Matematik A og Informationsteknologi B
|
|
- Nicklas Thorsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason
2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Indledning Data analyse... 3 a. Undersøg data nøjere... 3 b. Læg data ind i et koordinatsystem... 4 c. Analyser punkternes placering, og bestem fremskrivningsfaktorer Opstilling af matematiske modeller for den eksponentielle fase... 6 a. Argumentation for enheden på x-aksen... 6 b. Udvælgelse af et interval hvor udviklingen tilnærmelsesvis er eksponentiel... 6 c. Overvej om det er en god ide at beregne gennemsnit af a for hele den eksponentielle fase... 8 d. Analyser hvilken forskel det giver at indsætte forskellige punkter, når b skal beregnes... 8 e. I hvilke intervaller er funktionerne defineret?... 8 f. Opstil flere modeller for de samme data/interval... 9 g. Beregn fordoblingskonstanten Analyser modellerne i forhold til data a. Tegn grafer for de opstillede modeller i relevante koordinatsystemer b. Beregn relevante værdier ved hjælp af modellerne, og sammenlign med de oprindelige data e. Find en model ved hjælp af regressionsanalyse Samlet vurdering af modellernes udsagnskraft c. Vurdering af årsager til forskelle mellem model og virkelighed d. Med hvilken rimelighed kan man snakke om en eksponentiel fase?
3 Indledning Det viser sig at gærceller kan vokse hvis de befinder sig i en flydende næringsstofoplæsning, og at man kan finde frem til hvad væksten for denne udvikling som var det en eksponentiel funktion. Vi er også fortalt at gærcellerne har nogle forskellige udviklings faser, at inden den eksponentielle fase vil cellerne akklimatisere sig til opløsningen, hvor der ikke vil ske megen udvikling, hvorefter deres vækst for alvor kommer i gang og sætter gang i den eksponentielle udvikling. Der er blevet udført netop dette forsøg hvor man har fået et antal gærceller til at vokse i et næringsstof igennem noget tid, og vi er her givet måleresultaterne. Vi skal nu fra et matematisk synspunkt analysere og bearbejde disse resultater, og vi skal opstille nogle forskellige matematiske modeller som skal kunne forklare disse data. For at opstille disse modeller skal vi bruge et IT værktøj som vi er blevet introduceret til, NetLogo. Ved hjælp af NetLogo, skal vi for eksempel udarbejde forskellige vækstkurver i et koordinatsystem. Vi skal komme frem til flere forskellige funktionsudtryk, og producere flere prototyper til at beregne disse funktioner i NetLogo. 2
4 1. Data analyse a. Undersøg data nøjere Vi har fået følgende måleresultater: Tid i minutter Antal gærceller Vi kan se at den uafhængige variabel har enheden minutter, og den afhængige variabel har enheden antal. Vi kan også se at der er 16 målinger som strækker sig over 320 minutter, med 20 minutters mellemrum, men målingen ved 120 minutter mangler. Det ser også ud som om antallet er delt op i tre faser: Den første hvor antallet er rimelig stabilt Den anden hvor antallet nærmest vokser eksponentielt Og den tredje hvor antallet flader lidt ud igen 3
5 b. Læg data ind i et koordinatsystem Vi har tegnet data ind i et normalt koordinatsystem, og bedt Graph om at lave en tendenslinje: Og her i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem: Som det kan ses på grafen, ligger punkterne næsten på en ret linje. 4
6 c. Analyser punkternes placering, og bestem fremskrivningsfaktorer Til den eksponentielle regressionsanalyse har vi brugt denne formel: Som et eksempel beregner vi fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16): Indsæt tallene Udregn og Udregn Udregn Fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16) er derfor 1, Punkter Fremskrivningsfaktor (0, 15) og (20, 16) 1,00323 (20, 16) og (40, 18) 1,00591 (40, 18) og (60, 19) 1,00271 (60, 19) og (80, 22) 1,00736 (80, 22) og (100, 24) 1,00436 (100, 24) og (140, 31) 1,00642 (140, 31) og (160, 42) 1,01530 (160, 42) og (180, 49) 1,00774 (180, 49) og (200, 67) 1,01577 (200, 67) og (220, 78) 1,00763 (220, 78) og (240, 90) 1,00718 (240, 90) og (260, 105) 1,00774 (260, 105) og (280, 109) 1,00187 (280, 109) og (300, 122) 1,00565 (300, 122) og (320, 125) 1,00122 Gennemsnittet af fremskrivningsfaktorerne er 1,
