Two tank system EN4-3-F14. Aalborg Universitet Esbjerg

Transkript

1 2014 Two tank system EN4-3-F14 Aalborg Universitet Esbjerg

2 1 Two tank system

3 Two tank system 2 1 Abstract Projektet Two Tanks System har til formål at opstille en løsningsmodel til en controller som kan kontrollere niveauet i to tanke. Rapporten, samt beregningerne, tager udgangspunkt i en fysisk model med tre tanke stillet til rådighed af Aalborg Universitet Esbjerg. Detaljerne vedrørende modellen er ikke specificeret, dét derfor gruppens opgave selv at specificere det fornødne data såsom niveau på vandspejlet i tankene, hvilken del af hardwaren der bliver brugt, matematisk simuleringsprogram osv. Rapporten analyserer den fysiske model hvorfra en række parametre som vurderes passende kan opstilles. Efter at en matematisk model er beregnet er der ud fra parametrene lavet en overførselsfunktion som resulterer i en PI controller. Derefter er der lavet en simulering for at kontrollere om controlleren stemmer overens med det ønskede mål. De simulerede controllere er derefter testet på den fysiske model hvorefter det viser sig at den teoretiske model ikke passer på den fysiske model. Et forsøg viser at en ren P controller er mere egnet, men gruppen vurderer at en PI controller vil være den bedste løsning for at opfylde de opstillede parametre.

4 3 Two tank system 2 Indholdsfortegnelse 1 Abstract Indholdsfortegnelse Forord Indledning Setup Elektrisk styrede komponenter Pumpe Højde sensor Ventiler Proportional ventil Operationsforstærker, MyRio setup Matematisk modellering Tank 2: Dynamisk højde Massestrømning ind i tank Massestrømning ud fra tank Endelig opstilling Tank 1: Buffer tank Tank 1: Dynamisk højde Linealisering og overførselsfunktion PID Controller Linealisering af systemet Overførselsfunktion Delkonklusion Simulink system simulation Simulering af differentialligninger Simulink model, tank Opbygning af Simulink model med PI Delkonklusion Praktisk bestemmelse af tabskoefficienten... 48

5 Two tank system Opstilling og fremgangsmetode Linealisering med praktisk bestemt tabskoefficient Simulink simulering Perspektivering Appendix Appendix 1: System simulering Programmering af system Appendix 2: Front Panel Main VI Appendix 3: Block Diagram Main VI Appendix 4: Simulink model tank 1 og Appendix 5: MATLAB script for Simulink Appendix 6: Simulink Subsystem Bibliografi... 76

6 5 Two tank system 3 Forord Denne rapport har til formål at beskrive og dokumentere arbejdsprocessen relateret til projektarbejdet dette semester. Projektet fokuserer på at tilegne og anvende viden og teori vedrørende kontrol og regulering af dynamiske systemer, dette bliver gjort i praksis ved at forsøge at kontrollere et fysisk pumpesystem, ved brug af LabView. Den primære målsætning er her at vise pumpesystemet som en stabilt system, der vil stabilisere sig omkring en højde for henholdsvis tank 1 og tank 2 på 0,45 [m] og 0,25 [m]. Gruppen vil derefter vurdere om den præsenterede løsning overordnet set vil være realistisk at implementere, eller om der skal eventuelle forbedringer til for at systemet vil kunne fungere optimalt. I rapporten forefindes ingen uddybende forklaring om MATLB scripts da det forventes at læseren har en basal forståelse af disse. Projekt periode: Uge 6 Uge Christian Lambertsen Lasse Jørgensen Jesper Jepsen Jesper Grau Müller Vejleder: Zhenyu Yang Bivejleder: Petar Durdevic Løhndorf Energi Gruppe nummer: EN4-3-F14 Aalborg Universitet Esbjerg Niels Bohrs Vej Esbjerg

7 Two tank system 6 4 Indledning Rapporten tager udgangspunkt i at løse problemstillinger vedrørende et allerede bygget pumpesystem hvor vandniveauet i to tanke skal kontrolleres og simuleres. Systemet er bestående af to tanke kontrolleret af sensorer, hvor den ene tank har et indløb af vand håndteret af en pumpe og der er udløb i begge tanke som vist på Figur 1. Systemet har den egenskab at det kun er niveauet i tank 1, som kan styres direkte ved hjælp af udløbsventiler og pumpen der forsyner tanken med vand. Niveauet i tank 2 er indirekte styret ved hjælp af en rørledning med en ventil og forskellen i niveau mellem de to tanke, hvilket medfører at det ikke kan lade sig gøre at have mere vand i tank 2 end i tank 1 når der er cirkulation i systemet. I begge tanke er der niveaumålere som registrerer og sender signal til computeren som styrer pumpen om der skal pumpes mere eller mindre vand i tank 1. Figur 1 - Procesoversigt af to tanks-system For at løse problemstillingen skal det fysiske hardware af systemet analyseres, da systemet allerede er konstrueret. Dette er medhenblik på at kunne bestemme hvilken styringsenhed og program der skal benyttes samt for at kunne finde de matematiske grundformler der skal benyttes for at kunne lave den matematiske model der skal styre væsken inden for de ønskede parametre. Der vil være en massebalance der skal opretholdes mellem indløb og udløb i tankene for at holde et bestemt niveau. Efter at den matematiske model er bestemt skal der laves en simulering af modellen i Simulink/MATLAB, hvor der skal vurderes på eventuelle problemer samt hvor modellen og hardware vil have den største begrænsning i tilfælde af at systemet skal effektiviseres. Herefter skal modellen skrives ind i LabView for at køre den fysiske test for at vurdere om den matematiske model er tilstrækkelig.

8 7 Two tank system 5 Setup Det egentlige kredsløb består af tre tanke, hvor processen behandles ved hjælp at MIMO (Multiple Input Multiple Output). Dette projekt er begrænset til to tanke idet der arbejdes med SISO (Single Input Single Output), som to tanks-system kan dette beskrives hvordan man kan opretholde en bestemt vandstand i en svømmepøl. Der anvendes en pumpe til at holde et niveau i tank 1, og dette vandniveau vil yde et tryk hvormed man kan holde en fast højde i den sekundære tank, i dette tilfælde pølen, selvom der er en konstant cirkulation i system. Figur 2 viser den fysiske opstilling, her er tank 1 den tank der pumpes vand op i ved hjælp af pumpen, strømningen til pølen, tank 2, justeres ved hjælp af proportionalventilen således man kan have en fast højde selv hvis der kommer forstyrrelser til systemet. Figur 2 - Den fysiske opstilling To tanks-systemet er opbygget som vist på Figur 3. Processen i kredsløbet er som følger: - Sump tank har til formål at forsyne kredsløbet. - Pump 1 pumper vandet op fra Sump tank til Tank 1 gennem CV1. - Fra Tank 1 har vandet to muligheder: o Strømme gennem PV1 over til Tank 2 og derfra tilbage til Sump tank gennem OOV2 eller BV2 o Strømme direkte til Sump tank gennem OOV1 eller BV1 - Herfra kører kredsløbet i ring

