Sprogbaseret undervisning i matematik undervisning for

Transkript

1 Sprogbaseret undervisning i matematik Undervisning for forståelse i addition Navn: Studienr.: Fag: Faglig vejleder: Pædagogisk vejleder: Antal sider i alt, inkl. forsiden Titel på bacheloropgaven: Stine Laura Kjeldsen A Matematik Lars Reidar Salomonsen Pia Susanne Frederiksen 35 sider (Forside: 1 side, projekt: 30 sider, bilag: 4 sider) Sprogbaseret undervisning i matematik undervisning for forståelse i addition Min opgave må senere benyttes til undervisningsog/eller udviklingsformål Accept ved min underskrift

2 1 Indhold 1. Indledning Problemformulering Problemafgrænsning Metode Empiriindsamling Præsentation af teorier Vygotsky Begrebsdannelse Matematikkens sprog Sprogbrugssituationer Registerkonteksten Syv praktiske principper til effektiv samtale mellem lærer og elev Addition Additive situationer Regnemetoder Den åbne tallinje Analyse af empiri Sproget som ledsagelse til handling Sprogbrugssituationen Den additive situation Lærerrollen Sproget som kommentar Sprogbrugssituationen Den additive situation Lærerrollen Sproget som rekonstruktion Sprogbrugssituationen Den additive situation Lærerrollen Sprog som konstruktionstilnærmelse Sprogbrugssituationen Elevens forståelse for addition Konklusion... 28

3 2 7. Perspektivering The Teaching Learning Cycle Matematikklasserummets normer Relationer Litteratur Bilag Bilag 1: Sprog som konstruktionstilnærmelse - samtale Bilag 2: Sprog som konstruktionstilnærmelse elevens skriftlige udtryk Bilag 3: Undervisningsforløb addition Indledning Sproget spiller en afgørende rolle i undervisningen i den danske folkeskole. Dette kommer ikke bag på mange, og flertallet er enige i, at der skal gøres plads til kommunikation i klasseværelset. Jeg vil dog påstå, at mange stadig har den opfattelse, at matematikundervisningen først og fremmest skal lære eleverne forskellige matematiske teknikker så som at mestre algoritmerne indenfor de forskellige regningsarter. Den kommunikation, der er vigtig i matematikundervisningen ifølge denne opfattelse vil dermed være lærerens forklaring af fremgangsmåden til en matematisk procedure, og den klassiske opsummerende klassesamtale i slutningen af en lektion. Tager man et kig i Fælles Mål 2009, vil man hurtigt se, et helt andet perspektiv på kommunikationens rolle i matematikundervisningen. I formålet for faget matematik står der bl.a.: Stk. 2. Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. (Undervisningsministeriet 2009: 3) I dette uddrag af formålet for faget bliver det pointeret, at eleverne i undervisningen skal indgå i dialog og samarbejde, og derudover er formålet bl.a., at eleverne skal erfare, at matematikken i sig selv rummer redskaber til argumentation og kommunikation. Ligeledes understreges kommunikationens vigtighed i matematikfaget ved, at en af de centrale matematiske kompetencer, som undervisningen skal lede frem mod, at eleven efter 9. klassetrin kan gøre brug af, netop er kommunikationskompetencen.

4 3 Kommunikationskompetencen er beskrevet ved, at eleverne skal kunne udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (Undervisningsministeriet 2009: 4). Her understreges det også, at kommunikation ikke bare er kommunikation, men at matematik undervisningen skal bære præg af matematisk kommunikation. Når man som lærer tilrettelægger sin undervisning i forhold til bestemmelserne i Fælles Mål, vil man hurtigt tvinges til at bevæge sig væk fra den tidligere nævnte forståelse af matematikfaget, da man også skal lægge vægt på det sproglige aspekt i faget. Min praksiserfaring siger mig, at folkeskolens matematiklærer gør meget for at leve op til bestemmelserne i Fælles Mål og derfor giver plads til kommunikation i undervisningen. Dette ser jeg som en god udvikling i faget, da jeg er af den overbevisning, at læringen netop finder sted gennem brugen af sproget. Det paradoksale ved, at gøre plads til kommunikation i undervisningen, består i, hvis man finder al kommunikation lige god og ikke er bevidst om, at forskellige situationer lægger op til forskelligt sprogbrug og dermed forskellige former for kommunikation. Det er netop dette, der er anledningen til denne opgave. Jeg vil undersøge kvaliteterne i en sprogbaseret undervisning, hvor der tages hensyn til den mulige sprogbrug i forskellige situationer, og dermed undersøge hvorfor, det er vigtigt, at matematikundervisningen også har sproget i fokus, som bestemmelserne i Fælles Mål foreskriver. På denne baggrund har jeg opstillet følgende problemformulering: 2. Problemformulering Hvordan kan en sprogbaseret matematikundervisning være med til at styrke indskolingselevers forståelse for addition? 2.1 Problemafgrænsning Styrket forståelse I en sprogbaseret undervisning er sprog og kommunikation udgangspunktet for læring og forståelse. Det viser altså tegn på læring og forståelse, hvis eleven kan anvende sprog tilpasset forskellige situationer (Mulvad 2009: 320, 322). Det matematiske sprog indeholder ud over verbalsproget, også symboler og andre visuelle udtryk (Madsbjerg 2013: 141). Det er altså gennem elevernes sprogbrug i de forskellige situationer, at jeg vil kunne se tegn på styrket forståelse for addition hos eleverne.

5 4 3. Metode Hermeneutisk metode Jeg anvender den hermeneutiske metode til at besvare min problemformulering, hvilket vil sige, at jeg ud fra analyse og fortolkning vil forsøge at forstå min indsamlede empiri. Jeg vil forsøge at finde meningen i min empiri ved at analysere og fortolke ud fra udvalgt teori. Dette vil foregå i en cyklisk tolkningsproces mellem del og helhed, hvor delene er inddragelsen af de forskellige teorier, som tilsammen giver en helhed, som også vil give forståelse til delene. Når man benytter denne metode, må man være sig sine fordomme bevidst. Fordomme er de erfaringer, den viden og de antagelser, der går forud for undersøgelsen, og det er disse fordomme, der danner baggrund for vores forståelseshorisont (Brinkkjær 2011: ). Læsevejledning Udgangspunktet for min opgave er, at undersøge hvorledes en sprogbaseret matematikundervisning kan styrke indskolingselevers forståelse for addition. Til at belyse dette, har jeg under afsnit 4 præsentation af teorier valgt at inddrage teori, der tager udgangspunkt i Lev S. Vygotskys syn på læring gennem sprog, hvorfor jeg først redegør for dette. Herefter beskriver jeg, hvad det vil sige, at bruge sproget i matematikken. Jeg har valgt at inddrage teori omkring sprogbrugssituationer, da det er ved at planlægge undervisningen som en kæde af sprogbrugssituationer, at undervisningen i dette tilfælde kan siges at være sprogbaseret. Derudover inddrager jeg teori omkring registerkonteksten til at beskrive rammerne for den kommunikation, der finder sted. Pauline Gibbons syv praktiske principper til en effektiv samtale inddrager jeg også, da disse er et konkret redskab, som læreren kan bruge i samtalen med eleverne i de pågældende sprogbrugssituationer. Udover sprogteorierne vil jeg også redegøre for additionen, som jeg belyser ud fra to vinkler, nemlig de additive situationer og de tre regnemetoder, der bruges indenfor addition, og til sidst redegør jeg for den åbne tallinje som hjælpemiddel til addition. Anden del af opgaven består af empiribeskrivelse efterfulgt af analyse af fire omgange. Min empiri er udvalgt til at skulle være eksempler på de forskellige sprogbrugssituationer. Jeg tager altså en sprogbrugssituation af gangen, som jeg analyserer ud fra den præsenterede teori, hvormed jeg undersøger hvorledes elevernes forståelse for addition bliver styrket, eller hvad jeg som lærer kunne have gjort for at understøtte dette i den pågældende situation. Sidste del af opgaven er en konklusion og perspektivering. Her vil jeg svare konkluderende på min problemformulering og i perspektiveringen, vil jeg komme med bud på ændringer i forhold til at forbedre mit undervisningsforløb, samt opstille andre overvejelser i forhold til problemformuleringen.

