C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen

Transkript

1 Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede billedkredsløb repræsenteres begyndelsesbetingelserne af uafhængige generatorer. Disse er altså 0. Vi forestiller os endvidere, at kredsløbene heller ikke indeholder andre uafhængige generatorer bortset fra kredsløbenes input. Til t = 0 påvirker vi et sådant kredsløbet med et input x(t), der repræsenterer enten en uafhængig spændingskilde eller en uafhængig strømkilde. Inputtets Laplace-transformerede er X (s). Ud fra billedkredsløbet og de tilhørende kredsløbsligninger kan vi bestemme den Laplace-transformerede Y (s) af kredsløbets output y(t). Dette output kan enten kan være en strøm eller en spænding i kredsløbet. Da billedkredsløbet ikke indeholder uafhængige generatorer vil Y (s) have formen Y (s) = H(s)X (s) og kredsløbets output y(t) kan bestemmes som den invers Laplace-transformerede af Y (s). Forholdet mellem de Laplace-transformerede af output og input, altså funktionen H(s), kaldes en kredsløbsfunktion eller en overføringsfunktion for kredsløbet. Et kredsløb kan altså have flere overføringsfunktioner, afhængigt af hvad man definerer som input og output. i (t) I (s) v (t) L C v 2 (t) sl V (s) sc V 2 (s) Figur Figur 2 For kredsløbet i figur er input en uafhængig spændingsgenerator v(t). I figur 2 er vist det tilsvarende Laplace-transformerede billedkredsløb med den uafhængige spændinsgenerator V (s). Indgangs-admittansen Y (s) = I (s) V (s) og spændingsforstærkningen A v (s) = V 2(s) V (s) er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen Z(s) = V (s) I (s) ikke en kredsløbsfunktion, da i (t) ikke er en uafhængig generator. Hvis vi ønskede, at indgangsimpedansen skulle være en kredsløbsfunktion, må vi erstatte den uafhængige spændingsgenerator v (t) med en uafhængig strømgenerator i (t).

2 ational overføringsfunktion Da de kredsløb vi betragter kun indeholder modstande, kondensatorer, selvinduktioner og afhængige generatorer, vil H(s) være en rational funktion af s, det vil sige en funktion på formen b ms m b m s m b 0 a n s n a n s n a 0 hvor koefficienterne b k og a k alle er reelle. Ved faktorisering kan H(s) skrives som (s z )(s z 2 ) (s z m ) (s p )(s p 2 ) (s p m ) ødderne z 0,...,z m i tællerpolynomiet er overføringsfunktionens nulpunkter (zeros), mens rødderne p 0,...,p n er overføringsfunktionens poler. Da både tæller- og nævnerpolynomierne har reelle koefficienter vil både polerne og nulpunkterne være enten reelle eller være komplekst konjugerede par. Hvis vi giver kredsløbet et input, hvor den Laplace-transformerede af inputtet er X (s) = svarende til at x(t) = δ(t), altså at inputtet er en impuls, så er Y (s) = H(s), og hermed er outputtet y(t) = h(t). Den invers Laplace-transformerede af overføringsfunktionen H(s) er altså kredsløbets svar på en impulspåvirkning. Man kalder af den grund også h(t) for overføringsfunktionens impulsrespons. Fra H(s) til h(t) Lad os kort repetere fra matematikken, hvordan vi ved hjælp af partialbrøksopspaltning kan bestemme h(t) ud fra H(s). NårH(s) er en ægte brøk, vil h(t) for t 0 bestå af en sum af tidsfunktioner, der har formen Ae pt, svarende til hver pol af første orden i H(s). Erp en pol af rte orden bliver de tilsvarende tidsfunktioner af formen A n t n e pt, n =,...,r Bemærk at funktionerne Ae pt er komplekse når p er kompleks. Hvis p er reel svarende til en partialbrøk bliver tidsfunktionen A s p h(t) = Ae pt () også reel, altså en eksponentialfunktion med en tidskonstant τ = /p. Nårp er kompleks er p også altid pol i H(s). Hvis vi lader p = α jβ,ogdermedp = α jβ,harvi og så bliver tidsfunktionen A s α jβ A s α jβ h(t) = 2 A e αt cos ( ωt arg(a) ) (2) altså et sinusformet signal med vinkelfrekvens ω overlejret en eksponentialfunktion med tidskonstanten τ = /α. 2