9 Two tank system 8 Figur 3 - Procesoversigt af to tanks-system Komponenterne i Figur 3 er alle sammen navn givet ved hjælp at en forkortelse for deres funktion: - Pump 1: Pumpe af typen F2P10-19 produceret af Johnson Pump. (1) - CV1: Kontraventil der har til formål at ensrette strømingen, således der ikke opstår modstrømningen gennem pumpen. - LT1 & LT2: Højde sensor, eller niveau måler, af typen 26PCA. - OOV1 & OOV2: On/Off ventiler af typen 6213 type produceret af Bürkert. (2) - BV1 & BV2: Manuelle kugleventiler der kan bruges til manuelt at tømme tankene. - PV1: Proportionalventil af typen 2834 A, med en controller 1094-PHR produceret af Bürkert. (3) 5.1 Elektrisk styrede komponenter De elektriske komponenter styres ved hjælp af en MyRio som har et indbygget I/O kort, hvor komponenterne tilsluttes portene som vist i Tabel 1. AGND er analog ground og DGND er digital ground.

10 9 Two tank system Tabel 1 - I/O tabel for MyRio Komponent Plus (signal) Minus (jording) Analog output (AO) +15 V AGND -15 V AGND 0 AGND Proportional ventil (PV 1) 1 AGND Analog input (AI) Tryk sensor i tank 1 (LT1) 0+ AGND Sætpunkt for Tryk sensor (LT1) 0- AGND Tryk sensor i tank 2 (LT2) 1+ AGND Sætpunkt for Tryk sensor (LT2) 1- AGND Digital input/output (DIO) Pumpe (P1) 0 DGND Pumpe (P2) 1 DGND On/off ventil (OOV1) 2 DGND On/off ventil (OOV2 3 DGND Niveau føler i tank 1 (LS1.1 & LS 1.2) 4 DGND 5 DGND 6 DGND 7 DGND 5 V DGND Tabel 1 viser hvordan input, output og analoge signaler er tilsluttet MyRio, på baggrund af dette kan der laves opsætning af MyRio i LabView for at kunne kontrollere hvordan processen skal forløbe. For at kunne klargøre yderligere hvordan systemet skal fungere er der i Tabel 2 opstillet funktionsbetingelser for hvordan de enkelte komponenter skal agere i forhold til vandniveauet i de to tanke. Pumpens arbejdsområde er valgt medhenblik på at være over midten af tanken, men stadig med sikkerhedsafstand til toppen af tank 1, hvor OOV1 ventilen fungerer som sikkerhedsventil i tilfælde af vandstigning i tank 1. OOV2 åbner på 10 [cm] for at bibeholde vand i tanken.

11 Two tank system 10 Tabel 2 - Funktionsbetingelser (se Figur 2 for placering) Komponent Funktion Betingelser Pump 1 ON > 44,5 [cm] Pump 1 OFF < 45 [cm] OOV1 ON (åben) < 50 [cm] OOV1 OFF (lukket) > 50 [cm] OOV2 ON (åben) < 10 [cm] OOV2 OFF (lukket) > 10 [cm] Pumpe PV1 Justering 0-10 V 0 V = 0 % åbning 10 V = 100 % åbning Pumpen der styrer vandstrømningen til tank 1 er af typen F2P10-19, og har følgende specifikationer: Tabel 3 - Specifikationer for pumpe Maksimal strømning Maksimal tryk (vedvarende) Studstilslutning Elektrisk tilslutning (yder 0,12 kw) 15 [l/min] = 0,25 [l/s] 0,6 [bar] = 60 [kpa] ½ slange eller ¾ NH haveslange DC: 12 [V] eller 24 [V] AC: 230 [V] Fra producenten er der opgivet en effektivitetstabel der illustrerer hvordan strømningen gennem pumpen sænkes i sammenhæng med at trykket hæves (grafisk illustreret på Figur 4), ligeledes er der opgivet hvor mange ampere der ydes ved samme tryk (1):

12 11 Two tank system Tabel 4 - Driftsbetingelser for pumpe Tryk Strømning Ampere forbrug [Bar] [kpa] [l/min] [l/s] 12 [V] 24 [V] Vedvarende ydelse 0, ,0 0, ,6 [A] 4,0 [A] 0, ,5 0, ,7 [A] 4,0 [A] 0, ,0 0, ,8 [A] 4,1 [A] 0, ,5 0, ,9 [A] 4,1 [A] 0, ,0 0, ,1 [A] 4,2 [A] Intermitterende ydelse 0, ,6 0, ,5 [A] 4,3 [A] 0, ,0 0, ,5 [A] 4,8 [A] På baggrund af data fra Tabel 4 kan følgende trykkurve laves for pumpe: 180 F2P10-19 F2P Tryk [kpa] Strømning [l/min] Figur 4 - Pumpekurve

13 Two tank system Højde sensor For at kunne måle højden i tankene, har hver tank en sensor til måling af trykket. Sensoren er af type 26PCA og afgiver en spænding, alt efter det tryk den måler. Spændingen på sensoren fra tanken er tom til den er fuld, er 0-16,7 [mv] som ses i Tabel 5 (4): Tabel 5 - Specifikationer for højde sensor Specifikation Spænding Max spænding Responstid 26PC 10 [V] 16 [V] 1 [ms] max. Følsomhed(sensitivity) 0,00242 [V/kPa] Nul offset (null offset) Pressure range 0 [mv] typisk ±6,895 [kpa] Overtryk (overpressure) 137,895 [kpa] Sensorerne er lavet således, at de er fastgjort til en slange som vist på Figur 5, plastikslangen er placeret inde i tanken med åbningen i enden af slangen. Åbningen er placeret i bunden og sensoren i toppen af tanken, således at trykforskellen i plastikslangen bliver registreret af sensoren, der leder et signal over til outputtet af den, hvilket er et analog udgangsspændings output. Figur 5 - Højde sensor i tank 1

14 13 Two tank system For at få spændingen om til væskehøjden i tanken, anvendes linjens ligning, da der er en lineær sammenhæng mellem væsken i beholderen og spændingen. = b er skæringen med y-aksen og a er et udtryk for linjens hældning, hvor b er spændingen målt i en tom tank. Derefter kan der laves en ligning med en ubekendt, da højden kan aflæses på tanken, derved kan hældningen og skæringen beregnes i tank 1 og 2 til at være: Hældning (a) Skæring (b) Tank 1 25,36 0,52 Tank 2 0,039 0,52 Det har efterfølgende vist sig at sensorerne skal kalibreres flere gange, da de ikke stemmer overens med skalaen på tankene dagen efter. Derfor bliver de kalibreret til hvert forsøg, så de passer bedst muligt Ventiler I opstillingen er der to on/off ventiler, disse to ser fysisk ud som vist på Figur 6. Ventilerne styres ved at sende et 5 [V] signal til en MOSFET, som derefter sender et 24 [V] signal videre til ventilerne, hvilket resultere i fuld gennemstrømning. Hvis der ikke sendes noget signal til ventilerne vil disse være lukket og der vil ingen gennemstrømning være. Figur ventil