6 5 3.1 Empiriindsamling Undervisningsforløb I planlægningen af mit undervisningsforløb, var jeg bevidst om at stilladsere eleverne i deres sprogbrug. Dette gøres ved at organisere undervisningen som en kæde af sprogbrugssituationer, hvori der ligger en progression i kommunikationsrelationen, kommunikationsmåden og kommunikationsfeltet 1 (Mulvad 2009: 92). Et eksempel på en sådan organisering kan ses i figur 1: Figur 1: Organisering af undervisningen som en kæde af sprogbrugssituationer Dette eksempel er taget fra min egen undervisningsplan, hvor eleverne i 2. klasse skal lære om addition. X- aksen repræsenterer kommunikationsmådekontinuet 2, og y-aksen viser undervisningsforløbets progression i tid (Polias 2011: 25). Emnet indledes med undervisningsaktiviteten butik, hvor kommunikationsmåden er meget talesprognær, herefter udvides denne undervisningsaktivitet med brug af bon, hvorved kommunikationen mellem eleverne bevæger sig i retningen mod det skriftsprogsnære. Denne progression fortsætter og ender med en undervisningsaktivitet, hvor eleverne løser regnestykker med en mere standardiseret algoritme. Måden hvorpå jeg har planlagt undervisningen, er afgørende for, hvad jeg vil undersøge i denne opgave, og dermed bliver dette også et kriterie for empiriindsamlingen og udvælgelsen, hvilket jeg kommer nærmere ind på i det efterfølgende afsnit. 1 Begreberne forklares senere i opgaven under afsnittet 4.4 Registerkonteksten. 2 Kommunikationsmådekontinuet forklares senere i opgaven under afsnittet 4.3 Sprogbrugssituationer og illustreres i figur 2.

7 6 Videooptagelser Min empiri har jeg indsamlet vha. en kvalitativ metode, nemlig at videofilme undervisningen. Det har jeg gjort, da man med videooptagelser kan fastholde observationer, idet min egen hukommelse ikke vil svække observationen, og selvom jeg ikke bemærkede en given situation, er denne observation ikke gået tabt. Derudover indeholder videooptagelser en stor detalje rigdom, og nyt kan registreres hver gang videoen ses. (Bjørndal 2003: 83) Det er dog vigtigt, at man er bevidst om, at virkeligheden ikke lader sig kopiere, kun repræsentere. Her kan kameraets vinkel spille ind, da visse typer af information gøres synlig på bekostning af andre, hvilket også er tilfældet med lyden, alt efter kameraets placering i klasseværelset (Ibid.: 85-86). Det at indsamle empiri i form af videomateriale og transskribere dette er altså ikke kun en praktisk øvelse, men også en teoretisk øvelse. Det er netop teorien, der er afgørende for, hvad man lægger vægt på i videooptagelserne (Brinkmann 2010: 88). I denne bachelor har jeg fx fokus på samtalen, hvilket har resulteret i, at nogle af mine videooptagelser ikke viser den pågældende elev i fuld figur, men derimod kun viser enten ansigtet eller elevens arbejde på et stykke papir. Mens jeg videooptog, havde jeg nemlig hele tiden in mente, at samtalen var vigtig, og derfor måtte jeg holde kameraet tæt på eleven, for at være sikker på at få lyden ordentligt med på videooptagelsen. Udover måden hvorpå jeg har indsamlet empirien, bliver empiriudvælgelsen også påvirket af hvilken teori, jeg tager udgangspunkt i. Jeg har udvalgt empirien med henblik på, at finde repræsentative eksempler for de sprogbrugssituationer, som jeg har planlagt undervisningen på baggrund af. 4. Præsentation af teorier I dette afsnit vil jeg præsentere de anvendte teorier og begreber. Afsnittet indledes med en redegørelse for Vygotskys syn på læring gennem sprog, da dette danner baggrund for de efterfølgende teorier. Herefter præciserer jeg, hvad det vil sige at tale om sprog i matematikundervisning, sprogbrugssituationer, registerkonteksten og syv praktiske principper til effektiv samtale mellem lærer og elev. Til sidst redegør jeg for emnet addition, herunder additive situationer, regnemetoder og den åbnetallinje. 4.1 Vygotsky Den russiske psykolog Lev Semenovich Vygotsky ( ) er en central teoretisk reference, når vi taler om læring gennem sprog. Vygotsky påpeger, at sproget både er et middel til social koordinering af individuelle menneskers erfaringer, men også det vigtigste redskab for vores tænkning (Lindqvist 2004: 128). Vygotsky ser det menneskelige som socialt betinget. Mennesket er altså menneske i kraft af internaliseret kultur, men samtidig er kulturen også menneskets eksternaliserede bevidsthed (Strandberg 2009: 19). Ifølge