7 2. Opstilling af matematiske modeller for den eksponentielle fase a. Argumentation for enheden på x-aksen Hvis enheden på x-aksen er observationer, vil grafen blive meget stejl og svær at aflæse. Formlen der skal bruges til at udregne fremskrivningsfaktoren ser sådan her ud: Og hvis enheden på x-aksen er observationer, som for det meste kun har en spring på 1 på x-asken, kan formlen omskrives til: Det vil være nemmere at bruge den forkortede formel, men da der mangler en måling efter 120 minutter, kan denne formel ikke bruges til alle udregningerne. Når enheden derimod er minutter bliver fremskrivningsfaktoren meget lille, og grafen vil derfor blive bredere og lettere at aflæse. Da det ikke er noget problem for programmel at fremskrivningsfaktorerne er meget små, og det vil blive for besværligt at få modellen til at tage højde for hvilken formel der skal bruges hvornår, er det nemmeste at lade enheden på x-aksen være minutter. Vi har derfor valgt at bruge minutter som enhed på x-aksen. b. Udvælgelse af et interval hvor udviklingen tilnærmelsesvis er eksponentiel Vi har brugt den eksponentielle model vi har lavet i NetLogo til at vurdere det bedste interval. Når vi køre modellen, får vi disse resultater. Der bliver fjernet en måling fra starten og slutningen hver gang. Interval Farve i modellen Afvigelse i procent 16 målinger (Alle sammen) Rød 11,88% 14 målinger Orange 9,45% 12 målinger Gul 9,61% 10 målinger Grøn 7,10% 8 målinger Lyseblå 7,89% 6 målinger Blå 8,34% 4 målinger Lilla 2,60% 2 målinger Lyserød 0% 6
8 Den bedste eksponentielle funktion er den med 10 målinger, altså hvor de tre første og sidste målinger er undladt. I modellen kan det tydeligt ses hvorfor den grønne er bedst, målingerne flader nemlig ud over de sidste tre punkter. I resten af opgaven vil vi referere til denne funktion som. Hvis vi indtegner målingerne i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og tilføjet en tendenslinje, kan det også ses at målingerne flader ud over de sidste tre punkter. Udviklingen er derfor tilnærmelsesvis er eksponentiel hvis man undlader de tre første og sidste punkter. 7
9 c. Overvej om det er en god ide at beregne gennemsnit af a for hele den eksponentielle fase Hvis man udregner fremskrivningsfaktoren kun ved hjælp af det første og sidste punkt, vil modellen ikke passe særlig godt til data. Derfor er det nødvendigt at udregne fremskrivningsfaktoren for punkt 1 og 2, 2 og 3, 3 og 4, og derefter tage gennemsnittet af fremskrivningsfaktorerne, for at opnå det bedste resultat. d. Analyser hvilken forskel det giver at indsætte forskellige punkter, når b skal beregnes Grafen vil altid gå gennem det punkt der blev brugt til beregningen af b, men vil ikke nødvendigvis gå gennem de andre punkter. e. I hvilke intervaller er funktionerne defineret? Funktionerne er defineret i intervallet. Grunden til funktionerne ikke kan være defineret før 0, er at enheden på x-aksen er i minutter, og 0 er det tidspunkt hvor målingerne starter. 8
10 f. Opstil flere modeller for de samme data/interval Vi har både lavet en eksponentiel og en lineær model i NetLogo. De virker næsten på samme måde, den eneste forskel er faktisk bare hvilken regression de laver. Her er et skærmbillede af den eksponentielle model: Og her er et skærmbillede af den lineære model: Begge modeller laver regression med forskellige intervaller. De starter med at lave regression på alle 16 punkter, derefter fjerner det første og det sidste punkt og laver regression på de resterende 14 punkter. Sådan bliver den ved med at køre lige indtil der ikke er flere punkter, resultaterne for hver beregning bliver udskrevet i vinduet til venstre. Modellen tegner også graferne ind sammen med måleresultaterne i vinduet til højre. Kildekoden til begge modeller kan findes i bilag 1. 9
11 g. Beregn fordoblingskonstanten Den eksponentielle model vi har lavet i NetLogo udregner fordoblingskonstanten for hvert af de intervaller den prøver, formlen for fordoblingskonstanten ser sådan her ud: Som et eksempel beregner vi fordoblingskonstanten for den eksponentielle model med alle 16 målinger, fremskrivningsfaktoren har vi allerede beregnet til 1, ved hjælp af NetLogo modellen. Indsæt 1, i stedet for Udregn og Udregn Fordoblingskonstanten er derfor 104,246. Hvis man kikker på den første beregning på det første skærmbillede på forrige side, kan det ses at modellen også er kommet frem til en fordoblingskonstant på 104,246. Her er den bid af kildekoden der udregner fordoblingskonstanten og viser den på skærmen: 10
12 3. Analyser modellerne i forhold til data a. Tegn grafer for de opstillede modeller i relevante koordinatsystemer Vi har tegnet fra modellen (den grønne) ind i et normalt koordinatsystem for at vise forskellen mellem model og data. Der er også indsat Graphs egen tendenslinje (den røde). Og i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem: Som det kan ses, passer modellen rimelig godt til data, hvis man undlader de tre første og sidste punkter. 11
13 Her er et skærmbillede af modellen hvor funktionen er markeret. Den kan også ses i vinduet til højre, det er den grønne af dem. Modellen melder også ud med en afvigelse på 7,1%, hvilket ikke er så dårligt endda, i forhold til de andre intervaller. 12