15 Two tank system Ventilerne har følgende specifikationer der er relevante (2): Tabel 6 - Specifikationer for ON/OFF ventiler Spænding 24 [V] DC Trykområde kpa Responstid Åbne: ms Lukke: ms Tilslutningstilstand NC (bryde kontakt) Proportional ventil For at kunne styre flowet til tank 2, gennem tank 1, er der en proportionalventil imellem dem, der kan styres efter hvor meget den skal åbne for flowet. Controlleren transformer signal fra MyRioen om til 24 [V], således at ventilen åbner det ønskede antal procent. MyRioen sender et signal fra 0 til 10 [V], som styre, om den er lukket eller helt åben Ventilen Ventilen skal have en PWM frekvens (Pulsbreddemodulation), på min. 180 Hz, max. 280 Hz og en strøm på max 680 ma. Ventilen ses på Figur 7, hvor den er forbundet med tank 1 og med tank 2. Figur 7 - Proportional ventil 14

16 15 Two tank system Specifikationer (5): Tabel 7 - Driftsdata for proportionalventil Operating voltage 24 [V] DC Power consumption 14 [W] Media Neutral gases, liquids. Version for vapor on request Port connection 3/ Controlleren Controlleren er med fem input og fem output anvendt som vist på Tabel 8. Tabel 8 - Tilslutning af controller 1 Driftsspænding. Input 2 Earth (Driftsspænding). 3 Earth (monitor signal) 4 Standard signalindgang 5 Earth (signalindgang standard) Output 1 Beskyttende jord (fra strømforsyning) 2 Beskyttende jord (til ventil) 3 Valve (polaritet ikke ordineret) 4 Ventil 5 Monitor output Derudover har controlleren tre indstillings potentiometer og en LED, som vist på Figur 8, der lyser op hvis der kommer væske igennem ventilen. De tre indstillings potentiometer er R1, der er til at tilpasse minimum for flowet og R2 er til maksimum. R3 er rampe tid for PWM (pulsbreddemodulation), der har til formål, at ændre pulsen på udgangen, efter hvad amplituden af signalet på indgangen er, ved at ændre på pulsbredden og holde perioden konstant.

17 Two tank system 16 Figur 8 - Venstre billede: 1094-PHR Controller. Højre billede: Tegning fra Operating instructions DIP-Switchene der sidder til venstre for LED en er til styring af de forskellige ventiler, som den kan anvendes til. I dette projekt skal den se således ud (3): Tabel 9 - Controller DIP DIP-Switch Standard signal input (0 10 V) 1 OFF 2 OFF 3 NO 4 NO 5 OFF 6 ON 7 OFF 8 OFF PWM-Frequency Zero-point switch-off Operationsforstærker, MyRio setup Da MyRioen kun leverer 3 [V] og pumpen samt ventilerne minimum skal have 5 [V], anvendes en operationsforstærker (OpAmp), vist på Figur 9. MyRioens signal sendes ind af port 1 og forstærkernes output kommer ud af port 3. Port 2 og 3 forbindes med en modstand (R1) imellem

18 17 Two tank system dem. Port 2 forbindes også med ground, gennem en modstand (R2). Port 5 går direkte til ground Figur 9 - OpAmp De to modstande er R 1 på 1[kΩ] og R 2 på 1,5 [kω], bestemmer outputtet og beregnes således: = Da der til port 4 kommer en begrænset spænding på 7 [V], er det ikke muligt for forstærkeren, at sende mere spænding end 7 [V] ud af dens output. Da der er tab i forstærkeren sendes der ikke 5 [V] ind gennem den, da outputtet ikke må være under 5 [V]. Operationsforstærkeren er indbygget i en Quad Operational Amplifier af type LM324AN, hvor der er fire forstærkere i, således at der er en til pumpen og en til hver af de to ventiler, da det skal være muligt, at kunne styre dem individuelt fra MyRioen. Figur 10 - Stepdown kredsløb For at kunne begrænse spændingen til forstærkeren, er der lavet en stepdown fra 24 [V] til 7 [V], som vist på Figur 10. Til det er der anvendt en kondensater på 330 nf, der er forbundet til ground og mellem 24 [V], og en regulator af type 78L05. Regulatoren har tre ben: ind, ground og ud. Ind er forbundet med 24 [V] og kondensatoren på 330nF. Ground -benet er forbundet med tre dioder i en serie, for at opnå 7 [V] i udbenet, til dette er der blevet anvendt IN Ud-benet er forbundet med en kondensater på 100 µf og forstærkeren. Figur 11 viser en oversigt over systemet. DC kilden leverer 24 [V] til systemet og DC regulatoren reducerer derefter [V] til 7, således at alle forstærker, får nok spænding til at kunne forøge MyRioens signal, spænding til 5 [V] til pumpen eller ventilen (6).

19 Two tank system 18 Figur 11 - OpAmp system til MyRio Da der er flere inputs og outputs i systemet, er de ledt hen til en samling, hvilket kan ses på Tabel 10. Samlingen er fysisk opdelt i to samlinger, hvor kanal 1 til 5 sidder for sig selv og hvor 7 til 12 for sig. Kanal 11 og 6 bliver ikke anvendt. Tabel 10 - I/O for OpAmp Channel Input Output 1 Ground - 2 Ground Pumpen 4 MyRio Amp V power supply Ventil 1 (OOV1) 8 - Ventil 2 (OOV2) 9 MyRio til ventil 1 (OOV1) 10 MyRio til ventil 2 (OOV2) Ground -

20 19 Two tank system 6 Matematisk modellering For at kunne modellerer systemet er der opstillet et feedback kontrol diagram som kan være opbygget som det vist på Figur 12 hvor det der kontrolles er processen. Denne kontrolleres ved at der sendes et negativt feedback til det input der tages fra referencen, således controlleren hele tiden kan regulerer hvor meget aktuatoren skal tilføre eller fjerne fra processen for at der hele tiden opnås et stabilt, og ønsket output. I dette projekt kan blokkene uddybes som: Figur 12 - Opbyggelse af feedback kontrol diagram (7) Input: Højde i tank 1 Controller: PWM controlleren til proportionalventilen Aktuator: Åbningen af proportionalventilen Proces: Niveauet i tank 2 Sensor: Niveaumåler der bestemmer om der skal mere eller mindre vand til før processen passer Disse parametre medfører at feedback kontrol diagrammet for dette projekt vil se ud som vist i Figur 13. Figur 13 - Opbyggelse af feedback diagram for projektet Den matematiske model til to-tanks-systemet skal kunne simulere hvilken åbningsgrad, proportionalventilen skal have for at opretholde den samme vandstand i tank 2, selvom der sker en ændring af vandstanden i tank 1. Modellen skal derfor tage hensyn til de fysiske forhold så som: rørbøjninger, friktionsværdier og væskeegenskaber, for væsken der skal transporteres fra den ene tank til den anden. På baggrund af dette kan der opstilles en differentialligning for hver tank.