8 7 Vygotsky er det også på denne måde, at læringen finder sted. Individuelle handlinger og bevidsthed bliver netop til ved, at vi overtager og benytter socialt udviklede psykologiske redskaber, som fx sprog (Skott 2008: 99). Det er ikke først ved skolestart, at barnet begynder at lære. Barnet lærer gennem hele livet ved at være en del af et fællesskab, fx forældrene, og overtage måder at arbejde på. Fællesskabets metoder individualiseres altså i barnet, så barnet kan bruge disse alene, og ikke kun i fællesskab med andre. (Skott 2008: 93). Al undervisning i skolen vil altså have en forhistorie, og dermed begynder skoleoplæringen altså aldrig fra et nulpunkt, men støtter sig altid til et vist udviklingsstadium, som barnet har været igennem, inden det begynder i skolen (Lindqvist 2004: 275). Derfor må man tage som udgangspunkt, at barnets oplæring må stemme overens med barnets aktuelle udviklingsniveau og intellektuelle alder, som kan bestemmes via test. Det er dog ikke nok, at undervisningen udspringer fra elevernes udviklingsniveau, da det er et niveau, de allerede har opnået. Undervisningen må tage udgangspunkt i, hvad eleverne er klar til at lære, og her er en vigtig pointe, at to børn på samme udviklingstrin ikke nødvendigvis kan løse de samme opgaver med vejledning. De har altså ikke samme zone for nærmeste udvikling, som er givet ved forskellen mellem det niveau barnet selvstændigt kan løse opgaver på, og det niveau hvor barnet kan løse opgaver ved hjælp af vejledning. Undervisningen må altså tage udgangspunkt i både det aktuelle udviklingsniveau samt zonen for nærmeste udvikling, da det er her oplæringsprocesserne kan finde sted. (Lundqvist 2004: ) Begrebsdannelse Ifølge Vygotsky dominerer sproget menneskets højere mentale funktioner, som fx perception, opmærksomhed, hukommelse og tænkning. Det vil sige, at netop sproget spiller en central rolle for udviklingen af disse. Begrebsdannelsen trækker på de højere mentale funktioner, og dermed er denne målrettede aktivitet afhængig af sproget, som er med til at fokusere og fastholde opmærksomheden. Egentlige begreber består ikke af grupper af konkrete objekter eller aktiviteter, og det er heller ikke blot en betegnelse for disse. Et egentligt begreb kommer af abstraktion af det karakteristiske ved objekterne eller aktiviteterne og ved en sammensmeltning af de abstraherede egenskaber til noget, der angiver, hvad de oprindelige objekter eller aktiviteter har til fælles. Alle begreber hænger altså nøje sammen med sprog, men ikke på den måde, at begrebet er udviklet først, og man derefter sætter ord på det. Talen er nemlig ikke et udtryk for en på forhånd udviklet tanke, men en måde at strukturere tænkning på, hvilket vil sige, at man altså kan tale sig til forståelse. Begreberne udvikles altså både nedefra med udgangspunkt i det konkrete og oppefra i form af abstraktion og systematik. Vygotsky taler om to slags begreber, de spontant udviklede dagligdagsbegreber og de videnskabelige begreber. Dagligdagsbegreber er kendetegnet ved at være koblet med masser er konkrete og personlige erfaringer, som gør barnet i stand til at benytte disse korrekt uden at være bevidst om deres definitioner. De

9 8 videnskabelige begreber er genstand for systematisk undervisning i formelle sammenhænge i kraft af deres teoretiske betydning, hvilket karakteriserer dem ved ekstrem abstrakthed og adskiller dem fra umiddelbare hverdagserfaringer. De videnskabelige begreber udvikles altså ved, at de introduceres formelt og definitorisk og giver senere mening i brug og ved at blive relateret til dagligdagsbegreberne. (Skott 2008: ) 4.2 Matematikkens sprog I faget matematik er det vigtigt at kunne forklare væsentlige matematiske problemer og ideer, da det er med til at fremme elevernes matematiske ræsonnement og refleksion (Madsbjerg 2013: 140). Men hvad er sprog i matematik, og hvordan bruges det? Hvert fag har sine egne tekster, og for at kunne beherske et fag, må man kunne udtrykke sig i fagets tekster (Madsbjerg 2013: 136). I matematik er fagteksterne multimodale tekster, da de indeholder, tal, matematiske tegn, verbalsprog, bogstaver, figurer, tabeller, farver osv. Alle disse elementer er altså indeholdt i matematikkens sprog og kan koges ned til tre meningsskabende ressourcer: verbalsprog, symboler og andre visuelle udtryk (Madsbjerg 2013: 141). I matematik er det altså ved hjælp af disse tre meningsskabende ressourcer, at eleverne skal forklare matematiske problemer. Eleverne er altså nødt til at lære, hvilket potentiale, der ligger i de forskellige former for meningsskabelse, for at kunne producere fagligt gode tekster (Madsbjerg 2013: 151) og dermed bruge matematikkens sprog optimalt Sprogbrugssituationer I en genrebaseret pædagogik er udgangspunktet, at se genren som den kulturelle kontekst, som sproget udspiller sig i (Polias 2008: 23). Hver genre har sit eget mønster, som kommer til udtryk, når den bruges i kulturelle og sociale kontekster (ibid.: 29). Genremønstrene kan ses i den måde, sproget bruges på i konteksten. Denne sprogbrug kan placeres på et kontinuum mellem et begivenhedsorienteret sprog og det sprog, der er rettet mod refleksion (Mulvad 2009: 184). Typisk for et begivenhedsorienteret sprog er, at det er talesprogsnært, mens det sprog, der er rettet mod refleksion, er skriftsprogsnært (Gibbons 2009: 34-35). 3 I Skrivelyst i fagene fokuseres der på, at forbedre elevernes skrivekompetencer, ved at træne denne i alle fag, ikke kun danskfaget. Fokus ligger altså på elevernes udarbejdelse af tekster, og hvordan de kan bruge fagsproget deri. Jeg har valgt at bruge denne bogs definition af matematikkens fagsprog, men jeg vil ikke anvende det i forhold til tekstudarbejdelse decideret.

10 9 Figur 2: Kommunikationsmådekontinuum (Mulvad 2009: 184) Figur 2 viser forskellige genrers 4 placering på det føromtalte kontinuum i forhold til fire forskellige sprogbrugssituationer. De fire situationer karakteriseres ud fra brugen af sproget i situationerne, hvilket er ledsagelse (til handling), kommentar, rekonstruktion og konstruktion. Sprogbrugssituationen, hvor sproget bruges som ledsagelse til handling, er placeret længst til venstre på kontinuet, hvilket vil sige, at sproget kan beskrives som meget talesprogsnært. Dette kommer til udtryk ved, at sproget bruges omkring ting, der foregår i den umiddelbare og fælles visuelle kontekst. Sproget vil være præget af nutids handleverber og stedord, som referer til for alle synlige genstande, som situationen omhandler. Når sproget bruges som kommentar, er sprogbrugssituationen placeret længere mod højre på kontinuet, hvilket vil sige, at sproget stadig er talesprognært, men med flere skriftsproglige træk. Denne situation er karakteriseret ved at have øget afstanden til handlingen, men stadig omhandler denne. Situationen kunne fx bestå i, at en elev opsummerede, hvad han/hun lige havde lavet i den pågældende undervisningsaktivitet. Her vil sproget være præget af handeverber i datid og konkrete referencer, der sikrer, at alle ved, hvad der bliver talt om. Sproget bruges som rekonstruktion, i sprogbrugssituationer, hvor eleven skal bruge sproget mere skriftsprognært ved at gøre brug af generaliseringer eller fagspecifikke gloser. Dette kunne fx være i en skriftlig opgave omhandlende den konkrete situation (1. sprogbrugssituation), men hvor eleven nu har øget afstanden både i tid og rum fra begivenheden. Sprogbrugssituationen konstruktion er placeret længst mod højre, og er altså den situation, der kræver det mest skriftsprogsnære sprog. Et eksempel på en konstruktion kunne være en tekst fra et børneleksikon, 4 Jeg vil ikke komme yderligere ind på de forskellige genrer, da de er mere centrale i faget dansk. Jeg vil derimod fokusere på sprogbrugssituationerne, som også kan benyttes i matematikundervisningen.