14 b. Beregn relevante værdier ved hjælp af modellerne, og sammenlign med de oprindelige data For at kunne sammenligne modellerne med de oprindelige data, er det nødvendigt at udregne afvigelsen mellem model og data. Afvigelsen kan udregnes med denne formel, hvor er den oprindelige værdi fra målingerne og er funktionsværdien fra modellen. Her ses en tabel over afvigelsen mellem målt værdi og funktionsværdi for funktionen : Tid i minutter Antal gærceller Måleresultater Model Afvigelse % , ,96927% , ,53711% , ,85077% , ,99029% , ,38270% , ,87842% , ,53446% , ,77830% , ,03435% Den gennemsnitlige afvigelse er 7,096% hvilket ikke er så dårligt endda, i forhold til de andre intervaller. Her er den bid af kildekoden der kalder funktionen der udregner afvigelsen, og viser resultatet på skærmen: 13
15 Og her er funktionen der udregner afvigelsen for den eksponentielle model: Kildekoden til den lineære model ser lidt anderledes ud, forskellen er markeret med rødt: 14
16 e. Find en model ved hjælp af regressionsanalyse Til den eksponentielle regressionsanalyse har vi brugt denne formel: Som et eksempel beregner vi fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16): Indsæt tallene Udregn og Udregn Udregn Fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16) er derfor 1, Her er den bid af kildekoden der kalder funktionen der udregner fremskrivningsfaktoren, og viser resultatet på skærmen: Og her er funktionen der udregner fremskrivningsfaktoren for den eksponentielle model: 15
17 4. Samlet vurdering af modellernes udsagnskraft c. Vurdering af årsager til forskelle mellem model og virkelighed. Det er kun muligt at lave en regression uden nogen form for afvigelse, hvis målingerne har et mønster, som for eksempel kunne være at de fordoblede for hver tiende x-værdi. Men i denne projektopgave er data målt, og det er derfor praktisktalt umuligt at få en perfekt model. d. Med hvilken rimelighed kan man snakke om en eksponentiel fase? For at finde den eksponentielle fase skal punkterne indsættes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Vi har tegnet fra modellen (den grønne) ind sammen med Graphs egen tendenslinje (den røde). Den eksponentielle fase er der hvor punkterne ligger på en næsten ret linje, og i dette tilfælde er ligger punkterne faktisk næsten på en ret linje, hvis man altså ser bort fra de tre sidste. 16
Eksponentielle modeller
2013 Eksponentielle modeller Jacob Elmkjær og Dan Sørensen Matematik/IT Roskilde Tekniske Gymnasium 09-12-2013 Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason Indhold Indledning... 2 Opgave analyse...
Læs mereEksponentielle modeller
Eksponentielle modeller Matematik og Informationsteknologi 06-12-2010 HTX; klasse 2.4 Mathias Sørensen, Martin Schmidt, Andreas Mikkelsen Vejleder: Matematik: Jørn Bendtsen Informationsteknologi: Karl
Læs mereVi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller
Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise
Læs mereEksponentielle modeller
Eksponentielle modeller Fag: Matematik A og Informationsteknologi B Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Side 1 af 20 Indholdsfortegnelse Introduktion 1.Indledning... 3 2. Formål... 3
Læs mereTværfagligt Projekt. Matematik og IT
Tværfagligt Projekt Matematik og IT Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl og Jørn Afleveringsdato: 01/12 2008 Indholdsfortegnelse Opgaveanalyse... 3 Indledning:... 3 Analyse
Læs mereMathias Turac 01-12-2008
ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereEn funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.
Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereSO-projekt MAT/IT. Eksponentielle Modeller - Gærceller
SO-projekt MAT/IT Eksponentielle Modeller - Gærceller ROSKILDE TEKNISKE SKOLE KLASSE 2.4 9. december 2013 Lavet af: Frederik Bagger og Rune Kofoed-Nissen Indholdsfortegnelse Forord... 2 Opgaveanalyse...
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mere1. Tal. Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2
1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis,
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereMatematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium. SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter
Matematik A / IT B Roskilde Tekniske Gymnasium SO Projekt Mat / IT Tema: Gærcellevækst med Eksponentielle Modeller & IT Produkter November / December 2013 Af Jacob Ruager og Lars-Emil Jakobsen Klasse 2.4
Læs merex + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning af praktiske problemer. Vis, hvordan en formel kan omskrives.