21 Two tank system 20 For at kunne fastslå parametre for systemet er det fysiske system betragtet som værende et langsomt system. Denne betragtning bunder hovedsageligt i at de to tanke har en betydeligt større diameter end røret mellem dem, hvor proportionalventilen er placeret. Derfor findes det realistisk at det vil tage over 45 sekunder for niveauet i tank 2 at gå fra 0 til 25 [cm], men det burde ikke tage over 60 sekunder. Et yderligere krav vil være at niveauet efter 180 sekunder skal være normaliseret. Skulle der være et overshoot under indsvingningen af controlleren må dette ikke overstige 2 %. For at fremhæve disse driftskrav er de opstillet i Tabel 11: Tabel 11 - Krav for controller Rise time 45 < x < 60 sekunder Settling time < 180 sekunder Overshoot < 2 % 6.1 Tank 2: Dynamisk højde Ændringen i højde i tank 2 afhænger af den masse der strømmer ind i tanken og den masse der strømmer ud, dette medfører at følgende massebalance kan opstilles: Enhver af disse massestrømninger kan opskrives som: = 6.1 =, ø = ø h h 6.2 Massen der er i tanken kan beskrives ved volumen gange med densiteten: h Massestrømning ind i tank 2 =,h = Figur 14 - Strømningen ind i tank 2 Strømningen ud fra tank 1, og ind i tank 2, betragtes som vist på Figur 14, kan findes ved at opstille Bernoulli s ligning (8): + 2 +h = + 2 +h +h 6.4 Trykkene i de to tanke er ens, eftersom de begge er åbne og derfor udsat for et atmosfærisk tryk. V 1 vil tilnærme sig nul, da hastigheden i et punkt nær overfladen i tank 1 vil være meget lille. Alt dette medfører at Bernoulli s ligning ser således ud for systemet:

22 21 Two tank system Det tryktab der er i systemet kan beskrives ved hjælp af: h = 2 +h +h 6.5 h = Til tabskoefficienten vil der blive fundet en forskrift da det er denne der skal justeres ved hjælp af proportionalventilen. Derudover vil friktionen i røret være meget lille i forhold til tabskoefficienten, og derfor vil dette led tilnærme sig nul: Tryktabet kan indsættes i Bernoulli s (Eq. 6.5) fra før: 1 h = h = h h = h h = h h 6.9 Dette simplificeres i forhold til hastigheden: = h h Denne hastighed indsættes i massestrømningsformlen:, = 4 2 h h De konstante led erstattes med en konstant, så der findes et simplificeret udtryk for massestrømingen ind i tank 2:, =, h h 1+,h, = Bestemmelse af forskrift for tabskoefficienten Tabskoefficienten k L kan fastsættes på to måder: Teoretisk Praktisk, med forsøg (se afsnit 7) Princippet bag den teoretiske metode er at tabskoefficienten over proportionalventilen vil være lig med den modstand der ydes alt efter hvor stor, eller lille, spænding der sættes på

23 Two tank system 22 proportionalventilen. Ved en høj spænding vil åbningen være større end ved en lav. Følgende karakteristika er givet for modstand i forhold til åbning: Tabel 12 - Tabskoefficient over proportional ventil (8) Procentmæssig åbning (u) Modstand (k L) [-] [-] 1 0,2 0,75 0,3 0,5 2,1 0,25 17 Værdierne fra Tabel 12 plottes: Modstand over proportionalventil kl -tabskoefficient [-] ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 u -Åbning [-] Figur 15 - Plot over tabskoefficienten Der er ved hjælp af Excel, Figur 15, fundet en forskrift for hvordan tabskoefficienten udvikler sig i forhold til hvor meget åben ventilen er: = , =0, Hvor u er den procentmæssige åbning, der angiver hvor mange procent af 0-10 [V] der sendes ud for at holde den ønskede åbning.

24 23 Two tank system Massestrømning ud fra tank 2 Massestrømningen ud fra tank 2 kan anskues som vist på Figur 16. Figur 16 - Strømningen ud fra tank 2 Denne massestrømning kan bestemmes ved hjælp af Bernoulli s: + 2 +h = h, 6.14 For denne gælder at trykkene, som før, er ens og derfor kan sættes lig med nul. Der gælder også at hastigheden i tank 2 er så lav den tilnærmer sig nul, og derfor kan denne negligeres. Højden i punktet z er nul, og h L,out kan negligeres da den friktion og det tab der vil være er minimalt i forhold til den masse der trykker: h = 2 = 2 h = 2 h 6.15 Denne hastighed sættes ind i massestrømningsformlen: Konstanterne samles til et led:, = 4 2 h 6.16, =, h,h, = Endelig opstilling h = 2 = 2 h = 2 h 6.18 h = 4 2 h h h h 4 2 h h 1+ = h h = 2 h h 1+ 2 h

25 Two tank system 24 h = h h 1+ h Dette er gældende da D 2 og D 4 er den samme rør diameter: 6.2 Tank 1: Buffer tank = = Tank 1 betragtes som en buffer tank, med en controller der opretholder en fast højde, uanset hvordan systemet bliver påvirket. Dette medfører at det ikke er nødvendigt at opstille en dynamisk model for denne, da højdeændringen vil være minimal. h = 6.21 Figur 17 viser hvordan trykket der ydes af højden i tank 1 er det eneste der skal en strømning til tank 2, dette forudsætter dog at niveauet i tank 1 er højere end det i tank Tank 1: Dynamisk højde Figur 17 - Grov skitse over systemet Betragtes tank 1 ikke som værende en buffer tank, vil strømningen ind i tank 1 være højdeændringen kunne beskrives ved at den masse der er i tank 1 vil være ens med den masse der kommer ind fratrukket den masse der kommer ud. Dette medfører at følgende massebalance kan opstilles: =,, 6.22 Da massen der er i tanken vil være ens med volumen gange med densiteten kan denne opstilles på følgende måde:

26 25 Two tank system h =,h = Massestrømningen ind i systemet vil være konstant og er bestemt ved forsøg under simuleringen. Konstanten vil også tilnærmelsesvis være lig med den masse der strømmer fra tank 2 og ned i sump tanken. =, 6.24 Den masse der forlader tank 1 vil være ens med den masse der strømmer ind i tank 2, denne findes i (Eq. 6.17). Disse tre samles og medfører følgende opstilling for den dynamiske højdeændringen i tank 1: h = h,h, = h = h,h = Linealisering og overførselsfunktion Ethvert system kan linealiseres for at finde stabiliteten af det givende system. En måde at gøre dette på er ved hjælp af small signal analysis hvor følgende formel anvendes: = Denne metode tager udgangspunkt i at der etableres to punkter hvor der vil være stilstand, for dette projekt to højder, hvor den ene højde vil være en konstant, i tank 1. Den ikke konstante højde, i tank 2, kan sættes til en fast værdi h 0 der angiver outputtet, dette resulterer i at der kan findes en værdi for u 0 som inputtet. For at kunne anvende dette til at bestemme en linearfunktion anvendes: = h & = h h 6.28,, Ved at løse (Eq. 6.23) kan der bestemmes værdier for F og G, disse indsættes i (Eq. 6.28), hvilket resultere i en linealiseret model af løsningen. Denne kan bruges til at lave en overførselsfunktion, som anvendes til at bestemme stabiliteten ud fra hvor mange poler der er og hvor de/den ligger. Overførselsfunktionen findes ved at sætte output over input, i dette tilfælde gøres dette i laplace domænet: = 6.29 Når funktionen er opstillet vil antallet af poler kunne bestemmes ved at løse værdien i næveren i forhold til s. Det vil sige at:, = 6.30

27 Two tank system 26 Polernes placering angiver stabiliteten af systemet i forhold til hvordan dæmpningen er, dette er illustreret på Figur 18. Figur 18 - Polernes placering (9) Disse dæmpningstyper medfører et step respons der ser ud som følger: Figur 19 - Kritisk dæmpning Figur 20 - Over dæmpet Figur 21 - Udæmpet Figur 22 - Under dæmpet I tilfælde af at den givende overførselsfunktion ikke fungerer som ønsket, kan der sættes en controller ind, dette vil bevirke hvordan overførselsfunktionen ser ud, og derved også hvordan stabiliteten er. Når der sættes en controller ind gælder følgende regneregler (7):

28 27 Two tank system = = + = PID Controller En PID controller er en Proportional Integral Differential controller, hvilket er en kontrolloopfeedback-mekanisme. PID regulatoren udregner fejlværdien som er forskellen mellem den målte variabel og sætpunktet, i (Eq. 6.25) D(s). = PID controlleren har tre konstante parametre. Disse værdier forstås i form af tid: P afhænger af den nuværende fejl, I er akkumulering af fortidens fejl, og D er en forudsigelse af fremtidige fejl. Den vægtede sum af disse tre tiltag, bruges til at justere processen, såsom reguleringen af åbningen af en proportionalventil. I Tabel 13 vises hvilken indvirkning de enkelte parametre i en P/I/D controller har på det givende system. Parameter Rise time Overshoot K p Formindske Forøge Tabel 13 - Virkning af P, I og D i en PID controller Settling time Lille ændring Steady-state fejl Formindske Stabilitet Nedbryde K i Formindske Forøge Forøge Eliminer Nedbryde K d Lille formindskelse Proportional Formindske Formindske Ingen effekt(teori) Forbedre hvis k d lille P frembringer en outputværdi der er proportional, med den aktuelle fejlværdi. Dette gøres ved at fejlen ganges med proportionalforstærkningskonstanten, K p. En ren P controller kan betragtes således: = 6.32 En meget høj proportionalforstærkning kan resultere i en stor ændring i fejlen. Hvis forstærkningen er for høj, kan systemet blive ustabilt. Hvis forstærkningen er for lav, kan controllerens handling være for lille, til at reagere på driftsforstyrrelser.

29 Two tank system Integral Integralleddet(I) er proportional med både størrelsen og varigheden af fejlen. Integralet i en PIDregulator er mængden af den øjeblikkelige fejl over tid. Den giver det akkumulerede offset, som skulle have været før. Den akkumulerede fejl er derefter ganget med integreret forstærkning(k i) og føjes til regulatoren. En ren I controller kan betragtes således: = Integralet accelererer bevægelsen af processen til sætpunktet og eliminerer steady-state fejl, der opstår ved brug af en proportional controller Differential Differentialleddet(D) af processens fejl, beregnes ved at bestemme hældningen af fejl over tid, og gange det fald af den afledte værdi(k d). Størrelsen af det afledte udtryk for den controllers handling, betegnes som afledte værdi (10). En ren D controller kan betragtes: 6.4 Linealisering af systemet = 6.34 For at kunne fastslå dette linealiseres systemet i to punkter (h 1 = 45 [cm] og h 2 = 25 [cm]), ved hjælp af small signal analysis. Linealiseringen sker ved anvendelse af: = + h = h Hvor F og G bestemmes ved differentiation af den givende ODE i forhold til højden og åbningen af ventilen (V in). Tabel 14 - Værdier for linealisering Densiteten af vand ved 10 grader Tyngdeaccelerationen Diameteren af tankrørene Rør diameter Højden i tank 1 Højden i tank 2 Tabskoefficient Konstanten k 2 og k 3 =999.7 =9.82 = =0.121 = =0.016 h =0.45 h =

30 29 Two tank system Differentialligningen der angiver den dynamiske model for højden i tank 2, anvendes her, med k L erstattet med udtrykket der angiver åbningen af proportionalventilen: h = h h h 6.36 For at finde en værdi for u kan systemet betragtes som værende i stilstand, da niveauerne i tankene skal være konstante, derfor vil højdeændringen i tank 2 være nul. Alle værdierne kan indsættes i (Eq. 6-36) og denne kan løses for u: h h 0= h = (Eq. 6-36) differentieres i henhold til outputtet, som her vil være højden i tank 2 og inputtet, åbningen af proportionalventilen, værdierne fra Tabel 14 og u værdien fra (Eq. 6-37) indsættes ligeledes: = h h = 2 h + 2 h h = = h = h h = Hvilket resulterer i følgende linealiserede model: Overførselsfunktion h = h Formålet her er at kunne opstille en funktion der angiver et forhold mellem input og output, dette kan ske i laplace domænet: = 6.41 Den linealiserede model (Eq. 6.40) deles op så input og output separeres således inputtet bliver lig med outputtet: h = h h h = Denne funktion laplace transformeres: = =

31 Two tank system 30 Det er nu muligt at sætte output over input, hvilket resulterer i følgende overførselsfunktion: = = = Ved at se på overførselsfunktionen kan det fastslås at der vil være én pol, da der er ét s i nævneren. Denne pols beliggenhed kan bestemmes ved at løse nævneren som en ligning: Denne værdi for s bevirker at systemet er stabilt MATLAB simulation 0= = Overførselsfunktionen kan også simuleres i MATLAB for at bestemme om systemet er stabilt. Det kan også simuleres med en controller sat på systemet for at opnå stabilitet, hvis der er ustabilitet. Systemet er opstillet med et closeloop feedback, hvilket medfører at systemet vil kunne ramme sit sætpunkt efter en tid, alt efter hvordan dæmpningen af systemet er. Derfor kan man grafisk se hvordan systemet udvikler sig i forhold til tiden. Når et system opstilles med closeloop medfører dette en ændring i overførselsfunktionen, denne ændring kan findes i MATLAB ved at anvende følgende kode: clear clc opt=stepdataoptions('stepamplitude',0.25); num=[0.1549]; den=[ ]; sys=tf(num,den); closeloop=feedback(sys,1) Den nye overførselsfunktionen ser ud som (Eq. 6.46), og har en pol der er placeret som angivet i (Eq. 6.47): = = 1+ = = : = Følgende kode er anvendt for at kunne se stabiliteten af systemet, til dette formål er der anvendt root locus da dette givet et billede af hvordan polen ligger, samt hvilket vej den bevæger sig: figure('name','root locus with no control','numbertitle','on') rlocus(closeloop,1)

