteringsrente, r, er konstant Valør på et terminstidspunkt Lad os først finde formler for kurserne på standardobligationer, når der er valør på et terminstidspunkt. På et terminstidspunkt er den vedhængende rente nul, så kursen er n k = Y j (1 + r) j. j=1 For en annuitetsobligation er alle ydelserne lig Y j = 100α 1 så kursen bliver (3.2) k = n j=1 100α 1 n R (1 + r) j = 100α 1 n R n R, jfr. formel (1.1), n (1 + r) j = 100α 1 α. n R n r j=1 For en stående obligation er Y j = 100R for j = 1,2,...,n 1 og Y n = 100(1+R),

31 3.2 Kurs og effektiv rente på standardobligationer 31 jfr. formel (1.2). Kursen er derfor n k = 100R(1 + r) j + 100(1 + r) n (3.3) j=1 = 100 (R α + (1 + r) n) n r ( ( R = 100 r + 1 R ) )(1 + r) n. r Ved at lade n i denne formel ses det let, at kursen på en uamortisabel obligation er (3.4) k = 100 R r, dvs. den terminslige rentebetaling divideret med diskonteringsrenten. Ved beregning af kursen på en serieobligation er det lettest først at indse, at en serieobligation med n resterende terminer er lig en portefølje af n stående obligationer, der alle har nominel værdi 100/n, nemlig én som udløber på t = 1, én som udløber på t = 2, etc. Kursen på en stående obligation, der har nominel værdi 100/n og udløber om j terminer, er ifølge formel (3.3) lig k j = 100 ( ( R n r + 1 R ) )(1 + r) j, r så kursen på serieobligationen må være n k = (3.5) = j=1 k j n 100 n j=1 ( ( R r + 1 R ) )(1 + r) j r ( 1 R ) n r = 100 R r + 1 n j=1 ( R = 100 r + 1 ( 1 R ) ) α. n r n r (1 + r) j Bemærk, at for alle typer obligationer gælder der, at kursen bliver 100, hvis den nominelle rente bruges som diskonteringsrente, dvs. hvis r sættes lig R. Kursen er lavere end 100, hvis diskonteringsrenten er større end den nominelle rente, og højere end 100, hvis diskonteringsrenten er lavere end den nominelle rente Valør mellem to terminstidspunkter Ovenstående formler kan relativt let udvides til tilfældet, hvor der ikke er valør på et terminstidspunkt. Lad os først se på tilfældet, hvor ydelsen på førstkommende

32 32 Investering i obligationer terminstidspunkt består af både udtrækning og rente. Antag f.eks. at der er gået t terminer fra forrige terminstidspunkt til valørdagen, dvs. t er et tal mellem 0 og 1. Da er der 1 t terminer til den førstkommende termin, der er 2 t til den efterfølgende, etc. Nutidsværdien på valørdagen af de resterende n ydelser er derfor n n Y j (1 + r) (j t ) = (1 + r) t Y j (1 + r) j. j=1 j=1 Summen på højre side af denne ligning er netop kursen, som den ville have været på forrige terminstidspunkt ved den samme diskonteringsrente, og den kan derfor findes ved at bruge formlerne for kursen på et terminstidspunkt. Betegner vi denne sum med k, er kursen k i dag altså (3.6) k = (1 + r) t k v, hvor v er givet ved (2.1). Kursen i (3.6) kan også udledes på følgende måde. På forrige terminstidspunkt ville kursen være k. Men på et terminstidspunkt er den vedhængende rente 0, så kursen k er netop lig med nutidsværdien på forrige terminstidspunkt. Hvis vi kan forrente denne i t terminer med renten r, får vi netop en nutidsværdi på (1 + r) t k på valørdagen (dvs. tid 0). Den teoretiske kurs findes nu som forskellen mellem nutidsværdien og den vedhængende rente. Eksempel 3.1 Betragt som i Eksempel 1.3 og 2.1 serieobligationen 12% S 2007 med valør 1/ Ydelsesrækken pr. denne dag er som vist i Tabel 2.1 på side 27. Vi vil beregne kursen ved en konstant diskonteringsrente på 4%. Ifølge formel (3.5) ville kursen ved denne diskonteringsrente på forrige terminstidspunkt, dvs. den 15/2 2004, have været k = 100 ( ( ) ) α Husk at t = D s, hvor D er det faktiske antal kalenderdage fra og med sidste terminsdato indtil men ikke med valørdato, og s er faktiske antal kalenderdage i indeværende terminsperiode (fra og med sidste terminsdato indtil men ikke med næste terminsdato). Bemærk at 2004 er et skudår. Lad os først finde D. Antallet af dage fra og med forrige termin er dage i februar (15/2 til 29/2) + (marts + april + maj) + dage i juni = ( ) + ( ) + (1 1) = 107 dage,

33 3.2 Kurs og effektiv rente på standardobligationer 33 så i forhold til terminslængden (1 termin pr. år), er der t = = terminer (år) fra forrige termin. Kursen plus den vedhængende rente den 1/ er derfor k + v = (1.04) Det kan af og til være lettere at regne frem til næste termin, dvs. at regne 1 t ud. Antallet af dage til næste termin er = 259, så i forhold til terminslængden (1 termin pr. år), er der = = 1 t terminer til næste termin. Bemærk at dette stemmer med, at t = Dermed kan vi bestemme kursen plus den vedhængende rente d. 1/ som k + v = (1.04) (1.04) (1.04) Den vedhængende rente er v = H R m t = , så ved valør den 1/ er den teoretiske kurs ved en diskonteringsrente på 4%. k = ¾ Hvis valørdagen ligger efter udtrækningsdatoen for næste termin, får obligationsejeren kun rentebetaling ved førstkommende termin. Hvis vi lader n være antallet af resterende terminer med udtrækning og lader Y 1,...,Y n være ydelserne på disse terminstidspunkter, da kan værdien k af disse ydelser opgjort på den førstkommende terminstidspunkt (hvor vi altså kun får renter) beregnes udfra formlerne for kurser på et terminstidspunkt. Dertil skal vi så lægge rentebetalingen 100R (når den nominelle beholdning er 100 kr.), så nutidsværdien på valørdagen af alle de resterende betalinger bliver derfor k + v = (100R + k )(1 + r) (1 t ). Kursen på valørdagen er derfor k = (100R + k )(1 + r) (1 t ) v, hvor v er givet ved (2.1).

34 34 Investering i obligationer 3.3 Beregning af effektiv rente Den effektive rente på en obligation er som tidligere defineret netop den konstante diskonteringsrente, der gør, at den teoretiske kurs ifølge formel (3.1) bliver lig den aktuelle markedskurs. Opgøres renten pr. termin med terminslig rentetilskrivning, gælder der altså, at (3.7) k + v = Y t (1 + y) t, t=t 1 hvor k nu betegner markedskursen. t n Er der tale om en standardobligation med valør på et terminstidspunkt, kan vi skrive sammenhængen mellem kurs og effektiv rente som n k = Y j (1 + y) j. j=1 For at finde y skal der således findes rødder i et n te grads polynomium. Der kan generelt være op til n reelle rødder, men ifølge Descartes fortegnsregel gælder der, at hvis der kun er ét fortegnsskift i ydelsesrækken, så er der kun én positiv rod. Dette er netop tilfældet for obligationers betalingsrække, hvor den første ydelse er negativ (betaling for obligationen), mens de følgende er positive (rente plus udtrækning). 1 I de foregående delafsnit fandt vi formler for kursen k på de forskellige standardobligationer som funktion af en konstant diskonteringsrente r. For at finde den effektive rente y skal vi finde den værdi af r, der gør, at kursen ifølge formlen bliver lig den aktuelle markedskurs. Selvom sammenhængen mellem kurs og effektiv rente er ganske pæn for disse standardobligationer, må den effektive rente imidlertid normalt beregnes ved hjælp af en numerisk metode. Dette er tilfældet for almindelige annuitetsobligationer, stående obligationer og serieobligationer, idet det ikke er muligt at isolere r i ligningerne (3.2), (3.3) og (3.5). Heldigvis er der mange effektive metoder til at løse én ligning med én ubekendt, f.eks. Newton-Raphson s metode, som er beskrevet i Appendix C i Christensen og Sørensen (2001). Alle moderne regneark har også en sådan metode indbygget som en standardfunktion. I enkelte tilfælde er det dog muligt at løse ligningen (3.7) eksplicit. Det simpleste tilfælde er nulkuponobligationen. For en nulkuponobligation med en nominel værdi på 100, t perioder til udløbstidspunktet og en markedskurs på k gælder (3.8) k = 100 (1 + y) t, 1 Se f.eks. Afsnit 4 i Jensen (2005).

35 3.3 Beregning af effektiv rente 35 dvs. ( ) 100 1/t (3.9) y = 1. k Ved opgørelse af den effektive rente på skatkammerbeviser bruges i praksis to forskellige metoder. For det første obligationsmarkedskonventionen, som følger samme princip som i (3.9). Lad P betegne prisen på et skatkammerbevis, der som nævnt har en nominel værdi på en million kroner, og lad D fak være antallet af faktiske kalenderdage til udløb. Da beregnes den effektive rente efter obligationsmarkedskonventionen, den såkaldte O-rente, som ( ) /Dfak y O = 1, P hvilket er analogt til formel (3.9). En investering i de meget korte skatkammerbeviser sammenlignes ofte med placeringer på pengemarkedet, hvor der traditionelt ikke regnes med renters rente. Derfor opgør man også en effektiv rente efter pengemarkedskonventionen, den såkaldte P-rente. 2 Da er P-renten y P givet ved P = 1 + D fak 365 y P, dvs. ( y P = P ) D fak Eksempel 3.2 Skatkammerbeviset SKBV 05/I udløber den 1/ Prisen torsdag den 19/ var For en handel denne dag er der valør mandag den 23/ Der er = 162 kalenderdage til udløb. O-renten er derfor 3 ( ) /162 ¾ yo = %, mens P-renten er ( ) y P = %. 2 Ovenstående konventioner er taget fra Christensen og Sørensen (2001). Man bør imidlertid være opmærksom på, at specielt på pengemarkedet kan der være varierende konventioner også internationalt. Nogle anvender således faktiske antal dage i forhold til 360 dage, se f.eks. Nordea (2004). 3 Idet skatkammerbeviset første gang er handlet 29/ indeholder året 366 dage.

36 36 Investering i obligationer Den lille hurtige test-dig-selv (a) Hvad er en effektiv rente? (b) Findes der en generel lukket formel til at bestemme den effektive rente? Findes der en lukket formel for den effektive rente for f.eks. en nulkuponobligation? (c) Gør rede for forskellen på O- og P-renten.

37 Kapitel 4 Rentestruktur, diskonteringsfunktion og forwardrenter 4.1 Indledende bemærkninger Værdien af en obligation er naturligvis lig værdien af dens fremtidige betalinger. I Kapitel 3 opgjorde vi værdien ved at diskontere alle de fremtidige betalinger med den samme rente, nemlig obligationens effektive rente. Ser vi på to obligationer, der har de samme betalingstidspunkter, men forskellige effektive renter, vil vi altså diskontere betalinger fra den ene obligation med én rente og betalinger fra den anden obligation med en anden rente. Dette er ulogisk! Værdien af en betaling af en given størrelse på et givet tidspunkt må være uafhængig af fra hvilken obligation betalingen stammer. Vi bør derfor diskontere alle sikre betalinger på et givet fremtidigt tidspunkt med den samme rente. Derimod er der ingen grund til at betalinger, der kommer på forskellige tidspunkter, skal diskonteres med den samme rente. Renten på et lån vil normalt afhænge af lånets løbetid, og på obligationsmarkedet vil korte obligationer normalt have en effektiv rente, der er klart forskellig fra lange obligationers effektive rente. Rentens afhængighed af løbetiden kaldes for rentestrukturen. I dette afsnit vil vi se nærmere på dette og relaterede begreber. Først må vi dog introducere et af de vigtigste principper i den moderne investeringsteori, nemlig ingen-arbitrage princippet. 4.2 Ingen-arbitrage princippet Når man skal finde ligevægtsprisen på et finansielt aktiv eller en vilkårlig anden vare, vil man normalt skulle finde den pris, der afbalancerer efterspørgslen og ud-

38 38 Investering i obligationer buddet. For at kende de enkelte markedsdeltageres efterspørgsel og udbud skal man have kendskab til deres præferencer og deres initialbeholdninger af aktiverne. Ofte er det imidlertid muligt at finde forholdet mellem priserne på forskellige ensartede aktiver uden at kende andet til investorerne, end at de foretrækker flere penge fremfor færre en rimelig antagelse. Lad os tage et eksempel. Lad os sige, at prisen på kobber er 1600 US-dollars pr. ton i København, men 1700 US-dollars pr. ton i London. Det synes derfor umiddelbart at være en god idé at købe kobber i København og sælge det i London. For at gøre det skal man imidlertid flytte kobberet fra København til London, hvilket indebærer udgifter til f.eks. transport og forsikring. Desuden opkræver modparterne i de to handler (mæglere) måske gebyrer. Alle disse udgifter kaldes for transaktionsomkostninger. Hvis transaktionsomkostningerne er mindre end 100 dollars pr. ton, vil det kunne betale sig at købe kobber i København og sælge det i London. I så fald vil man få en risikofri gevinst her og nu uden at have påtaget sig forpligtelser i fremtiden. En sådan strategi kaldes en arbitrage-strategi, en arbitrage-mulighed eller bare en arbitrage. Fortjenesten vil naturligvis blive større, jo mere kobber strategien omfatter. Alle andre vil naturligvis gøre det samme, da de foretrækker flere fremfor færre penge. Der vil derfor være stor efterspørgsel efter kobber i København, hvilket vil få prisen til at stige. Til gengæld vil der være et stort udbud af kobber i London, hvilket vil få prisen dér til at falde. Først når forskellen mellem priserne er mindre end transaktionsomkostningerne vil denne udvikling stoppe. Hvis transaktionsomkostningerne f.eks. er 10 dollars pr. ton, kan der højest være en forskel på 10 dollars mellem prisen i København og prisen i London. De almindelige markedsmekanismer gør altså, at arbitrage-muligheder ikke kan eksistere, i hvert fald ikke i ret lang tid. Princippet om, at priserne fastsættes, så der ikke forekommer arbitrage-muligheder, kaldes for ingen-arbitrage princippet. På markeder for finansielle aktiver som f.eks. obligationer og aktier er transaktionsomkostningerne langt lavere end på markeder for reale aktiver som f.eks. kobber. Der er ingen transportomkostninger og ingen omkostninger forbundet med oplagring af finansielle aktiver. De fleste handler foregår gennem en mægler, der naturligvis tager sig betalt for sine ydelser. Dette foregår i praksis ved, at mægleren differentierer mellem sin salgspris den pris han er villig til at sælge aktivet til (hans ask price) og sin købspris den pris han er villig til at købe aktivet til (hans bid price). For

39 4.2 Ingen-arbitrage princippet 39 hyppigt handlede finansielle aktiver er forskellen mellem salgsprisen og købsprisen, bid-ask spread et, meget lille for store handler. Vi vil derfor fremover helt se bort fra transaktionsomkostninger i forbindelse med finansielle aktiver. Ingen-arbitrage princippet betyder dermed, at to finansielle aktiver (eller mere generelt to porteføljer af finansielle aktiver), der giver anledning til nøjagtigt de samme fremtidige betalinger, må have den samme pris. 1 Bemærk, at ingen-arbitrage princippet ikke fortæller os noget om hvad den fælles pris på de to aktiver eller porteføljer skal være, men kun at de to priser må være ens. Ingen-arbitrage princippet er et af de fundamentale redskaber til at diskutere prisfastsættelse af finansielle aktiver. I dette skrift skal vi bruge det til at se på sammenhængen mellem priser på forskellige obligationer, specielt sammenhængen mellem priser på kuponobligationer og rentestrukturen, der afspejler priser på nulkuponobligationer. Princippet finder også anvendelse i f.eks. Arbitrage Pricing Theory [se f.eks. Grinblatt og Titman (2002, Kap. 6)], Modigliani og Millers resultater om optimal kapitalstruktur [se f.eks. Grinblatt og Titman (2002, Kap. 14)] og ikke mindst i prisfastsættelsen af afledte aktiver [se f.eks. Munk (2000a)]. Lad os se på et simpelt eksempel med obligationer. Antag, at der på et obligationsmarked handles to obligationer udstedt af forskellige institutioner, men med præcis de samme ydelsesrækker. Sådanne to obligationer må have samme pris, ellers vil alle investorer kunne opnå en risikofri fortjeneste ved at købe den billigste og sælge den dyreste af obligationerne. Derved vil prisen på den billigste stige og prisen på den dyreste falde. Kun hvis priserne er ens, er der ingen arbitrage-muligheder. 2 Den nævnte arbitrage-strategi indebærer, at man skal sælge en obligation. Dette er ikke umiddelbart muligt, hvis man ikke allerede ejer obligationen. Sommetider er det imidlertid muligt at sælge et finansielt aktiv, man ikke ejer. Dette kaldes et kort-salg, og man siger, at man går kort i aktivet. Man låner aktivet af f.eks. en børsmægler mod at levere det tilbage igen på et aftalt senere tidspunkt. Når man modtager aktivet, sælger man det og modtager salgsprisen. Når aktivet skal leveres tilbage, må man købe det til den da gældende markedspris. Det kan imidlertid være sket det, at prisen på aktivet er steget, så man taber mange penge på kort- 2 Dette argument forudsætter, at der ikke er forskel på de to udstedende institutioners konkursrisiko. 1 Dette resultat kaldes sommetider for loven om én pris.

40 40 Investering i obligationer salget. Blandt andet derfor undgår mange investorer helt at sælge aktiver kort, og på mange finansielle markeder er der restriktive regler for kort-salg. Bemærk desuden, at vedkommende, som man låner aktivet af, typisk vil kræve en vis sikkerhed (i form af deponering af kontanter eller andre aktiver) for at låne aktivet ud. Lad os vende tilbage til arbitrage-strategien i eksemplet med de to obligationer med ens ydelsesrækker. Hvis man ikke allerede ejer den dyre af obligationerne og ikke har mulighed for at gå kort i obligationen, så kan man ikke gennemføre arbitrage-strategien. Imidlertid vil der være nogle investorer, der allerede ejer den dyre obligation, og de vil kunne opnå en risikofri fortjeneste ved at sælge den og købe den billige i stedet for. De vil tjene forskellen på priserne her og nu og få nøjagtigt de samme betalinger i fremtiden. Eksemplet viser, at det ikke er sikkert, at alle investorer har mulighed for at gennemføre en given arbitrage-strategi, men hvis bare én investor kan, så vil priserne ændre sig indtil de er ens. Lad os se på et andet eksempel. Antag, at der handles to annuitetsobligationer begge med n resterende terminer og en nominel værdi på 100. Obligationernes terminstidspunkter er sammenfaldende. De to obligationer har en nominel rente på henholdsvis R 1 og R 2 og derfor en terminslig ydelse på henholdsvis og Y 1 = Y 2 = 100R 1 1 (1 + R 1 ) n 100R 2 1 (1 + R 2 ) n, jfr. formel (1.1). Lad os f.eks. antage, at n = 10, R 1 = 5% og R 2 = 10%. Da er Y og Y Køber vi nu / styk af 5%- obligationen får vi præcis de samme ydelser som et styk af 10%-obligationen giver. Derfor må prisen på 10%-obligationen være lig (cirka) gange prisen på 5%- obligationen, ellers er der en arbitrage-mulighed. Hvis prisen på 5%-obligationen f.eks. er P 1 = 80 og prisen på 10%-obligationen er P 2 = 96, så er P 2 kun 1.2 gange så høj som P 1. 10%-obligationen er derfor for billig relativt til 5%-obligationen hvilket naturligvis er ensbetydende med, at 5%- obligationen er for dyr relativt til 10%-obligationen. For at udnytte denne afvigelse fra ingen-arbitrage prisforholdet kan vi købe 1000 styk af 10%-obligationen og sælge 1256 styk af 5%-obligationen. Dette giver os en fortjeneste på = 4480

41 4.3 Diskonteringsfaktorer og nulkuponobligationer 41 her og nu. På ethvert af obligationernes terminstidspunkter modtager vi en ydelse på 1000Y fra de købte obligationer, men må betale 1256Y til ejeren af de obligationer, vi har solgt. De fremtidige netto-betalinger er stort set nul (og ihvertfald ikke negative), så den foreslåede strategi er en arbitrage-mulighed. Vi vil altid kunne finde en arbitrage-mulighed, hvis forholdet mellem priserne på de to obligationer er forskellig fra de , vi fandt i foregående afsnit. Bemærk, at den ovenstående diskussion drejer sig om forholdet mellem obligationernes priser og ikke deres kurser. Den vedhængende rente for 10%-obligationen vil naturligvis altid være dobbelt så stor som den vedhængende rente for 5%-obligationen. Ingenarbitrage forholdet mellem kurserne vil derfor være forskelligt fra det i teksten fundne ingen-arbitrage forhold mellem priserne. Bemærk igen, at ingen-arbitrage princippet kun giver os mulighed for at udtale os om, hvad de relative priser på de to obligationer skal være, og ikke hvad de absolutte priser skal være. 4.3 Diskonteringsfaktorer og nulkuponobligationer Lad os antage, at der på de finansielle markeder på et givet tidspunkt (kaldet tidspunkt 0) handles en nulkuponobligation, der med sikkerhed giver 1 kr. t år senere (på tidspunkt t). Prisen på denne obligation betegnes med d(t) og kaldes den markedsbestemte diskonteringsfaktor eller bare diskonteringsfaktoren hørende til tidspunkt t. Så d(t) er markedsværdien på tidspunkt 0 af at få 1 kr. med sikkerhed på tidspunkt t. Funktionen t d(t) kaldes diskonteringsfunktionen (gældende på tidspunkt 0). Bemærk, at d(0) = 1, idet værdien af at få 1 kr. med det samme naturligvis er 1 kr. Idet alle investorer må formodes at foretrække at få 1 kr. på et tidspunkt t fremfor et andet, senere tidspunkt s, vil diskonteringsfunktionen være aftagende, dvs. 1 d(t) d(s) 0, t < s. Diskonteringsfunktionen kan for eksempel se ud som i Figur 4.1 på side 55. Lad os betragte en obligation med ydelsesrækken {(t,y t )} tn t=t 1. Denne obligation kan opfattes som en portefølje af nulkuponobligationer, nemlig Y t1 nulkuponobligationer, der hver giver 1 krone på tidspunkt t 1 plus Y t2 nulkuponobligationer, der hver giver 1 krone på tidspunkt t 2, og så videre. Hvis der for ethvert betalingstidspunkt t i handles en sådan nulkuponobligation, der med sikkerhed giver 1 kr. på tidspunkt

42 42 Investering i obligationer t i, da er værdien af hele obligationen givet ved (4.1) P = ellers er der en klar arbitragemulighed. t n t=t 1 Y t d(t), Eksempel 4.1 Betragt en stående obligation med en nominel rente på 7%, én årlig termin og præcis tre år til udløb. Antag der handles nulkuponobligationer med hovedstol 1 kr. med udløb om hhv. 1, 2 og 3 år. Priserne på disse nulkuponobligationer er hhv. d(1) = 0.94, d(2) = 0.90 og d(3) = Ifølge (4.1) skal prisen på den stående obligation være P = = Er prisen lavere end , kan man tjene en arbitrage-gevinst ved at købe den ¾ stående obligation, sælge 7 et-årige, 7 to-årige og 107 tre-årige nulkuponobligationer. Er prisen højere end , kan man tjene en arbitrage-gevinst ved at sælge den stående obligation, købe 7 et-årige, 7 to-årige og 107 tre-årige nulkuponobligationer. Selvom der måske ikke handles alle de pågældende nulkuponobligationer, der skal til for at kunne opfatte sammenhængen (4.1) som en konsekvens af ingen-arbitrage princippet, er sammenhængen alligevel værdifuld. En investor kan måske på baggrund af privatøkonomiske og/eller politiske og makroøkonomiske forhold angive en diskonteringsfunktion, der viser den værdi, som hun tillægger betalinger på forskellige fremtidige tidspunkter. Denne investor kan da ved at bruge formlen (4.1) værdiansætte alle betalingsstrømme på en konsistent måde ved at bruge sin egen diskonteringsfunktion. Markedspriserne på alle obligationer afspejler på tilsvarende vis en markedsbestemt diskonteringsfunktion, som er resultatet af alle investorernes udbud af og efterspørgsel efter de forskellige obligationer. Den markedsbestemte diskonteringsfunktion kan derfor opfattes som et (indviklet) gennemsnit af de enkelte markedsdeltageres diskonteringsfunktioner. I Afsnit 4.7 skal vi undersøge, hvordan vi kan udlede den markedsbestemte diskonteringsfunktion fra priserne på de handlede obligationer.

