Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Transkript

1 Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre modstand, R i. Belastes batteriet i form af et elektrisk kredsløb med en ydre modstand, R y, vil denne være seriekoblet med den indre modstand. Spændingsfaldet over den ideelle spændingskilde fordeles således over de to modstande på følgende måde, hvor Ohms lov er brugt i den sidste omskrivning: U 0 = U i + U y = R i I + R y I (1) U 0 er spændingsfaldet over den ideelle spændingskilde, U i er spændingsfaldet over den indre modstand og U y er spændingsfaldet over den ydre modstand. Sættes polspændingen, U pol, på batteriet lig med spændingsfaldet over den ydre modstand, U pol = U y og isoleres U pol fås: U 0 = U i + U pol U pol = R i I + U 0 (2) hvilket giver en ret linje i et (I,U pol ) koordinatsystem. Skæringspunktet med Y-aksen er batteriets hvilespænding, U 0, den negative hældningskoefficient er størrelsen på den indre modstand og skæringspunktet med X-aksen er værdien for den maksimale strømstyrke, I max, som findes ved at sætte U pol = 0. Det giver følgende udtryk: 0 = U 0 R i I I max = U 0 R i (3) Der afsættes effekt i både den indre og den ydre modstand, og tilsammen må de være lig med den effekt, som den ideelle spændingskilde i batteriet tilfører. Den ydre effekt kan beskrives som følgende: P y = U pol I = (U 0 R i I)I = U 0 I R i I 2 (4) hvilket er et andengradspolynomium, der grafisk giver en parabel med benene nedaf. Det første led i ligningen er effekten, som den ideelle spændingskilde leverer, mens det andet udtryk er effekten i den indre modstand. Rødderne til dette andengradspolynomium fås ved at sætte P y = 0, og det giver: I = 0 og I = U 0 R i (5) hvilket er det samme som I max fundet ovenfor. Den maksimale effekt, der kan afsættes i den ydre modstand, fås i toppunktet på grafen. Da parablen er symmetrisk, kan 1 af 9

2 toppunktet findes i midtpunktet mellem rødderne, altså I max /2. I top = I max 2 = U 0 2R i (6) Strømstyrken kan også skrives ud fra formel (1): I = U 0 (R i + R y ) (7) og heraf kan det konkluderes at den ydre modstand skal vælges sådan at R y = R i for at få strømstyrken i toppunktet (hvor den ydre effekt er maksimal). Fremgangsmåde Apparatur: Dekademodstand, et batteri på 4,5V, ledninger, krokodillenæb, et amperemeter og et voltmeter. Vi startede med at finde det nødvendige apparaturer, og satte det herefter op, som vist i forsøgsopstillingen, figur 1. Vi indstillede den dekademodstanden til at være 30Ω, og så aflæste vi på amperemeteret og voltmeteret, for at se, hvad strømstyrken og spændingsfaldet var. Vi ændrede så dekademodstand med -1, så modstanden blev til 29Ω og aflæste igen strømstyrken og spændingsfaldet. Det fortsatte vi med at gøre til vi var nået 0,5Ω. Figur 1: Billede over forsøgsopstillingen, hvor v er voltmeteret som sidder i parallelforbindelse, og a er amperemeteret som sidder i serieforbindelse med dekade modstanden. 2 af 9

