Dæmpet harmonisk oscillator

Transkript

1 FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder

2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3 Måleresultater Analyse af strenges overtone...4. Analyse af resonanskurve Analyse af fri dæmpet svingning Teoretisk forberedelse a) b) c) Diskussion af fejl og usikkerheder Analyse af strengens overtoner Analyse af resonanskurve Analyse af fri dæmpet svingning Konklusion

3 Formål 1 Formål Formålet med øvelsen er at få en generel forståelse af at svingende systems opførelse under forskellige forhold. En udspændt strengs dynamik er ret kompliceret og derfor vil vi udelukket beskæftige os med den simpleste af alle systemer, hvor amplituden er størst på midten af bølgen og bølgen er monotomt aftagende mod nul, ved strengens endepunkt. Det vi beskæftiger os med er en dæmpet harmonisk oscillator. Et system som dukker op mange steder i fysikken. De to bevægelsestyper som vi vil bruge til at undersøge den dæmpede harmoniske oscillator er, frie og tvungne svingninger

4 Måleresultater Måleresultater.1 Analyse af strenges overtone Strenges længde måles: l = = 654mm Snorkraften S, som trækker i strengen, beregnes for vægtenes masser på henholdsvis 1 kg og kg. Vi bruger vægtstangsprincippet, hvor den totale kraft udført på et system i ligevægt er lig nul. τ = mgr S = r r = 96mm r 1 S = S = 47,136N S 1 0 = S r mg = 94,7N mgr 1 = 0mm Vi får først driveren til at sætte strengen i svingninger, ved manuelt at ændre frekvensen, indtil der opstår resonans. Ved resonans aflæses den halve frekvens på et multimeter, da strengen svinger med den dobbelte frekvens, end frekvensgeneratoren genererer da driveren trækker i strengen hvad enten spændingen fra generatoren er positiv eller negativ. Derefter sættes strengen i svingninger med et knips, og ved hjælp af programmet SPEKTRUM ANALYSATOR, kan stregens overtoner aflæses på en graf. Alle værdier aflæses og deles med henholdsvis 1,, 3 og 4 efter hvad nummer overtone det er, og gennemsnittet beregnes. Der sammenlignes med frekvensen hvor der opstod resonans, og den teoretiske frekvens for 1. overtone. Dette foretages for to målinger, med en vægt på henholdsvis 1 kg og kg. Hvor f 1 er den aflæste grundfrekvens aflæst på multimeteret, og f er gennemsnittet af strenges overtoner aflæst på grafen. Se bilag 1 og. m [kg] S [N] f 1 [Hz] f [Hz] Måling 1 1,0 47, ,0 17,7 Måling,0 94,7 46,0 47,4-4 -

5 Måleresultater. Analyse af resonanskurve Ved den ene ende af strengen placeres et skumplaststykke til dæmpning af strengen. Frekvensen justeres manuelt til strengen svinger i resonans, hvorefter frekvensen skrues ned til signalet fra strengen er forsvindende. Vi bruger programmet FREKVENS MAALING til at lade frekvensen sweepe fra den satte frekvens til signalet fra strengen igen er forsvindende. Målingerne anvendes i programmet FREKVENS ANALYSE hvor den målte resonanskurve sammenlignes med kurven beregnet vha. ligningen A v F 0 = mγ ( f f ) 0 ( fγ / π ) + 1 1/ Der justeres på størrelserne α(=f 0 /m), resonansfrekvensen f 0 og dæmpningskonstanten Γ til kurverne får sammenfald. Se bilag 3, 4, 7 og 8..3 Analyse af fri dæmpet svingning Samme skumpude som i tidligere øvelse anvendes. Programmet DAEMPNING anvendes. Frekvensen indstilles manuelt til resonans, og frekvensgeneratoren afbrydes samtidig med at målinger startes. Målingerne åbnes i programmet DAEMPNING ANALYSE, og størrelserne: Startamplitude, lodret forskydning og dæmpningskontantsten Γ indtil den beregnede indhylningskurve stemmer bedst muligt overens med målepunkterne. Se bilag 5,6, 9 og 10. Der startes forfra fra afsnit., Analyse af resonanskurve, med et andet stykke skumplast og samme to øvelser foretages igen. Side 5 af 10

6 Teoretisk forberedelse 3 Teoretisk forberedelse 3.1 a) Vi skal ved indsættelse af u(x,t)=f(x-v*t) i bølgeligningen,.0, finde et udtryk for hastigheden, som funktion af S og σ. Som funktion bruger vi sinus, men også cosinus, kan bruges: u( x, t) S u( x, t) = * t σ x S v * A * sin( x v * t) = * A * sin( x v * t) σ S A * sin( x v * t) v = * σ A * sin( x v * t) v v = S = σ S σ Vi ser her at hastigheden ikke bestemmes af tiden, amplituden eller forskydning af bølgen. Hastigheden bestemmes derimod af S, snorkraften og σ, massefylde. 3. b) Når bølgen har formen u(x,t)=f(x-v*t), vil bølgen udbrede sig i den positive x-retning, hvorimod hvis bølgen har formen u(x,t)=f(x+v*t), vil den udbrede sig i den negative x-retning. For at se at dette er korrekt, kigger vi på variablerne for funktionen, y=f(x-ct). Vi kigge på et tids interval, t. For dette tidsrum, øges x med x=c t. Ved at kigge på differencen, (x-ct), ses det at det er det samme. Heraf ses også at y ikke ændres, y er forskydelsen i y-aksens retning. Det ses at den er konstant og der til tiden t, kun er sket en forskydelse i x-aksens retning. Netop dette er definitionen på en stående bølge. Nemlig at bølgemønstret ikke ændres, men at bølgen forskydes i snorens retning, eller hvad for et medie bølgen nu bevæger sig i