43 4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med årlig rentetilskrivning Nulkuponrenter og forwardrenter med årlig rentetilskrivning Traditionelt repræsenteres en diskonteringsfaktor med en rente. Givet prisen på en nulkuponobligation, der udløber på tidspunkt t, er den relevante diskonteringsrente mellem nu og tidspunkt t lig den effektive rente på nulkuponobligationen. Denne rente kaldes nulkuponrenten hørende til tidspunkt t. Lad y 1 (t) betegne denne rente opgjort pro anno med årlig rentetilskrivning. Der gælder da følgende sammenhæng (4.2) d(t) = (1 + y 1 (t)) t, jfr. formel (3.8), eller (4.3) y 1 (t) = d(t) 1/t 1, jfr. formel (3.9). Nulkuponrenten som funktion af tiden kaldes for nulkuponrentestrukturen eller bare rentestrukturen. Rentestrukturen kan f.eks. se ud som i Figur 4.2 på side 55. Bemærk, at forskellige rentetilskrivningsfrekvenser vil give forskellige rentestrukturer, men har man lagt sig fast på frekvensen vil der være en entydig sammenhæng mellem diskonteringsfunktionen og rentestrukturen. Diskonteringsfunktionen og rentestrukturen indeholder dermed præcis den samme information repræsenteret på to forskellige måder. Da obligationsmarkedets praksis er at opgøre renter som årlige renter med årlig rentetilskrivning er det typisk funktionen t y 1 (t), der betegnes som rentestrukturen, men en hvilken som helst anden tilskrivningsfrekvens kan bruges. Især i den akademiske verden opgøres renter hyppigt ved kontinuert rentetilskrivning, da dette ofte giver pænere matematiske udtryk. I Afsnit 4.6 ser vi nærmere på kontinuert tilskrevne nulkuponrenter. En nulkuponrente udtrykker prisen på et lån mellem i dag og et givet fremtidigt tidspunkt. En forwardrente er en rente på en i dag indgået aftale om et lån mellem to fremtidige tidspunkter med den egenskab, at nutidsværdien af denne aftale er nul. 3 Sådanne aftaler kendes fra de finansielle markeder i form af FRA er, jfr. Afsnit 2.1. Lad os betragte en aftale om et lån, hvor låneprovenuet udbetales om t perioder, og der skal tilbagebetales en hovedstol på H kroner om s perioder, hvor s > t. 3 Nulkuponrenter kaldes sommetider for spotrenter for at understrege, at de vedrører lån, der begynder med det samme (spot-lån), i modsætning til forwardrenter.

44 44 Investering i obligationer Låneprovenuet per kr. af hovedstolen kaldes for F(t, s). Nutidsværdien af denne aftale er F(t,s)Hd(t) Hd(s) = H[F(t,s)d(t) d(s)] kr. Hvis nutidsværdien skal være nul, må der gælde, at (4.4) F(t,s) = d(s)/d(t), hvilket kan fortolkes som den diskonteringsfaktor, der er gældende i dag (tidspunkt 0) for tilbagediskontering af sikre beløb fra tidspunkt s til tidspunkt t. 4 Ønsker vi at repræsentere diskonteringsfaktoren F(t, s) med en pro anno rentestørrelse, må vi igen fastlægge en tilskrivningsfrekvens for renten. Med årlig rentetilskrivning er den relevante forwardrente gældende i dag for perioden mellem tidspunkt t og tidspunkt s, renten f 1 (t,s), der er givet ved sammenhængen F(t,s) = (1 + f 1 (t,s)) (s t). Udnyttes relationen (4.4), har vi derfor (4.5) f 1 (t,s) = ( ) d(t) 1/(s t) 1. d(s) Specielt er forwardrenten for en fremtidig periode af længde 1 givet ved (4.6) f 1 (t,t + 1) = d(t) d(t + 1) 1. Funktionen (og grafen for funktionen) t f t,t+1 kaldes for en-periode forwardrentestrukturen. Bemærk, at eftersom d(0) = 1, er f 1 (0,s) = ( ) d(0) 1/s 1 = d(s) 1/s 1 = y(s), d(s) dvs. at forwardrenten for en periode startende i dag er lig nulkuponrenten for den samme periode, hvilket er intuitivt klart. Indsættes sammenhængen mellem diskonteringsfunktionen og nulkuponrenterne fra formel (4.2) i (4.6), fås (4.7) f 1 (t,t + 1) = (1 + y 1 (t)) t 1, (1 + y 1 (t + 1)) (t+1) 4 F(t,s) er også den teoretiske forwardpris på levering på tidspunkt t af en nulkuponobligation, der giver 1 krone på tidspunkt s. Se Munk (2000a) for mere om forwards på obligationer.

45 4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med årlig rentetilskrivning 45 eller mere generelt f 1 (t,s) = (1 + y 1(t)) t/(s t) 1. (1 + y 1 (s)) s/(s t) Formel (4.6) viser hvorledes en-periode forwardrenterne kan findes ud fra diskonteringsfunktionen. Omvendt gælder der, at (4.8) d(t) 1 = t (1 + f 1 (j 1,j)), t = 1,2,.... j=1 For at vise dette bemærkes først, at (4.6) medfører, at (4.9) d(t + 1) = d(t) 1 + f 1 (t,t + 1). Idet d(0) som nævnt er lig 1, giver (4.9) med t = 0 d(1) = d(0) 1 + f 1 (0,1) = f 1 (0,1). Bruges dette udtryk og formel (4.9) med t = 1 fås d(2) = Fortsættes på samme måde fås d(t) = hvilket også kan skrives som d(1) 1 + f 1 (1,2) = 1 (1 + f 1 (0,1))(1 + f 1 (1,2)). 1 (1 + f 1 (0,1))(1 + f 1 (1,2))... (1 + f 1 (t 1,t)), d(t) 1 = (1 + f 1 (0,1))(1 + f 1 (1,2))... (1 + f 1 (t 1,t)) = som er identisk med (4.8). t (1 + f 1 (j 1,j)), Ved at indsætte (4.2) i (4.8) fås følgende sammenhæng mellem forwardrenter og nulkuponrenter: t (4.10) 1 + y 1 (t) = (1 + f 1 (j 1,j)) j=1 1/t j=1, t = 1,2,..., dvs. 1+y 1 (t) er et geometrisk gennemsnit af 1+f 1 (0,1),1+f 1 (1,2),...,1+f 1 (t 1,t). For eksempel er (4.11) (1 + y 1 (2)) 2 = (1 + f 1 (0,1))(1 + f 1 (1,2)) = (1 + y 1 (1))(1 + f 1 (1,2)). Hvor nulkuponrenten y 1 (t) angiver omkostningerne ved at låne et beløb i t år (uden mellemliggende renter og afdrag), så er forwardrenten f 1 (t,t + 1) et udtryk for den ekstra omkostning, der er ved at forlænge et lån fra t år til t + 1 år.

46 46 Investering i obligationer År, t y 1 (t) 5% 6% 6.8% 7.4% 7.5% d(t) f 1 (t 1,t) 5% % % % % Tabel 4.1: Nulkuponrenter, diskonteringsfaktorer og forwardrenter i Eksempel 4.2. Det er nu klart, at diskonteringsfunktionen, nulkuponrentestrukturen og en-periode forwardrentestrukturen er tre forskellige repræsentationer af den samme information. Kender man diskonteringsfunktionen, kan man finde nulkuponrentestrukturen vha. (4.3) og en-periode forwardrentestrukturen vha. (4.6). Kender man nulkuponrentestrukturen, kan man finde diskonteringsfunktionen vha. (4.2) og en-periode forwardrentestrukturen vha. (4.7). Kender man en-periode forwardrentestrukturen, kan man finde diskonteringsfunktionen vha. (4.8) og nulkuponrentestrukturen vha. (4.10). Eksempel 4.2 På et marked er rentestrukturen givet ved nulkuponrenterne vist i første række i Tabel 4.1. Diskonteringsfunktionen findes vha. (4.2) og en-periode forward-renterne vha. (4.7) til værdierne vist i tabellens anden og tredje række. For eksempel er d(3) beregnet som d(3) = (1 + y 1 (3)) 3 = (1.068) , og forwardrenten for det fjerde år, f 1 ¾ (3,4) er beregnet som f 1 (3,4) = (1 + y 1(3)) 3 (1.068) 3 1 = (1 + y 1 (4)) 4 (1.074) = %. 4.5 Nulkuponrenter og forwardrenter med flere rentetilskrivninger pr. år I nogle situationer opgøres renter ved et vist antal m rentetilskrivninger pr. år. I så fald bruges normalt kvartalsvis (m = 4) eller halvårlig (m = 2) rentetilskrivning. En årlig nominel rente y m (t) ved m rentetilskrivninger pr. år repræsenterer en

47 4.6 Nulkuponrenter og forwardrenter med kontinuert rentetilskrivning 47 terminslig rente på y m (t)/m og dermed en diskonteringsfaktor givet ved ( (4.12) d(t) = 1 + y ) mt m(t), m hvilket medfører, at ( ) y m (t) = m d(t) 1 mt 1. Fra (4.2) og (4.12) følger den velkendte sammenhæng ( y 1 (t) = 1 + y ) m m(t) 1. m På samme måde kan forward-diskonteringsfaktoren F(t, s) defineret i (4.4) udtrykkes ved forwardrenten f m (t,s) med m årlige rentetislskrivninger. Sammenhængen er F(t,s) = (1 + f m (t,s)) m(s t). Ved at følge samme fremgangsmåde som i forrige afsnit kan vi udlede yderligere relationer mellem diskonteringsfaktorerne d(t), nulkuponrenterne y m (t) og forwardrenterne f m (t,s). Udtrykkene bliver dog ikke særlig pæne, så vi vil ikke forfølge dette formål. 4.6 Nulkuponrenter og forwardrenter med kontinuert rentetilskrivning Et hyppigt anvendt alternativ er at opgøre renter pro anno med kontinuert rentetilskrivning. Sammenhængen mellem nulkuponprisen d(t) og den kontinuert tilskrevne årlige nulkuponrente y (t) er givet ved (4.13) d(t) = e y (t) t. Funktionen t y (t) er da også en (nulkupon)rentestruktur, der indeholder præcis den samme information som diskonteringsfunktionen t d(t) og rentestrukturen t y 1 (t) defineret i forrige afsnit. Fra (4.13) har vi umiddelbart, at (4.14) y (t) = 1 ln d(t). t Fra (4.2) og (4.13) har vi følgende sammenhæng mellem den kontinuert tilskrevne og den årligt tilskrevne rente: y (t) = ln(1 + y 1 (t)).

48 48 Investering i obligationer På lignende vis kan forwardrenter opgøres ved kontinuert rentetilskrivning. Med kontinuert rentetilskrivning svarer forward-diskonteringsfaktoren F(t, s) defineret i forrige afsnit til forwardrenten f (t,s) givet ved Indsættes (4.4) og isoleres f (t,s) fås (4.15) f (t,s) = F(t,s) = e f (t,s)(s t). ln d(s) lnd(t). s t Bruges nu relationen (4.13), fås følgende sammenhæng mellem nulkuponrenterne og forwardrenterne ved kontinuert rentetilskrivning: (4.16) f (t,s) = y (s)s y (t)t. s t Specielt er én-periode forwardrenten givet ved (4.17) f (t,t + 1) = y (t + 1)(t + 1) y (t)t. Sommetider er det af interesse at finde forwardrenten for en uendelig kort fremtidig periode begyndende på et givet tidspunkt t, dvs. f (t) = lim s t f (t,s). Denne forwardrente kaldes for den instantane forwardrente, og funktionen t f (t) benævnes forwardrentestrukturen. Lader vi s t i udtrykket (4.15) fås ln d(t) (4.18) f (t) = = d (t) t d(t), hvis diskonteringsfunktionen d(t) er differentiabel i t. Omvendt gælder der, at (4.19) d(t) = e t 0 f (u) du. Sammenhængen mellem den uendeligt korte forwardrente og nulkuponrenterne kan ved hjælp af (4.16) findes til (4.20) f (t) = [y (t)t] t = y (t) + y (t)t, forudsat at nulkuponrentestrukturen y (t) er differentiabel i t. Således afspejler forwardrenten hældningen på nulkuponrentestrukturen. Specielt har vi, at forwardrenten og nulkuponrenten er ens for de tidspunkter, hvor nulkuponrentestrukturen har en vandret tangent. Sammenholdes (4.19) og (4.13) fås omvendt, at (4.21) y (t) = 1 t t 0 f (u)du, dvs. nulkuponrenten er gennemsnittet af forwardrenterne.

49 4.7 Bestemmelse af rentestrukturen på baggrund af observerede obligationspriser Bestemmelse af rentestrukturen på baggrund af observerede obligationspriser På det danske obligationsmarked handles der kun få nulkuponobligationer, nemlig skatkammerbeviserne, samt naturligvis kuponobligationer, der kun har én resterende termin. Desuden er der på pengemarkedet nogle instrumenter, der har karakter af nulkuponobligationer. Alle disse nulkuponaktiver har løbetid på under 1 år. Priserne på disse aktiver indeholder derfor kun information om den korte ende af rentestrukturen. For at få information om resten af rentestrukturen (og også yderligere information om den korte ende) må man inddrage kuponobligationer. I visse situationer er det ligefrem muligt at konstruere syntetiske nulkuponobligationer ved at danne passende porteføljer af handlede kuponobligationer. Sammenhængen (4.1) kan da bruges til at beregne nulkuponpriserne og dermed rentestrukturen udfra priserne på kuponobligationerne. Eksempel 4.3 På et marked handles der to stående obligationer. Den ene udløber om et år og har en nominel rente på 10%. Den anden udløber om to år og har en nominel rente på 5%. Begge har én årlig termin. Den et-årige obligation har en betalingsstrøm som en nulkuponobligation den giver 110 kr. om et år og intet på andre tidspunkter. Andelen 1/110 af denne obligation svarer netop til en nulkuponobligation, der giver 1 kr. om et år. Hvis prisen på denne obligation f.eks. er 100, så er den et-årige diskonteringsfaktor givet ved d(1) = Den to-årige obligation giver 5 kr. om et år og 105 kr. om to år. Den kan derfor betragtes som en pakke af 5 et-årige nulkuponobligationer og 105 to-årige nulkuponobligationer, alle med en nominel værdi på 1 kr. Dermed er prisen på den to-årige stående obligation jfr. (4.1). Isoleres d(2) fås P 2 = 5d(1) + 105d(2), (4.22) d(2) = P d(1). Er prisen på den to-årige stående obligation f.eks. 90, bliver den to-årige diskonteringsfaktor d(2) =

50 50 Investering i obligationer Fra udtrykket (4.22) kan vi se, at vi kan konstruere den to-årige nulkuponobligation som en portefølje bestående af 1/105 enheder af den to-årige stående obligation ¾ og 5/105 enheder af den et-årige nulkuponobligation. Dette er ækvivalent med en portefølje bestående af 1/105 enheder af den to-årige stående obligation og 5/( ) enheder af den et-årige stående obligation. 5 Givet diskonteringsfaktorerne kan nulkuponrenter og forwardrenter beregnes som vist i Afsnit Ovenstående eksempel kan let generaliseres til flere perioder. Denne metode til at bestemme diskonteringsfaktorerne og dermed rentestrukturen kaldes for bootstrapping. Lad os se på en situation, hvor vi har M obligationer med løbetider på henholdsvis 1,2,...,M perioder, én termin pr. periode og samme terminstidspunkter. Da kan vi successivt konstruere nulkuponobligationer og dermed beregne diskonteringsfaktorerne d(1), d(2),..., d(m) ved hjælp af bootstrapping. Først beregnes d(1) ved at bruge den korteste obligation, dernæst d(2) ved at bruge den næst-korteste obligation og den allerede fundne værdi af d(1), og så fremdeles. Givet diskonteringsfaktorerne d(1), d(2),..., d(m) kan vi finde nulkuponrenterne og dermed rentestrukturen op til tidspunkt M. Bootstrapping-proceduren kan også let generaliseres til det tilfælde, hvor de M obligationers løbetider ikke er forskellige og pænt voksende som ovenfor. Bare de M obligationer ialt har højest M forskellige terminstidspunkter, og hver obligation højest har ét terminstidspunkt, hvor ingen af de andre obligationer har ydelse, så kan vi konstruere nulkuponobligationer for ethvert af disse tidspunkter og dermed beregne de relevante diskonteringsfaktorer knyttet til tidspunkterne. Lad os betegne obligation i s (i = 1,...,M) ydelser på tidspunkt j (j = 1,...,M) med Y ij. Nogle af disse ydelser kan være nul, f.eks. hvis obligationen udløber før tidspunkt M. Lad P i betegne prisen på den i te obligation. Fra (4.1) har vi da, at 5 I praksis kan man naturligvis ikke købe eller sælge sådanne brøkdele af en obligation, men ved at gange positionerne op med en passende faktor kan man få en portefølje, der består af et helt antal enheder. I eksemplet kan man ved at danne en portefølje bestående af 110 enheder af den to-årige stående obligation og -5 enheder af den et-årige stående obligation, der har en nettobetaling på nul om et år og på = om to år. Prisen på denne portefølje er = 9400, så prisen pr. krones betaling om to år er 9400 /

51 4.7 Bestemmelse af rentestrukturen på baggrund af observerede obligationspriser51 diskonteringsfaktorerne d(1), d(2),..., d(m) skal opfylde ligningssystemet P 1 Y 11 Y Y 1M d(1) P (4.23) 2 Y = 21 Y Y 2M d(2) P M Y M1 Y M2... Y MM d(m) Betingelserne på obligationerne skal sikre, at ydelsesmatricen i denne ligning er invertibel. Vi kan også for hvert terminstidspunkt j = 1,...,M konstruere en portefølje af de M obligationer, der svarer til en nulkuponobligation, der giver 1 kr. på tidspunkt j. Lader vi x i (j) betegne det antal enheder af obligation i = 1,...,M, der indgår i porteføljen svarende til nulkuponobligationen med udløb på tidspunkt j, skal der gælde 0 Y 11 Y Y j1... Y M1 x 1 (j) 0 Y 12 Y Y j2... Y M2 x 2 (j) (4.24) =, 1 Y 1j Y 2j... Y jj... Y Mj x j (j) Y 1M Y 2M... Y jm... Y MM x M (j) hvor et-tallet på venstre side af lighedstegnet står på den j te plads i vektoren. Der vil naturligvis være følgende relation mellem løsningen (d(1),...,d(m)) til (4.23) og løsningen (x 1 (j),...,x M (j)) til (4.24): 6 M (4.25) x i (j)p i = d(j). i=1 Man kan således først bestemme de syntetiske nulkuponobligationer, dvs. løsningen til (4.24) for enhver værdi af j = 1,...,M, og dernæst bruge (4.25) til at beregne diskonteringsfaktorerne. Eksempel 4.4 I Eksempel 4.3 så vi på en to-årig 5% stående obligation. Antag nu, at der desuden findes en to-årig 8% serieobligation med de samme terminstidspunkter. 6 Med matrixnotation er P = Yd og e j = Y x(j), hvor e j er vektoren på venstre side af (4.24), og de øvrige betegnelser burde være selvforklarende. Symbolet angiver transponering. Derfor er x(j) P = x(j) Yd = e j d = d(j), hvilket er ækvivalent med (4.25).

52 52 Investering i obligationer Ydelsen på denne serieobligation er 58 kr. om et år og 54 kr. om to år. Lad os antage, at prisen på serieobligationen er 98 kr. På baggrund af disse to obligationer kan vi derfor opstille følgende ligningssystem til bestemmelse af diskonteringsfaktorerne ¾ d(1) og d(2): 90 = d(1) d(2) Løsningen er d(1) og d(2) Hvis man mere generelt har M handlede obligationer med ialt N forskellige terminstidspunkter, skal man i (4.23) løse M ligninger med N ubekendte for at finde diskonteringsfaktorerne. Hvis M > N kan man ikke være sikker på, at ligningssystemet har en løsning, dvs. man kan måske ikke finde diskonteringsfaktorer, som stemmer overens med alle de M obligationers priser. I så fald vil der kunne konstrueres en arbitrageportefølje i obligationerne. 7 Eksempel 4.5 I Eksemplerne 4.3 og 4.4 forekommer tre obligationer, nemlig en etårig stående obligation, en to-årig stående obligation og en to-årig serieobligation. Disse tre obligationer har ialt to forskellige terminstidspunkter. På baggrund af de tre obligationers priser og ydelser skal diskonteringsfaktorerne d(1) og d(2) opfylde følgende tre ligninger: 100 = 110d(1), 90 = 5d(1) + 105d(2), 98 = 58d(1) + 54d(2). Dette ligningssystem har ikke nogen løsning. I Eksempel 4.3 fandt vi, at løsningen til de to første ligninger er d(1) og d(2) I Eksempel 4.4 fandt vi derimod, at løsningen til de to sidste ligninger er d(1) og d(2) Udnyttelsen af sådanne arbitragemuligheder kræver salg af visse af obligationerne. Ejer man ikke disse obligationer, og kan man ikke gå kort i dem, så kan man ikke udnytte muligheden.