3 Resultater Skema over de målte værdier: Nr.1 Nr. 2 I/A 0,13 0,14 0,145 0,15 0,15 0,16 0,17 0,17 0,18 0,19 0,20 U/V 4 3,96 3,93 3,88 3,86 3,83 3,81 3,78 3,76 3,74 3,70 I/A 0,21 0,22 0,23 0,25 0,27 0,28 0,31 0,33 0,36 0,40 0,37 U/V 3,68 3,65 3,62 3,56 3,53 3,49 3,45 3,4 3,36 3,3 3,31 Nr. 3 I/A 0,40 0,45 0,51 0,59 0,70 0,85 1,1 1,5 1,7 1,9 2,1 U/V 3,25 3,17 3,1 2,96 2,8 2,5 2,14 1,5 1,2 1,4 1,3 Databehandling 4,5 4 3,5 y = -1,7423x + 4, ,5 U_p (V) 2 1,5 1 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 I (A) Figur 2: Graf over U pol og I(A). Regressionsligningen for denne graf er y= -1,7423x + 4,0499 Hvis vi tager udgangspunkt i jf. formel 2 under teoriafsnittet, kan vi bestemme konstanterne i figur 2 s regressionligning til at være: Hældningskoefficienten vil være vores R i, altså vores indre resistanse. X vil være vores I, altså strømstyrken og B, vil være vores hvilespænding. Vi kan på baggrund af de 3 af 9

4 konstanter, vi kender, omformulere jf. formel 2, så vi kan bestemme den maksimale strømstyrke. Dette gør vi således: R i I + U 0 = U pol (8) I max R i = U 0 (9) U 0 = I max R i (10) (11) Den maksimale strømstyrke bliver så: I max = U 0 R i (12) I max = 4,0499 1,7423 (13) I max = 2,324 (14) Vi kan nu bestemme den ydre effekt vha. de målte værdier fra tidligere, på baggrund af denne formel: Skema over den målte ydre effekt: Nr.1 P y = U pol I (15) I/A 0,13 0,14 0,145 0,15 0,15 0,16 0,17 0,17 0,18 0,19 0,20 U/V 4 3,96 3,93 3,88 3,86 3,83 3,81 3,78 3,76 3,74 3,70 P y /W 0,52 0,5544 0,569 0,582 0,579 0,612 0,647 0,642 0,676 0,710 0,74 Nr.2 I/A 0,21 0,22 0,23 0,25 0,27 0,28 0,31 0,33 0,36 0,40 0,37 U/V 3,68 3,65 3,62 3,56 3,53 3,49 3,45 3,4 3,36 3,3 3,31 P y /W 0,7728 0,803 0,832 0,89 0,9531 0,997 1,069 1,122 1,209 1,32 1,224 Nr. 3 I/A 0,40 0,45 0,51 0,59 0,70 0,85 1,1 1,5 1,7 1,9 2,1 U/V 3,25 3,17 3,1 2,96 2,8 2,5 2,14 1,5 1,2 1,4 1,3 P y /W 1,3 1,426 1,581 1,746 1,96 2,125 2,354 2,25 2,04 2,66 2,73 Den ydre effekt er blevet udregnet vha. jf. formel 15. Tager vi således skema 2, hvor strømstyrken er på 0,21A og spændingen er på 3,68V, får man den ydre effekt til at 4 af 9

5 være: P y = U pol I (16) P y = 3,68 0,21 (17) P y = 0,7728 (18) Tager vi et andet eksempel i skema 3, hvor strømstyrken er 0,51A og spændingen er 3,1V er den ydre effekt så: P y = U pol I (19) P y = 3,1 0,51 (20) P y = 1,581 (21) I følge vores teori, kan den ydre effekt også beregnes som jf. formel 4. Vi laver så en graf over det teoretisk udtryk af den ydre effekt, for at derefter, at kunne sammenligne de målte datas graf, med grafen over det teoretiske udtryk. Det gør vi for at se, om de afviger meget fra hinanden. Skema over de teoretisk udregnede ydre effekt værdier: Nr.1 I/A 0,13 0,14 0,145 0,15 0,15 0,16 0,17 0,17 0,18 0,19 0,20 P y /W 0,497 0,532 0,550 0,568 0,568 0,603 0,638 0,638 0,672 0,706 0,74 Nr. 2 I/A 0,21 0,22 0,23 0,25 0,27 0,28 0,31 0,33 0,36 0,40 0,37 P y /W 0,773 0,806 0,839 0,903 0,966 0,997 1,088 1,147 1,232 1,342 1,26 Nr. 3 I/A 0,40 0,45 0,51 0,59 0,70 0,85 1,1 1,5 1,7 1,9 2,1 P y /W 1,342 1,47 1,613 1,784 1,982 2,185 2,35 2,16 1,856 1,40 0,82 Vi har beregnet de teoretiske værdier for den ydre effekt med denne formel: P y = U 0 I R i I 2 (22) Kigger vi på skema nr. 1 hvor strømstyrken er 0,13A, så bliver den teoretiske ydre effekt altså: 5 af 9