7 Måleresultater 3.3 c) I ligning.8 skal vi se på hvad der sker hvis vinkelfrekvensen ω, kommer i nærheden af systemets egen frekvens, ω 0. Det der vil ske er det der kaldes resonans, dvs. at strengen svinger med sin egernfrekvens og dermed forstærker svingningen. I et ideelt system, ville amplituden gå mod uendelig. Det er dette princip der bruges i streng instrumenter. Ved at kigge på ligning.1, ses det at der er et ekstra led med, for dæmpede oscillationer. Dette led dæmper amplituden, så amplituden ikke bliver sin oprindelige højde, men dæmpet. Dette er også et princip der bruges i strenginstrumenter, f.eks. en guitar, hvor man sætter en finger på en streng for at dæmpe lyden. Side 7 af 10

8 Diskussion af fejl og usikkerheder 4 Diskussion af fejl og usikkerheder 4.1 Analyse af strengens overtoner Vi opsætter en tabel for de eksperimentelle resultater og den teoretiske værdi for strengens 1. overtone. Teoretisk f 0 [Hz] f 1 Afvigelse [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] f Afvigelse Måling 1 166,0 173,0 7,0 (4,%) 17,7 6,7 (4,0%) Måling 34,7 46,0 11,3 (4,8%) 47,4 1,7 (5,4%) Som det kan ses ligger strengens teoretiske frekvens for 1. overtone i begge tilfælde under de eksperimentelle resultater. Dette skyldes højst sandsynligt mekaniske usikkerheder, da der ses et svagt mønster i afvigelserne, som består i at for de to målinger, hvor belastningen på vægtstangen er dobbelt så stor ved Måling som ved Måling 1 og ligeledes er afvigelserne ca. dobbelt så stor ved Måling som ved Måling 1. Dette kan også ses på den procentvise afvigelse, da de ligger tæt for begge målinger. Usikkerheden i belastningen skyldes at der er to målte værdier for de to længder på vægtstangen, som gør at den beregnede snorkraft S ikke er helt nøjagtig. Derudover er længden af strengen også målt, hvor der vil være en usikkerhed. Andre usikkerheder er at den manuelle justering af frekvensen, og aflæsningen af overtonerne på grafen på bilag 1 og, ikke kan blive helt nøjagtig. En af de meget små usikkerheder er at strengens densitet er afhængig af temperaturen, dette har dog kun væsentlig betydning for store længder. 4. Analyse af resonanskurve Kigger vi på visningen af den målte versus den teoretiske resonanskurve for Måling 1 på bilag 4, fandt vi den bedst passende henfaldskonstant Γ til 1,00. Der falder dog et målepunkt meget udenfor (markeret på bilag), som kan skyldes en ydre påvirkning. Der ses dog bort fra dette punkt. Målingerne for Måling 1 er meget grov, da svingningerne her er større, derfor også den lave henfaldskonstant. Ved Måling, hvor et større stykke skumplast er sat under strengen, på bilag 8 rammer de målte værdier de teoretiske meget godt. Her er svingningerne lavere, som gør målingerne finere. Den bedst passende henfaldskonstant fandt vi til at være 15,

9 Måleresultater 4.3 Analyse af fri dæmpet svingning Kigger vi på Måling 1 på bilag 6, hvor den målte dæmpning sættes op mod den teoretiske indhylningskurve for dæmpningen. Vi kom her frem til at de bedst passede overens med en henfaldskontant Γ på 0,96. Sammenlignet med Måling 1 i Analyse af resonanskurve afsnit 4., som er udført på samme opstilling og med samme skumplaststykke, får vi at de to henfaldskonstanter ligger rimelig tæt. Her passer de målte værdier dog bedre med de teoretiske end ved analysen af resonanskurven. Kigger vi på Måling, kom vi frem til at en henfaldskonstant på 15,00 bedst passede overens med de målte værdier. Sammenlignet med Måling i Analyse af resonanskurve afsnit 4., som er udført på samme opstilling og med samme skumplaststykke, dog dobbelt så stort som ved Måling 1, får vi at henfaldskonstanten er ens. Her passer de målte værdier dog bedre med de teoretiske i analysen af resonanskurven. Side 9 af 10

10 Konklusion 5 Konklusion Resultaterne på fra de forskellige forsøg, var en smugle off cours, men stadig med værdier som man kan arbejde videre med. Ved at kigge på de grafer som computerprogrammerne gav os, ses det at resultaterne alligevel ikke helt var ved siden af. Dog må vi sige at der generelt er bedre målinger på de forsøg, hvor vi arbejdede med udæmpede svingninger. Generelt må vi sige at det er svært at sige noget om kvaliteten af målingerne, da vi ikke har ret mange og ikke rigtigt har en grundlag for at sammenligne med, og dermed give et kvalificeret bud på om vores målinger i det hele tager er rigtige. Navn: Dato: Jacob Christiansen Navn: Dato: Morten Olesen Navn: Dato: Andreas Lyder