53 4.7 Bestemmelse af rentestrukturen på baggrund af observerede obligationspriser53 Er den første løsning korrekt, skulle prisen på serieobligationen være (4.26) , hvilket den imidlertid ikke er. Derfor er serieobligationen forkert prisfastsat i forhold til de to stående obligation. Mere præcist er serieobligationen for dyr i forhold til de stående obligationer. Vi kan udnytte dette ved at sælge serieobligationen og købe en portefølje af de stående obligationer, der giver de samme fremtidige ydelser som serieobligationen. En sådan portefølje siges at replikere eller duplikere serieobligationen. Lad os se på hvorledes en replikerende portefølje kan konstrueres. Vi ved, at serieobligationen er ækvivalent med en portefølje bestående af 58 et-årige og 54 toårige nulkuponobligationer, alle med en hovedstol på 1 kr. I Eksempel 4.3 fandt vi, at den et-årige nulkuponobligation er ækvivalent med 1/110 enheder af den etårige nulkuponobligation, og at den to-årige nulkuponobligation er ækvivalent med en portefølje bestående af 5/( ) enheder af den et-årige stående obligation og 1/105 enheder af den to-årige stående obligation. Derfor er serieobligationen ækvivalent med en portefølje bestående af enheder af den et-årige stående obligation og enheder af den to-årige stående obligation. Denne portefølje vil netop give 58 kr. om ¾ et år og 54 kr. om to år. Prisen på porteføljen er , hvilket netop er prisen fundet i (4.26). De danske statsobligationer har i modsætning til f.eks. amerikanske statsobligationer (de såkaldte Treasury bills, notes og bonds) mange forskellige terminstidspunkter. Ligningssystemet (4.23) vil da have færre ligninger M end antallet af ubekendte N. I så fald er der mange løsninger til ligningssystemet, dvs. mange sæt af diskonteringsfaktorer vil være konsistente med de givne obligationspriser.

54 54 Investering i obligationer Bootstrapping-proceduren og dens generaliseringer kan kun give værdien af diskonteringsfunktionen for de tidspunkter, hvor obligationerne har terminer. Ofte kan det være af interesse at kende diskonteringsfunktionens værdi for andre tidspunkter. For at kunne estimere hele funktionen udfra de givne informationer må man antage en bestemt parametrisk form på funktionen og dernæst bruge obligationspriserne til at estimere de ukendte parametre. Da der er gode grunde til at tro, at rentestrukturen og diskonteringsfunktionen er kontinuerte og glatte funktioner, bruges ofte polynomier og eksponentialfunktioner til dette formål. Parameterestimationen munder da ud i forholdsvist simple regressioner. Den interesserede læser henvises til Sørensen (1990) og Anderson, Breedon, Deacon, Derry og Murphy (1996, Kap. 2). Figur 4.1 viser diskonteringsfunktionen estimeret på baggrund af børskurser på 14 statsobligationer onsdag den 9. februar 2000 ved hjælp af en af disse metoder, den såkaldte kubiske spline metode. Metoden går ud på at inddele løbetidsintervallet for de givne obligationer i et lille antal delintervaller, hvor det antages at diskonteringsfunktionen i hvert delinterval kan beskrives med et tredjegradspolynomium. Koefficienterne i disse polynomier bestemmes således, at diskonteringsfunktionen får en glat overgang i deletidspunkterne og derudover passer bedst muligt med de observerede obligationspriser. Figur 4.2 viser den tilhørende nulkuponrentestruktur og den et-årige forwardrentestruktur. 4.8 Forklaringer på rentestrukturens udseende Der findes en række forklaringer på rentestrukturens form. Udsagnet i forventningshypotesen er, at den aktuelle rentestruktur nøje hænger sammen med markedets forventninger til den fremtidige rentestruktur. 8 Således skulle f.eks. en voksende rentestruktur afspejle forventninger om, at de korte renter i fremtiden vil være højere end de er i dag. Denne hypotese bygger på en antagelse om, at det forventede afkast på alle mulige investeringsstrategier i obligationer er ens. Lad os sammenligne to to-årige investeringer. Den ene består ganske simpelt i at købe en to-årig nulkuponobligation og beholde den til udløb. Dette giver et sikkert afkast på (1 + y 1 (2)) 2 for hver krone, der investeres, hvor y 1 (2) er den aktuelle to-årige nulkuponrente beregnet med årlig rentetilskrivning. Den anden inve- 8 Der findes forskellige versioner af forventningshypotesen. Den her refererede blev foreslået af Lutz (1940).

55 4.8 Forklaringer på rentestrukturens udseende ,9 0,8 diskonteringsfaktor 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, løbetid, antal år Figur 4.1: Den estimerede diskonteringsfunktion, t d(t), onsdag den 9. februar ,0% 6,5% 6,0% rente 5,5% 5,0% 4,5% 4,0% løbetid, antal år nulkuponrente forwardrente Figur 4.2: Den estimerede nulkuponrentestruktur, t y 1 (t), og den estimerede etårige forwardrentestruktur, t f 1 (t,t + 1), onsdag den 9. februar 2000.

56 56 Investering i obligationer steringsstrategi er en roll-over i et-årige nulkuponobligationer. Der købes et-årige nulkuponobligationer, som beholdes til udløb, hvorefter afkastet reinvesteres i nye et-årige nulkuponobligationer, som beholdes til udløb. Investeres 1 kr. i denne strategi, opnås med sikkerhed et afkast på (1+y 1 (1)) kroner efter et år. Den rente, som dette beløb investeres til, er den et-årige nulkuponrente, der vil være gældende om et år. Kalder vi denne rente for ỹ 1 (1), vil det samlede afkast på investeringen være (1 + y 1 (1))(1 + ỹ 1 (1)) kroner for hver investeret krone. Dette afkast er naturligvis usikkert, men hvis antagelsen om ens forventede afkast holder, må der gælde (1 + y 1 (2)) 2 = (1 + y 1 (1))(1 + E[ỹ 1 (1)]), hvor E[ỹ 1 (1)] er den forventede et-årige rente om et år. Sammenholdes dette med (4.11) fås, at E[ỹ 1 (1)] = f 1 (1,2). Forventningshypotesen medfører altså, at den et-årige forwardrente, der i dag er gældende for perioden mellem et og to år ude i fremtiden, er lig den forventede et-årige nulkuponrente om et år. Forventningshypotesen har tilsvarende implikationer for andre løbetider. For eksempel er forwardrenten f 1 (1,3), der i dag gælder for et to-årigt lån, der starter om et år, lig med den forventede to-årige nulkuponrente om et år. Nulkuponrentestrukturen er normalt voksende. Da en voksende rentestruktur ifølge forventningshypotesen afspejler forventninger om stigende korte renter i fremtiden, skulle de korte renter derfor vedblive med at stige og stige. Dette observeres naturligvis ikke i praksis. En forklaring kunne være, at markedet systematisk overvurderer de fremtidige renter. En bedre forklaring kan findes ved at se nøjere på eksemplet med de to alternative to-årige investeringer ovenfor. Som nævnt er det første alternativ risikofrit, mens det andet alternativ giver et usikkert afkast. Hvis markedsdeltagerne er risikoaverse, vil de kræve en risikopræmie for at påtage sig det usikre alternativ. Dette medfører, at der kan være forskel på den aktuelle forwardrente og den forventede fremtidige nulkuponrente. En anden traditionel forklaring på rentestrukturens udseende er givet i likviditetspræferencehypotesen. 9 Denne hypotese tager sit udgangspunkt i, at priserne på lange obligationer alt andet lige er mere påvirkede af renteændringer end priserne 9 Denne hypotese blev fremsat af Hicks (1939).

57 4.8 Forklaringer på rentestrukturens udseende 57 på korte obligationer. Derfor foretrækker investorerne alt andet lige korte fremfor lange obligationer, og de kræver en risikopræmie for at investere i lange fremfor korte obligationer. Denne risikopræmie må forventes at være voksende med obligationens løbetid. Den aktuelle rentestrukturkurve vil derfor ligge over kurven, der viser de forventede fremtidige korte renter, og afstanden mellem de to kurver vil vokse med løbetiden. Bemærk i øvrigt, at betegnelsen likviditet i denne sammenhæng ikke har den sædvanlige betydning. Lange obligationer kan være ligeså likvide som korte obligationer. Løbetidspræferencehypotesen ville være et bedre navn til denne hypotese. Ifølge markedssegmenteringshypotesen vil investorer typisk koncentrere sig om obligationer med løbetider indenfor et vist interval, et løbetidssegment. 10 Dette kan skyldes, at investorerne har forpligtelser med tilsvarende løbetider. For eksempel ligger størstedelen af pensionskassernes og livsforsikringsselskabernes forpligtelser langt ude i fremtiden, og for at mindske den samlede renterisiko jfr. immuniseringsstrategien diskuteret i Kapitel 5 vil disse markedsaktører derfor især investere i lange obligationer. Af lignende grunde vil pengeinstitutter og Nationalbanken især investere i korte obligationer. Der kan derfor eksistere forskellige markedssegmenter, hvor der ikke behøver at være nogen som helst sammenhæng mellem prisdannelsen i forskellige segmenter. Priserne og dermed renterne i et givet segment bestemmes udelukkende af udbuddet af og efterspørgslen på obligationer i det pågældende segment. Er markedet meget segmenteret vil rentestrukturen derfor bestå af en række uafhængige dele, og man kan f.eks. ikke forvente en glat eller end ikke en kontinuert rentestruktur. En mere realistisk version af denne hypotese er indeholdt i tanken om preferred habitats, dvs. foretrukne levesteder. 11 Måske vil en given investor koncentrere sig om obligationer med en bestemt løbetid, men han vil formodentlig være villig til at flytte sig fra sit foretrukne segment, hvis han får en tilstrækkelig kompensation for det i form af en højere rente. Derfor er de enkelte segmenter af rentestrukturen ikke helt uafhængige af hinanden, og rentestrukturen må forventes at være en glat og kontinuert kurve. 10 Markedssegmenteringsideen blev foreslået af Culbertson (1957). 11 Denne modifikation af markedssegmenteringshypotesen blev fremsat af Modigliani og Sutch (1966).

58 58 Investering i obligationer Der er uden tvivl en vis sandhed i alle ovenstående forklaringer. Mange obligationsinvestorer planlægger ikke at holde de obligationer, de køber, til udløb, og da kursudviklingen påvirkes af udviklingen i rentestrukturen, vil forventningerne til men også usikkerheden omkring de fremtidige renter være af stor betydning. En væsentlig del af den praktiske obligationsanalyse består således i at forsøge at forudsige både niveauet for og usikkerheden omkring de fremtidige renter. Renteforudsigelserne er ofte baseret på politiske og makroøkonomiske analyser. 4.9 Variabelt forrentede obligationer Variabelt forrentede obligationer er obligationer, hvor den nominelle rente regelmæssigt ændres, så den hele tiden afspejler de gældende korte markedsrenter. Lad os f.eks. se på en variabelt forrentet stående obligation med halvårlige terminer. Ved udstedelsen seks måneder før den første termin vil den nominelle rente blive sat til den da gældende seks måneders nulkuponrente. Umiddelbart efter den første termin vil den nominelle rente blive ændret til den aktuelle seks måneders nulkuponrente, og så fremdeles i hele løbetiden. De fremtidige ydelser på en variabelt forrentet obligation er naturligvis usikre, men på grund af den løbende tilpasning til markedsrenten vil kursen på sådan en obligation typisk være tæt på 100. Mere præcist vil kursen være 100 umiddelbart efter enhver rentetilpasning. Dette kan indses på følgende måde. Umiddelbart efter den sidste rentetilpasning på det næstsidste terminstidspunkt vil obligationen være ækvivalent med en seks måneders obligation, hvis eneste resterende ydelse er lig 100 plus seks måneders renten. Værdien af denne ydelse, målt på det næstsidste terminstidspunkt, er netop 100 pr. definition af seks måneders renten. Umiddelbart efter den næstsidste rentetilpasning på det tredjesidste terminstidspunkt vil ydelsesrækken bestå af en rentebetaling om seks måneder, der svarer til den aktuelle seks måneders rente, plus den sidste ydelse. Som vist ovenfor er værdien af den sidste ydelse imidlertid 100. Derfor er situationen efter den næstsidste rentetilpasning ækvivalent med situationen efter den sidste rentetilpasning, så værdien af obligationen vil også være 100 umiddelbart efter den næstsidste rentetilpasning. Den samme argumentation kan bruges tilbage til udstedelsestidspunktet. Der handles kun få variabelt forrentede obligationer på det danske marked. Derimod er der et stort marked for de såkaldte renteswaps, der kan opfattes som et bytte

59 4.9 Variabelt forrentede obligationer 59 af en fast forrentet og en variabelt forrentet obligation. Ovenstående analyse er derfor vigtig i den sammenhæng. Renteswaps er nærmere beskrevet i Munk (2000a). Den lille hurtige test-dig-selv (a) Forklar princippet om fravær af arbitrage. (b) Betragt en markedsdeltager, der sælger et aktiv, som vedkommende ikke ejer. Hvad kaldes denne type handel? (c) Hvorfor er det korrekt at multiplicere betalingerne Y t i formel (4.1) med diskonteringsfaktoren d(t)? (d) Sandt eller falsk: Man skal kende diskonteringsfunktionen og en-periode forwardrentestrukturen for at kunne bestemme nulkuponrentestrukturen. Det er tilstrækkeligt at kende en enkelt diskonteringsfaktor for at kunne bestemme nulkuponrentestrukturen og en-periode forwardrentestrukturen. Det er tilstrækkeligt at kende en enkelt diskonteringsfaktor for at kunne bestemme nulkuponrentestrukturen. Det er tilstrækkeligt at kende nulkuponrentestrukturen for at kunne bestemme såvel diskonteringsfunktionen som en-periode forwardrentestrukturen.

60

61 Kapitel 5 Måling og styring af renterisiko 5.1 Risici ved obligationsinvesteringer Obligationer anses for at være sikre investeringsobjekter i forhold til andre finansielle aktiver, som f.eks. aktier. Der er dog forskellige typer af risici ved investering i en obligation. For det første den risiko, der knytter sig til betalingernes nominelle størrelse, hvilket kan omfatte konkursrisiko (risikoen for at udstederen ikke betaler de lovede beløb), udtrækningsrisiko (risikoen for udtrækningsprocenten 1 ) og konverteringsrisiko (risikoen for at udstederen indfrier en konverterbar obligation til en værdi under markedsværdien). Derudover er der en inflationsrisiko eller købekraftsrisiko, der knytter sig til den reale værdi af de nominelle betalinger. Hvis man påtænker at sælge obligationen inden udløb, vil der naturligvis være usikkerhed omkring hvilken pris, obligationen kan sælges til. Hvis der ikke er megen handel i den pågældende obligation, er det ikke sikkert, at man kan sælge obligationen til dens sande værdi, for i så fald kan mæglernes bid-ask spread være forholdsvist stort. Denne type risiko kaldes likviditetsrisiko. Den altoverskyggende del af usikkerheden omkring de fleste obligationers fremtidige pris skyldes imidlertid renterisiko. Som diskuteret tidligere hænger prisen på en obligation nøje sammen med den aktuelle rentestruktur. Idet rentestrukturen på et givet fremtidigt tidspunkt ikke kan forudsiges med særlig stor præcision, vil der være en betydelig usikkerhed om værdien af obligationerne på dette tidspunkt. De allerfleste investorer vil derfor have en interesse i at måle og sammenligne forskellige obligationers prisfølsomhed overfor rentestrukturændringer. Sådanne vurderin- 1 Denne risiko er blevet mindre efter indførelsen af de nye rentekonventioner, idet der tidligere var tale om lodtrækning blandt de enkelte obligationer, der havde en større stykstørrelse.

62 62 Investering i obligationer ger af obligationernes renterisiko kan give et overblik over den samlede renterisiko for investorens aktuelle portefølje af renteafhængige aktiver og de enkelte aktivers bidrag hertil. Mange institutionelle investorer er forpligtede til at fremstille sådanne opgørelser til offentlige tilsynsmyndigheder og til offentliggørelse i regnskaber. Desuden er en vurdering af de forskellige investeringsmuligheders risici en vigtig del af grundlaget for beslutningen om hvorledes en portefølje skal sammensættes. I resten af dette afsnit vil vi diskutere, hvorledes man kan kvantificere renterisikoen ved en investering i en obligation (eller, mere generelt, en portefølje af obligationer), og hvorledes man kan bruge disse risikomål til at styre renterisikoen. 5.2 Macaulay-varighed Helt tilbage i 1930 erne var Macaulay opmærksom på renterisikoen. I hans bog Macaulay (1938) definerede han et mål, den såkaldte Macaulay-varighed, som skulle vise den gennemsnitlige tid, der vil gå, før man får nutidsværdien af en obligation (eller en anden strøm af kendte betalinger). Hicks (1939) viste, at det samme mål er et udtryk for obligationskursens følsomhed overfor ændringer i obligationens effektive rente. Pr. definition er anskaffelsesprisen på en obligation givet ved P k + v = t n t=t 1 Y t (1 + y) t, hvor y er obligationens effektive rente. Differentierer vi med hensyn til y, får vi (5.1) tn P y = t=t 1 ty t (1 + y) (t+1). En første ordens Taylor-udvikling af funktionen y P omkring den nuværende effektive rente giver, at ændringen i prisen, P, ved en ændring på y i den effektive rente kan approksimeres ved (5.2) P P y y. Bemærk, at da den vedhængende rente er uafhængig af y, så slår hele prisændringen igennem på kursen, dvs. k = P. Macaulay-varigheden V defineres som (5.3) V = P y 1 + y P,

63 5.2 Macaulay-varighed 63 dvs. elasticiteten af prisen P med hensyn til ændringer i størrelsen 1 + y. Trods Macaulay-varighedens mange år på bagen og dens klare mangler, som vi skal se senere, er dette mål stadigt hyppigt anvendt. Det er således denne varighed, der vises i kurslisten fra Københavns Fondsbørs. Indsættes (5.1) i definitionen får vi (5.4) V = t n ty t (1 + y) (t+1) 1 + y P t=t 1 hvor w t = Y t (1 + y) t /P. Bemærk, at = 1 P t n t=t 1 ty t (1 + y) t = t n t=t 1 tw t, t n t=t 1 w t = t n Y t (1 + y) t P t=t 1 = 1. Derfor kan varigheden fortolkes som en ydelsesvægtet gennemsnitlig restløbetid. Dette mål er ofte et bedre mål for den tidsmæssige udstrækning af obligationens betalinger end restløbetiden, som blot angiver den tidsmæssige afstand til den sidste termin. Der kan dog være visse problemer med denne fortolkning. Fra definitionen af varigheden følger, at (5.5) P y = V P 1 + y. Indsætter vi dette i (5.2), ser vi, at prisændringen ved en given ændring i den effektive rente kan approksimeres ved (5.6) P V P 1 + y y. Ifølge denne approksimation er prisændringen proportional med renteændringen med V P 1+y som proportionalitetsfaktor. Dette skyldes selvfølgelig, at første ordens Taylorudviklingen netop svarer til at approksimere prisens afhængighed af diskonteringsrenten med en ret linie. Som nævnt i begyndelsen af Kapitel 3 er sammenhængen mellem pris og diskonteringsrente imidlertid ikke lineær, men derimod konveks. Vi kan naturligvis omvendt approksimere ændringen i den effektive rente ved en given kursændring: y 1 + y V P P. Forholdet V/(1 + y) kaldes ofte for den modificerede Macaulay-varighed. Fra (5.6) har vi, at den relative ændring i obligationsprisen ved en ændring i dens effektive rente (approksimativt) er minus obligationens modificerede Macaulay-varighed

64 64 Investering i obligationer ganget med ændringen i den effektive rente. Desuden kaldes V P/(1 + y) sommetider for Macaulay-kronevarigheden. Fra (5.6) kan vi se, at den absolutte ændring i obligationsprisen ved en ændring i dens effektive rente (approksimativt) er Macaulay-kronevarigheden ganget med ændringen i den effektive rente. 2 Da Macaulay-varighedsmålene er de mest anvendte udelades ofte Macaulay-forstavelsen fra disse navne og man taler bare om varigheden, den modificerede varighed og kronevarigheden. Som vi skal diskutere senere er der imidlertid andre og bedre varighedsmål end disse Macaulay-mål. 5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer Det er forholdsvist simpelt at beregne Macaulay-varigheden for standardobligationer. Det nemmeste tilfælde er det, hvor obligationen kun har én ydelse tilbage, som forfalder om lad os sige t perioder. Da er varigheden simpelthen lig med restløbetiden, V = t. Ved beregning af varigheden på de øvrige typer af standardobligationer er det nemmest først at antage, at der er valør på et terminstidspunkt Valør på et terminstidspunkt Med valør på et terminstidspunkt kan prisen (=kursen) skrives som n P = Y j (1 + y) j. For en uamortisabel obligation er P = Y/y, så P y = Y/y2 og j=1 (5.7) V = P y 1 + y P = 1 + y. y For en annuitetsobligation er P = Y α n y, så P α y = Y n y, y og dermed bliver V = P y 1 + y α P = n y y 1 + y α n y. Idet α n y = [1 (1 + y) n ]/y, fås α n y y = n(1 + y) n 1 y [1 (1 + y) n ] y 2 = 1 y n(1 + y) n 1 1 y α n y, 2 Macaulay-kronevarigheden kaldes også for obligationens Basis Point Value.

65 5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer 65 og dermed V = 1 + y α n y = 1 + y y = 1 + y y [ 1 y α 1 ] n(1 + y) n 1 n y y 1 n(1 + y) n y α n y n (1 + y) n 1. Varigheden vokser med restløbetiden n og går imod (1 + y)/y for n, jfr. den uamortisable obligation. Bemærk, at varigheden på en annuitetsobligation er uafhængig af den nominelle rente R. På samme måde kan man vise, at varigheden for en serieobligation er (5.8) V = 1 + y R α + n(y R)(1 + y) n 1 n y 1. y Rn + (y R)α n y Også for en serieobligation vokser varigheden med restløbetiden og går mod (1+y)/y for n. For en stående obligation kan varigheden beregnes til (5.9) V = 1 + y y 1 + y n(y R) R[(1 + y) n 1] + y. I de fleste tilfælde vil også varigheden på en stående obligation være en voksende funktion af restløbetiden. Det kan dog vises, at hvis obligationens effektive rente y er betydeligt større end den nominelle rente R, så vil varigheden antage et maksimum for en endelig restløbetid. Således kan varigheden på én stående obligation værre højere end varigheden på en anden, længere stående obligation. Det kan derfor værre problematisk at fortolke varigheden som et mål for en obligations gennemsnitlige løbetid. Hvad enten den effektive rente er højere eller lavere end den nominelle rente, vil varigheden gå mod (1 + y)/y for n. Eksempel 5.1 Lad os beregne varigheden for en (hypotetisk) 8% serieobligation med én årlig termin, en restløbetid på præcis 6 år og en effektiv rente på 5%, svarende til en kurs på Ifølge formel (5.8) er varigheden V = 1 + y R α + n(y R)(1 + y) n 1 n y 1 y Rn + (y R)α n y = α + 6( )(1.05) ( )α år.