3 Lad os bestemme impulsresponsen for et system med overføringsfunktionen 2s s 2 3s 2 Denne funktion har nulpunkt i s =/2og poler i s =ogs =2. H(s) kan partialbrøksopspaltes til s 3 s 2 Impulsressponsen bliver således h(t) =e t 3e 2t for t 0 Tidsfunktionen e 2t svarende til polen s =2erdominerende i starten, hvorefter den dør ud. Tidsfunktionen e t svarende til polen s =erden dominerende senere hen. Vi siger, at polen i s =2er hurtigere end polen i s =. Et nulpunkts placering kan ikke direkte aflæses på impulsresponsen. Tællerens rolle i overføringsfunktionen vil være at bestemme koefficienterne i partialbrøksopspaltningen og dermed virkningen af de enkelte tidsfunktioner i den samlede impulsrespons. Et nulpunkt, der ligger tæt på en pol, vil (næsten) forkorte polen ud, svarende til at virkningen af den tilsvarende tidsfunktion vil blive lille. Bemærk at impulsresponsen også kaldes for systemets naturlige respons og de nævnte tidsfunktioner kaldes systemets egensvingninger. Stabilitet Vi lægger mærke til, at alle egensvingninger i overføringsfunktionens impulsrespons indeholder et led med en reel eksponentialfunktion, se () og (2). Hvis det tilsvarende kredsløb skal være stabilt skal alle disse tidsfunktioner gå mod 0 for t. Alle eksponenterne skal altså være negative. Som det ses af de ovenstående udregninger er tidskonstanten τ =/α, hvorα er polens negative reeldel (når p er reel er p = α). For at kredsløbet skal være stabilt er det altså nødvendigt, at overføringsfunktionens poler har negativ reeldel. Det vil sige, at de skal ligge i det komplekse plans venstre halvdel. Dette stabilitetskriterium er imidlertid baseret på, at kredsløbet påvirkes med en impuls. I praksis er det imidlertid vigtigere at vide om et system, der påvirkes af en hvilken som helst begrænset påvirkning, giver output, der også er begrænset. Heldigvis kan det vises, at såfremt h(t) er stabil ved impulspåvirkning, så er det stabilt for en vilkårlig, begrænset påvirkning. i(t) I (s) v (t) L 3i(t) V (s) sl 3I (s) Figur 3 Figur 4 Undersøg om kredsløbet i figur 3 er stabilt for kredsløbsfunktionen Y (s) = I (s)/v (s). Vi bestemmer først billedkredsløbet (begyndelsesbetingelserne er nul), se figur 4. Ved hjælp af kredsløbsligninger kan Y (s) 3

4 bestemmes til Y (s) = /(sl 2). Overføringsfunktionen har altså en (reel) pol i s = 2/L. Denne pol er positiv; kredsløbet er således ustabilt. DC-forstærkning Las os betragte et stabilt kredsløb med overføringsfunktionen Y (s)/ X (s) = H(s). Påvirker vi fra t = 0 dette kredsløb med en konstant værdi, x(t) = k, (en DC-værdi) vil outputtet efter en indsvingningstid (i teorien uendelig lang tid, i praksis ofte få sekunder) også få en konstant værdi, som vi betegner y( ) for at markere, at vi har ventet længe nok. Da X (s) = k/s er Y (s) = k/s H(s) Ved anvendelse af Laplace-transformationens slutværdisætning fås Kredsløbets DC-forstærkning H(0) er således lim y(t) = s lim Y (s) t s 0 y( ) = kh(0) A DC = H(0) = y( )/k. Vi kan konstatere, at et kredsløbs dynamiske egenskaber er bestemt ud fra overføringsfunktionens poler og nulpunkter, og at de statiske egenskaber er repræsenteret i DC-forstærkningen. Lad os bestemme en overføringsfunktion for et kredsløb med et nulpunkt i s =, poler i s =2 ± j3 og med en DC-forstærkning A DC =. Overføringsfunktionen har følgende form K s (s 2 3 j)(s 2 3 j) = K s s 2 4s 3 og indsætter vi s = 0 finder vi DC-forstærkningen. Vi kan således bestemme K ved A DC = H(0) = K/3 = K = 3 Overføringsfunktionen bliver således BEMÆK: K er ikke DC-forstærkningen. 3(s ) s 2 4s 3 4