11 10 mens elevers egne definitioner på et givent emne, kan karakteriseres som en konstruktionstilnærmelse. Sproget er præcist og præget af nutidsverber, nominaliseringer og generaliseringer (Gibbons 2009: 34-35). 4.4 Registerkonteksten Begrebet register dækker det forhold, at der kommunikeres på forskellige måder om forskellige ting i forskellige kontekster på baggrund af, hvad man gør i de forskellige kontekster. Det er altså et sammensat begreb, der omhandler både tekst (tale/skrift), deltagere og emne, hvilket vil sige, at registerkonteksten indeholder den sociale aktivitet, der er rammen for hvilken sprogbrug, der kommer til udtryk (Mulvad 2009: ). Registerkonteksten, kan analyseres ud fra tre registervariable, som tilsammen beskriver teksten register 5 : 1. Fält (kommunikationsfelt): kommunikationsfeltet består af den sociale handling eller den aktivitet, der finder sted, hvilket er det, som deltagerne i kommunikationen er engagerede i. I kommunikationsfeltet indgår sproget som en essentiel komponent. 2. Tenor (kommunikationsrelation): Kommunikationsrelationen omhandler dem, som deltager i forhold til status, roller, afstanden mellem dem og deres følelsesmæssige relation- og kontaktform. 3. Kommunikationssätt (kommunikationsmåde): kommunikationsmåden er præget af sprogets rolle, og hvad deltagerne forventer af sproget i den konkrete kontekst. Kommunikationsmåden præges også af afstanden, hvori den sproglige forskel på en samtale ansigt til ansigt og en lovtekst om eksempelvis spritkørsel ligger (Polias 2008: 66). Figur 3: Situationskontekstens kontinuum (Polias 2008: 71) 5 Registerkonteksten kaldes også situationskonteksten, og disse begreber er altså identiske.

12 11 Figur 3 viser registerkontekstens kontinuum. Figuren er delt op efter de tre registervariable, som hver især kan beskrives ud fra et kontinuum, der strækker sig fra (venstre) et uformelt niveau til (højre) et mere formelt niveau. Når et givent register analyseres, skal feltet beskrives ved at indsætte det på kontinuet, der går fra det almene og hverdagsagtige til noget mere specialiseret, teknisk eller abstrakt. Her er det altså den sociale aktivitet, der skal vurderes. Kommunikationsrelationen beskrives ud fra et kontinuum, der strækker sig fra det uformelle og personlige til det mere formelle og upersonlige. Til venstre på kontinuet er magtforholdet mellem deltagerne symmetrisk, og den følelsesmæssige involvering er høj, hvorimod en relation placeret til højre på kontinuet er asymmetrisk, og den følelsesmæssige involvering er lav. Kommunikationsmådens kontinuum strækker sig fra mundtlig eller talesprogsnær kommunikation og en skriftlig eller skriftsprogsnær kommunikation. Derudover er det også afgørende om sproget bruges som ledsagelse til handling, eller om det bruges som refleksion. 4.5 Syv praktiske principper til effektiv samtale mellem lærer og elev Udover at sætte eleverne i situationer, der kræver en bestemt sprogbrug, mener jeg også, at lærerens rolle i kommunikationen er helt central. Elevernes læringsprocesser er bundet til de samtaler, som eleven deltager i (jf. Vygotsky, afsnit 4.1), hvilket gør det vigtigt, at læreren giver plads til eleven i samtalen, og ser samtalen som en læringsproces og ikke kun som en evaluering. Pauline Gibbons(2009: 41-43) er fortaler for lærervejledte fremlæggelser og kommer med syv praktiske principper på, hvordan læreren kan effektivisere samtalen i forhold til elevens læring: 1. Sæt farten på samtalen ned Ved at øge den tid, der går mellem elevens svar og lærerens respons, giver man eleven mulighed for at reflektere over, hvad han/hun fik sagt og selv omformulere om nødvendigt. Dette vil højne både kvaliteten af tankegangen og sprogets klarhed. 2. Udnyt det tredje samtale-træk I stedet for, at læreren evaluerer elevens svar eller omformulerer det, skal eleven opfordres til at sige mere. Her kan spørgsmål som mener du?, kan du forklare lidt mere? og er det altid sådan? Hvad hvis?. Der vil blive skabt større lighed mellem bidrag fra lærer og elev, hvilket gør samtalen mere symmetrisk.

13 12 3. Positionér eleverne som nogen der har noget at sige Ved at lade forskellige elevgrupper have adgang til forskellige aspekter af information indenfor et givent emne bliver der skabt en mulighed for, at eleverne kan sige noget, der er nyt for andre. Læreren skal altså lade eleven være ekspert indenfor et givent felt, hvorfra han/hun kan dele oplysninger med de andre elever. 4. Lyt til elevens svar (ikke kun de forventede svar) Ved brug af mere åbne spørgsmål til eleven, giver det læreren mulighed for at reagere autentisk på det indhold, eleven prøver at forklare. Her vil lærerens svar være afhængigt af det, som eleven siger. Læreren stiller altså ikke spørgsmål, som hun i forvejen kender det ideelle svar på. 5. Overvej forholdet mellem tjekspørgsmål og andre typer spørgsmål Tjekspørgsmål kan bruges med fordel i visse sammenhænge, fx til at vise eleverne en bestemt retning, klarlægge klassens fælles forståelse og elevernes individuelle forståelse og viden. Ved brug af tjekspørgsmål alene, vil eleverne ikke få mulighed for at fortælle, hvordan de får mening ud af deres egen læring. Til dette kan hvordan og hvorfor-spørgsmål bruges, da eleverne i disse tilfælde må forklare deres tankegang. 6. Opfordr til at tankegangen ekspliciteres gennem samtalen Ved at lade eleverne forklare deres tankegang, får de muligheden for at tale sig til forståelse (jf. Vygotsky). Udover at bruge hvordan og hvorfor-spørgsmålene til dette, kan læreren også sætte eleverne i situationer, hvor de skal undersøge forskellige muligheder eller opstille hypoteser. 7. Overvej samtalens mellemmenneskelige aspekter Samtalen mellem lærer og elev er ikke kun akademisk, den er også menneskelig. Det er vigtigt, at eleven kommer ud af samtalen og føler succes. Dette sikres bedst ved at tage elevens bidrag alvorligt og se eleven som en værdig samtalepartner. Der bør være en social norm i klassen om, at alle har krav på lige deltagelse og ret til at blive lyttet til. 4.6 Addition Addition er en regningsart, og når man indfører en regningsart, vil det sige, at hver gang man tager to naturlige tal, skal man kunne danne et andet naturligt tal ved at udføre den pågældende regneoperation (Beck 2008: 25-29). Ved addition kaldes de to naturlige tal, man opererer med, for addender, og tallet man