66 66 Investering i obligationer renteændring ny diskon- Kursændring y teringsrente eksakt varighedsbaseret Tabel 5.1: Kursen som funktion af diskonteringsrenten i Eksempel 5.1. Lad os undersøge hvorledes kursen på obligationen vil ændre sig ved en given øjeblikkelig ændring i obligationens effektive rente. Vi kan dels beregne den eksakte kursændring, som selvfølgelig er nutidsværdien af de fremtidige ydelser ved den nye værdi af renten minus den aktuelle kurs, og dels en varighedsbaseret approksimativ ændring givet ved (5.6). Som det ses af Tabel 5.1 er den varighedsbaserede approksimation meget nøjagtig for små renteændringer, men knap så nøjagtig for lidt større ¾ renteændringer. Bemærk, at den varighedsbaserede approksimation altid undervurderer kursen ved den nye rente. Dette skyldes netop konveksiteten af funktionen y P. Se Figur 5.1 på side Valør mellem to terminstidspunkter Hvis der ikke er valør på et terminstidspunkt, kan man relativt let korrigere ovenstående formler. Antag nemlig, at der er gået t terminer fra forrige terminstidspunkt til valørdagen. Her er t et tal mellem 0 og 1. Vi ser i den følgende udregning bort fra problematikken omkring publicering af udtrækning. Falder valørdagen efter udtrækningstidspunktet for det førstkommende terminstidspunkt, da skal det nedenstående resultat korrigeres på samme måde som vi korrigerede kursformlerne i disse tilfælde i Kapitel 3. For at finde anskaffelsesprisen på valørdagen skal vi diskontere den første ydelse

67 5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer 67 1 t terminer, den anden ydelse 2 t terminer, osv. Så prisen på valørdagen er n P = Y j (1 + y) (j t ). j=1 Differentieres partielt med hensyn til y fås så varigheden på valørdagen er P n y = (j t )Y j (1 + y) (j t ) 1, j=1 (5.10) V = P 1 + y y P n j=1 = (j t )Y j (1 + y) (j t ) n j=1 Y j(1 + y) (j t ) n j=1 = (j t )Y j (1 + y) j n j=1 Y j(1 + y) j = n j=1 jy j(1 + y) j n j=1 Y j(1 + y) j t. Brøken i det sidste udtryk er netop varigheden, som den ville have været på forrige terminstidspunkt ved den samme effektive rente y. Brøken kan derfor regnes ud ved hjælp af de tidligere angivne formler for varigheden på et terminstidspunkt. Traditionelt angives varigheden opgjort i et antal år. Ovenstående formler for varigheden giver derimod varigheden opgjort i et antal terminer. Antag der er m terminer pr. år, og lad y term være den effektive rente pr. termin. Den effektive rente pr. år yår er givet ved 1 + yår = (1 + y term ) m. Ifølge definitionen af varighed i formel (5.3) er varigheden i terminer V term = P 1 + y term, y term P mens varigheden i år er Vår = P 1 + yår. yår P Det kan da vises forholdsvist nemt, at (5.11) Vår = 1 m V term. Eksempel 5.2 Obligationen 5% S 2007 er en statslig serieobligation med to årlige terminer, den 15/3 og den 15/9. Sidste termin er den 15/ Fredag den 22/5

68 68 Investering i obligationer 1998 handledes obligationen til kurs Afregningen af en handel, der foretages på denne dato, sker onsdag den 27/ Der er gået 73 kalenderdage fra den seneste termin (15/3 1998) til valørdagen, og længden af indeværende terminsperiode er 184 dage, så den vedhængende rente er v = = Den samlede anskaffelsespris er derfor P = k + v = Sammenhængen mellem anskaffelsesprisen og den effektive rente er ifølge (3.5) og (3.6) givet ved ( R P = 100 y + 1 ( 1 R ) α )(1 + y) t, n y n y hvor R er den terminslige nominelle rente, y er den terminslige effektive rente, n er antal resterende terminer, og t er tiden fra seneste termin til valørdagen målt i antal terminer. I vores tilfælde er R = 0.025, n = 19 og t = 73/184 = Indsættes P = kan vi (numerisk) løse ligningen for y. Dette giver y %, svarende til en årlig effektiv rente på ( ) %. Varigheden målt i antal terminer kan ifølge (5.8) og (5.10) bestemmes som V = 1 + y R α + n(y R)(1 + y) n 1 n y 1 t, y Rn + (y R)α n y ¾ hvor alle størrelser igen er målt pr. termin. Indsættes tallene fås V terminer, eller / år. 5.4 Macaulay-konveksitet Ved vurdering af kursrisikoen på en obligation på baggrund af (5.6) antager man, at prisen/kursen er en lineær funktion af den effektive rente. Som tidligere påpeget er dette ikke korrekt. Prisen er en konveks funktion af den effektive rente, og fejlen ved den lineære approksimation er ikke altid negligerbar. En bedre approksimation fås ved at inddrage den anden afledte af prisen P med hensyn til den effektive rente y. Derved tager man i nogen grad højde for krumningen af grafen for funktionen y P. Ved at differentiere med hensyn til y i formel (5.1) får vi, at den anden

69 5.4 Macaulay-konveksitet 69 afledte er 2 tn P y 2 = t=t 1 t(t + 1)Y t (1 + y) (t+2) t n = P(1 + y) 2 (t2 + t)y t (1 + y) t P t=t 1 = P(1 + y) 2 t n t=t 1 (t 2 + t)w t, hvor w t = Y t (1+y) t /P som tidligere. Vi definerer nu (Macaulay-)konveksiteten som 3 (5.12) K = Dermed har vi t n 2 P y 2 = t=t 1 (t 2 + t)w t. PK (1 + y) 2. Vi kan nu give en bedre approksimation af prisændringen P ved en given ændring y i den effektive rente ved at anvende en anden ordens Taylor approksimation: (5.13) P P y y P 2 y 2 ( y)2 = V P 1 + y y + 1 PK 2 (1 + y) 2 ( y)2. Ligesom for varigheden er det naturligvis muligt at opstille formler for standardobligationers konveksitet, men disse formler er forholdsvist komplekse, så det typisk vil være ligeså hurtigt at bruge den generelle definition i formel (5.12). Eksempel 5.4 på side 72 giver et eksempel på, hvordan konveksiteten kan beregnes i praksis. Bemærk, at konveksitetsmålet K ikke måler hele forskellen mellem grafen for funktionen y P og dens tangent. Anden ordens Taylor udviklingen af funktionen svarer til at approksimere grafen med en parabel. Som vi skal se i det følgende eksempel er anden ordens approksimationen meget nøjagtig. Det synes derfor ikke nødvendigt at inddrage yderligere led i approksimation ved f.eks. at lave en tredje ordens Taylor udvikling. 3 Det skal bemærkes, at der findes en række forskellige definitioner af konveksiteten. I Fabozzi (1996, Kap. 4) bruges definitionen K = 1 2 P 1 2 y 2 P, hvilket svarer til 0.5K/(1 + y) 2. Man skal således altid være opmærksom på, hvilken definition af konveksiteten der er tale om.

70 70 Investering i obligationer renteændring ny diskon- Kursændring y teringsrente eksakt første orden anden orden Tabel 5.2: Kursens afhængighed af diskonteringsrenten i Eksempel 5.3. Eksempel 5.3 I Eksempel 5.1 på side 65 undersøgte vi nøjagtigheden af en første ordens approksimation af prisen omkring den aktuelle effektive rente. I Tabel 5.2 undersøges nøjagtigheden af en anden ordens approksimation, hvor ændringen i obligationsprisen ved en ændring i den effektive rente approksimeres som i formel (5.13), dvs. ved hjælp af både varigheden og konveksiteten. Vi betragter den samme obligation som i Eksempel 5.1. Med de samme tal som i det eksempel kan konveksiteten beregnes til K = Ændringen beregnet med anden ordens approksimationen er meget tæt på den eksakte, selv for relativt store renteændringer, og er betydeligt ¾ mere nøjagtig end første ordens approksimationen. Kursens afhængighed af den effektive rente er vist i Figur 5.1. Her kan vi igen se, at første ordens approksimationen er upræcis undtagen for meget små renteændringer, mens anden ordens approksimationen generelt er meget præcis. Det er faktisk muligt at lave en approksimation baseret på varighed og konveksitet, som er endnu mere nøjagtig end (5.13). Ved at lave en anden ordens Taylor udvikling af ln P i stedet for af P fås approksimationen ( { (5.14) P P exp V 1 + y y + 1 K V 2 } ) 2 (1 + y) 2( y)2 1, som er tættere på den eksakte ændring end approksimationen i (5.13). Den tilsva-

71 5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikomål for porteføljer af obligationer 71 Kurs % 5% 10% 15% Effektiv rente Eksakt 1. orden 2. orden Figur 5.1: Kursen som funktion af den effektive rente for obligationen i Eksempel 5.1 og 5.3. rende første ordens approksimation ( { (5.15) P P exp V } 1 + y y ) 1 er ligeledes betydeligt mere nøjagtig end den traditionelle første ordens approksimation (5.6). Se Barber (1995) for flere detaljer og et regneeksempel. Konveksiteten fortolkes ofte som et mål for varighedens følsomhed overfor ændringer i den effektive rente. Differentierer man begge sider af (5.3) med hensyn til y, kan man vise, at (5.16) V y = (1 + y) 1 (K + V (1 V )). 5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikomål for porteføljer af obligationer Kursen, den effektive rente, varigheden og konveksiteten på en obligation bruges ofte som nøgletal for obligationens afkast og risiko. Den typiske investor har imidlertid en portefølje af obligationer, og det er derfor af interesse at beregne tilsvarende nøgletal for porteføljer. Som udgangspunkt må den effektive rente, varigheden og konveksiteten beregnes ved at bruge definitionerne direkte, hvor det selvfølgelig skal ske på baggrund af porteføljens samlede ydelsesrække. Det er nemlig ikke sådan, at disse nøgletal kan beregnes eksakt udfra de tilsvarende nøgletal for de enkelte obligationer i porteføljen.

72 72 Investering i obligationer Dette skyldes definitionen af den effektive rente, som både varigheden og konveksiteten er baseret på. Definitionen af varighed og konveksitet gør det imidlertid let at beregne disse størrelser for en vilkårlig ydelsesrække, f.eks. ved brug af regneark. Dette fremgår af følgende eksempel. Eksempel 5.4 En portefølje består af to statsobligationer, nemlig for kr. nominelt af 6% stående lån 2002 og for kr. nominelt af 4% statsgældsbevis I Vi ønsker at finde porteføljens værdi, effektive rente, varighed og konveksitet ved handel fredag den 22/5 1998, dvs. ved valør onsdag den 27/ Obligationen 6% stående lån 2002 har én årlig termin den 15/11. Ydelsesrækken for beholdningen af denne obligation er derfor som angivet i Tabel 5.3. Kursen på obligationen er på handelstidspunktet. Den samlede kursværdi af beholdningen er derfor kr. Da der er gået 193 kalenderdage siden forrige termin, og terminslængden er 365 dage, er den samlede vedhængende rente v = /365 = kr. Den samlede anskaffelsespris er P = = kr. Den effektive rente kan beregnes til y = %. Varigheden og konveksiteten kan da beregnes ved hjælp af opstillingen i Tabel 5.4. Varigheden er altså V = år og konveksiteten er K = Obligationen 4% statsgældsbevis I 2001 har én årlig termin den 15/2 og udløber i Ydelsesrækken for en beholdning på kr. nominel værdi er som vist i Tabel 5.5. Kursen er 98.06, så den samlede kursværdi er Den vedhængende rente er ialt v = /365 = Den samlede anskaffelsespris er derfor = kr. Den effektive rente kan da beregnes til y = %. Til beregning af varighed og konveksitet bruges opstillingen i Tabel 5.6. Varigheden er altså V = år og konveksiteten er K = Porteføljens samlede ydelsesrække bliver dermed som vist i Tabel 5.7. Den samlede anskaffelsespris for porteføljen er P = = kr. ¾ Den effektive rente kan beregnes til %. Varigheden og konveksiteten beregnes i Tabel 5.8. Varigheden for porteføljen er altså , og konveksiteten er Det er muligt at approksimere den effektive rente for en portefølje ved hjælp af de enkelte obligationers effektive rente og varighed. Lad os antage at porteføljen består af M obligationer, og lad z i være værdien af beholdningen af obligation i divideret

73 5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikomål for porteføljer af obligationer 73 Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 5.3: Ydelsesrækken for 6% stående lån 2002 i Eksempel 5.4. Termin Y t t (1 + y) t w t tw t (t 2 + t)w t Tabel 5.4: Beregning af varighed og konveksitet for 6% 2002 i Eksempel 5.4. Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 5.5: Ydelsesrækken for 4% statsgældsbevis I 2001 i Eksempel 5.4. Termin Y t t (1 + y) t w t tw t (t 2 + t)w t Tabel 5.6: Beregning af varighed og konveksitet for 4% statsgældsbevis I 2001 i Eksempel 5.4.

74 74 Investering i obligationer Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 5.7: Ydelsesrækken for porteføljen i Eksempel 5.4. Termin Y t t (1 + y) t w t tw t (t 2 + t)w t Tabel 5.8: Beregning af varighed og konveksitet for porteføljen i Eksempel 5.4.

75 5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikomål for porteføljer af obligationer 75 med porteføljens samlede værdi. Lad y i være den i te obligations effektive rente, og lad V i være den i te obligations varighed. Da kan porteføljens effektive rente y port approksimeres ved 4 (5.17) y port M i=1 y iv i z i M i=1 V iz i. Endvidere kan en porteføljes varighed approksimeres med et vægtet gennemsnit af de enkelte obligationers varighed: (5.18) V port M V i z i. i=1 Det samme gælder for konveksiteten på en portefølje: (5.19) K port M K i z i. Disse relationer er eksakte, hvis alle obligationerne i porteføljen har samme effektive rente. Eksempel 5.5 Betragt igen porteføljen i Eksempel 5.4. Her er vægtene og i=1 z 1 = z 2 = Obligationernes effektive renter er hhv. y 1 = % og y 2 = %. Deres varighed er hhv. V 1 = og V 2 = Formel (5.17) giver da, at porteføljens effektive rente approksimativt er y port % % = %, hvilket (i dette tilfælde) med fire decimalers nøjagtighed er identisk med den eksakte effektive rente. Formel (5.18) giver følgende approksimation af porteføljens varighed: V port = , hvilket er tæt på porteføljens korrekte varighed på år. Ifølge approksimationen i formel (5.19) er konveksiteten K port = , 4 Se f.eks. Jakobsen (1987).

76 ¾ 76 Investering i obligationer hvilket er tæt på den eksakte konveksitet på Om anvendeligheden af Macaulay-risikomålene I de foregående delafsnit har den primære anvendelse af Macaulay-varigheden og -konveksiteten været approksimation af ændringen i prisen/værdien på en obligation (eller en portefølje af obligationer) ved en given ændring i dens egen effektive rente. Imidlertid er det forholdsvist simpelt at beregne den eksakte ændring i prisen ved en given ændring i den effektive rente ved at tilbagediskontere alle betalingerne med den nye effektive rente. Dette kan gøres på et øjeblik med moderne lommeregnere eller regneark. Det er langt mere interessant at sammenligne risikomål for forskellige obligationer. Generelt kan det ikke anbefales at sammenligne Macaulay-risikomålene for forskellige obligationer. Årsagen er, at Macaulay-målene viser følsomheden overfor ændringer i obligationens egen effektive rente. Sammenligner vi udtrykket for obligationsprisen som funktion af dens egen effektive rente P = Y t (1 + y) t t=t 1 med det generelle udtryk P = t n t n t=t 1 Y t (1 + y 1 (t)) t, der følger af (4.1) og (4.2), kan vi se, at den effektive rente på en obligation (eller en portefølje af obligationer) er et komplekst gennemsnit af nulkuponrenterne hørende til obligationens (porteføljens) terminstidspunkter. Da varigheden og konveksiteten afhænger af obligationens effektive rente giver det ingen umiddelbar mening at sammenligne disse mål på tværs af forskellige obligationer (eller porteføljer). En given ændring i rentestrukturen vil normalt ikke give de samme ændringer i alle obligationers effektive renter, så varigheden og konveksiteten er ikke generelt de relevante mål for obligationens følsomhed overfor ændringer i rentestrukturen. Kun i det tilfælde hvor rentestrukturen er flad, dvs. y 1 (t) er ens for alle t, og kun ændrer sig i form af en parallelforskydning, dvs. y 1 (t) er ens for alle t, vil alle effektive renter være ens og ændre sig lige meget ved en rentestrukturændring. 5 5 Se Ingersoll, Skelton og Weil (1978) for en mere detaljeret diskussion.

77 5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikomålene 77 Kun under sådanne forudsætninger giver det mening at sammenligne Macaulays varighed og konveksitet på tværs af obligationer. Denne model for rentestrukturen er imidlertid yderst urealistisk. Den i praksis observerede rentestruktur er sjældent bare tilnærmelsesvis flad, og ændringer sker normalt ikke i form af parallelforskydninger. Som vi skal se nedenfor, er forudsætningerne ikke alene urealistiske, de er også i direkte modstrid med ingen-arbitrage princippet. Forudsætningerne kan ikke være rigtige i en arbitrage-fri dynamisk model for rentestrukturen. På trods af disse klare mangler ved Macaulay-målene bliver de ikke desto mindre hyppigt anvendt. En af de traditionelle anvendelser af målene er i forbindelse med immunisering. En person eller virksomhed, der investerer på obligationsmarkedet, vil ofte have nogle fremtidige forpligtelser, som betalingerne fra de erhvervede obligationer skal dække ihvertfald i en vis udstrækning. Der kan for eksempel være tale om en pensionskasse, som kan forudse fremtidige udbetalinger til bedagede medlemmer. For en sådan investor er det vigtigt at have en vis kontrol over værdien og udviklingen i værdien af den samlede strøm af ind- og udbetalinger. For finansielle institutioner er det ligefrem lovpligtigt at sikre nettoværdien af betalingerne (egenkapitalen) som en bestemt andel af værdien af forpligtelserne. Antag at investoren står på tidspunkt 0 og kan forudse indbetalinger I t og udbetalinger U t på de fremtidige tidspunkter t = t 1,t 2,...,t n. Hvis der på et tidspunkt, f.eks. t k, kun sker en indbetaling, sættes U tk = 0. Tilsvarende, hvis der kun sker en udbetaling på et givet tidspunkt, så sættes indbetalingen på dette tidspunkt lig nul. Vi antager i det følgende, at der ikke er nogen usikkerhed omkring størrelsen af de fremtidige ind- og udbetalinger. Vi kan derfor definere værdien af indbetalingerne (aktiverne) og udbetalingerne (passiverne) som hhv. I = I t (1 + y 1 (t)) t t=t 1 og U = t n t n t=t 1 U t (1 + y 1 (t)) t, hvor y 1 (t) er nulkuponrenten hørende til tidspunkt t. Nettoværdien af porteføljen er derfor t n E = I U = (I t U t )(1 + y 1 (t)) t. t=t 1 Idet alle betalingerne antages at være kendte, er den eneste kilde til usikkerhed om udviklingen i E netop udviklingen i nulkuponrenterne. En portefølje, hvis nettoværdi

78 78 Investering i obligationer ikke påvirkes negativt af ændringer i rentestrukturen over tid, siges at være immuniseret. Hvis nettoværdien i forvejen er ikke-negativ, sikrer en immuniseringsstrategi, at indbetalingerne vedvarende kan dække forpligtelserne. I formel (5.13) på side 69 fandt vi ved hjælp af en anden ordens Taylorudvikling en approksimation til ændringen i en obligations pris ved en given ændring i obligationens effektive rente. Denne approksimation gælder naturligvis for enhver strøm af deterministiske betalinger, således også for vores strøm af indbetalinger I t og vores strøm af udbetalinger U t. Vi har derfor, at ændringen i værdien af indbetalingerne ved en ændring i den effektive rente y I for strømmen af indbetalinger er (5.20) I y I (1 + y I ) 1 IV I ( y I) 2 (1 + y I ) 2 IK I, hvor V I og K I er henholdsvis Macaulay-varigheden og -konveksiteten på strømmen af indbetalinger. For udbetalingerne fås på tilsvarende vis, at (5.21) U y U (1 + y U ) 1 UV U ( y U) 2 (1 + y U ) 2 UK U, hvor y U er den effektive rente for strømmen af udbetalinger, og V U og K U er Macaulay-varigheden og -konveksiteten på strømmen af udbetalinger. Vi kan ikke umiddelbart sammenligne (5.20) og (5.21), idet vi ikke ved hvorledes de effektive renter y I og y U påvirkes af ændringer i rentestrukturen. Hvis vi antager, at rentestrukturen er flad og kun ændrer sig ved parallelforskydninger, så er de to effektive renter og ændringerne i disse altid ens. Lad os kalde den fælles rente for y. Under disse strenge og urealistiske forudsætninger bliver ændringen i porteføljens nettoværdi (5.22) E = I U y(1 + y) 1 [IV I UV U ] ( y)2 (1 + y) 2 [IK I UK U ]. Hvis vi ønsker E 0 for alle mulige værdier af y, skal vi sammensætte vores portefølje, så der gælder (5.23) IV I = UV U, IK I UK U. Hvis nettoværdien i forvejen er lig nul, dvs. I = U kan dette simplificeres til betingelserne (5.24) V I = V U, K I K U,

79 5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikomålene 79 dvs. porteføljen er immuniseret, hvis Macaulay-varighederne er ens på ind- og udbetalingssiden, og Macaulay-konveksiteten på indbetalingerne er større end på udbetalingerne. Den sidste betingelse kan opnås ved løst sagt at sprede indbetalingerne tidsmæssigt mere end udbetalingerne. Ofte er målet med risikostyringen at sikre, at nettoværdien altid udgør mindst en bestemt andel α ]0,1[ af udbetalingernes værdi, dvs. E αu. I så fald skal man sikre, at I/I U/U, hvilket ifølge (5.20) og (5.21) opnås ved at sikre, at y(1 + y) 1 (V I V U ) ( y)2 (1 + y) 2 (K I K U ) 0. Dette vil være tilfældet under immuniseringsbetingelserne (5.24). Immuniseringsbetingelserne skal være opfyldt på ethvert tidspunkt. Det fremgår imidlertid af diskussionen i Afsnit 3.2.2, at sålænge renten er uændret og der ikke sker ændringer i betalingsrækken, så vil varigheden aftage jævnt med tiden. Hvis varigheden på ind- og udbetalingssiden var ens lige efter sidste betalingstidspunkt, så vil de vedblive med at være ens, sålænge der ikke sker renteændringer eller nye betalinger. Ændrer renten sig ikke, vil positionens nettoværdi være uændret indtil førstkommende terminstidspunkt. 6 Det er derfor tilstrækkeligt at justere sin portefølje på betalingstidspunkterne og på de tidspunkter, hvor der sker renteændringer. Eksempel 5.6 En virksomhed har en forpligtelse på 1 million kroner, der skal betales om fire år. Alle nulkuponrenter er lig 5%, dvs. rentestrukturen er flad. Nutidsværdien 6 Prisen på tidspunkt t på en obligation med betalinger Y i på tidspunkt t i for i = 1,2,..., n er generelt givet ved P(t) = n Y i(1 + y) (ti t), i=1 hvor y er obligationens egen effektive rente. Idet n P t = ln(1 + y) Y i(1 + y) (ti t) = P(t)ln(1 + y), så er ændringen i prisen i løbet af en periode på t approksimativt givet ved i=1 P P t = P(t) tln(1 + y), t under antagelse af en uændret effektiv rente. Antager vi en flad rentestruktur, vil værdien af indbetalingerne og værdien af udbetalingerne derfor ændre sig med lige meget (indtil næste terminstidspunkt), hvis tiden går og renten ikke ændrer sig.

