Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Transkript

1 Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius for rotationen, dvs. afstanden kuglens midtpunkt til banen (r), og sinus til vinklen som rampen danner med bordet (sin(θ)), samt hastigheden (v), afstanden (s) og tiden (t). Teori: i) Teoretisk forventet værdi af hastigheden: Vi indlægger et koordinatsystem, hvor x-aksen går positivt ned af rampen og y-aksen står vinkelret på rampen. Eftersom kuglen ingen hastighed eller acceleration har i y-aksens retning er accelerationen og hastighed lig med accelerationen og hastigheden langs x-aksen. Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Den resulterende kraft er ifølge Newtons anden lov lig med kuglens masse gange accelerationen: Og arbejdet er lig med ændringen i kinetiske energi, som er lig med ½ gange massen gange kvadratet på hastigheden: Eftersom vi antager at accelerationen er konstant, forventer vi at kuglens hastighed vil være en kvadratrodsfunktion af strækningen. ii) Bestemmelse af acceleration: Vores forsøg måler hastigheden direkte. Vi kan altså fra vores forsøgsresultater bestemme accelerationen som: iii) Bestemmelse af tyngdeaccelerationen: Den resulterende kraft i x-aksens retning er dels en komposant af vægten minus friktionskraften: Den eneste kraft der giver et kraftmoment om massemidtpunktet er friktionskraften. Denne lig inertimomentet gange vinkelaccelerationen:

2 Inertimomentet for en kugle er 2/5 gange massen gangen kvadratet på radius. Da vi antager at kuglen ruller uden at glide er kuglens acceleration lig med vinkelaccelerationen gange radius på rotationen: Dette indsættes i formlen for accelerationen, hvorved tyngdeaccelerationen kan isoleres: Om systematiske usikkerheder: i) Hastighed og afstand: Vi mener det vigtigste er at plotte hastigheden mod den afstand vi måler på, og prøve at fitte en kvadratrodsfunktion til den, for at se om der er nogen systematiske afvigelser fra denne. De to største fejlkilder vurderer vi er friktionen og luftmodstand. Friktionen har vi taget højde for, under forudsætning af, at kuglen ruller uden at glide. Hvis denne antagelse ikke holder helt, vil dette dog ikke kunne ses på plottet, da den vil være en konstant som trækkes fra accelerationen. Luftmodstand, derimod, afhænger af hastigheden, som stiger efterhånden som kuglen når længe re ned af rampen. Derfor forventer vi en systematisk afvigelse, som et plot af hastighed mod afstand kan vise: Da luftmodstanden stiger med hastigheden vil de første målinger ligge over fittet og de sidste under. Vi vil også sammenligne de beregnede værdier af kuglens acceleration og tyngdeaccelerationen med de teoretisk forventede værdier, og se om resultatet ligger indenfor en rimelig usikkerhed, eller om de nævnte fejlkilder har haft en signifikant indflydelse på vores resultat. ii) Andre mulige fejlkilder og systematiske usikkerheder: En større vinkel vil resultere i større hastigheder, hvorved fejlen fra luftmodstand ville forstørres. Ydermere vil friktionskraften muligvis ikke være stor nok til at garantere en ren rulning. En større kugle vil på den ene side har et større areal og opnå en større translationel hastighed, hvorved påvirkes mere af luftmodstanden fra den translationelle hastighed. Til gengæld vil den opnå en lavere vinkelhastighed, og altså påvirkes mindre af luftmodstanden derfra. Ligeledes vil en større afstand mellem skinnerne på rampen resultere i en lavere translationel hastighed, men en større vinkelhastighed.