32 31 Two tank system Figur 23 - Root locus uden controller Figur 23 viser et root locus plot af hvor polen ligger. Der er et blåt kryds på den reelle akse, her ligger polen, hvilket passer overens med hvad der er bestemt fra (Eq 6.47). På baggrund af denne placering af polen er systemet overdæmpet, se Figur 18. Følgende kode er anvendt til at plotte systemets steprespons for at kunne se hvordan det udvikler sig i forhold til tiden det kører, Figur 24. Denne kode vil også angive diverse systemkarakteristika: figure('name','no control','numbertitle','on') step(closeloop,opt); xlabel('tid [s]') ylabel('højde [m]') grid stepinfo(closeloop)

33 Two tank system 32 Figur 24 - System uden controller RiseTime: SettlingTime: SettlingMin: SettlingMax: Overshoot: 0 Undershoot: 0 Peak: PeakTime: Disse karakteristika lever ikke op til driftskravene da RiseTime er for lav, SettlingTime er for lav og peak ligger cirka 60 % fra hvor den skal være. Derfor skal der indsættes en controller for at opnå de driftskrav der er opstillet i Tabel 11. I dette tilfælde vil en PI controller være nok, da der kun er en pol, hvilket er ensbetydende med at systemet er først orden. For at kunne finde den rette PI controller er der i MATLAB anvendt denne kode for at tune P og I så de rammer inden for de opstillede parametre: pidtool(sys)

34 33 Two tank system Figur 25 - Pidtool screenshot fra MATLAB Eftersom PI controlleren nu er tunet til at reagere som det ønskes, kan denne sættes sammen med det oprindelige system, hvilket medfører at overførselsfunktionen ændres: Kp=0.228; Ki= ; Kd=0; Cs=pid(Kp,Ki,Kd); closeloop=feedback(cs*sys,1) Hvilket resultere i følgende overførselsfunktion: = Hvor P(s) angiver overførselsfunktionen for PI controlleren i laplace domænet. Denne nye overførselsfunktion har to poler og et zero. Polerne kan findes ved hjælp af diskriminant metoden:

35 Two tank system ± zero kan findes ved at isolere s i tælleren: Dette kan også simuleres ved hjælp af MATLAB: figure('name','root locus with PID control','numbertitle','on') rlocus(closeloop) Figur 26 - Root locus med PI controller Dette viser, ligesom udregningerne for polerne og zero, at systemet stadig er stabilt. Figur 26 viser også at systemet er kritisk dæmpet, dette ses ved at polerne ligger forskudt for hinanden på den reelle akse. For at se om systemet med en PI controller reagerer, som det ønskes, er følgende indtastet i MATLAB: figure('name','pid control','numbertitle','on') step(closeloop,opt); xlabel('tid [s]') ylabel('højde [m]') grid stepinfo(closeloop)

36 35 Two tank system Figur 27 - System med PI controller Figur 27 har følgende karakteristika ifølge MATLAB: RiseTime: SettlingTime: SettlingMin: SettlingMax: Overshoot: 0 Undershoot: 0 Peak: PeakTime: Simulink simulation Udover at se hvordan systemet ser ud i MATLAB, kan den linealiserede overførselsfunktion også simuleres i Simulink. Dette gøres ved at bygge systemet i programmet og indsætte overførselsfunktionen, se Figur 28.

37 Two tank system 36 Figur 28 - Simulink model Ved simulation af systemet indsættes de samme parametre i PI controlleren som i MATLAB koden dette medfører at graferne kan aflæses i scope. Figur 29 - Simulink model uden controller På Figur 29 ses hvordan systemet reagere, denne viser det samme som MATLAB simulationen, der ses på Figur 24. Figur 30 viser hvordan systemet rammer sit sætpunkt og derudover også kommer til at opfylde de driftskrav der er opstillet, på samme måde som Figur 27.

38 37 Two tank system Delkonklusion Figur 30 - Simulink model med controller De data der under simuleringen er kommet er opsummeret i Tabel 15, og ud fra disse data ses det at for at komme inden for de driftskrav der er opstillet i afsnit 5 skal der indsættes en controller, med de værdier der er opstillet i MATLAB simuleringsdelen. Tabellen viser også at systemet vil nå sit peak, med controller, efter 185 sekunder, hvilket er 5 sekunder fra at ligge inden for settling time. Hvis der ikke indsættes en controller vil systemet aldrig komme i nærheden af at ramme sit sætpunkt, da peak kun ligger på 42 % af værdien, hvilket svarer til 10,5 [cm]. Tabel 15 - Opsummering af simuleringsresultater Step Info Sys uden controller Sys med controller Ideelle krav Rise Time 8, , < x < 60 Settling Time 14, ,8653 x < 180 Settling Min 0,3778 0,9016 Settling Max 0,4177 0,9999 Overshoot 0 0 < 2 % Undershoot 0 0 Peak 0,4177 0,9999 Peaktime 39, ,0338

39 Two tank system Simulink system simulation I afsnit 6, hvor systemets setup er beskrevet og analyseret, er der blevet opsat en række designmæssige specifikationer rise time, settling time og overshoot. Derfor er det fysiske system blevet simuleret, som en nonlinear funktion, for at disse parametre kan testes og vurderes på. Simuleringen er baseret på to separate differentialligninger, metoden til at opstille disse ligninger er gennemgået i 6.1 og 6.2. De pågældende ligninger har til formål at beskrive den fysiske opstilling af tank 1 og tank 2, og ser således ud: h = Simulering af differentialligninger Simuleringen foregår på baggrund af disse to ligninger, (Eq. 6.53) og (Eq. 6.54), hvor man indsætter blokke for hver af de pågældende led i ligningen, for derved at opnå en passende simuleringsmodel. For at forklare processen, bliver der taget udgangspunkt i den vedlagte simuleringsmodel for det fulde system Figur 31. Figur 31 - Simulink model, tank 1 & tank 2 (Appendix 9.4) De konstanter der er en del af ligningerne (Eq. 6.53) og (Eq. 6.54), dvs. k 1(Step_pumpe), k 2, k 3 og k _l, er på forhånd defineret og bliver til simuleringen udregnet i et tilhørende MatLAB script (Appendix 9.5). Til denne model vil man til at starte med at indtegne den streg der være ensbetydende med stigningen af højden i tank 1, dvs.. Dette opnås ved at tegne en streg der kaldes h_1_dot(t), der føres gennem en integrator blok, da det gælder at:

40 39 Two tank system h =h 6.55 Herved har man i simuleringen en streg der definerer højden af tank 1. Da formålet med projektet er at kontrollere højderne, er det derfor hensigtsmæssigt at denne stregs respons bliver observeret. Dette bliver gjort ved at tilføre en Scope blok, der har til formål at illustrere udviklingen af h 1 over en tidsperiode. Herefter skal de led af ligningen der er lig med simuleres. Dette simuleres ved at tilslutte en sum blok, denne blok sørger for at massen der går ud af tanken, ligges til massen der går ind. Derfor ændres blokken til at det ene input er positivt, massen ind, og det andet input er negativt, massen der går ud, således at massen der går ud trækkes fra massen der går ind. Fra denne blok trækkes to nye streger, der bliver navngivet Q_1_in og Q_1_out. Q_1_in er forbundet med en stepfunktion, der skal simulere pumpen til at forsyne systemet med vand, denne forsyning er konstant og har værdien k 1. Stregen Q_1_out er baseret på konstanter, summeret i konstanten k 2 der ganges på stregen som en Gain blok. Stregen føres da videre til en Squareroot blok, hvor højdedifferensen mellem tank 1, h 1, og tank 2, h 2, måles og divideres med modstanden i røret, defineret som en tabskoefficient, k_l. Figur 32 - Simulering af tank 1 På trods af at ligningerne (Eq. 6.53) og (Eq. 6.54) er to separate ligninger, er disse funktioner afhængige af hinanden, da højden i tank 1 vil medføre et tryk, der fungerer som forsyningstryk for tank 2. Ydermere er det ikke muligt at finde højdedifferensen mellem tank 1 og tank 2, hvis simuleringsprogrammet ikke kan måle h 2 et sted i systemet. Derfor føres stregen Q_1_out videre og navngives her Q_2_in, da flowet ud af tank 1 vil være ensbetydende med det flow der går ind i tank 2. Hermed er simuleringen af (Eq. 6.54) allerede i gang, og massen ind er defineret. Derfor tilføres en sum blok, der igen ændres til at have ét af inputtene negativt, der trækkes en streg og det negative input bliver navngivet Q_2_out. Den nye streg forbindes med en Gain blok indeholdende værdierne for k 3, og føres videre til en Squareroot blok der tager kvadratroden af det pågældende input, som i dette tilfælde er h 2. Hernæst laves den samme procedure som før, for tank 1, hvor det nu er der er defineret af inputtene i sum blokken. Endnu en integrator blok tilføjes til systemet, således at stregen der før integratoren

41 Two tank system 40 hed h_2_dot bliver ændret til h_2(t). Højden i tank 2 bliver observeret ved at der laves endnu et input til scopet og en streg trækkes til h 2. Ydermere trækkes der så streger fra h 2 og h 1 til de steder i systemet hvor højderne var påkrævet. Højderne er nu tilført til de forskellige led i simuleringsmodellen, er modellen således færdig, og step responset kan observeres for begge højder. Figur 33 - Scope af højde, tank 1 Figur 33 viser således hvordan indstrømningen i tank 1 vil forløbe og hvornår den vil stabilisere sig. Stabiliseringspunktet er afhængig af step inputtet, pumpen, hvilket har indflydelse på grafens respons. I afsnit 5.1 er det blevet beskrevet at den højde der bliver efterspurgt i tank 1 er 0,45 [m] = 45 [cm], derfor blev der i det fulde system (Appendix 9.4) simuleret med forskellige massestrømninger fra pumpen. Da det lykkedes for systemet at stabilisere sig omkring ca. 45 [cm] blev det vurderet at strømningen, på 0,0368 [kg/s], fra pumpen var tilstrækkelig.

42 41 Two tank system Figur 34 - Scope af højde, tank 2 På samme måde som sidste figur viser Figur 34, hvordan at højden i tank 2 vil udvikle sig hen over den samme tidsperiode. Herved vises det at tank 2 vil indfinde sig på et stabilt niveau med en højde på ca. 0,225 [m] = 22,5 [cm]. Denne stabilisering viser således hvilket niveau der kan forventes i tank 2 med en højde i tank 1 på, de tidligere nævnte, 45 [cm]. Eftersom gruppen via de designspecifikke krav for systemet har bestemt sig til at kontrollere en højde på 25 [cm] i tank 2, er dette ikke er i overensstemmelse med kravene, hvormed der kan konkluderes at systemet skal tilpasses. Hertil er der en række muligheder for hvordan højden på tank 2 kan øges, én af disse er at øge stabiliseringshøjden for tank 1, evt. gennem forøgelse af step inputtet, dvs. pumpens massestrømning. Dog er dette udelukket på baggrund af design kravene for systemet, da højden for tank 1, der er fastsat til 45 [cm]. En anden løsning ville være at mindske k_l, tabskoefficienten, for indløbet til tank 2, dette ville tillade at mere vand kunne løbe fra tank 1 over i tank 2, hvorved man ville finde et nyt stabiliseringspunkt. Den øgede massestrømning fra tank 1 til tank 2, ville også medføre at højden i tank 1, vil falde under de ønskede 45 [cm], som så kunne kompenseres vha. et øget step input. En tredje løsning er baseret på brugen af en PI controller der kan få systemet til at tilpasse sig de opsatte krav systemets respons. Som det sidste led i simuleringen af differentialligningen, er der til denne simuleringsmodel tilført en blok, to workspace. Denne blok sørger for at det pågældende input bliver overført til det tilhørende workspace, således at dataene fra step responset er til at behandle fremadrettet. Da den fornødne data skal være i et passende format, bliver blokken ændret til at forsyne et datasæt med structure with time. Således den data der kommer ind på MATLAB workspacet er i en anvendelig form, hvilket medfører at der kan laves en stepinfo over de pågældende datasæt. Denne procedure følges og gentages på samtlige Simulink modeller beskrevet i dette afsnit. Hermed er det muligt at lave en stepinfo behandling, Tabel 16, af datasættet for at kunne sammenholde det med de designspecifikke krav for systemet beskrevet i Tabel 11.