80 80 Investering i obligationer af forpligtelsen er derfor U = (1.05) , mens varigheden på forpligtelserne naturligvis er V U = 4 år. Med henblik på at sikre at den fremtidige forpligtelse kan imødekommes, vil virksomheden investere i en obligationsportefølje, der har samme nutidsværdi og samme varighed som forpligtelsen. Da der er to betingelser til porteføljen, skal den bestå af (mindst) to obligationer. Idet konveksiteten kan ses som et mål for den tidsmæssige spredning af betalingerne, og forpligtelsen i dette eksempel kun består af en enkelt betaling, vil konveksiteten på obligationsporteføljen automatisk blive større end konveksiteten på de ønskede betalinger. Vi behøver derfor ikke bekymre os om betingelsen K I > K U. Lad W 1 være den samlede værdi af de enheder af den første obligation, der indgår i vores portefølje, og lad V 1 betegne varigheden på den første obligation. W 2 og V 2 er de tilsvarende størrelser for den anden obligation. De to betingelser, der skal være opfyldt, er (5.25) (5.26) W 1 + W 2 = U, W 1 U V 1 + W 2 U V 2 = V U, jfr. formel (5.18), der gælder med lighedstegn, da rentestrukturen er flad. Vi skal således løse disse ligninger med hensyn til W 1 og W 2. Den generelle løsning til ligningerne er (5.27) W 1 = V 2 V U V 2 V 1 U, W 2 = V U V 1 V 2 V 1 U. Lad os f.eks. sige at den ene obligation er et 8% stående lån med præcis tre år til udløb og én årlig termin. Prisen pr. 100 kroner nominel værdi, varigheden og konveksiteten på denne obligation kan da beregnes til henholdsvis P , V år og K Den anden obligation er et 4% stående lån med præcis seks år til udløb og én årlig termin. Prisen pr. 100 kroner nominel værdi er P , varigheden er V , og konveksiteten er K Dermed skal immuniseringsporteføljen bestå af for cirka kroner nominel værdi af det korte stående lån med en værdi på ialt W (svarende til en værdiandel på 54.29%) og for cirka kroner nominel værdi af det lange stående lån med en værdi på ialt W (en værdiandel på 45.71%). Porteføljens konveksitet er

81 5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikomålene 81 Rente- Værdi af Værdi af Gevinst Varighed på ændring forpligtelse portefølje portefølje Tabel 5.9: Effekt af renteændring ved immunisering som i Eksempel 5.6. ca (hvilket er klart større end forpligtelsens konveksitet på 20). Kommer der en øjeblikkelig parallelforskydning af rentestrukturen, vil porteføljen efterfølgende ¾ have en større nutidsværdi end forpligtelsen, som det fremgår af Tabel 5.9. Det ses, at en renteændring vil ændre porteføljens varighed, så den må rebalanceres for at sikre forpligtelsen mod nye renteændringer. Porteføljen skal også rebalanceres efter obligationernes terminer, hvor deres varighed vil ændre sig betydeligt. I ovenstående eksempel vil værdien af obligationsporteføljen være større end værdien af forpligtelsen efter en renteændring, hvad enten der er tale om en rentestigning eller et rentefald. Årsagen til denne gevinst er, at obligationsporteføljens konveksitet er større end konveksiteten på forpligtelsen, hvilket er klart, da der er en større spredning i betalingerne fra porteføljen end i den ene udbetaling. Med ens varigheder og højere konveksitet på ind- end på udbetalingerne giver (5.22), at E > 0 både for y < 0 og y > 0. Jo større forskel, der er mellem konveksiteterne på ind- og udbetalingssiden, desto mere vil man profitere af renteændringer. Ændrer renten sig ikke, vil porteføljens værdi være uændret indtil førstkommende terminstidspunkt. Den foreslåede strategi er derfor en arbitragemulighed. Som diskuteret i Afsnit 4.2 vil priserne på de finansielle markeder følge ingen-arbitrage princippet. Da forudsætningerne om en flad rentestruktur med parallelle skift over tid fører til klare arbitragemuligheder, må konklusionen være, at forudsætningerne er forkerte. Det kan simpelthen ikke være rigtigt, at rentestrukturen altid er flad!

82 82 Investering i obligationer 5.7 Fisher-Weil mål for renterisiko Som diskuteret i ovenstående delafsnit er forudsætningerne for at bruge Macaulaymålene til sammenligning af forskellige obligationers eller porteføljers renterisiko yderst problematiske. Derfor er det naturligvis af interesse at finde mål for renterisikoen under mere realistiske forudsætninger. En knap så restriktiv model er den, hvor rentestrukturen kan antage en vilkårlig form, og ændringer sker i form af proportionale skift, dvs. y 1 (t) = δ(1 + y 1 (t)), hvor δ er en konstant. 7 Det relevante varighedsmål i denne model er givet ved ˆV = t n t=t 1 tŵ t, hvor ŵ t = Y t (1+y 1 (t)) t /P. Bemærk, at det er nulkuponrenterne, der indgår i vægtene, og ikke obligationens effektive rente som i definitionen af Macaulays varighed i (5.3). Varighedsmålet ˆV blev også introduceret af Macaulay (1938), men blev først genstand for interesse efter, at Fisher og Weil (1971) viste hvorledes det kan anvendes til immuniseringsformål. Det kaldes derfor ofte for Fisher-Weil varigheden. Tilsvarende kan man definere en Fisher-Weil konveksitet som ˆK = t n t=t 1 ( t 2 + t ) ŵ t. For at vise at ˆV og ˆK er relevante mål for renterisikoen under de givne forudsætninger, tager vi udgangspunkt i sammenhængen mellem prisen P på en obligation og nulkuponrenterne y 1 (t): P = t n t=t 1 Y t (1 + y 1 (t)) t. Denne sammenhæng følger af (4.1) og (4.2). Obligationsprisen P er således en funktion af nulkuponrenterne y 1 (t 1 ),y 1 (t 2 ),...,y 1 (t n ). En anden ordens Taylorudvikling 7 Bemærk, at små proportionale skift i årligt tilskrevne nulkuponrenter svarer til parallelle skift i de tilsvarende kontinuert tilskrevne nulkuponrenter. Sammenhængen mellem disse renter er nemlig y (t) = ln(1 + y 1(t)), hvilket medfører, at y (t) dy (t) dy 1(t) y1(t) = y 1(t) y1(t), som er lig δ ifølge antagelsen. Ændringerne i de kontinuert tilskrevne nulkuponrenter er således ens for alle løbetider, hvilket netop svarer til en parallelforskydning.

83 5.7 Fisher-Weil mål for renterisiko 83 omkring de aktuelle værdier af disse nulkuponrenter giver P t n t n ty t (1 + y 1 (t)) t 1 y 1 (t) + 1 t(t + 1)Y t (1 + y 1 (t)) t 2 ( y 1 (t)) 2. 2 t=t 1 t=t 1 Med antagelsen om proportionale skift y 1 (t) = δ(1+y 1 (t)) kan vi skrive dette som P δ hvilket er ensbetydende med, at t n t n ty t (1 + y 1 (t)) t δ2 t(t + 1)Y t (1 + y 1 (t)) t, t=t 1 t=t 1 P δp ˆV δ2 P ˆK. Med udgangspunkt i denne sammenhæng er det på samme måde som for Macaulaymålene muligt at lave immunisering. Det kan let vises, at immuniseringsbetingelserne bliver ˆV I = ˆV U, ˆKI ˆK U, hvilket er helt analogt til (5.24). Bemærk i øvrigt, at Fisher-Weil målene bliver identiske med Macaulay målene, hvis rentestrukturen er flad. Fisher-Weil risikomålene er også hyppigt anvendte. De er ganske vist sværere at beregne end Macaulay-målene, for hvor Macaulay-målene kan beregnes udfra obligationens egen effektive rente, skal man kende hele nulkuponrentestrukturen for at kunne beregne Fisher-Weil målene. Som nævnt i Afsnit 4.7 findes der dog en række metoder til at finde nulkuponrentestrukturen udfra markedspriserne på de handlede obligationer. Ser man på en portefølje af obligationer, gælder der, at Fisher- Weil varigheden og konveksiteten for porteføljen er et værdi-vægtet gennemsnit af Fisher-Weil varighederne og konveksiteterne for obligationerne i porteføljen, dvs. M (5.28) ˆVport = ˆV i z i og i=1 (5.29) ˆKport = M i=1 ˆK i z i, hvor de tilsvarende udsagn for Macaulay-målene kun er tilnærmelsesvist rigtige, jfr. (5.18) og (5.19). Den store fordel ved Fisher-Weil målene fremfor Macaulay-målene er, at forudsætningerne for målenes relevans ikke er så skrappe som for Macaulay-målene.

84 84 Investering i obligationer Forudsætningerne for Fisher-Weil målene er imidlertid også urealistiske. Det er muligt at konstruere en dynamisk rentestrukturmodel, hvor rentestrukturen ændrer sig i form af disse proportionale skift, og hvor der ikke kan dannes arbitrageporteføljer af obligationerne. I en sådan model skal den kontinuert tilskrevne rentestruktur have formen (5.30) y (t) = y (0) + At Bt 2, hvor y (0) angiver skæringspunktet med anden-aksen (dvs. den ultra-korte rente), og A og B er konstanter med B > 0. Den kontinuert tilskrevne rentestruktur er altså en parabel med grenene nedad. 8 Dette synes umiddelbart overraskende, for også i denne model forekommer det fordelagtigt at maksimere konveksiteten på indbetalingssiden samtidigt med at holde varighederne ens. Følger man en sådan strategi, vil man da også få en konveksitets-gevinst ved relativt store ændringer af rentestrukturen. Men hvis rentestrukturen ikke ændrer sig, vil man derimod få et tab, som det vil fremgå af det følgende eksempel. En sådan strategi er derfor ikke en arbitrage-mulighed. Eksempel 5.7 Betragt igen situationen i Eksempel 5.6, hvor det ønskes at immunisere en forpligtelse på 1 million kroner til betaling om fire år med en portefølje af et 3-årigt 8% stående lån og et 6-årigt 4% stående lån. Den aktuelle rentestruktur antages at være på formen (5.30) med A = , B = og y (0) = 5%. Denne rentestruktur er illustreret i Figur 5.2. I Tabel 5.10 er Fisher-Weil varigheden og konveksiteten for de to obligationer beregnet. Nutidsværdien af 8% obligationen er pr. 100 kroner nominel værdi, nutidsværdien af 4% obligationen er pr. 100 kroner nominel værdi, mens nutidsværdien af forpligtelsen er kroner. Fisher-Weil varigheden for forpligtelsen er naturligvis 4 år, mens konveksiteten er = 20. For at finde en portefølje af de to obligationer, der vil immunisere forpligtelsen, skal vi løse et ligningssystem som (5.25) (5.26), hvor vi skal erstatte Macaulayvarighederne med Fisher-Weil varighederne. Løsningen er analog til (5.27). Med ovenstående tal skal porteføljen bestå af for cirka kroner nominel værdi af 8% obligationen med en værdi på ialt W (en værdiandel på 54.02%) og 8 Dette resultat blev vist af Cox, Ingersoll og Ross (1979). Den tilsvarende årligt tilskrevne rentestruktur følger af sammenhængen y 1(t) = e y (t) 1.

85 5.7 Fisher-Weil mål for renterisiko 85 3-årigt 8% st. lån 6-årigt 4% st. lån t d(t) Y t ŵ t tŵ t (t 2 + t)ŵ t Y t ŵ t tŵ t (t 2 + t)ŵ t Tabel 5.10: Beregning af varighed og konveksitet for obligationerne i Eksempel 5.7. for cirka kroner nominel værdi af 4% obligationen med en værdi på ialt W (en værdiandel på 45.98%). Fisher-Weil konveksiteten på porteføljen er , hvilket er klart højere end på forpligtelsen. Lad os nu betragte situationen hvor immuniseringsporteføljen holdes uændret i et halvt år. I Tabel 5.11 vises den nye nutidsværdi af forpligtelsen og af porteføljen ved forskellige værdier af den korte rente y (0), der er gældende om et halvt år. Formen på rentestrukturen antages stadig at være som beskrevet ovenfor, men rentestrukturen kan være forskudt op eller ned. Det fremgår tydeligt af tabellen, ¾at selvom konveksiteten på indbetalingerne (porteføljen) er større end på forpligtelsen, så er der ikke tale om en arbitrage. Strategien giver kun en gevinst, hvis renten ændrer sig betydeligt. Hvis renten ikke ændrer sig eller kun ændrer sig lidt, giver strategien et tab. Selvom forudsætningerne for Fisher-Weil målene teoretisk set kan være korrekte, så er det klart, at de ikke stemmer overens med den måde rentestrukturen ser ud og bevæger sig på i virkelighedens verden. Rentestrukturen har kun sjældent en form, der lader sig beskrive med et anden grads polynomium som i (5.30), og ændringerne er heller ikke af den foreskrevne slags. De korte renter er langt mere volatile end de lange renter. Desuden har man adskillige gange observeret et twist af rentestrukturen, i den forstand at rentestrukturen ændrer sig fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt. Sådanne skift kan ikke beskrives som proportionale

86 86 Investering i obligationer Ny kort rente Ændring i Værdi af Værdi af Nettoy (0) y (0) forpligtelsen porteføljen gevinst Tabel 5.11: Effekt af renteændring ved immunisering som i Eksempel % 5.5% 5.0% 4.5% 4.0% Løbetid, antal år Figur 5.2: Den initiale kontinuert tilskrevne nulkuponrentestruktur t y (t) i Eksempel 5.7.

87 5.8 Andre risikomål 87 eller parallelle skift. 5.8 Andre risikomål Macaulay og Fisher-Weil varigheden måler prisfølsomheden overfor bestemte urealistiske skift i hele rentestrukturen. I stedet kan man forsøge at måle prisfølsomheden overfor bestemte skift i forskellige segmenter af rentestrukturen. Dette kan gøres ved at identificere nogle nøglerenter, som typisk er såkaldt toneangivende renter i markedet (f.eks. 3 mdr., 2 år, 5 år og 10 år). Prisfølsomheden overfor en given ændring i en af disse nøglerenter og renter med løbetider tæt på kaldes for en nøglerenterisiko. Ved på passende vis at kombinere nøglerenterisiko-målene kan man måle prisfølsomheden overfor en bestemt kombination af ændringer i nøglerenterne. Se Ho (1992) for mere information om denne metode til måling af renterisiko. Det er uklart hvorvidt metoden hænger sammen med en konsistent, arbitrage-fri dynamisk model for rentestrukturens udvikling. Mere realistiske modeller for rentestrukturens dynamik end de som ligger til grund for de traditionelle Macaulay og Fisher-Weil mål og dermed også mere realistiske mål for renterisikoen i en obligationsinvestering er ganske komplekse og kræver brug af avanceret matematik, som ligger uden for rammerne af denne korte note. De interesserede læsere må nøjes med henvisninger til Hull (2000), Cox, Ingersoll og Ross (1979), Jørgensen og Collignon (1996) og Munk (1999, 2000b). Et typisk resultat er, at både Macaulay varigheden og Fisher-Weil varigheden overvurderer renterisikoen især for lange obligationer. Et andet resultat er som vi så i Eksempel 5.7 at man udover at sikre sig mod renteændringer også skal sikre sig mod, at rentestrukturen ikke ændrer sig. 9 Det er intuitivt klart, at den eneste måde, man kan beskytte sin portefølje imod alle mulige skift i rentestrukturen, er ved at sørge for at de forskellige ind- og udbetalingers størrelse og tidsmæssige placering er sammenfaldende. For en given strøm af udbetalinger skal man ideelt set vælge en obligationsportefølje, der giver anledning til den samme betalingsstrøm, dvs. man skal konstruere en replikerende portefølje. Er der som i Eksempel 5.7 tale om en enkelt udbetaling kan denne immuniseres perfekt med en nulkuponobligation med samme betalingstidspunkt. I praksis er det 9 Dette er formaliseret af Christensen og Sørensen (1994).

88 88 Investering i obligationer dog sjældent muligt at finde en perfekt replikerende portefølje. Den bedste immuniseringsstrategi er da løst sagt at konstruere en portefølje, hvis betalingsstrøm ligner den for udbetalingerne mest muligt. Den lille hurtige test-dig-selv (a) Forklar forskellen på konkursrisiko og likviditetsrisiko (b) Fortolk Macaulay-varighed. (c) Hvis der er månedlige terminer, og varigheden udregnes til at være 42 terminer, hvad er da varigheden målt i år? (d) Fortolk Macaulay-konveksitet. (e) Såfremt prisen son funktion af den effektive rente approksimeres med Macaulayvarighed fås en ret linie. Hvilken type approksimation opnår, såfremt man endvidere inddrager Macaulay-konveksitet? (f) Betragt approksimationerne (5.17) (5.19). Hvad skal gælde før disse relationer er eksakte? (g) Hvad forstås ved immunisering? (h) Er det problematisk at antage en flad rentestruktur med parallelle skift? (i) Hvorledes adskiller Fisher-Weil risikomålene sig fra Macaulay-risikomålene?

89 Kapitel 6 Beskatning af obligationsafkast 6.1 Indledende bemærkninger Beskatning af obligationsafkast er i Danmark reguleret ved adskillige love. I det omfang afkastet er opnået i forbindelse med pensionsopsparing sker beskatningen i henhold til pensionsafkastbeskatningsloven. Dette gælder både for renter og kursgevinster og -tab. For obligationsafkast, der ikke er opnået i forbindelse med pensionsopsparing, skelner man mellem renter og kursgevinster og -tab. Renter medregnes altid i den almindelige skattepligtige indkomst og beskattes i forfaldsåret. 1 De skattepligtige kursgevinster og -tab opgøres i henhold til kursgevinstloven og indgår i den almindelige skattepligtige indkomst. Selskaber betaler således typisk 28% skat af både renter og kursgevinster. For private indgår renter og kursgevinster på obligationer i kapitalindkomsten. En positiv netto-kapitalindkomst beskattes med op til ca. 60%, mens en negativ netto-kapitalindkomst giver et fradrag i skatten på ca. 40%. 2 I dette kapitel vil vi kort se på pensionsafkastbeskatningslovens og kursgevinstlovens hovedregler for beskatning af obligationsafkast. Fremstillingen er på ingen måde fuldstændig. Den interesserede læser henvises til lovteksten for de præcise regler. Vi vil derefter se nærmere på principper til opgørelse af kursgevinster og -tab, der ifølge lovene kan eller skal anvendes. Endeligt vil vi kort diskutere hvorledes skattereglerne påvirker nøgletal som effektiv rente, varighed og konveksitet. 1 Vedhængende renter indregnes i den skattepligtige indkomst i det år de betales/modtages og ikke i det år, hvor den tilhørende termin ligger. 2 Kapitalindkomsten indgår under alle omstændigheder i beregning af amts-, kommune- og kirkeskat og i bundskatten, hvilket giver en skattesats på omkring 40%. Positiv nettokapitalindkomst indgår desuden i grundlaget for mellemskatten og topskatten.

90 90 Investering i obligationer 6.2 Pensionsafkastbeskatningsloven Som navnet antyder er pensionsafkastbeskatningsloven grundlaget for beskatning af det afkast som pensionskasser og -fonde, forsikringsselskaber m.v. opnår på deres investerede formue, men gælder også privates pensionsopsparinger i pengeinstitutter. Ifølge loven skal der betales en skat på 26 procent af både renteindtægter og kursgevinster fra obligationer (dog ikke for indeksobligationer udstedt før 1999). Kurstab kan trækkes fra i opgørelsen af skattegrundlaget. Afkast på aktieinvesteringer i forbindelse med pensionsopsparing beskattes kun med 5 procent. Beskatningsgrundlaget opgøres for hvert indkomstår, hvilket for pensionskasser og andre institutionelle pensionsopsparere svarer til kalenderåret, men for privates pensionsopsparing i pengeinstitutter dækker perioden fra 1. december til 30. november. De kursgevinster og -tab, der indgår i beskatningsgrundlaget, opgøres efter det såkaldte lagerprincip, der er beskrevet nærmere senere i dette kapitel. De institutionelle pensionsopsparere skal senest den 15. december indsende en opgørelse over det forventede beskatningsgrundlag for det pågældende år til den centrale told- og skatteforvaltning og samtidigt indbetale den hertil svarende skat. Den endelige afregning skal ske senest 15. juli det følgende år. For en privatpersons pensionsopsparing i et pengeinstitut påhviler det pengeinstituttet at hæve skatten på opsparingskontoen og indbetale beløbet til den centrale told- og skatteforvaltning umiddelbart efter indkomstårets afslutning (senest 15. december). Pensionsafkastbeskatningsloven gælder fra og med indkomståret Før den tid blev pensionsafkast beskattet ifølge den såkaldte realrenteafgiftslov, der blev indført i Afgiften varierede fra år til år med henblik på at sikre et stabilt realt afkast af pensionsopsparingen på ca. 3.5% pr. år. I pensionsafkastbeskatningsloven er der visse regler for perioden , der har til formål at sørge for, at der ikke sker pludselige voldsomme ændringer i det skattepligtige beløb ved overgangen til den nye beskatningsform. 6.3 Kursgevinstloven Kursgevinster og -tab på obligationsinvesteringer, der ikke falder ind under pensionsafkastbeskatningsloven, beskattes i henhold til kursgevinstloven, der blev indført i 1985 og senest blev revideret i Kursgevinstloven opdeler de skattepligtige i

91 6.3 Kursgevinstloven 91 tre grupper: (1) Selskaber, fonde og foreninger m.v.: kursgevinster og -tab indgår i den skattepligtige indkomst. (2) Personer, der udøver handel med fordringer som led i deres næring, f.eks. vekselerere, bankiers og lignende: kursgevinster og -tab på omsætningsporteføljen indgår i den skattepligtige indkomst, mens gevinster og tab på anlægsporteføljen beskattes som for andre personer. (3) Andre personer: kurstab kan ikke fradrages. Kursgevinster på obligationer, der opfylder den såkaldte mindsterenteregel, er ikke skattepligtige, med mindre obligationen er erhvervet for lånte midler (se nedenfor). Andre kursgevinster er skattepligtige. Mindsterentereglen er opfyldt for en given obligation, hvis obligationens pålydende rente er større end eller lig med den officielle mindsterente, der er gældende på obligationens udstedelsestidspunkt. For fastforrentede obligationer fastsættes en mindsterente for hvert halvår januar-juni og juli-december. Mindsterenten beregnes som 7/8 af et simpelt gennemsnit af den daglige effektive rente de seneste 20 børsdage forud for den 15/12, hhv. den 15/6, for fastforrentede krone-obligationer i åbne serier, nedrundet til nærmeste hele antal procentpoints. Mindsterenten kan dog ændres ekstraordinært ved kraftige renteskift, hvilket er sket enkelte gange. Medio juli 2000 er mindsterenten 5%. 3 Tabel 6.1 viser udviklingen i den officielle mindsterente. For indeksobligationer er mindsterenten fast 2.5%. Variabelt forrentede obligationer anses for forrentet lavere end mindsterenten, hvis de kontraktmæssige regler for fastsættelse af den variable nominelle rente og evt. særlige indfrielsesvilkår gør, at kursen kan afvige væsentligt fra indfrielseskursen. Obligationer, der opfylder mindsterentereglen, kaldes blåstemplede, mens obligationer, der ikke opfylder kravet, kaldes sortstemplede. Det var i begyndelsen af 1990 erne en relativt udbredt praksis at optage lån med fradragsberettigede rentebetalinger og placere pengene i blåstemplede obligationer. For at forhindre sådanne arrangementer indførte Folketinget i juni 1992 en bestemmelse i kursgevinstloven, som siger, at gevinst på fordringer skal medregnes i den 3 Mindsterenten er if. en pressemeddelelse fra Fondsbørsen d. 16. juni 2003 nedsat fra 3% til 2% p.a. i perioden fra d. 1/7 til d. 31/