14 13 danner, kaldes summen. Addition kan altså beskrives ved, altså addenden a adderet med addenden b giver summen c. Ligesom for andre regningsarter, findes der også regler for addition. Det gælder nemlig, at i en sum, er addenternes orden ligegyldig. Man kan altså lægge addenderne sammen i den rækkefølge, man finder nemmest, uden at det ændrer på summen. Reglerne herfor kaldes den kommutative lov og den associative lov, og de udtrykkes ved: Den kommutative lov for addition: Den associative lov for addition: ( ) ( ) Når eleverne skal opbygge en forståelse for addition, er der især to vigtige elementer, læreren skal være opmærksom på, hvilket er de situationer eleverne sættes i, samt de metoder eleverne bruger til at løse de givne situationer. Jeg vil uddybe dette i det følgende Additive situationer Der er tale om additive situationer, når additon og subtraktion kan bringes i spil på forskellig vis. I modellen nedenfor er de additive situationer kategoriseret i fire forskellige typer: foreningssituationer, adskillelsessituationer, situationer med del-del-helhed og sammenligningssituationer. Figur 4: Additive situationer (Jess 2013: 38)

15 14 Nogle af situationerne ligner hinanden, fx del-del-helhed situationen Pia har 5 røde kugler og 8 blå kugler. Hvor mange kugler har hun? og foreningssituationen Pia havde 5 kugler. Bo gav hende 8 mere. Hvor mange kugler har Pia i alt?. Regnestykket for begge situationer, vil nemlig se således ud:. Det er altså det samme regnestykke, men for eleven er der en væsentlig forskel på, om der er handling til stede i situationen eller ej. De fire additive situationer er altså delt op i to, nemlig situationer, hvor handling er involveret, og hvor handling ikke er involveret. Udover en kategorisering af de additive situationerne viser figur 4 også en progression i arbejdet med de forskellige situationer. Her er det afgørende hvilken del, der er ukendt. Man vil altså typisk starte med at arbejde med situationer, hvor resultatet er ukendt og først senere arbejde med situationer, hvor ændringen eller starten er ukendt. En væsentlig del af udfordringen for eleverne i matematikundervisningen i indskolingen er altså at lære, hvornår addition og subtraktion kan bringes i spil for at løse et givent matematisk problem. Eleverne skal derfor arbejde med de forskellige typer af additive situationer, og det er vigtigt, at man som underviser er opmærksom på dette. Hvis eleverne hovedsageligt arbejder med foreningssituationer, når de skal lære addition, vil de altså ikke udvikle en fuld forståelse for, hvornår addition kan bringes i spil (Jess 2009: 38-41) Regnemetoder Når eleverne skal lære at regne med flercifrede tal, er det en fordel, at undervisningen giver eleverne mulighed for at opleve sig selv som en del af en proces. Undervisningen skal altså ikke reduceres til at læreren udleverer opskriften til at addere, hvor eleverne så skal huske, hvordan man gør, og ikke tænke selv. Et eksempel kunne fx være, at læreren introducerer additionsalgoritmen for eleverne, forklarer reglerne for tierovergang og så lader eleverne øve sig i proceduren. I dette tilfælde må eleverne huske på, at man altid skal starte fra højre, og når tallene lægges sammen kan det være nødvendigt med tierovergang. Fokus ligger for eleverne på at huske teknikken, fremfor at lære matematikken. Undervisningen skal derimod lægge op til, at eleverne udvikler egne metoder. Dette betyder dog ikke, at alt, hvad eleverne finder på, er lige brugbart. Her er det lærerens opgave at kunne se det i elevernes metoder, der vil kunne lade sig gøre at udvikle og bruge generelt. (Solem 2011: ) Indenfor addition og subtraktion af flercifrede tal findes der tre typer af metoder: tællemetoden, opdelingsmetoden og omgrupperingsmetoden. Som lærer må man altså vurdere hvilken metode, elevens egen metode afspejler, for at kunne hjælpe eleven videre i udviklingen af metoden. Tællemetode Når eleverne bruger tællemetoden, adderer de ved at tælle sig frem til summen (Jess 2009: 98). Hvordan de kommer frem til resultatet afhænger af, hvilken tællestrategi de benytter, og hvilken forståelse eleverne har for talremsen. Talremsen kan forstås på tre forskellige niveauer (Jess 2009: 29-30). Det første niveau er at

16 15 forstå talremsen som en streng, hvor barnet har lært talremsens lyde, men ikke har nogen fornemmelse af en-til-en-korrespondance mellem lydene og genstandende. Hvis eleven har denne forståelse af talremsen, vil det være for tidligt at begynde på addition, da eleven ikke har den fornødne forståelse. Det andet niveau er at forstå talremsen som en ubrydelig liste. Her kan eleven differentiere mellem de forskellige ord i talremsen, og eleven kan lave en-til-en-korrespondance mellem tallene og genstande. Eleverne kan dog ikke bryde talremsen, og de kan dermed ikke tælle videre fra et givent tal, men må hver gang begynde ved 1. Her vil eleven kunne benytte tællemetoden til addition ved at have konkrete materialer foran sig, som repræsenterer de to addenter, og benytte en tæl-alle-strategi til at komme frem til resultatet. Hvis talremsen ses som en kæde, der kan brydes, vil eleven kunne tælle videre fra et givent tal. Eleven har altså en forståelse for, at ethvert tal hænger sammen med det foregående og det efterfølgende, og eleverne vil med denne forståelse også være i stand til at tælle baglæns. På dette niveau vil barnet kunne benytte en tæl-videre-strategi. Eleven vil altså starte ved den ene addent og tælle sig frem til resultatet. Opdelingsmetode Denne metode består i, at man opdeler de to addender i enere, tiere og hundreder osv. For at udregne resultatet benytter man herefter de metoder, man kender for addition med encifrede tal, ved at regne med tierpotenserne, som var det encifrede tal (Jess 2009: 98). Et eksempel kunne være: 35 opdeles i 3 tiere og 5 enere 63 opdeles i 6 tiere og 3 enere For at kunne benytte denne metode, må eleven have et vist kendskab til titalssystemet, da man må være bevidst om, at cifrets position i tallet afgør dets værdi (Jess 2009: 94). Det er dog også i arbejdsprocessen med denne metode, at eleverne kan udvikle deres faglige forståelse af netop positionssystemet (Jess 2009: 96). Omgrupperingsmetode I denne metode bruger man strategien at omgruppere tallene. Her vil man altså omgruppere tallene, så de er nemmere at regne med. Hvis en elev fx er god til at fordoble, og han får regnestykket kan han omgruppere 28 som (25+3) og dermed først fordoble tallet 25 og derefter lægge de sidste 3 til. Et andet