5 Frekvensanalyse Lad os betragte et kredsløb. der er beskrevet ved hjælp af overføringsfunktionen Y (s) X (s) Lad inputtet x(t) være en sinusformet strøm eller spænding. For at gøre udregninger simple antager vi i første omgang at have amplituden og fasevinklen 0. x(t) = cos(ωt) Signalets Laplace-transformerede er s X (s) = s 2 ω 2 Den Laplace-transformerede af outputtet bliver så s Y (s) = H(s) s 2 ω = H(s) s 2 (s jω)(s jω) En partialbrøksopspaltningen giver (idet vi for enkeltheds skyld antager rødder af første orden) Y (s) = k k n k 0 s p s p n s jω k 0 s jω hvor p l,...,p n er poler i overføringsfunktionen H(s). Tidsfunktionen svarende til Y (s) bliver y(t) = k e pt k n e p nt 2 k }{{} 0 cos ( ωt arg(k 0 ) ) }{{} y (t) y (t) Hvis vi antager, at systemet er stabilt, altså at alle poler ligger i venstre halvplan, vil alle systemets egensvingninger, repræsenteret ved y (t), dø ud. Outputtet vil så ende med kun at bestå af y (t), der er et sinusformet svarende til den sinusformede påvirkning x(t) = cos(ωt). Værdien k 0 svarende til polen s = jω kan bestemmes som (jvf. reglerne for partialbrøksopspaltning) s k 0 = Y (s)(s jω) = H(s) = H( jω) s= jω s jω s= jω 2 og dermed y (t) = H( jω) cos ( ωt arg(k 0 ) ). Den vigtige observation her er, at hvis et stabilt kredsløb påvirkes med et sinusformet signal med en vinkelfrekvens ω vil outputtet være sinusformet med samme frekvens, og med en amplitude og fase, der er en funktion af ω. Disse størrelser kan bestemmes ud fra kredsløbets overføringsfunktion som vist ovenfor. Bemærk at man ofte betegner et sinusformet signal med fast frekvens som stationært. Da det betragtede kredsløb er lineært og tidsinvariant, vil en påvirkning med et signal x(t) = A cos(ωt θ) for a fastholdt frekvens ω resultere i et stationært output, der har en amplitude, der er A gange større, og som har en faseforskydning på θ i forhold til en påvirkning med amplitude og fase 0. Således er outputtet y(t) = A H( jω) cos ( ωt arg ( H( jω) ) θ ) 5

6 Det er vigtigt at bemærke, at det ikke er nødvendigt at kende/undersøge H(s) i hele det komplekse plan (s er en kompleks variabel, så H(s) antager værdier i hele de komplekse plan) for at vide, hvordan inputfrekvenser hænger sammen med outputfrekvenser. Man kan nøjes med at kende H(s) på den imaginære akse, altså H( j ω). Derfor kaldes H( j ω) også for kredsløbets frekvenskarakteristik. Frekvenskarakteristikken H( j ω) bestemmes altså som funktionsværdierne for kredsløbets overføringsfunktion H(s) langs den imaginære akse s = jω. Vi kan med andre ord betragte den positive del af imaginæraksen som en vinkelfrekvensakse. Hvert punkt på denne svarer til en virkelig reel vinkelfrekvens. Vi har tidligere set, at H(s) for s = 0 er lig med kredsløbets DC-forstærkning, hvilket harmonerer med, at DC svarer til ω = 0. Deles H( jω) op i modulus og argument kan den komplekse funktion beskrives som to reelle fuktioner. Vi betegner A(ω) = H( jω) = H( jω) = A(ω) θ(ω) e ( H( jω) ) 2 Im ( H( jω) ) 2 amplitudekarakteristikken, da den er et udtryk for størrelsen af forstærkningen ved forskellige frekvenser, og vi betegner θ(ω) = arctan Im( H( jω) ) 2 e ( H( jω) ) 2 fasekarakteristikken. Disse to funktioner udtrykker, hvorledes kredsløbet påvirker amplituden og fasen for et stationært sinusformet signal som funktion af frekvensen. v i (t) C v o (t) Vi ønsker at bestemme amplitude- og fasekarakteristik for spændingsforstærkningen V o /V i for kredsløbet vist i figuren. Først bestemmes spændingsoverføringsfunktionen (almindelig spændingsdeling), V o(s) V i (s) = sc sc = sc og s = jω indsættes. H( jω) = jωc = arctan(ωc). ω 2 Amplitude- og fasekarakteristikkerne er vist på figuren her. 6

7 2 0 0 ω c 0 π 2 0 ω c Da amplituden af outputsignalet falder med stigende frekvens taler vi om en lavpaskarakteristik. Vi definerer grænsefrekvensen ω c som A V (ω c ) = A V (0) = (2) 2 hvilket medfører, at for det give kredsløb er ω c = C Frekvensområdet ω<ω c kaldes gennemgangsområdet, og ω>ω c kaldes dæmpningsområdet. Fasevinklen er 0 for ω = 0 og nærmer sig asymptotisk til π/2forω.forω = ω c er fasevinklen π/4. Bode-diagrammer Et plot at amplitude og fasekarakteristikken for en overføringsfunktion kaldes et Bode-plot eller Bode-diagram. Det er oplagt at tegne et Bode-plot ved hjælp af en computer, da det i sagens natur er besværligt at gøre det i hånden. I Matlab kan man lave en Bode-plot af overføringsfunktionen i ovenstående eksempel med følgende få linier (det kræver, at control-toolbox en er tilrådighed): > s = tf( s ); > = ; C = ; (vi har her valgt = C = ) > H = / (s**c) > bode(h) 7