92 92 Investering i obligationer ændringsdato mindsterente ændringsdato mindsterente 2/ % 1/ % 2/ % 1/ % 1/ % 1/ % 1/ % 1/ % 1/ % 22/ % 17/ % 22/ % 18/ % 1/ % Tabel 6.1: Udviklingen i den officielle mindsterente for fastforrentede obligationer. skattepligtige indkomst i det omfang, den pågældende fordring er erhvervet for lånte midler. Kursgevinster er kun skattepligtige, hvis der er et åbenbart misforhold til det kapitalbehov, som den skattepligtiges øvrige virksomhed eller privatforbrug betinger, eller hvis sammenhængen mellem erhvervelse og lånoptagelse klart fremgår af omstændighederne ved erhvervelsen. Der er ingen skattepligt, hvis de fradragsberettigede udgifter vedrørende lånet kun i uvæsentligt omfang overstiger de skattepligtige indtægter fra fordringerne. Der er heller ingen beskatning, hvis lånet og fordringen ikke giver et positivt afkast efter skat ved beskatning efter mindsterentereglen. Bedømmelsen foretages for den samlede ejer-og skyldnerperiode. Opgørelsen af de skattepligtige kursgevinster og -tab på obligationer skal ifølge kursgevinstloven som udgangspunkt ske ved anvendelse af realisationsprincippet (se næste afsnit), men kan efter tilladelse fra skatteministeren ske ved anvendelse af lagerprincippet. Realkreditinstitutter skal dog anvende lagerprincippet, hvilket også (med tilladelse selvfølgelig) bruges af de fleste pengeinstitutter. Skatteministeren kan desuden give tilladelse til at en anden opgørelsesmetode anvendes. Enhver ændring af opgørelsesmetoden kræver ligeledes tilladelse fra skatteministeren. 6.4 Metoder til opgørelse af skattepligtige kursgevinster Som nævnt ovenfor anvendes typisk en af følgende to metoder til opgørelse af den skattepligtige kursgevinst (og -tab): realisationsprincippet: kursgevinsten medtages i den skattepligtige indkomst i det år, hvor gevinsten realiseres. En realiseret kursgevinst kan fremkomme

93 6.4 Metoder til opgørelse af skattepligtige kursgevinster 93 ved salg eller ved den løbende indfrielse i form af udtrækninger. Den realiserede kursgevinst ved salg beregnes som den nominelle værdi af den solgte beholdning S multipliceret med forskellen mellem salgskursen k salg og købskursen k køb divideret med 100, dvs. H real salg = S k salg k køb. 100 Den realiserede kursgevinst ved udtrækning beregnes som udtr = Z 100 k køb, 100 H real hvor Z er det udtrukne beløb. lagerprincippet: den skattepligtige kursgevinst i de enkelte indkomstår følger udviklingen i markedskursen. Kursgevinsten kan fremkomme ved udtrækninger, ved salg og ved urealiserede kursgevinster på restbeholdningen. Kursgevinsten på de udtrukne beløb beregnes som H lager udtr = Z 100 k primo, 100 hvor k primo er markedskursen primo regnskabsåret. Kursgevinsten ved salg er H lager salg = S k salg k primo. 100 Den urealiserede kursgevinst på lagerbeholdningen ultimo året beregnes som H lager ureal = Lk ultimo k primo, 100 hvor L angiver den nominelle værdi af lagerbeholdningen ultimo, og k ultimo selvfølgelig er markedskursen ultimo regnskabsåret. I anskaffelsesåret skal k primo erstattes af købskursen k køb i disse udtryk. Ved opgørelse af kursgevinsten anvendes FIFO-princippet, således at de først erhvervede obligationer betragtes som de først solgte. De to metoder er illustreret i følgende eksempel: Eksempel 6.1 Obligationen 10% S 1995 er/var en serieobligation med én årlig termin den 15/4. En virksomhed købte for en million kroner nominel værdi den 14/ (valør 19/9 1990) til kurs Ydelsesrækken for denne beholdning var på daværende tidspunkt som vist i Tabel 6.2. Den vedhængende rente var

94 94 Investering i obligationer kr. Obligationen blev solgt med valør den 6/ til kurs Vi skal nu opgøre de skattepligtige kursgevinster i forbindelse med ejerskabet af denne obligation. Først betragtes realisationsprincippet. I vores eksempel er Z = i hvert af årene 1991, 1992, 1993 og 1994, så den skattepligtige kursgevinst af de udtrukne obligationer er Hudtr real = = i hvert af disse år. Den skattepligtige kursgevinst af den solgte beholdning på S = i 1994 er Hsalg real = = Kursgevinsterne ifølge realisationsprincippet bliver dermed som vist i Tabel 6.3. Lad os nu se på lagerprincippet. Her skal vi naturligvis kende markedskursen på obligationen ultimo/primo hvert år. Disse kurser og de beregnede skattepligtige kursgevinster er vist i Tabel 6.4. For eksempel er kursgevinsten på udtrækningen i 1992 beregnet som H lager udtr = = 700, og den urealiserede kursgevinst på beholdningen ultimo 1993 er H lager ureal = = Kursgevinsten af den solgte beholdning i 1994 er beregnet som H lager ¾ salg = = Bemærk, at den totale skattepligtige kursgevinst er den samme ligegyldigt hvilken metode, der anvendes, men fordelingen på de enkelte indkomstår varierer en del. 6.5 Nøgletal efter skat For en skattepligtig investor er det ydelsesrækken efter skat og derfor også nøgletallene efter skat, der er af interesse. For at opstille ydelsesrækken efter skat skal man i princippet afgøre hvornår skatten af obligationsafkastet skal betales. I praksis antager man ofte for simpelhedens skyld, at der betales samtidighedsskat,

95 6.5 Nøgletal efter skat 95 Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 6.2: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 6.1. solgt kursgevinst indkomstår udtrækning beholdning udtrækning salg ialt Tabel 6.3: Kursgevinster i Eksempel 6.1 ifølge realisationsprincippet. ultimo solgt ultimo kursgevinst indk.år udtræk. behold. behold. kurs udtræk. salg ureal. ialt Tabel 6.4: Kursgevinster i Eksempel 6.1 ifølge lagerprincippet.

96 96 Investering i obligationer dvs. at skatten betales samtidigt med den ydelse, som genererer den skattepligtige indkomst. Det kan imidlertid relativt nemt lade sig gøre at håndtere et andet skattebetalingstidspunkt. Generelt kan den effektive rente, varigheden og konveksiteten efter skat ikke umiddelbart findes udfra de tilsvarende nøgletal før skat, men må beregnes på baggrund af ydelsesrækken efter skat. Således gælder der ikke generelt, at den effektive rente efter skat y er lig den effektive rente før skat multipliceret med én minus skattesatsen, dvs. at (6.1) y = y(1 T). Jensen (2005, Kap. 7) viser, at denne formel kun er korrekt, hvis alle typer af afkast og finansieringsomkostninger er skattepligtige/fradragsberettigede med samme skattesats, og der er tale om samtidighedsskat. Betales der kun skat af renter og ikke af kursgevinster, og er der tale om samtidighedsskat, vil (6.1) dog gælde for uamortisable obligationer. For at indse det kigger vi på en uamortisabel obligation med en terminslig rente på R og en markedskurs på k. Den effektive rente y før skat er da givet ved relationen k = 100R, y jfr. (3.4), og den effektive rente efter skat y er givet ved k = 100R(1 T) y ved valør på et terminstidspunkt. Sammenholdes de to ligninger fås netop, at relationen (6.1) er opfyldt. Eksempel 6.2 I Eksempel 5.4 på side 72 så vi blandt andet på statsobligationen 6% stående lån Ydelsesrækken før skat ved valør den 27/ er (pr. 100 kroner nominel værdi) som vist i Tabel 6.5. Kursen på obligationen er på handelstidspunktet, den vedhængende rente før skat er v = 6 193/365 = 3.17 kr. Den samlede anskaffelsespris er P = = kr. Den effektive rente blev i Eksempel 5.4 beregnet til %, varigheden til og konveksiteten til Lad os først kigge på situationen, hvor der betales samtidighedsskat og kursgevinster er skattefrie. Ved en skattesats på T = 34% er ydelsesrækken efter skat som

97 6.5 Nøgletal efter skat 97 angivet i Tabel 6.6. Den vedhængende rente efter skat er v = 100R(1 T)193/365 = , så anskaffelsesprisen efter skat er kr. Den effektive rente efter skat er selvfølgelig den diskonteringsrente, der gør nutidsværdien af ydelserne efter skat lig med anskaffelsesprisen efter skat. I dette tilfælde bliver den effektive rente efter skat %, varigheden efter skat er , og konveksiteten efter skat er Lad os endelig se på tilfældet, hvor der også betales samtidighedsskat af kursgevinster og -tab efter realisationsprincippet. I forbindelse med udtrækningen i den sidste termin realiseres et tab på = 4.34, så det samlede skattepligtige afkast på det sidste terminstidspunkt er = 1.66 kroner pr. 100 kroner ¾ nominel værdi. Den relevante ydelsesrække er derfor som vist i Tabel 6.7. Med denne beskatningsform bliver den effektive rente efter skat 3.21%, varigheden efter skat bliver , og konveksiteten efter skat er Den lille hurtige test-dig-selv (a) Hvad er en blåstemplet obligation? (b) Forklar begrebet samtidighedsskat.

98 98 Investering i obligationer Termin Udtrækning Rente Ydelse Tabel 6.5: Ydelsesrækken før skat for obligationen i Eksempel 6.2. Termin Udtrækning Rente Skat Ydelse Tabel 6.6: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 6.2 ved samtidighedsskat af renter. Termin Udtrækning Rente Skat Ydelse Tabel 6.7: Ydelsesrækken for obligationen i Eksempel 6.2 ved samtidighedsskat af renter og kursgevinster opgjort efter realisationsprincippet.

99 Kapitel 7 Realkreditobligationer og -lån 7.1 Obligationslån vs. kontantlån Realkreditinstitutterne tilbyder traditionelt to typer af lån. Ved et obligationslån fastsættes først et lånebeløb, og det bestemmes hvilke obligationer, der skal udstedes. Låneprovenuet bliver imidlertid ikke udbetalt til låntageren før obligationerne er blevet solgt, hvilket først kan ske, når pantebrevet i ejendommen er blevet tinglyst ofte måneder senere. Det udbetalte låneprovenu afhænger derfor af kursudviklingen i den mellemliggende periode 1, hvorimod ydelserne ligger fast allerede på tidspunktet, hvor lånebeløbet fastsættes. Ved et kontantlån får låntageren udbetalt præcist det ønskede lånebeløb. Mængden af udstedte obligationer tilpasses om nødvendigt. Falder obligationskursen i perioden mellem fastsættelsen af lånebeløbet og udstedelsen af obligationerne, udstedes flere obligationer. Dermed kan ydelserne på lånet også afvige fra det, der var forudset på tidspunktet, hvor lånet blev optaget. 2 Ydelserne på et kontantlån afhænger af den effektive rente på obligationen på udstedelsestidspunktet. Denne rente kaldes derfor for kontantlånsrenten. Det lånte beløb kaldes for kontantlånshovedstolen, mens den nominelle værdi af de udstedte obligationer kaldes for obligationshovedstolen. Låntagerne skal via løbende afdrag tilbagebetale kontantlånshovedstolen, mens obligationsejerne via løbende udtrækninger får udbetalt obligationshovedstolen. Ydelsen på kontantlånssiden (låntagersiden) 1 Låntageren kan dog købe sig sikkerhed i form af kurssikringsaftaler og lignende. 2 I en årrække frem til 1993 måtte realkreditinstitutterne ikke tilbyde kontantlån, men adgangen til kontantlån er gjort permanent i forbindelse med ændringen af kursgevinstbeskatningsloven pr. 1. januar 1996.

100 100 Investering i obligationer og ydelsen på obligationssiden vil hvis vi ser bort fra låntagerens bidragsbetalinger være ens, men sammensætningen af ydelserne vil være forskellig. På kontantlånssiden bruges kontantlånsrenten og ikke obligationens nominelle rente til bestemmelse af rentebetalingen. Af skattemæssige årsager bliver obligationerne bagved et kontantlån udstedt til en nominel rente under markedsrenten. Låntageren veksler et emissionskurstab til en højere fradragsberettiget rente, mens obligationsejerne får lavere skattepligtige rentebetalinger. Til gengæld får de gennem de senere afdrag en større kursgevinst, som for nogle investorers vedkommende er skattefri. Taberen i dette spil er selvfølgelig statskassen i form af mistede skatteindtægter. Realkreditinstitutterne er skattemæssigt neutralt stillet i denne sammenhæng. Der er imidlertid forskelle i den skattemæssige behandling af konverteringer af henholdsvis kontantlån og obligationslån, som taler til fordel for obligationslån. Mere om dette i Afsnit 7.3. Eksempel 7.1 Et kontantlån er baseret på udstedelse af for kr. nominelt 10-årige 5% annuitetsobligationer med fire årlige terminer. Obligationshovedstolen er altså kr., og den terminslige nominelle rente er 1.25%. Den terminslige ydelse før skat er derfor Y = α , jfr. formel (1.1). Obligationerne er i kurs 80, så kontantlånshovedstolen er kr. Kontantlånsrenten y findes ved (numerisk) at løse ligningen = α, 40 y hvilket giver en terminslig kontantlånsrente på ca %. Ydelsen på kontantlånet ¾ bliver også Regnes med samtidighedsskat og en skattesats på 50% af renterne, kan ydelsesrækkerne beregnes som angivet i Tabel 7.1. Det ses, at ydelserne efter skat er betydeligt lavere på kontantlånet end på et tilsvarende obligationslån. Forskellen er størst i den første termin og falder derefter indtil udløb. 7.2 Generelt om konverterbare obligationer De allerfleste danske realkreditlån og -obligationer er konverterbare. En konverterbar obligation er en obligation med den egenskab, at udstederen (debitor) har

101 7.2 Generelt om konverterbare obligationer 101 Obligationssiden Kontantlånssiden År til Udtræk- Rente Ydelse Ydelse Rest- Af- Rente Ydelse Ydelse Resttermin ning før skat før skat ef. skat gæld drag før skat før skat ef. skat gæld Tabel 7.1: Ydelsesrækker for kontantlånet i Eksempel 7.1.

102 102 Investering i obligationer ret til på ethvert tidspunkt at indfri lånet mod at betale den på tidspunktet resterende restgæld til obligationsejeren. Denne ret kaldes for konverteringsretten. En konverterbar obligation kan opfattes som en pakke bestående af en tilsvarende inkonverterbar obligation og konverteringsretten. 3 Låntagerens indfrielse af lånet mod betaling af restgælden kan opfattes, som om han køber obligationen tilbage til kurs 100. Konverteringsretten er derfor et eksempel på en amerikansk calloption. En amerikansk calloption er en kontrakt, der giver ejeren ret, men ikke pligt, til at købe et bestemt aktiv ( det underliggende aktiv ) til en på forhånd fastsat pris/kurs ( exercisekursen ) når som helst før en bestemt dato (optionens udløbstidspunkt ). Når ejeren udnytter sin ret, siger man, at han exerciser optionen. Når ejeren exerciser optionen, har udstederen af optionen pligt til at sælge ham aktivet mod at modtage exercisekursen. 4 Obligationsudstederens konverteringsret kan således opfattes, som om han ejer en amerikansk calloption med den inkonverterbare obligation som det underliggende aktiv med exercisekursen 100. Da konverteringsretten kan udnyttes på et hvilket som helst tidspunkt i lånets løbetid, er udløbstidspunktet for denne option lig med obligationens sidste terminstidspunkt. Set fra obligationsejerens synsvinkel er en konverterbar obligation ækvivalent med at eje en tilsvarende inkonverterbar obligation og have udstedt en amerikansk calloption på denne inkonverterbare obligation med exercisekurs 100. Hvis låntageren exerciser sin amerikanske calloption, kan han købe den inkonverterbare obligation til kurs 100. Værdien af at exercise optionen er derfor den aktuelle kurs på den inkonverterbare obligationen minus 100. Det kan derfor kun komme på tale at exercise optionen, når kursen på den inkonverterbare obligation er højere end 100, dvs. når den aktuelle effektive rente på den inkonverterbare obligation er lavere end den nominelle rente. Optionsejeren skal imidlertid også være opmærksom på, at hvis han exerciser optionen på et givet tidspunkt, så fraskriver han sig muligheden for senere at kunne exercise optionen i en situation, hvor det ville være mere profitabelt. Derfor vil han kun exercise, hvis kursen på den inkonverterbare obligation er betydeligt højere end 100, dvs. hvis den aktuelle effektive rente er betydeligt 3 Med tilsvarende menes: med samme hovedstol, pålydende rente, afviklingsprincip og terminstidspunkter. 4 For en introduktion til optioner, se Munk (2000a).

103 7.2 Generelt om konverterbare obligationer 103 lavere end den nominelle rente. Da en option netop er en ret og ikke en pligt, vil værdien af konverteringsretten aldrig være negativ. En konverterbar obligation vil derfor være billigere end en tilsvarende inkonverterbar obligation, simpelthen fordi at ejeren af en konverterbar obligation ikke kan være sikker på at få de planlagte ydelser. Som beskrevet ovenfor er det endda sådan, at hvis låntageren vælger at konvertere, så er det fordi markedsrenten er lav. Hvis obligationsejeren ønsker at reinvestere efter en konvertering af hans obligation, så må det derfor ske til en relativt lav rente. Konverteringsretten gør altså obligationen mindre værdifuld. Omvendt er det dyrere for låntageren at optage et konverterbart lån end et tilsvarende inkonverterbart lån. Det er netop fordi, at kursen på en konverterbar obligation vil være lavere end kursen på et tilsvarende inkonverterbart lån. Ved optagelsen af lånet og dermed ved udstedelsen af obligationer skal låntageren derfor udstede flere obligationer for at få det samme provenu. Ydelserne og den effektive rente er derfor højere på et konverterbart lån end på et tilsvarende inkonverterbart lån. 5 Både for udstederen og ejeren af en konverterbar obligation er det naturligvis interessant at vide både, hvor meget konverteringsretten er værd, og i hvilke situationer det er optimalt for udstederen at udnytte konverteringsretten. Idet konverteringsretten som ovenfor beskrevet kan opfattes som en amerikansk option på en inkonverterbar obligation, synes problemet derfor at være at finde værdien af en sådan option, samt en strategi for hvornår sådan en option bør exercises. Dette vil naturligvis afhænge af den fremtidige renteudvikling. I litteraturen findes mange modeller for renteudviklingen, der kan besvare disse spørgsmål, men da disse er ganske komplicerede, vil vi ikke beskæftige os med dem i dette skrift. 6 Som vi skal se i næste afsnit, er der en række forhold ved konverterbare danske realkreditobligationer, der yderligere komplicerer analysen. 5 Under konverteringsbølgen i forbindelse med rentefaldet i midten af 1990 erne kunne man fornemme en del forargelse i den offentlige debat over de store gevinster, som mange husejere tog hjem ved at konvertere deres realkreditlån. Man skal i denne sammenhæng ikke glemme, at husejerne rent faktisk har betalt for retten til at konvertere deres lån. 6 Se f.eks. Hull (2000) og Munk (2000b).

104 104 Investering i obligationer 7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer De handlede statsobligationer på Københavns Fondsbørs er alle (på nær de uamortisable) inkonverterbare. De allerfleste danske realkreditobligationer er derimod konverterbare. 7 I forhold til den generelle beskrivelse af konverterbare obligationer ovenfor er der en række specielle forhold ved de danske realkreditobligationer, som både låntagere og investorer skal være opmærksomme på: (a) Konverteringsretten består både af en indfrielsesret og en genfinansieringsret. Da genfinansiering skal ske til markedsvilkår, vil nutidsværdien af det nye lån og dermed værdien af genfinansieringsretten imidlertid være nul. (b) Når en låntager meddeler sit realkreditinstitut, at han ønsker at konvertere et lån, sker den faktiske konvertering først to måneder senere. Skal lånet indfries til en bestemt termin, skal man altså varsle det to måneder før terminen. 8 Dette tidspunkt kaldes ofte varselstidspunktet. Med forholdsvist simple argumenter kan man vise, at de eneste tidspunkter, det kan være optimalt at konvertere på, netop er umiddelbart før varselstidspunkterne. 9 (c) Ved konvertering af et kontantlån er det obligationsrestgælden, der skal tilbagebetales, ikke kontantlånsrestgælden. (d) Der er en række omkostninger forbundet med en konvertering. Til realkreditinstituttet skal der betales lånesagsgebyrer, kurtage m.m. Til staten skal der betales stempelafgifter, tinglysningsafgift m.m. Det kan også være en bank eller en advokat involveret, hvilket medfører yderligere udgifter. Den reelle exercisekurs på konverteringsoptionen er derfor over 100. Da obligationsejeren selvfølgelig kun modtager 100 ved en konvertering, så er værdien af konverteringsretten altså ikke den samme for låntageren og obligationsejeren. (e) Hver serie af konverterbare obligationer omfatter en række lån, der kan være forskellige med hensyn til låntagere og lånstørrelse. Konverteringsomkostnin- 7 Til mange erhvervsobligationer, både danske og udenlandske, er der ligeledes knyttet specifikke regler for konvertering. 8 Dette gælder for lån med fire årlige terminer. For lån med kun to årlige terminer er varslingstiden normalt fem måneder. 9 Se Jørgensen, Miltersen og Sørensen (1996).

105 7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer 105 gerne afhænger meget af begge disse forhold 10, og det gør den effektive exercisekurs og dermed værdien af konverteringsretten derfor også. Dette betyder, at låntagerne ikke alle vil konvertere på det samme tidspunkt. Konverteringshyppigheden og dermed obligationsejernes vurdering af optionsværdien vil derfor afhænge af sammensætningen af låntagermassen i obligationsserien. 11 (f) Hvis to låntagere har forskellige skattesatser, så vil de ikke nødvendigvis konvertere et lån i de samme situationer. På tilsvarende vis kan forskelligt beskattede investorer vurdere en given konverterbar obligation forskelligt. (g) Til lån, der blev optaget inden 1. januar 1996 ved omlægning af kontantlån optaget før den 19. maj 1993, kan der være knyttet en såkaldt (kurstabs- )fradragskonto. Kontoen viser det beløb, der er opstået som forskellen mellem det gamle låns obligationsrestgæld og kontantlånsrestgæld. Beløbet fordeles over det nye låns løbetid i ens portioner, som kan fratrækkes kapitalindkomsten. Ved omlægning påny overføres saldoen på fradragskontoen til det nye lån. Låntagere med disse lån har derfor både vekslet kurstabet ved låneoptagelsen til højere fradragsberettigede renter og samtidig mulighed for at trække kurstabet fra i skat! (h) Kursgevinster ved førtidig indfrielse af kontantlån optaget efter 1. januar 1996 er skattepligtige, jf. nedenstående diskussion. 12 Der kan være andre årsager end et rentefald til, at en låntager vælger at indfri sit realkreditlån førtidigt. Det kan ske i forbindelse med ejerskifte eller for at optage et nyt lån med længere løbetid med henblik på at få lavere ydelser pr. termin, selvom det måske ikke er optimalt at udnytte konverteringsretten på det gamle lån. Denne form for førtidig indfrielse betegnes ofte som en omprioritering. Det nye lån skal optages på markedsvilkår. Der forekommer også konverteringer opad, dvs. førtidsindfrielse af et konverterbart lån med henblik på at optage et nyt lån med højere pålydende rente. Ideen er 10 Omkostningerne kan med god nøjagtighed approksimeres som et fast beløb plus et beløb, der vokser proportionalt med restgælden. 11 Se f.eks. Jakobsen (1992, 1993b). 12 En undtagelse er førtidige indfrielser i forbindelse med ejerskifte. Ægtefællehandler regnes i den forbindelse ikke som et ejerskifte.