17 16 eksempel kunne være en omgruppering af tallet 19 i regnestykket, da man kan få øje på, at tallet 19 ligger tæt på 20, og dermed omgruppere 19 til (20-1), så man først lægger 20 til de 33 for derefter at trække 1 fra (Jess 2009: 99). Selvom metoderne kan inddeles i tre typer, kan de forskellige metoder stadig overlappe hinanden. Fx kan opdelingsmetoden inkorporeres i tællemetoden ved, at man tæller videre i tiere og enere. Man kan også argumentere for, at opdelingsmetoden egentlig er indeholdt i omgrupperingsmetoden, da man faktisk omgruppere tallene, når man opdeler i tiere og enere. Ved en opdeling af tallet 63 omgrupperes tallet jo egentlig til (60+3) Den åbne tallinje Den åbne tallinje er en talakse uden fastlagte tal. Eleverne afsætter selv de tal, som de har brug for i deres udregning. Den åbne tallinje kan benyttes ved brug af forskellige metoder, og tallinjen er altså ikke en metode i sig selv. Den er et redskab, der sætter eleverne i stand til at modellere deres tænkning i en given situation (Jess 2009: ). Den åbne tallinje er især god til at modellere tællemetoden og opdelingsmetoden. Hvis man ved regnestykket bruger tællemetoden, kunne det se således ud på den åbne tallinje: Der tælles altså videre fra 34 i tiere og enere. Tallene under tallinjen repræsenterer resultatet efter hoppene, og tallene over tallinjen repræsenterer hoppenes størrelse, altså hvor meget vi lægger til. Hvis man benytter den åbne tallinje ved regnestykket og gør brug af omgrupperingsmetoden, kan et eksempel se således ud: I dette tilfælde omgrupperes den anden addent 19 til at være (20-1). Man hopper altså de tyve på tallinjen, og derefter hopper man en tilbage og lander på resultatet 44.

18 17 5. Analyse af empiri Dette afsnit består af fire dele, inddelt efter de fire sprogbrugssituationer: sprog som ledsagelse til handling, sprog som kommentar, sprog som rekonstruktion og sprog som konstruktionstilnærmelse. Hvert afsnit indledes med en præsentation af empirien, jeg har fundet eksemplarisk for den givne sprogbrugssituation, hvorefter jeg ved inddragelse af de beskrevne teorier analyserer på den enkelte situation i forhold til sprogbrugssituationen, den additive situation og lærerrollen. Når jeg skriver omkring lærerrollen, vil jeg komme ind på, hvad jeg som lærer har gjort godt, og hvad jeg kunne have gjort anderledes. Til dette vil jeg især bringe Pauline Gibbons syv praktiske principper til effektiv samtale i spil. For at anonymisere eleverne, har jeg valgt at erstatte elevernes navne i empirien med benævnelser som elev1. I empirien vil det udtalte stå med kursiv, mens det er anført hvem, der siger det. Derudover vil der i parenteserne stå korte observationer, som kan have betydning for forståelsen af situationen. 5.1 Sproget som ledsagelse til handling Elev1 og elev2 (drenge) har en slikbutik. Elev3 (pige) kommer for at handle, og hun har tikroner og enkroner i sin pung. Elev2 er i gang med at udfylde en bon for en tidligere kunde. Elev3 ligger en håndfuld mønter og peger på en pose chips. 1. Elev1: Tjek lige om hun har råd til det her. 19 kr. for sådan en (sidder med en pose chips i hånden). Og hun køber også den der (peger på en pakke chokolade til 22 kr.). 2. Elev2: Hun skal have den her tilbage (rækker elev3 en tier fra bunken). 3. Elev1: Jamen hun køber også alle dem her (peger igen på chokoladen). Alle vores det her. 4. Elev2: Okay shit, så skal jeg lige have den der tilbage (tager tieren fra elev3 s hånd). Så har vi 1, 2, 3 (bliver stille et par sekunder). Vi skal lige ha, lad mig lige se (elev2 rejser sig og tager selv penge fra elev3 s pung). 5. Elev1: Så har vi dem (samler pengene i en bunke på bordet, mens elev3 forlader butikken). Så har vi dem. 6. Elev2: Hun fik det lidt billigere. 7. Elev1: Elev4 har kun en 1kr tilbage (omhandler en elev udenfor denne situation. Elev1 hopper på stolen af begejstring) Sprogbrugssituationen I denne situation bruges sproget som ledsagelse til handling, og situationen placerer sig dermed længst til venstre på kommunikationsmådekontinueet. Eleverne bruger sproget talesprogsnært, hvilket ses ved brugen af nutidsverber som køber, skal have, og har råd (linje 1, 2 og 3)samt stedord som dem, det og den (linje 1, 3 og 4), der referer til varerne og mønterne, som de tre elever alle har foran sig. Denne situations kommunikationsfelt er aktiviteten butik, hvilken placerer sig til venstre på kontinuet for registerkonteksten, da eleverne benytter matematikken på et uformelt niveau, i en konkret situation.

19 18 Eleverne er dog stadig bevidste om, at de befinder sig i klasselokalet og har matematikundervisning, så situationen ligger ikke lige så meget til venstre på kontinuet, som en indkøbstur i Netto ville gøre. Kommunikationsrelationen burde ligeledes ligge til venstre på kontinuet, da eleverne er ligestillede i forhold til, at de alle tre er elever i samme matematikundervisning, og de er klassekammerater og vant til at omgås hinanden dagligt. Men da elev3 faktisk slet ikke siger noget gennem hele handlen kunne det tyde på, at hun ikke føler sig tryg i situationen. Her er det måske forskellen på kønnene, der spiller ind, hvilket kan trække kommunikationsrelationen lidt til højre på kontinuet. Derudover videregiver elev1 også opgaven med at regne prisen ud til elev2 (linje 1), hvilket kan tyde på, at eleverne heller ikke er på samme faglige niveau, og dette bidrager også til, at eleverne ikke er ligestillede i samtalen. Kommunikationsmåden er som før skrevet talesprognær, da eleverne taler mundtligt om en igangværende handling, som de alle tre er fysisk tilstede i. Registerkonteksten for denne situation kan altså illustreres således: Figur 5: Registerkontekst for Sproget som ledsagelse til handling -situationen Den additive situation I den beskrevne situation vælger elev3 at købe en pose chips til 19 kr. og en plade chokolade til 22 kr. For at kategorisere denne additive situation, skal det først afgøres, om der er handling til stede eller ej. Jeg vil mene, at den additive situation ikke indebærer handling, da eleven fx ikke i forvejen har noget og så får noget mere. Denne additive situation går ud på at beregne helheden, nemlig den samlede pris ud fra delene, de to priser på henholdsvis chips og chokolade. Så selvom eleven køber nogle varer, hvilket er en handling, er den additive situation altså ikke præget af handling, som den ville have været hvis eleverne i stedet skulle udregne hvor mange penge, de nu havde i butikken efter salget af varerne. Jeg vil altså karakterisere denne additive situation som værende af typen del-del-helhed, hvor helheden er det ukendte element. I denne situation bruger eleverne kun deres verbalsprog til at løse problemet, og regnemetoden bliver ikke synlig for de to andre elever, idet elev2 ikke viser sin metode med symboler eller andre visuelle udtryk. Denne situation lægger op til, at eleverne arbejder med opdelingsmetoden, da det netop er tiere og enere elev3 kan betale med. De kunne altså have delt hver pris op i tiere og enere og derefter fundet den samlede pris ved at tælle det samlede antal af tiere og enere.