43 Two tank system 42 Tabel 16 - Stepinfo for Simulink model, for tank 1 og tank 2 Step Info Tank 1 Tank 2 Ideelle krav Rise Time [s] 61, , < x < 60 Settling Time [s] 115, ,7308 x < 180 Settling Min [m] 0,4086 0,2099 Settling Max [m] 0,4511 0,2257 Overshoot 0 0,0822 < 2 % Undershoot 0 0 Peak [m] 0,4511 0,2257 Peaktime [s] ,1068 Ved sammenligning med de ideelle krav for det opsatte system, bemærkes det at systemet reagerer for langsomt i forhold til de forventede værdier. Derimod er tank 1 og tank 2 med en settling time på henholdsvis 115,29 [s] og 121,7308 [s] begge i overensstemmelse med det opsatte krav for systemets settling time. Det designspecifikke krav for overshoot er overholdt, da der næsten intet er for begge grafer. Hermed kan det ses at systemet i store træk overholder de krav der er opsat fra starten af, med undtagelse af systemets Rise Time, derfor bør det forsøges at få systemet til at reagere og indfinde sig hurtigere Simulink model, tank 2 Det er blevet vurderet mest praktisk at højden i tank 1 forbliver konstant, hvormed at én af variablerne er blevet fjernet fra simuleringssystemet. Hermed kan man fra et simulerings synspunkt antage at alt mht. tank 1, er en konstant og således starte simuleringsdiagrammet fra indløbet til tank 2. Figur 35 - Simulink model tank 2 med subsystem (Figur 36) Denne nye måde at anskue simuleringsprogrammet er illustreret i Figur 35, hvor alt det før indløbet til tank 2 kun kommer til udtryk via en konstant højde fra tank 1, som har til formål at levere et hydrostatisk tryk der driver indløbet.

44 43 Two tank system Figur 36 - Simulink model tank 2, Subsytem (Appendix 9.6) Modellen for tank 2 hvor tank 1 er holdt som en konstant følger de samme principper som simuleringen for det komplette system. Derfor er endnu en simuleringsmodel lavet, og et nyt step respons kan illustreres, se Figur 37. Figur 37 - Scope af højde, tank 2 med tank 1 konstant Scopet viser, meget lig Figur 33 og Figur 34, hvordan step responset vil se ud over en tid, modsat de andre to figurer er dette scope dannet ud fra simuleringsmodellen hvor tank 1 er holdt som konstant. Scopets karakteristiske træk er derfor, som forventet, i store træk som de tidligere figurer. Der er en variation, hvilket er at Figur 37, har en rise time på 13,2114 [s], som vist i Tabel 17, hvilket er et stort spring fra de tidligere figurers rise time på henholdsvis 61,4754 [s] og 66,5563 [s], som vist i Tabel 16. Variationen mellem disse grafer skal tildeles dét faktum at tank 1 s højde her er holdt konstant. Den konstante højde vil derfor medføre at tank 1, som i dette tilfælde er stabiliseret, allerede fra starten af vil yde sit maksimale tryk på tank 2, hvorved at

45 Two tank system 44 højden i tank 2 vil indfinde og stabilisere sig hurtigere end i de andre simuleringsmodeller. Her bemærkes at systemet stadig ikke har indfundet sig på den ønskede højde, på 25 [cm], derfor vil der i næste simulering blive forsøgt med en PI controller. Tabel 17 - Step - Info af tank 2 med tank 1 konstant Step Info Tank 2, med konstant tank 1 Ideelle krav Rise Time [s] 13, < x < 60 Settling Time [s] 25,4835 x < 180 Settling Min [m] 0,2161 Settling Max [m] 0,2250 Overshoot 0 < 2 % Undershoot 0 Peak [m] 0,2250 Peaktime [s] 236,4697 Ved at sammenholde det nye datasæt for systemets step info kan man observere at systemet, som forventet, er blevet hurtigere. Den nye Rise Time er gået fra at være for høj i forhold til kravene, til at være for lav hvilket ikke er ideelt. Systemets Rise Time overholder stadig de opsatte krav, hvilket også gælder for systemets Overshoot. Baseret på dette kan man derfor se at systemet stadig ikke er i fuld overensstemmelse med de forventede krav Opbygning af Simulink model med PI Opbygningen af en Simulink model der indeholder en PI controller, følger de samme principper som de foregående modeller. Figur 38 - Simulink model med controller Modellen, inklusiv controller (Figur 38), er en viderebygning af Figur 35 hvor en PI blok bliver tilføjet systemet. PI blokken bliver sat på i slutningen af systemet da det er outputtet der ønskes kontrolleret, og derefter bliver controlleren placeret i et negativt feedback, dvs. med en

46 45 Two tank system negativ sum blok, op til systemets input som starter systemet. Formålet med controlleren er, vha. at ændre parametrene P og I, at kunne overholde de designspecifikke krav rise time, settling time og overshoot. Tabel 18 - PI controller P Proportional 2,5 I Integral 0,0001 Ved at ændre på værdierne for P og I, samtidig med at observere ændringernes effekt på det tilhørende scope, blev de endelige værdier som vist i Tabel 18. Således er det lykkedes, ved at tilpasse værdierne for P og I til de projekt specifikke mål, at kontrollere højden i tank 2 til at stabilisere sig omkring 0,25 [m]. Dette bevirker at det kontrollerede step respons for systemet kan illustreres som vist på Figur 39. Figur 39 - Scope af højde, tank 2 med tank 1 konstant kontrolleret Ved brug af en PI controller placeret i et negativt feedback på systemet, kan man således observere at højden i tank 2 efter 8,8676 [s], har indfundet sig på et stabilt niveau, som er niveauet der fra starten er ønsket. Herved er det blevet vist at det via simulering er muligt at kontrollere højden i tank 2 til det ønskede niveau.

47 Two tank system 46 Tabel 19 - Step - Info for tank 2 med tank 1 konstant - kontrolleret Step Info Tank 2 - Kontrolleret Ideelle krav Rise Time [s] 4, < x < 60 Settling Time [s] 8,8676 x < 180 Settling Min [m] 0,2375 Settling Max [m] 0,2500 Overshoot 0 < 2 % Undershoot 0 Peak [m] 0,2500 Peaktime [s] 100 Ved brugen af en PI controller, kan man se at systemet er blevet endnu hurtigere til at reagere på step inputtet (Tabel 19). Dog viser dette systems graf at højden i tank 2, ved brug af PI controlleren ender med at stabilisere sig omkring den ønskede højde for tank 2. Systemet stemmer ikke overens med de ideelle krav, hvilket vil sige at på trods af at systemet er i stand til at nå den højde der er ønsket, så fungerer systemet kun i teorien da de fysiske komponenter ikke er i stand til at følge med det simulerede systems hurtige respons Delkonklusion Ved at observere og analysere disse tre forskellige simuleringer af det fysiske system, er der på baggrund af det illustrerede step respons og den skematiserede step info blevet vurderet hvilken simulering der er den mest realistiske. For at gøre sammenholdningen af data mere tilgængelig, er de forskellige datasæt for systemernes step info blevet opsummeret i Tabel 20. Tabel 20 - Opsummeret Step - info tabel Step Info Tank 2 - Kontrolleret Tank 2, med konstant Tank 1 Tank 1 Tank 2 Ideelle krav Rise Time [s] 4, , , , < x < 60 Settling Time [s] 8, , , ,7308 x < 180 Settling Min [m] 0,2375 0,2161 0,4086 0,2099 Settling Max [m] 0,2500 0,2250 0,4511 0,2257 Overshoot ,0822 < 2 % Undershoot Peak [m] 0,2500 0,2250 0,4511 0,2257 Peaktime [s] , ,1068