106 106 Investering i obligationer at bringe sig i en position, hvor man vil få mere gavn af et senere rentefald, end hvis man havde beholdt det gamle lån. Det er selvfølgelig korrekt, at man vil få en større gevinst ved at konvertere et højt forrentet lån end et lån med en lavere rente, men vær opmærksom på, at ved en konvertering opad optages det nye lån til markedsvilkår. Da værdien af konverteringsretten er større på det nye lån, skal låntageren selvfølgelig betale mere for det nye lån end for det gamle. Ser vi et øjeblik bort fra de skattemæssige konsekvenser, vil en konvertering opad således kun være relevant for en låntager, som tilskriver muligheden for et betydeligt senere rentefald en større sandsynlighed end markedet som helhed gør. Der findes imidlertid andre og bedre måder at udnytte sådanne specifikke forventninger på. 13 Et andet ofte fremført argument for en konvertering opad er, at det kan reducere obligationsrestgælden betydeligt, hvilket kan få en bolig til at fremstå mere fordelagtig i forbindelse med en bolighandel. Kursværdien af obligationsrestgælden bliver imidlertid ikke mindre. Der kan imidlertid også være et element af skattearbitrage i en opkonvertering, idet det nye højt-forrentede lån giver større rentefradrag end det gamle lavtforrentede lån. Tages dette med i betragtning kan en opkonvertering i visse tilfælde være billig i den forstand, at efter-skat ydelserne på det nye højt-forrentede lån kun er marginalt højere end på det gamle lavt-forrentede lån, mens konverteringsretten på det nye lån er betydeligt mere værdifuld end konverteringsretten på det gamle lån. Efter en ændring af lovgivningen kan opkonverteringer dog kun komme på tale for obligationslån. For kontantlån, der optages af private låntagere efter januar 1996, er kursgevinster ved førtidig indfrielse skattepligtige, hvorimod kurstab ikke er fradragsberettigede. 14 Ved en omprioritering eller en opkonvertering kan låntageren indfri lånet ved enten at opkøbe de bagvedliggende obligationer til markedskurs eller at udnytte sin konverteringsret, hvilket svarer til at opkøbe obligationerne til kurs 100 (plus omkostninger). Hvis markedskursen er lavere end 100, vil låntageren opkøbe obligationerne til markedskurs, hvilket ikke udgør nogen ulempe for obligationesejerne og derfor ikke har betydning for prisfastsættelsen af konverteringsretten og dermed af den konverterbare obligation i det hele taget. Hvis markedskursen derimod er højere end 13 Se f.eks. diskussionen i Christensen og Sørensen (1992a, 1992b). 14 Kursgevinsten ved konvertering af et kontantlån til en højere rente beregnes som forskellen mellem udbetalingskursen (ved optagelse eller overtagelse af lånet) og indfrielseskursen, multipliceret med obligationsrestgælden på indfrielsestidspunktet.

107 7.3 Konvertering af danske realkreditobligationer , vil låntageren derfor udnytte sin konverteringsret, selvom det isoleret set ikke er optimalt. En indfrielse i denne situation vil udgøre en ulempe for obligationsejerne, idet de modtager kurs 100 fremfor det som obligationerne er værd, nemlig markedskursen som er højere end 100. Ved prisfastsættelsen af konverterbare obligationer skal investorerne derfor også tage højde for disse ikke-optimale konverteringer. Muligheden for førtidig indfrielse af et realkreditlån giver låntageren en beskyttelse mod insolvens i tilfælde af et rentefald, idet det er begrænset hvor meget kursværdien af gælden kan stige, før låntageren vil udnytte sin konverteringsret. Hvis obligationsmarkedet er effektivt, skal låntageren imidlertid også betale for denne ret i form af højere ydelser. Desuden er der naturligvis omkostninger forbundet med konverteringer. De allerfleste private låntagere må støtte sig til rådgivning fra pengeinstitutter og realkreditinstitutterne. Da disse institutter har en økonomisk interesse i, at der sker konverteringer, kan man ikke uden videre gå ud fra, at deres anbefalinger er de optimale beslutninger for låntagerne. Igennem de senere år er de lovgivningsmæssige rammer om realkreditsystemet blevet ændret adskillige gange. Bl.a. genindførelsen af kontantlån i 1993 og tilladelsen til igen at udstede annuitetslån medførte umiddelbare fordele for låntagere, og kombineret med rentefaldet i samme periode udgjorde disse lempelser en væsentlig årsag til det øgede privatforbrug. Der er siden sket opstramninger, idet kursgevinsten ved konvertering af kontantlån er gjort skattepligtig. Realkreditsystemet er således blevet anvendt som et led i den generelle finanspolitik, og i det hele taget synes de løbende ændringer at være mere eller mindre tilfældige. De hyppigt skiftende regler gør det naturligvis svært for låntagere at forudse konsekvenserne af forskellige mulige handlinger i et i forvejen kompliceret marked. Med de skatteregler, der er gældende i skrivende stund, vil ydelserne efter skat være højere på et obligationslån end på et tilsvarende kontantlån, men til gengæld giver obligationslån bedre muligheder for senere at kunne foretage fordelagtige konverteringer i begge retninger. Lad os slutte dette afsnit med en advarsel. Ligesom for inkonverterbare obligationer offentliggøres den effektive rente og varigheden for konverterbare obligationer i kurslisten fra Københavns Fondsbørs. Nøgletallene for konverterbare obligationer er imidlertid beregnet uden hensyntagen til muligheden for førtidig indfrielse, og de må derfor betegnes som misvisende. Det er f.eks. sådan, at varigheden på en konver-

108 108 Investering i obligationer teringstruet lang konverterbar obligation kan være meget lille, ja endda negativ Rentetilpasningslån FlexLån Mange lån f.eks. de fleste banklån har en variabel rente. På realkreditmarkedet har der traditionelt været tilbudt fast forrentede lån og kun i lille udstrækning variabelt forrentede lån, også kaldet rentetilpasningslån. I 1996 introducerede Realkredit Danmark imidlertid de såkaldte FlexLån, som der har været en betydelig efterspørgsel efter. De øvrige realkreditinstitutter udbyder nu tilsvarende lån. Et FlexLån er et kontantlån, der afvikles efter annuitetsprincippet, men hvor lånerenten tilpasses regelmæssigt. Et FlexLån finansieres ved udstedelse af obligationer med løbetider fra 1 måned op til 11 år. Da løbetiden på et FlexLån kan være op til 30 år, skal der i lånets løbetid udstedes nye obligationer i takt med, at de gamle indfries. De nye obligationer udstedes til markedskurs, hvorved lånerenten løbende tilpasses markedsrenten. Kontantlånsrenten på et FlexLån beregnes ud fra et vægtet gennemsnit af de udstedte obligationer. Kontantlånsrenten og dermed ydelserne på lånet er kun kendt frem til næste rentetilpasningstidspunkt. Alle FlexLån finansieres af en portefølje af obligationer fra op til 11 forskellige serier. Alle er inkonverterbare stående obligationer uden solidarisk hæftelse og med én årlig termin den 1. januar. Den korteste af disse obligationsserier har en løbetid på op til et år, den næstkorteste en løbetid på mellem et og to år, osv. Når den korteste serie udløber åbnes en ny serie med en løbetid på 11 år. Serierne holdes åbne frem til en måned før udløb, med mindre mindsterenten bliver højere end obligationens pålydende rente. Den valgte måde at finansiere lånene på har til hensigt at gøre markedet likvidt. For det første er der tale om et relativt lille antal obligationsserier, hvorved den cirkulerende mængde i hver serie skulle få en betydelig størrelse. For det andet simplificerer valget af inkonverterbare stående obligationer sammenligninger med danske statsobligationer, hvilket ofte bruges som basis for prisfastsættelse af andre obligationer. Endelig er internationale investorer vant til at arbejde med korte inkonverterbare stående obligationer i modsætning til lange konverterbare annuitetsobligationer. Låntageren kan udover lånets løbetid (inden for realkreditlovens grænser) også 15 Se Dahl (1991a, 1991b, 1991c) for mere om nøgletal for konverterbare obligationer.

109 7.4 Rentetilpasningslån FlexLån 109 vælge hvor stor en del af lånets restgæld, der skal rentetilpasses, og hvor ofte rentetilpasningen skal ske. Disse valg afgør hvilke og hvor mange obligationer, der udstedes til dækning af lånet. Nøjagtigt hvordan obligationsporteføljen sammensættes vides ikke, idet Realkredit Danmark hemmeligholder beregningsalgoritmerne og endda har ansøgt om patent på konceptet. Da sammensætningen har betydning for lånerenten og dennes følsomhed overfor rentestrukturskift, er dette utilfredsstillende set fra låntagernes synsvinkel. I Jakobsen (1993a) gives et eksempel på, hvorledes bestemmelsen af obligationsporteføljen kunne foregå. Med en voksende rentestruktur er kontantlånsrenten og dermed ydelsen naturligvis lavere på et FlexLån end på et traditionelt langt realkreditlån. Risikoen ved et FlexLån er, at renten kan være højere, når lånet skal rentetilpasses. 16 Et FlexLån er ikke lige følsomt overfor alle typer af renteændringer. Hvis kun de korte renter stiger, så kan man i forbindelse med en rentetilpasning skifte sit FlexLån ud med et traditionelt langt realkreditlån. Hvis den korte rente senere falder igen til et niveau under renten på det lange realkreditlån, så kan man skifte tilbage til et nyt FlexLån. Sådanne midlertidige stigninger i de korte renter er set i forbindelse med valutakriser. Hvis både de korte og de lange renter stiger, så er det ikke fordelagtigt at skifte et FlexLån ud med et langt lån, og det er derfor især sådanne renteændringer, som påvirker et FlexLån. 17 Da renten på et FlexLån løbende tilpasses det aktuelle markedsniveau, vil kursværdien af restgælden på et FlexLån være tæt på 100. Ved en rentestigning er der en risiko for, at ejendommens værdi vil falde. Dette kan i yderste konsekvens betyde, at ejendommens værdi kan blive lavere end værdien af gælden, så låntageren havner i en gældsfælde. Ved et traditionelt realkreditlån vil værdien af restgælden falde, når renteniveauet stiger. Det omvendte er tilfældet, hvis renteniveauet falder. Da vil kursværdien af restgælden på et traditionelt realkreditlån stige, men konverteringsretten gør, at gældens værdi er opadtil begrænset. Realkredit Danmark har haft en betydelig efterspørgsel efter FlexLån. Dette 16 En anden risiko er, at hvis de potentielle købere af en ejendom fokuserer på ydelsen i f.eks. det første år, så kan prisen på en ejendom finansieret med FlexLån sættes højere, end hvis ejendommen var finansieret med et traditionelt realkreditlån. 17 Siden september 1997 tilbyder Realkredit Danmark en variant af FlexLån, hvor renteændringer slår igennem på lånets løbetid i stedet for på de terminslige ydelser. Kun ved kraftige rentestigninger vil ydelserne stige, idet lånets løbetid højest kan være 30 år.

110 110 Investering i obligationer skyldes først og fremmest den stejle rentestruktur, der var gældende på markedet fra introduktionen af FlexLån i 1996 og frem til foråret 2000, hvorefter rentestrukturen er blevet næsten flad. I annoncer og brochurer om FlexLån har informationerne om de risici, der er forbundet med denne type lån, især umiddelbart efter introduktionen, været af begrænset omfang og sommetider endda misvisende. For en mere neutral og retvisende diskussion af fordele og ulemper ved FlexLån henvises til Jakobsen (1993a). 7.5 Afdragsfrie lån Ud over ovennævnte lånetyper har der i de senere år været mulighed for at optage såkaldte afdragsfrie lån. Muligheden for afdragsfrie lån er sket ved en tilføjelse til Realkreditloven. 18 Vi vil ikke gå i detaljer med afdragsfrie lån, men blot knytte nogle generelle kommentarer hertil. Disse lån har vist sig at være særdeles populære. I henhold til Nationalbanken (2006) udgør afdragsfrie lån omkring 30% af realkreditinstitutternes udlån til husholdningerne. 19 En fyldestgørelse gennemgang af prisfastsættelse af afdragsfrie lån (og rentetilpasningslån) er ganske kompliceret, idet vi må forudsætte, hvorledes låntagernes konverteringsadfærd og afdragsadfærd er. Endvidere er der i praksis mulighed for ganske stor variation i de mulige afdragsprofiler, som de forskellige finansieringsinstitutter tilbyder låntagerne. F.eks. har RealKredit Danmark tilbudt en klippekort - ordning for de afdragsfri perioder, mens Nykredits afdragsfrie lån hedder Pauselån. 20 Det vil være for omfattende at komme ind på prisfastsættelse af fleksibiliteten af afdragsprofilen, men vi illustrer nogle effekter ved simple eksempler. Umiddelbart kan afdragsfrie lån lyde som det rene slaraffenland. F.eks. kan man ved diverse finansieringsforslag til køb af bolig hos ejendomsmæglere ofte se, hvor billigt det er at købe et hus med et afdragsfrit lån, der i øvrigt kan være et rentetilpasningslån. Et billigt lån skal her forstås på den måde, at den ydelse, som 18 Realkreditloven kan ses på Muligheden for afdragsfrie lån har eksisteret siden oktober 2003 ved en ændring i lovens 4. Yderligere information om afdragsfrie lån kan ses i f.eks. Jensen (2005). 19 Nationalbanken (2006) kan hentes fra under publikationer. 20 Såvel FlexLån som Pauselån er registrerede varemærker. For realkreditinstitutter se eksempelvis eller

111 7.5 Afdragsfrie lån 111 en låntager betaler, kan være meget lav i eksempelvis begyndelsen af lånets løbetid. Det er imidlertid vigtigt at huske på, at det finansielle marked prisfastsætter en betalingsrække under hensyntagen til de risici, der måtte være forbundet med betalingerne. I ovennævnte tilfælde med et boligkøb indebærer dette, at det fornuftige sammenligningsgrundlag er husets kontantpris. Der kan naturligvis være en række fornuftige grunde til, at en investor (huskøber) bør overveje et lån med mulighed for en afdragsfri periode. Et oplagt eksempel er indkomstudjævning. Er man f.eks. netop blevet færdiguddannet som kandidat med særdeles gode jobmuligheder, kan det være fornuftigt at forbruge mere, end ens nuværende løn berettiger til. Afdragsfrihed kan også benyttes til nedsparing i en bolig. Dette kan være aktuelt for pensionister uden store løbende indtægter. For sådanne typer af investorer kan det være ønskeligt at forbruge af en eventuel friværdi i boligen uden at skulle fraflytte denne. Eksempel 7.2 En netop færdiguddannet cand.merc. i finansiering har fået arbejde i København og overvejer derfor at flytte til hovedstaden. Kandidaten har fået tilbudt en mindre to-værelses lejligheden i centrum, der kun koster 2,5 mio. kr. (Til denne uhørt lave pris er lejligheden naturligvis med bad i gården). Eftersom kandidaten er uddannet fra et velrennomeret universitet tilbydes en startløn på kr./md. Efter få år regner kandidaten med at tjene mindst kr./md. Til finansiering af boligkøbet overvejer kandidaten at dække 80% med enten et annuitetslån eller et afdragsfrit lån, hvor der ikke afdrages de første 10 år. Begge lån er fastforrentede og løber over 30 år, har kvartårlige terminer og en årlig nominel rente på 5%. For illustrationens skyld antager vi, at der ikke er skat eller øvrige omkostninger, og at den risikofrie årlige rente er y 4 (t) = 5% med kvartalsvise rentetilskrivninger. Annuitetslånets kvartalsvise ydelser beregnes til Y ann j = α ,25% = ,99kr, j = 1,...,120. Vi simplificerer det afdragsfrie lån til at være et 10-årigt stående lån, der erstattes af et 20-årigt annuitetslån. De kvartalsvise ydelser bliver således 21 Yj stå = 0, = ,00kr., j = 1,...,40, 4 21 Bemærk at lånenes rente er lig med diskonteringsrenten, og at konstruktionen sikrer, at det stående låns hovedstol netop finansieres vha. annuitetslånet, hvis første ydelse forfalder i den 41. termin.

112 112 Investering i obligationer for det stående lån, mens ydelserne for annuitetslånet er Y ann j = α ,25% = ,05kr, j = 41,...,120. Det kan derfor synes rimeligt for kandidaten at tage det afdragsfrie lån. ¾ Omvendt er der ligeledes en række ulemper forbundet med afdragsfrie lån. Som boligejer må man forvente, at der af og til skal foretages større vedligeholdelsesarbejder på boligen; f.eks. nyt tag, nye vinduer, nyt køkken og så fremdeles. Ofte finansieres dette ved yderligere lån i huset (eller omprioritering). Vælger man som i eksempel 7.2 ikke at afdrage på gælden i de første 10 år, er det alene en eventuel stigning i boligpriserne, der kan muliggøre yderligere låntagning i boligen. Med andre ord bliver en boligkøbers opsparing i boligen mere følsom overfor ændringer i boligpriserne. Eksempel 7.3 Den entreprenante Tor Skedum, der ikke bestod Finansiering (f.eks. ved SDU), har for 3 år siden fået tilbudt samme type lejlighed finansieret ved et afdragsfrit lån som kandidaten i eksempel 7.2. Dengang kostede lejligheden 3,2 mio. kr., hvilket medførte en hovedstol på 2,56 mio. kr. og en ydelse på kr. pr. kvartal. Tor Skedum tjener p.t. ikke så meget, men han kan lige klare at betale til terminen. Han valgte i sin tid det afdragsfrie lån, thi han var overbevist om, at boligpriserne ville stige. Imidlertid skal lejlighedens tag skiftes, hvilket Tor Skedum ikke har råd til. Lejligheden skal derfor sælges, men salget indbringer kun 2,5 mio. kr. For at komme gældfri ud af salget skal Tor Skedum altså skaffe yderligere kr. Hertil kommer, at han for tre år siden lagde 20% i udbetaling til købet af lejligheden.¾ Eksemplerne illustrerer, at det er ganske vanskeligt at komme med universelle anbefalinger for valg af låntype. Dels må dette valg bero på investorens præferencer, dels skal den aktuelle rentestruktur, forventninger til den fremtidige rentestruktur, konverteringsadfærd samt generelle forhold i samfundsøkonomien tages i betragtning. Den lille hurtige test-dig-selv (a) Forklar forskellen på et kontantlån og et obligationslån.

113 7.5 Afdragsfrie lån 113 (b) Hvad forstås ved varslingstiden for konverterbare obligationer? (c) Er et FlexLån et obligations- eller et kontantlån? (d) Nævn en god og en dårlig grund til at vælge et afdragsfrit lån.

114

115 Løsninger til test-dig-selv Kapitel 1 (a) En betalingsstrøm med kendte betalinger, der forfalder på kendte tidspunkter. (b) Z j = Y j I j. (c) Konstant ydelse. (d) Rentebetalingerne er konstante. (e) Afdragene er konstante. (f) Afviklingsprincippet for et uamortisabelt lån er irrelevant. Kapitel 2 (a) En stående obligation med en nominel rente på nul. (b) Ved en konverterbar obligation har udstederen (låntageren) ret til at tilbagekøbe obligationen. Ved en konvertibel obligation har långiveren ret til at ombytte obligationen til aktier (eller evt. et tilbagekøb). (c) En kompensation til obligations sælgeren, idet køberen modtager hele rentebetalingen ved førstkommende termin. Se formel (2.1). Kapitel 3 (a) En intern rente for ydelsesrækken: Den konstante diskonteringsrente, der gør, at nutidsværdien af betalingsrækken er lig med anskaffelsesprisen (der er markedskursen kurset adderet med den vedhængende rente). (b) Nej, y i formel (3.7) kan generelt ikke løses eksplicit. Ja, for nulkuponobligationer kan formel (3.9) anvendes.

116 116 Investering i obligationer (c) O-renten bruger obligationsmarkedskonventionen, mens P-renten benytter pengemarkedskonventionen, se afsnit 3.3. Kapitel 4 (a) Princippet går ud på, at man ved handler på de finansielle markeder ikke kan opnå en risikofri gevinst her og nu uden at påtage sig forpligtelser i fremtiden (forpligtelserne skal medføre, at der er en positiv sandsynlighed for, at man skal af med penge i fremtiden). (b) At gå kort (i aktivet). (c) y t er en sikker betaling på et kendt tidspunkt. Derfor er en diskonteringsfaktoren baseret på nulkuponrenten korrekt. (d) Sandt eller falsk: falsk. falsk. falsk. sandt. Kapitel 5 (a) Konkursrisiko bunder i risikoen for manglende betalinger fra udstederen (låntageren), mens likviditetsrisiko er knyttet til bid-ask spreadet (forskellen på bud og udbudspris). (b) Macaulay-varigheden kan fortolkes som den gennemsnitlige tid, det tager, før man får nutidsværdien. Hicks har vist, at dette mål ligeledes er obligationskursens (marginale) følsomhed overfor ændringer i obligationens effektive rente. (c) Varigheden er 42/12 = 3, 5 år. (d) Macaulay-konveksitet kan fortolkes som Macaulay-varighedens følsomhed overfor ændringer i den effektive rente. (e) Prisen approksimeres som en anden ordens Taylor udvikling, dvs. grafen for prisen er en parabel.

117 Test-dig-selv 117 (f) Alle obligationerne i porteføljen skal have samme effektive rente. (g) En immuniseringsstrategi skal sikre, at fremtidige forpligtelser kan dækkes selv om renten ændrer sig. (h) Ja, thi denne antagelse medfører arbitragemuligheder. (i) Fischer-Weil antager ikke flad rentestruktur med parallelle skift. I stedet antages en generel nulkuponrentestruktur med proportionale skift. Kapitel 6 (a) En obligation der opfylder mindsterentereglen. (b) Samtidighedsskat betyder, at skatten betales samtidig med den ydelse, der generer den skattepligtige indkomst. Kapitel 7 (a) For et obligationslån ligger ydelsen fast, når lånet aftales, mens provenuet først kendes, når obligationerne efter tinglysning af pantebrevet sælges på markedet. Ved et kontantlån kendes provenuet ved låneaftalens indgåelse, mens antallet af obligationer, der skal sælges, først fastlægges ved udstedelsen. Ydelsen er dermed ikke kendt, når lånet optages. (b) Det tidspunkt før førstkommende termin, som låntager senest skal angive ønske om konvertering. Typisk er varslingstiden to måneder. (c) Et kontantlån. (d) Indkomstudjævning er en god grund, mens f.eks. spekulation i fremtidige prisstigninger på boligen må siges at være af mere tvivlsom karat.