20 Lærerrollen I denne situation har jeg påtaget mig en passiv lærerrolle. Jeg blander mig ikke i situationen, men lader eleverne køre butikken, som de mener, den skal køres. Elevernes fokus ligger ikke på matematikken, men på selve legen, da det for dem handler om at komme af med sine varer og få nogle penge i kassen, hvilket ses ved, at alle tre elever ikke deltager i udregningen af den samlede pris, og kunden i butikken får varerne lidt billigere, da hun måske ikke havde penge nok i pungen. Hvis fokus lå på matematikken, havde eleverne sammen udregnet den samlede pris og fået pengene til at passe i forhold til hvor mange tiere og enere kunden skulle af med. Jeg mener, at jeg som lærer skulle have deltaget i denne samtale. Jeg kunne have flyttet fokus over på matematikken og tilbudt eleverne fagsproget ved at stille spørgsmål, som fik elev3 til at forklare sin metode til udregningen til de andre to elever. På denne måde ville jeg have opfordret elev3 til at eksplicitere sin tankegang gennem samtalen, og dermed ville han selv få mere overblik over situationen, da han vha. sproget, altså både verbalsproget, symboler og andre visuelle udtryk, ville få struktureret sine tanker og dermed opnå forståelse. Derudover ville han også blive positioneret som en, der har noget at sige, da han ville skulle forklare de to andre elever noget, som de ikke vidste i forvejen. Herefter kunne jeg sætte de to andre elever i en lignende situation, som de nu kunne være i stand til at løse med min eller elev3 s vejledning, og dermed udfordre dem i deres zone for nærmeste udvikling. En lignende situation kunne fx være, at de hver især skulle bestemme antallet af tiere og enere i en vares pris, og herefter lægge priserne sammen ved at tælle de konkrete mønter, der ligger foran dem. Noget andet, man også kunne diskutere i forhold til tilrettelæggelsen af undervisningen er, at jeg starter emnet addition ud med en aktivitet, hvor eleverne skal gøre brug af regningsarten, uden at jeg har forklaret dem noget om addition først. Ifølge Vygotski udvikles de videnskabelige begreber ved, at de først bliver introduceres formelt og definitorisk og senere giver mening for eleven ved at blive relateret til dagligdagsbegreberne (jf. afsnit 4.1.1), som i dette tilfælde kunne være aktiviteten butik. 5.2 Sproget som kommentar En gruppe på tre elever skal lægge to tal sammen. De har centicubes til rådighed, og meningen med aktiviteten var, at eleverne ved udregningen skulle lægge centicuberne op på en linje, som et førformelt stadige til tallinjen. Eleverne tæller centicubes passende med antallet af de to addenter 29 og 82 og ligger dem op på to rækker efter min anvisning. Herefter udspiller følgende sig: 1. Lærer: Godt elev1, hvordan vil du finde ud af, hvor mange vi har i det hele? 2. Elev1: Jeg tager først 10 erne og så tager jeg 1 erne 3. Lærer: Okay, prøv at gøre det, (elev sidder stille og kigger på centicuberne uden at sige noget) du må gerne lægge dem sammen. Bare ryk rundt på dem som du vil.

21 20 4. Elev1: (Sidder stadig stille) Det er ti 10 ere og (lang pause) 5. Lærer: Prøv at rykke rundt på dem. Bare tag 10 erne hen til de andre 10 ere. Man må gerne sætte dem sammen. 6. Elev1: Lærer: Hvad? 8. Elev1: Er det 111? 9. Lærer: Prøv, hvordan har du gjort det? Du skal forklare det for de andre. 10. Elev1: Jeg har først taget 10 erne, og det er blevet til 10 og så har jeg taget 1 erne og så har jeg ligesom skrevet på en liste inden i mit hoved. 11. Lærer: Okay så prøv at se. Prøv at tage de 10 ere derovre fra. 12. Elev2: Har du en liste inde i dit hoved? 13. Lærer: Shhh elev2. Så hør godt efter, hvordan hun gør. (elev1 flytter 10 erne fra det ene tal hen til 10 erne fra det andet tal) Hun har taget alle 10 erne. De er derovre. Hvor mange 10 ere havde du så? 14. Elev1: Lærer: Godt. Hvad gør du så med de sidste 1 ere? 16. Elev1: Dem tæller jeg. 17. Lærer: Prøv at gøre det. (elev1 tæller inde i hovedet) 18. Elev1: Lærer: Hvad kan det så blive til? 20. Elev1: Lærer: Okay. Forstår i det drenge? 22. Elev3: Ja 23. Lærer: Så hvad gjorde hun elev3? 24. Elev3: Hun talte alle 10 erne og så var det, at hun bare regnede 1 erne ud og så satte hun bare dem på. 25. Lærer: Og hvor mange 10 ere var der? 26. Elev3: Lærer: Og hvor mange hvad er det, ti 10 ere? 28. Elev3: Det er Lærer: Og så satte hun 1 erne på. 30. Elev3: Ja, der er 11, og det er Lærer: Godt Sprogbrugssituationen Denne situation karakteriserer jeg som sprog som kommentar, da eleverne skal kommentere på en aktivitet, nemlig at lægge to antal centicubes sammen. Elevernes sprog har fået et skriftsprogligt træk, da de bruger udtryk som tiere og enere i stedet for stedord, som dem og den. Sprogbrugssituationen er altså blevet mere formel, end den var i situationen, hvor sproget bruges som ledsagelse til handling. Derudover beder jeg også et af gruppemedlemmerne referere et andet gruppemedlems metode, hvilket gør at verber i datid (fx talte l. 24 og satte l. 29) bliver brugt, og dette er især et kendetegn ved at bruge sproget som kommentar.

22 21 Kommunikationsfeltet for denne aktivitet er, at eleverne skal beregne det samlede antal centicubes. De har konkrete materialer foran sig, og dermed bliver samtalen ikke abstrakt, og derfor skal feltet placeres til venstre på kontinuet for registerkonteksten, men ikke lige så langt til højre, som ved situationen med sprog som ledsagelse til handling, da denne aktivitet ikke er lige så dagligdagspræget. Kommunikationsrelationen kan beskrives ved, at jeg som lærer samtaler med gruppemedlemmerne på skift. I denne situation bliver magtforholdet mellem deltagerne asymmetrisk, da samtalen foregår mellem lærer og elev, hvorimod det ville have været jævnbyrdigt, hvis det var to elever, der indgik i dialog. Dette gør at kommunikationsrelationen bevæger sig lidt mod højre, men ikke over midten, da kontaktformen stadig er personlig, og kantakten ikke er noget usædvanligt. Kommunikationsmåden er mundtlig, men eleverne bruger også centicuberne som andet visuelt udtryk, hvilket også er en del af sproget i matematik. Kommunikationsformen er dialogisk, hvilket også er med til at placere kommunikationsmåden til venstre på kontinuet, selvom de gennerelle udtryk som tiere og enere trækker i den anden retning. Registerkonteksten for denne situation kan altså illustreres således: Figur 6: Registerkontekst for Sproget som kommentar -situationen Den additive situation Jeg vil mene, at denne situation er en foreningssituation, da eleverne skal forene de to mængder af centicubes, ved at rykke dem sammen, og derved inkluderes en handling. Jeg lægger op til, at eleverne skal bruge deres egen metode og lægge centicuberne op på linje, som en konkret variant af den åbne tallinje. Eleven der starter med at skulle forklare sin metode, bruger opdelingsmetoden, hvilket kommer til udtryk ved omtalen af tiere og enere. Den åbne tallinje er ikke så velegnet til denne metode, da man ved opdelingsmetoden opdeler begge addenter i tiere og enere, hvorefter man lægger antallet af enere sammen og antallet af tiere sammen. Hoppene på den åbne tallinje er derfor ikke den bedste form for modellering af denne tankegang. Tierstænger og enkelt centicubes for enere ville repræsentere denne tangegang bedre. Eleven bruger altså ikke fagsproget optimalt, da hun ikke kan vise sin metode med et visuelt udtryk, der passer til, og derfor vælger hun kun at benytte verbalsproget. Dette viser dog også, at eleven forstår sin egen metode og hvilket sprog, der hører sig til. Jeg har sagt til eleverne, at centicuberne skal ligge på række. Dette passer ikke ind i modelleringen af opdelingsmetoden, og