3 Vi har ikke havde ikke mulighed for at lave målingerne til at undersøge disse sammenhænge. Resultater: Kuglens radius (R): Diameteren blev målt til 1,78 cm +/- 0,005 cm, dvs. R= 0,89 cm +/- 0,005 cm Afstand fra rampe til kuglens centrum (r): Afstanden mellem skinnerne blev målt til 0,605 cm +/- 0,005 cm. Ved pythagoras bliver afstand fra kuglens midte til banen 0,84 cm. Da der ingen korrelation er mellem banens bredde og kuglens radius bliver usikkerheden på dette resultat bestemt af følgende error propagation formula: Hvor er den partielt afledte af formlen for resultatet mht. hvert parameter, og er usikkerheden på den enkelte måling. Dette giver en usikkerhed på +/- 0,006 cm. Så r = 0,84 cm +/- 0,006 cm. (udregninger er på det vedlagte Mapleark (1)-(7)) Sinus til vinklen (sin(θ)): Rampens højde blev målt til 11.4 cm +/- 0,15 cm og længde af banens grundlinje til 88,8 cm +/-0,15 cm. Via trigonometri og error propagation formula (vi antager igen at der ingen korrelation er mellem parametrene) fås sin(θ)= 0,127 +/- 0, (udregninger er på det vedlagte Mapleark (8)-(13)) Forventet værdi af accelerationen: Disse resultater kan sættes ind i formlen for den forventede acceleration sammen med vores forventede værdi af g = 9,82 m/s 2. Vi beregner usikkerhed med error propagation formula (hvor vi neglicierer usikkerheden på tyngdeaccelerationen, og antager at der ingen korrelation er mellem parametrene): (udregninger er på det vedlagte Mapleark (14)-(19)) Plot af hastighed mod afstand:

4 (Plot af gennemsnitshastighed mod rullet strækning med standardafvigelse på hastighed og strækning, samt det bedste fit af ) For hver s tog vi gennemsnittet af alle hastighedsmålinger for det pågældende s, og fik derved et gennemsnit ( )og en standardafvigelse for hastigheden for hver strækning (s) vi målte. Vi lavede nu et fit for, hvor hvert målepunkt vægtedes efter dets pågældende standardafvigelse ( ). Vores resultat blev en værdi for k på. Denne konstant, k, måtte være. Standardafvigelsen bliver Beregnet acceleration: Beregning af tyngdeaccelerationen: Ved at indsætte vores beregnede værdi af accelerationen i formlen for tyngdeaccelerationen, og beregne usikkerheden med error propagation formula (hvor vi antager at alle parametrene er uafhængige) får vi følgende værdi for tyngdeaccelerationen:

5 (udregninger er på det vedlagte Mapleark (20)-(25)) Konklusion: Vi har altså nået frem til to resultater: Dels en beregnet acceleration som vi kan sammenligne med den teoretisk forventede: Som man kan se ligger vores beregnede værdi af a og den teoretiske værdi indenfor en standardafvigelse af hinanden. Vores beregnede resultat er altså konsistent med det teoretisk forventede. Da vi forventer at en evt. fejlkilde, som opstår ved, at kuglen ikke ruller uden at glide, ville optræde som en konstant afvigelse fra accelerationen, kan vi derfor ikke konkludere at dette har haft nogen indflydelse. Ligeledes er vi nået frem til en beregnet værdi af tyngdeaccelerationen som vi kan sammenligne med den værdi af tyngdeaccelerationen som vi forventer i Danmark: Den forventede værdi af tyngdeaccelerationen ligger altså indenfor to standardafvigelser af vores beregnede værdi. Dette kunne tyde på at der er nogle fejlkilder som forstyrrer vores resultat (selvom der dog er 32 % sandsynlighed for at den teoretiske værdi ligger indenfor to standardafvigelser).

6 Vi har her plottet hvor meget de enkelte målepunkter afviger fra fittede funktion af hastigheden mod strækning: Der ser altså ud til at være en systematisk fejlkilde, som korrelerer hastighed med strækning. Vi forventer som nævnt i afsnittet om usikkerheder, at dette skyldes luftmodstanden, som stiger efterhånden som kuglens hastighed stiger. Skulle vores målinger forbedres vil vi foreslå at man forsøgte at minimere luftmodstanden. En mindre kugle ville måske være mindre påvirket. Ellers skulle forsøget udføres i et vakuum.