118

119 Opgaver OPGAVE 1 Diskutér de forskellige rentebegreber på pengemarkedet, f.eks. genkøbs-rente, diskonto, CIBOR-renter, etc. Hvad dækker begreberne over? Hvad er de aktuelle værdier af disse renter? Se evt. Nationalbankens hjemmeside på internettet ( OPGAVE 2 7% stående lån 2004 er en statsobligation med én årlig termin den 15/12. Besvar følgende spørgsmål med 1/ som valørdato. (a) Opstil ydelsesrækken for obligationen. (b) Beregn den vedhængende rente. (c) Find den teoretiske kurs ved en konstant diskonteringsrente på 6%. (d) Find den effektive rente, idet markedskursen sættes til 108. OPGAVE 3 12% S 2001 er en statslig serieobligation med én årlig termin den 15/2. Besvar følgende spørgsmål med 1/ som valørdato, idet det oplyses, at udtrækningen for den førstkommende termin endnu ikke er foretaget. (a) Opstil ydelsesrækken for obligationen. (b) Beregn den vedhængende rente. (c) Find den teoretiske kurs ved en konstant diskonteringsrente på 6%. (d) Find den effektive rente, idet markedskursen sættes til OPGAVE 4 En (fiktiv) annuitetsobligation har en pålydende rente på 7%, to årlige terminer og sidste termin den 15/ Der er udtrækning den 15/ (a) Opstil ydelsesrækken ved valør (i) 1/9 1998, (ii) 1/ og (iii) 1/ (b) Beregn den vedhængende rente på hvert af de tre tidspunkter.

120 120 Investering i obligationer (c) Beregn den teoretiske kurs på hvert af de tre tidspunkter ved en konstant diskonteringsrente på 5% p.a. OPGAVE 5 Betragt en (fiktiv) 5% stående obligation med én årlig termin og en restløbetid på præcis 6 år. (a) Opstil ydelsesrækken for obligationen. (b) Beregn obligationens teoretiske kurs ved en konstant diskonteringsrente på 0%, 1%, 2%,..., 10%, og illustrer grafisk sammenhængen mellem kursen og diskonteringsrenten. OPGAVE 6 De følgende spørgsmål tager udgangspunkt i formel (3.3) på side 31 for kursen på stående obligationer: (a) Find de partielle afledede k n og 2 k n 2. (b) Vis, at hvis diskonteringsrenten er lavere end den pålydende rente, så er kursen en voksende, konkav funktion af restløbetiden. (c) Vis, at hvis diskonteringsrenten er højere end den pålydende rente, så er kursen en aftagende, konveks funktion af restløbetiden. OPGAVE 7 Hvilken ændring sker der i den vedhængende rente, når kuponen på en obligation fragår? Hvilken ændring sker der med kursen på fragangstidspunktet? OPGAVE 8 På publiceringsdagen sker der en betydelig ændring i ydelsesrækken. Se på en serieobligation med en nominel terminslig rente på R, som har n resterende terminer. (a) Argumentér for følgende påstand: På publiceringsdagen mister ejeren af en ikkeudtrukket obligation en betaling på 100/n på førstkommende terminstidspunkt, men modtager til gengæld en serieobligation med samme nominelle rente, en hovedstol på 100/n og n 1 terminer. (b) Vis at påstanden i (a) holder for tilfældet i Eksempel 2.1 på side 26. (c) Hvad sker der med kursen på en serieobligation på publiceringsdagen? OPGAVE 9 Ydelsen i termin t på en serieobligation med pålydende rente R, n resterende terminer og nominel værdi 100 er Y t = 100 ( ( R 1 t 1 ) + 1 ). n n

121 Opgaver 121 Ved en diskonteringsrente på r er kursen på en sådan obligation på en terminsdag derfor (i) k = n Y t (1 + r) t = t=1 (a) Brug potensrække-formlerne til at vise, at n t=1 x t = 1 1 x, tx t 1 = t=0 ( ( 100 R 1 t 1 ) + 1 ) (1 + r) t. n n t=1 1, x < 1, (1 x) 2 (ii) (iii) n (1 + r) t = α n r t=1 n t=1 t(1 + r) t = 1 + r r 1 (1 + r) n, r ( α n r n(1 + r) (n+1)). (b) Brug (ii) og (iii) til at vise, at kursen i (i) kan omskrives til ( R k = 100 r + 1 ( 1 R ) ) α. n r n r OPGAVE 10 Skatkammerbeviset SKBV 99/I handledes den 19/ (valør 22/5 pga. helligdag den 21/5) til prisen Obligationen udløber den 1/ Beregn den effektive rente efter henholdsvis pengemarkedskonventionen (P renten) og obligationsmarkedskonventionen (O renten). OPGAVE 11 Betragt to stående obligationer, der begge har én årlig termin og præcis fem år til udløb. Den ene har en nominel rente på 9% og handles til kurs Den anden har en nominel rente på 7% og handles til kurs Konstruér en nulkuponobligation, der giver 1 krone om fem år. Hvad koster den? Hvad er den fem-årige nulkuponrente? OPGAVE 12 På obligationsmarkedet i Langbortistan handles kun to obligationer, der begge har én årlig termin og udløber om to år. Den første er et 7% stående lån, der i dag handles til kurs 98,10. Den anden obligation er et 10% serielån, der handles til kurs 101,70. (a) Vis hvorledes man udfra de to handlede obligationer kan konstruere to nulkuponobligationer, der udløber om hhv. 1 år og 2 år. (b) Find diskonteringsfaktorerne d 1 og d 2, nulkupon-renterne y(1) og y(2), samt forwardrenterne f(0, 1) og f(1, 2). Renterne skal opgøres ved årlig tilskrivning. Den langbortistanske børs indfører nu en tredje obligation, nemlig en 6% annuitetsobligation, der ligeledes har én årlig termin og udløber om to år. (c) Hvad skal prisen være på annuitetsobligationen, for at markedet bliver arbitrage-frit?

122 122 Investering i obligationer (d) Hvis prisen på annuitetsobligationen viser sig at være lavere end den ovenfor fundne, hvorledes kan man så score en arbitrage-gevinst? OPGAVE 13 På obligationsmarkedet i Simplistan handles udelukkende stående obligationer, der kun har én årlig termin og en nominel rente på 10%. Den følgende tabel viser kurserne på fire af disse obligationer. Restløbetid, år Kurs Brug bootstrapping metoden til at finde værdien af diskonteringsfunktionen og nulkuponrenten (opgjort ved årlig rentetilskrivning) for hver af de fire år. OPGAVE 14 På obligationsmarkedet i Bondonesien er rentestrukturen givet ved følgende nulkuponrenter opgjort ved kontinuert rentetilskrivning: År Rente 8% 4.5% 3.5% 3% 2.5% (a) Hvad er de tilsvarende nulkuponrenter opgjort ved årlig rentetilskrivning? (b) Hvad er værdien af diskonteringsfunktionen for de fem tidspunkter? På obligationsmarkedet handles bl.a. en 2-årig og en 5-årig serieobligation, en 2-årig og en 5-årig annuitetsobligation, samt en 2-årig og en 5-årig stående obligation. Alle seks obligationer har en nominel rente på 5% og én årlig termin (om præcist 1 år, 2 år, etc.) (c) Hvad er kursen på hver af de seks obligationer? (d) Hvad er den effektive rente på hver af de seks obligationer? (e) I praksis bruges ofte den effektive rente som funktion af restløbetiden som et estimat for nulkuponrentestrukturen. Diskutér hvor godt dette estimat er i ovenstående eksempel, og under hvilke omstændigheder og for hvilke obligationer estimatet er særligt godt eller skidt. OPGAVE 15 Vis at for stående obligationer, der sælges under pari (dvs. den effektive rente er højere end den pålydende rente: y > R), antager varigheden V som funktion af restløbetiden N et maksimum for en endelig værdi af N, N, og find en ligning som N skal opfylde. OPGAVE 16 Betragt formel (5.9) på side 65 for varigheden på en stående obligation.

123 Opgaver 123 (a) Vis at den afledte af varigheden med hensyn til den pålydende rente kan skrives som V R = φ(n) (R[(1 + y) n 1] + y) 2, hvor φ(n) = 1 (1 + y) n + ny(1 + y) n 1. (b) Vis, φ(1) = 0 og φ(2) > 0. (c) Vis, at φ(n + 1) = (1 + y)φ(n) + y[(1 + y) n 1], og dermed, at φ(n) > 0 medfører at φ(n + 1) > 0. (d) Argumentér for, at varigheden for stående obligationer med mere end én resterende termin er en aftagende funktion af den pålydende rente, således at lavt forrentede stående obligationer alt andet lige er mere følsomme overfor renteændringer end højt forrentede stående obligationer. OPGAVE 17 Vis formel (5.11) på side 67. OPGAVE 18 Vis at en anden ordens Taylorudvikling af lnp som funktion af y giver ln P V 1 + y y + 1 K V 2 2 (1 + y) 2 ( y)2, og brug dette til at vise formel (5.14) på side 70. OPGAVE 19 7% stående lån 2007 er en statsobligation med én årlig termin den 15/11. Tirsdag den 26/ handledes obligationen til kurs (valør den 29/5). (a) Find obligationens effektive rente, varighed og konveksitet. (b) Find obligationens eksakte kursændring ved en øjeblikkelig ændring i den effektive rente på henholdsvis 2%, 1%, 1% og 2%. (c) Find den approksimative kursændring ved de givne renteændringer baseret på hver af formlerne (5.6), (5.13), (5.14) og (5.15). OPGAVE 20 Vis formel (5.16) på side 71. OPGAVE 21 Den 10/ investerer du (valør den 15/9) i en portefølje af to statsobligationer. Følgende oplysninger er kendte: Navn Nominel Effektiv Antal årlige Udløb Afviklingsbeholdning rente terminer form 6% St.lån % 1 10/ Stående 7% St.lån % 1 15/ Stående

124 124 Investering i obligationer (a) Opstil ydelsesrækken og beregn den vedhængende rente, kursen og Macaulay varigheden for hver af de to obligationer. (b) Beregn porteføljens anskaffelsespris og dens effektive rente og Macaulay varighed ved at bruge approksimationerne (5.16) og (5.17) i Investering i obligationer.... (c) Opstil porteføljens ydelsesrække og beregn porteføljens eksakte effektive rente og Macaulay varighed. OPGAVE 22 En virksomhed har en forpligtelse på kroner, der skal betales om tre år. Virksomheden ønsker at investere i en portefølje af obligationer, der vil immunisere renterisikoen på forpligtelsen i den forstand, at porteføljens nutidsværdi og Macaulay varighed er som forpligtelsens. Den aktuelle rentestruktur er flad ved en rente på 4% (pr. år opgjort ved årlig rentetilskrivning). (a) Hvad er nutidsværdien af og Macaulay varigheden på forpligtelsen? (b) Virksomheden kan nøjes med at investere i én bestemt obligation, såfremt denne handles på markedet. Hvilken obligation er der tale om? Da den pågældende obligation ikke handles, vil virksomheden forsøge at sammensætte en portefølje af en 6% stående obligation, der har en restløbetid på præcis 2 år, og en 5% stående obligation, der har en restløbetid på præcis 4 år. Begge obligationer har én årlig termin. (c) Find nutidsværdien af og Macaulay varigheden på hver af obligationerne. (d) Hvorledes skal porteføljen af de to obligationer sammensættes, så den immuniserer renterisikoen på forpligtelsen? (e) Kan man bruge den samme portefølje i hele perioden frem til forpligtelsen forfalder? (f) Diskutér forudsætningerne for at ovenstående immuniseringsstrategi lykkes. OPGAVE 23 En virksomhed har en forpligtelse på 10 millioner, der forfalder den 15/ Virksomheden investerer den 10/ (valør den 15/9 1998) i en portefølje af følgende to statsobligationer: 4% Stgb. I 2001: en stående obligation, der har én årlig termin den 15/2 7% St.lån 2004: en stående obligation, der har én årlig termin den 15/12 På investeringstidspunktet er alle nulkuponrenter lig 4.5% (pr. år opgjort ved årlig rentetilskrivning).

125 Opgaver 125 (a) Hvordan skal porteføljen sammensættes, så dens nutidsværdi og Macaulay varighed stemmer overens med forpligtelsens? (b) Hvordan skal porteføljesammensætningen justeres den 15/ , så porteføljen stadig immuniserer renterisikoen, hvis rentestrukturen er uændret? (c) Hvad er værdien af den justerede portefølje og af forpligtelsen den 15/1 1999, hvis rentestrukturen på det tidspunkt er flad ved en rente på henholdsvis (a) 4.5%, (b) 3% og (c) 6%? (d) For hvert af de tre scenarier (a), (b) og (c) besvares følgende: Skal porteføljen justeres den 15/1 1999? Hvis ja, hvordan? OPGAVE 24 En obligationsportefølje består den 26/ (valør den 29/5) af følgende obligationer: kroner nominel værdi af 9% stående lån 2000, som har én årlig termin den 15/11 og handles til kurs kroner nominel værdi af 5% stående lån 2005, som har én årlig termin den 15/8 og handles til kurs (a) Find den effektive rente, varigheden og konveksiteten for hver af de to obligationer. (b) Beregn porteføljens effektive rente, varighed og konveksitet ved hjælp af approksimationerne (5.17), (5.18) og (5.19). (c) Opstil porteføljens samlede ydelsesrække og beregn porteføljens eksakte effektive rente, varighed og konveksitet. OPGAVE 25 Besvar den foregående opgave idet der skal tages højde for 50% samtidighedsskat af renter. OPGAVE 26 Vis formlerne (5.28) og (5.29) på side 83. OPGAVE 27 (Eksamen, sommer 1996) En investor har en portefølje bestående af to obligationer. Pr. 1. maj 1996 har porteføljen følgende sammensætning: Navn Nominel beholdning 6% Stl kr. 7% Stgb. II kr. Af kurslisten for den 1. maj 1996 fremgår følgende oplysninger for de to obligationer i porteføljen:

126 126 Investering i obligationer Navn Kurs Effektiv Varighed Antal årlige Udløb Afviklingsrente terminer form 6% Stl ,24 5,29 3, / Stående 7% Stgb. II ,65 4,01 0, / Stående (a) Bestem porteføljens værdi ved handel 1. maj 1996, dvs. ved valør (afregning) den 7. maj (b) Beregn porteføljens effektive rente og varighed og giv en fortolkning af disse størrelser. (c) Bestem ændringen i porteføljens værdi, hvis den effektive rente stiger med 0,5 procentpoint. (d) Beskriv (kort) hvorledes betalingerne fra porteføljen ændrer sig, hvis investoren betaler skat af de direkte renter. OPGAVE 28 (Eksamen, sommer 1997, vægt 25%) På obligationsmarkedet i Langbortistan handles en stående obligation, der i dag har en restløbetid på præcis 3 år, én årlig termin, en nominel værdi på 100 og en nominel rente på 8%. (a) Opstil ydelsesrækken for obligationen ved valør i dag. Obligationens effektive rente er 5.5% p.a. (b) Beregn kursen og varigheden på obligationen ved valør i dag. (c) Hvad ville kursen på obligationen være, hvis dens effektive rente i stedet var (i) 7% og (ii) 4%? Beregn både den eksakte kurs og en approksimativ kurs baseret på varigheden. Forklar forskellen mellem den eksakte og den approksimative kurs. På obligationsmarkedet handles også en række nulkuponobligationer med nominel værdi 1, nemlig én med udløb om et år, én med udløb om to år og én med udløb om tre år. Prisen på den nulkuponobligation, der udløber om t år betegnes d(t) (t = 1, 2, 3). Priserne er som følger År, t Pris på nulkuponobl., d(t) (d) Baseret på priserne på nulkuponobligationerne, hvad burde kursen på den stående obligation så være? Er der arbitrage-muligheder på dette obligationsmarked? Hvis ja, forklar hvorledes man kan tjene en risikofri gevinst.

127 Opgaver 127 (e) Beregn nulkuponrenten y(t) hørende til henholdsvis år 1, 2 og 3. Beregn forwardrenten f(t 1, t) for hvert af årene 1, 2 og 3. Renterne skal opgøres ved årlig tilskrivning. OPGAVE 29 En husejer overvejer at optage et 10 årigt lån i et realkreditinstitut med et provenu på kr. Lånet afvikles efter annuitetsprincippet med årlige terminer. Realkreditinstituttet finansierer lånet ved at udstede 10-årige 6% annuitetsobligationer med en årlig termin. Den aktuelle handelskurs er 75,00 (pr. 100 kr. nominel værdi). Antag i det følgende, at realkreditinstituttet ikke skal vente på tinglysning m.m. og derfor kan sælge obligationerne med det samme. Antag også at obligationerne har præcist ét år til den første termin, samt at husejeren ikke skal betale bidrag til realkreditinstituttet. (a) Find ydelsesrækken (rentebetaling, udtrækning, samlet ydelse og restgæld i hver termin), hvis lånet optages som et obligationslån. (b) Find obligationens effektive rente. (c) Find ydelsesrækken (rentebetaling, afdrag, samlet ydelse og restgæld i hver termin), hvis lånet optages som et kontantlån. (d) Diskutér kort fordele og ulemper ved et kontantlån kontra et obligationslån.

128

129 Litteratur Anderson, N., F. Breedon, M. Deacon, A. Derry og G. Murphy (1996). Estimating and Interpreting the Yield Curve. John Wiley & Sons, Inc. Anker, T., M. S. Pedersen og P. Sortkjær (2001, februar). Månedens Synspunkt Februar Nye markedskonventioner på det danske obligationsmarked. Månedens synspunkt, Københavns Fondsbørs. Barber, J. R. (1995). A Note on Approximating Bond Price Sensitivity using Duration and Convexity. The Journal of Fixed Income 4(4), Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (1992a). Facts og fantasi i aktiv gældspleje (1). Finans/invest (1), 5 8, Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (1992b). Facts og fantasi i aktiv gældspleje (2). Finans/invest (2), Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (1994). Duration, Convexity, and Time Value. Implications for bond portfolio management. Journal of Portfolio Management 20(2), Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (2001). Rentesregning. Campusvej 55, 5230 Odense M, Danmark: Odense Universitetsforlag. Christensen, P. O. og B. G. Sørensen (2005). Investeringsteori. Campusvej 55, 5230 Odense M, Danmark: University Press of Southern Denmark. Cox, J. C., J. E. Ingersoll, Jr. og S. A. Ross (1979). Duration and the Measurement of Basis Risk. Journal of Business 52(1), Culbertson, J. M. (1957). The Term Structure of Interest Rates. The Quarterly Journal of Economics 71, Dahl, H. (1991a). Afkastmål for konverterbare obligationer. Finans/invest (6),

130 130 Investering i obligationer Dahl, H. (1991b). Konverterbare obligationer overreagerer markedet? Finans/invest (5), Dahl, H. (1991c). Risikomål for konverterbare obligationer. Finans/invest (7), Fabozzi, F. J. (1996). Bond Markets, Analysis and Strategies (3 ed.). Englewood Cliffs, New Jersey 07632, USA: Prentice-Hall, Inc. Fisher, L. og R. L. Weil (1971, oktober). Coping with the Risk of Interest Rate Fluctuations: Returns to Bondholders from Naive and Optimal Strategies. Journal of Business 44, Grinblatt, M. og S. Titman (2002). Financial Markets and Corporate Strategi (2 ed.). McGraw-Hill, Inc. Grosen, A. (1993). Realkredittens balanceprincip og obligationsmarkedet. Finans/invest (2), Hicks, J. R. (1939). Value and Capital. Oxford: Clarendon Press. Ho, T. S. Y. (1992). Key Rate Durations: A Measure of Interest Rate Risks. The Journal of Fixed Income 2(2), Hull, J. C. (2000). Options, Futures, and Other Derivatives (Fourth ed.). Prentice- Hall, Inc. Ingersoll, Jr., J. E., J. Skelton og R. Weil (1978). Duration Forty Years Later. Journal of Financial and Quantitative Analysis 13(4), Jakobsen, S. (1987). En genvej til beregning af effektiv rente. Finans/invest 3, Jakobsen, S. (1992, september). Prepayment and the Valuation of Danish Morgage-Backed Bonds. Ph. D. thesis, Department of Finance, The Aarhus School of Business, Fuglesangs Allé, DK 8210 Århus V, Denmark. Jakobsen, S. (1993a). FlexLån TM RD s nye patentmedicin. Finans/invest (2), Jakobsen, S. (1993b). Vurdering af danske realkreditobligationer Finans/invest 1, Jensen, B. A. (2005). Rentesregning (4 ed.). Jurist- og Økonomforbundets Forlag.

131 Litteratur 131 Jørgensen, P. L. og O. Collignon (1996). Varighedsbaseret prisfastsættelse af optioner på obligationer. Ledelse og Erhvervsøkonomi 60(4), Jørgensen, P. L., K. R. Miltersen og C. Sørensen (1996). En sammenligning af konverteringsstrategier for konverterbare realkreditlån. Finans/invest 7, Rettelser i Jørgensen, Miltersen og Sørensen (1997). Jørgensen, P. L., K. R. Miltersen og C. Sørensen (1997). En sammenligning af konverteringsstrategier for konverterbare realkreditlån: Kommentar til figurer. Finans/invest 1, p. 26. Lando, D. (1995). Undervisningsnoter i Investerings- og Finansieringsteori. Technical report, Institute of Mathematical Statistics, University of Copenhagen, Universitetsparken 5, DK 2100 København Ø, Denmark. Lutz, F. (1940, november). The Structure of Interest Rates. Quarterly Journal of Economics, Macaulay, F. R. (1938). Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the United States since New York: Columbia University Press. Modigliani, F. og R. Sutch (1966). Innovation in Interest Rate Policy. The American Economic Review 56, Munk, C. (1999). Stochastic Duration and Fast Coupon Bond Option Pricing in Multi-Factor Models. Review of Derivatives Research 3(2), Munk, C. (2000a, juli). Afledte aktiver. Undervisningsnote, Institut for Regnskab, Finansiering & Erhvervsjura, Syddansk Universitet, Campusvej 55, DK 5230 Odense M, Danmark. Munk, C. (2000b). Videregående obligations- og rentestrukturanalyse. Undervisningsnote, Institut for Regnskab, Finansiering & Erhvervsjura, Syddansk Universitet Odense Universitet, Campusvej 55, DK 5230 Odense M, Danmark. Nationalbanken (2006). Kvartalsoversigt 1. kvartal. Technical report, Danmark Nationalbank, 6 Duke of York Street, London SW1Y 6LA, England. Nordea (2004). Finansielle instrumenter (3 ed.). Christiansbro, Strandgade 3, 1401 København K: Nordea Bank Danmark A/S.

132 132 Investering i obligationer Sørensen, B. G. (1990). Estimation af horisontal rentestruktur. Technical report, Institut for Virksomhedsledelse, Odense Universitet, Campusvej 55, DK-5230 Odense M, Denmark.

133 Indeks arbitrage princippet om fravær af arbitrage, 38 prisrelation, 42 bootstrapping, 50 diskonteringsfunktion, 41 forventningshypotese, 54 Forward Rate Agreement, 18 kort-salg, 39 kurs markeds-, 30, 34 teoretisk, 29 likviditetspræferencehypotesen, 56 mindsterenteregel, 91 realkreditobligation afdragsfrit lån, 110 kontantlån, 99 rentetilpasningslån, 108 konverterbarhed, 100 obligationslån, 99 rente effektiv, 30 nulkuponobligation, 34 skatkammerbevis, 35 forward, 43 kontinuert rentetilskrivning, 47 nulkupon, 43 vedhængende, 26 repo, 17 Risikomål Fisher-Weil konveksitet, 82 varighed, 82 Macaulay konveksitet, 69 varighed, 62 samtidighedsskat, 94 skattepligtig kursgevinst lagerprincip, 93 realisationsprincip, 92 udtrækning matematisk, 24 procent, 25 valør, 19, 66