6 P y = U 0 I R i I 2 (23) P y = 4,0499 0,13 1,7423 0,13 2 (24) P y = 0,497W (25) Eller skema nr. 2 hvor strømstyrken er 0,22A, så bliver den teoretiske ydre effekt så: P y = U 0 I R i I 2 (26) P y = 4,0499 0,22 1,7423 0,22 2 (27) P y = 0,806W (28) Figur 3: Graf over det teoretiske udtryk for den P y, hvor I(A) er ud af x-aksen og P y er ud af y-aksen. Regressionsligningen for det teoretiske udtryk, som også er den røde parabel er y= 1,74x 2 + 4,05-2E-16. Regressionsligningen for den blå parabel er y= 1,595x 2 + 3,7681x + 0,0494 Den teoretiske maksimale ydre effekt kan beregnes med denne formel: P y max = (U I max 1, I2 max) (29) P y max = (4,0499 1,162 1,7423 1,162 2 ) (30) P y max = 2,3541W (31) 6 af 9

7 Vi tager altså halvdelen af I max for at få den maksimale ydre effekt, der ligger i toppunktet af grafen. Vi har også regnet den maksimale ydre effekt for de målte datas graf. Den maksimale ydre effekt for de målte data fremkommer ved figur 4 s toppunkt. Dette får vi med denne formel: T p = ( b 2a ; D 4a ) (32) T p = ( 3, ,5295 ; b2 4ac 4 1,5295 ) (33) T p = (1,23; 3, ( 1,5295) 0,0494 ) 6,118 (34) T p = (1,23; 2,370) (35) Toppunktet for figur 4 er altså (1,23 ; 2,370). Det teoretiske udtryk maksimale effekt er altså 2,3541W og de målte værdiers maksimale effekt er 2,370W. Vi vil nu finde ud af, den %vise-afvigelse mellem dem vha. denne formel: %vise afvigelse = P ymålt P y teori 100 P y teori (36) 2,370 2,354 %vise afvigelse = 100 2,354 (37) %vise af vigelse = 0,679% (38) Skema3 I/A 0,13 0,14 0,145 0,15 0,15 0,16 0,17 0,17 0,18 0,19 0,20 P i /W 0,029 0,034 0,036 0,039 0,039 0,044 0,050 0,050 0,056 0,062 0,069 I/A 0,21 0,22 0,23 0,25 0,27 0,28 0,31 0,33 0,36 0,40 0,37 P i /W 0,077 0,084 0,092 0,108 0,127 0,136 0,167 0,189 0,225 0,278 0,238 I/A 0,40 0,45 0,51 0,59 0,70 0,85 1,1 1,5 1,7 P i /W 0,278 0,352 0,453 0,606 0,853 1,258 2,108 3,920 5,035 Regneeksempel P i = R i I 2 (39) P i = 1,7423 0,13 2 (40) P i = 0,029 W (41) 7 af 9