Eksamensspørgsmål - maj/juni 2016 1. Tal Du skal redegøre for løsningsregler for ligninger. Forklar, hvordan følgende ligning kan løses grafisk: x + 4 = 3x - 2 Redegør for opstilling af formler til løsning
Læs mereBrugervejledning til Graph (1g, del 1)
Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereBeviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.
År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereLommeregnerkursus 2008
Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning
Læs mereProjekt 8.6 Linearisering af data fra radioaktivt henfald
Projekt 8.6 Linearisering af data fra radioaktivt henfald Bemærk, at i det følgende er værktøjet TINspire anvendt. Det kan lige så godt laves i et andet værktøj. En vigtig metode til at få overblik over
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereSalt 2. ovenfor. x = Tid (minutter) y = gram salt i vandet
Projekt om medicindosering Fra http://www.ruc.dk/imfufa/matematik/deltidsudd_mat/sidefagssupplering_mat/rap_medicinering.pdf/ Lav mindst side 1-4 t.o.m. Med 7 Ar b ejd ssed d el 0 Salt 1 Forestil Jer at
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 OM DETTE HÆFTE... 3 KOM I GANG MED MAPLE... 4 Et par
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium November 2018 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 OM DETTE
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL 2018 MATEMATIK. Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 1p MATEMATIK tirsdag den 10. april 2018 Kl. 09.00 12.00 Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 1 time kun med den centralt udmeldte formelsamling. Delprøve 2: 2 timer med alle
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Sygeterminsprøve. Sorø Akademis Skole. Tirsdag den 15. august 2017 kl stx172-mat/b
Matematik B Studentereksamen Sygeterminsprøve Sorø Akademis Skole stx172-mat/b-15082017 Tirsdag den 15. august 2017 kl. 9.00-13.00 163494.indd 1 05/07/2017 07.48 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven
Læs mereRentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet
Rentesregning 1 Forklar begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen), og opstil/omskriv denne så du kan bestemme 1 af størrelserne, ud fra de 3 andre. Giv eksempler,
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereEksponentielle funktioner
Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereINTRODUKTION Maple Funktioner Regression
INTRODUKTION Maple Funktioner Regression x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse PAPIR, BLYANT OG COMPUTER... 3 LEKTIELÆSNING... 3 3 FØRSTE MATEMATIKMODULER... 3 KOM I GANG MED MAPLE...
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereEl-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4
El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.
Læs mereTeori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen
Modeller af befolkningsudvikling Teori og opgaver med udgangspunkt i udvalgte områder i Køge Bugt regionen Af Mikkel Rønne, Brøndby Gymnasium Forord. Data er udtrukket fra Danmarks Statistiks interaktive
Læs mereKlasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010
HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Anne Birte
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej 10, 2620
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2012/2013 Institution Silkeborg Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik, niv
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b
Læs mereModellering af elektroniske komponenter
Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Anne Birte
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson
Læs mere1. Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6%.
Kapitel 4 Øvelse 43 1 Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6% Konstantfaktoren er 117, fremskrivningsfaktoren er 1,61 og vækstraten er 61% 3 Konstantfaktoren er 0,84,
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereDig og din puls. 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17
Dig og din puls Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Dig og din puls Side 1 af 17
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Knud Søgaard
Læs mereVelkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode
Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode November Maj 2018 Institution Vejen Business College
Studieplan Stamoplysninger Periode November 2017 - Maj 2018 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-B Sabine Lindemann Petersen MatematikB-hh1117-EF1718-AFS/VØ
Læs mereResidualer i grundforløbet
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Residualer i grundforløbet I dette lille tillæg til grundforløbet, skal vi kigge på begreberne residualer, residualplot samt residualspredning. Vi vil se, hvad
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C
Læs mere1. Installere Logger Pro
Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro
Læs mereM A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T
M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning
Læs mereIntroduktion til TI-Interactive!
Introduktion til TI-Interactive! TI-Interactive! er et program, som befinder sig i grænseområdet mellem almindelig tekstbehandling, regneark og egentlige tunge matematikprogrammer. Man kan gøre mange af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Henrik Nørregaard
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereMinut pris. (efter 4 timer : 0,69 pr minut) Happii Basiic 0 0,60 sekund Lebara 0,49 0,19 minut
Mobilaftaler Se alle mulige selskaber: http://telepristjek.dk/ Mobil-priser efterår 2010. Hvad er mon billigst nu? Besvar opgaverne på de følgende sider, mindst til og med opgave 4 Teleselskaber Abonnement
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Holstebro-Lemvig-Struer Hf Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Glenn Aarhus
Læs mere