8 Figur 4: Graf over P i og I(A) For at finde den effekt, der afsættes i batteriet, når den ydre effekt er maksimal, skal man bruge P i -grafen regressionsligning. For at beregne effekten i batteriet, skal man altså bruge I top, da den afsatte effekt rammer P y max i I top som også er lig I max, og sætte det ind på I s plads i regressionsligningen. P i = R i I top (42) P i = 1,7423 1,162 (43) P i = 2,0245W (44) Diskussion Måleresultaterne er blevet behandlet på den måde, at vi har aflæst amperemeteret og voltmeteret, og noteret de forskellige strømstyrker og spændingsfald ved hver modstand. Vi har så brugt strømstyrkerne og spændingsfaldene til at bestemme den ydre effekt i praksis. Vi har så kunnet lave en graf over U p og I(A), hvor vi har fået en regressionligning. Med regressionsligningen har vi så kunnet bestemme de forskellige konstanter ligningen. De mange grafer viser alle noget forskelligt: 8 af 9

9 Figur 2, altså grafen over U pol og I(A), viser sammenhængen mellem spændingsfald og strømstyrke. Man kan bruge grafens regressionsligning til bestemme konstanterne vha. jf. formel 2. Så hældningskoefficienten vil være vores R i, altså vores indre resistanse. X vil være vores I, altså strømstyrken og B, vil være vores hvilespænding. Figur 3, hvor grafen viser sammenhængen mellem de teoretiske ydre effekter og de målte ydre effekter, kan man bruge til at lave en %vise-afvigelse mellem de teoretiske og målte værdier. Med de to grafer kan man, med hver af deres maksimale ydre effekter sammenligne resultaterne. Man kan fra den blå parabels regressionsligning, bestemme dens toppunkt, og dermed bestemme dens ydre effekt. Fra figur 3 kan vi se, at de to parabler stemmer rigtig godt overens med hinanden. De to parabler toppunkt, er lige ved hinanden, hvilket vil sige, at de to parablers maksimale værdier afviger kun med 0,679%. Det er et meget præcist og godt resultat, hvilket kan skyldes god, hurtig og præcis aflæsing af voltmeteret og amperemeteret, da batteriet under aflæsning, mister meget hurtigt energi. Den største fejlkilde i dette forsøg ville nok være, en aflæsningsfejl på amperemeteret og voltmeteret, da det vil resultere i problemer med bestemmelse af den ydre effekt osv. Den fysiske baggrund som ligger til grunde for, hvorfor der afsættes energi i en modstand er, at elektronerne støder ind i batteriets atomer, da et batteri består af to forskellige metaller. Den friktion, der er mellem elektronerne og metallernes atomer, er med til at skabe energi i modstanden. Effekterne man har beregnet, i den ydre og indre modstand afviger kun lidt fra hinanden. Vi kan derfor sige, at der er en sammenhæng mellem effekterne i den indre og ydre modstand. Denne viden om effekt, kan man bruge når man f.eks. skal ud og købe højtalere. Man kan med sin viden om den maksimale effekt, vælge sine højtalere mest effektivt. Man skal nemlig vælge de højtalere som har den højest mulige maksimale effekt i forhold til dens pris, så derfor er det ikke nødvendigvis de dyreste højtalere der kan belastes mest. Effekten i en højtaler, fortæller altså noget om højtalerens belastbarhed, altså hvor meget man kan belaste sine højtalere med f.eks. en ekstra forstærker. Konklusion Formålet var at karakterisere en spændingskilde og undersøge dets effektforhold. Det er lykkedes os, at karakterisere batteriet, og nå frem til de forskellige resultater og undersøge spændingskildens effektforhold. Den målte og den teoretiske maksimale ydre effekter afviger meget lidt fra hinanden, hvilket er ensbetydende med at undersøgelsen mellem den målte og den teoretiske maksimale ydre effekt er opnået, da vi kan konkludere at de stemmer overens med hinanden. Vi kan konkludere, at der er en sammenhæng mellem den ydre og indre effekt, da de to effekter ligeledes kun afviger lidt fra hinanden. Ydermere er det lykkedes os at bestemme de forskellige kendetegn/værdier i et 4,5 volts batteri. 9 af 9