23 22 pigen vælger derfor, at undvære det visuelle udtryk, indtil jeg opfordrer hende til, at rykke med de konkrete centicubes, så hun er nødsaget til at gøre dette. Jeg vil komme nærmere ind på i dette i det efterfølgende afsnit om min rolle som lærer Lærerrollen I denne situation begår jeg en fejl i forhold til Pauline Gibbons teori. Jeg lytter nemlig ikke til elevens svar, da hun prøver at forklare sin metode. Eleven fortæller, at hun har talt antallet af de to tals tiere og derefter lagt enerne til på en liste inde i sit hoved (linje 10). Hvis jeg havde lyttet til elevens svar, havde jeg fået hende til at forklare, hvordan listen, hun refererer til, ser ud. Her kunne det være nødvendigt for pigen at have papir og blyant til rådighed, da det matematiske sprog inkluderer symboler og andre visuelle udtryk. Det er altid vigtigt, at eleven føler succes efter en samtale med læreren, og det gør hun kun, hvis der bliver lyttet til hendes svar, og man ser hende som ligebyrdig samtalepartner. Så i denne situation, hvor jeg ikke godtager elevens metode, er der stor risiko for, at eleven heller ikke vil føle succes, selvom hun kommer frem til det rigtige resultat. Havde jeg lyttet til hendes svar og taget udgangspunkt i det, havde jeg måske ikke fået eleverne til at arbejde med tallinjen, og da dette var pointen med aktiviteten, var det forkert af mig at introducere den på denne måde Hvis jeg havde fået en af de elever, som brugte tællemetoden eller omgrupperingsmetoden, til at vise sin metode vha. tallinjen, havde jeg gjort denne elev til ekspert på netop dette område. Han vil kunne vise de andre elever, hvordan tallinjen kan bruges, og de andre elever kan lade sig inspirere af hans metode. Men da jeg endnu ikke havde introduceret eleverne for tallinjen, ville dette måske heller ikke være den optimale måde at gøre det på. Eleverne lærer ved at overtage måder at arbejde på (jf. Vygotsky, afsnit 4.1), derfor burde jeg som lærer, have vist eleverne brugen af forskellige metoder på tallinjen, og herefter ville elevene selv kunne danne sig erfaringer og vælge den metode, der fungerede bedst for dem. 5.3 Sproget som rekonstruktion En gruppe på tre elever viser klassen ved en lærervejledt fremlæggelse, hvordan en regnehistorie kan løses på den åbne tallinje. Forud for denne fremlæggelse har eleverne i grupper løst regnehistorier, hvor de skulle bruge tallinjen til at finde løsningen. De forskellige grupper kunne frit vælge mellem tallinjer, med tal, med tiere og uden tal. Gruppen, hvis fremlæggelse jeg vil se nærmere på nedenfor, var den eneste gruppe, der valgte at bruge den åbne tallinje.

24 23 1. Elev1: 1 eren 2. Lærer: 1 eren. Den læser jeg lige højt Tina og Bo skal se film. De har en skål slik med 37 gule vingummier og 58 røde vingumminer. Hvor mange vingummier har Tina og bo i alt?. Så hvad skal i finde ud af? 3. (Gruppen kigger på hinanden, ingen siger noget.) 4. Lærer: I må gerne lige få papiret at kigge på. Husk at fortælle højt til alle de andre, hvad det er i gør. 5. Elev1: Vi skal regne ud hvad 37 plus 58 er tilsammen. 6. Lærer: Ja, så hvad starter i med at gøre? 7. Elev1: Vi starter med at skrive det højeste tal ude i siden (elev2 skriver tallet) 8. Lærer: Okay. (pause) og der står Elev1: Og så tæller vi tre 10 ere (elev2 tegner tre hop på tallinjen) 10. Lærer: Okay. Hvad er I så landet på der? 11. Elev2: Lærer: 88 er de landet på nu (elev2 skriver 88 på tavlen). Det skriver de lige, så de kan huske det. Nede for neden. (pause) Prøv at fortælle de andre, hvad I så mangler. 13. Elev1: Vi mangler at hoppe syv 1 ere 14. Lærer: Okay, de mangler at hoppe syv 1 ere. Fordi det var 37 de skulle lægge til. Kan du lade elev3 tegne de syv 1 ere? 15. Elev3: (Tegner syv små hop på tallinjen) 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lærer: Flot, og hvad landede i så på til sidst? (der opstår uro, da elev2 taber pennen) 17. Elev2: 94. vi landede på 94. nej 95 (skriver tallet på tavlen) 18. Lærer: 95 landede I på. Så hvad fandt i ud af? 19. Elev2: At det gav Lærer: Hvad var det, der var 95 af? 21. Elev2: Øøh. Øøh. Gule og røde vingummier. 22. Lærer: Ja, så tilsammen var der 94 eller 95 vingummier. Nu kom jeg også til at sige forkert. Det var flot! Så må i gerne sætte jer ned Sprogbrugssituationen Jeg har valgt at kategorisere denne sprogbrugssituation som værende sprog som rekonstruktion, da eleverne bruger deres fagsprog til at forklare de andre elever, hvordan en regnehistorie kan løses vha. tallinjen. Gruppen bruger verbalsproget til at forklare klassen, hvad de foretager sig, derudover bruger de symboler i form af tal til at holde styr på udregningerne og det sidste element i det matematiske fagsprog, nemlig andre visuelle udtryk bruger de i form af tallinjen. Situationen er en rekonstruktion, da de arbejder

25 24 med tallinjen og tallene som repræsentation for vingummierne i stedet for at sidde med de konkrete vingummier foran sig. Kommunikationsfeltet for denne situation er en lærervejledt fremlæggelse, hvilket gør situationen mere formel, end hvis gruppen fx selv havde siddet og diskuteret situationen. Denne aktivitet er altså placeret til højre på registerkontekstens kontinuum, da feltet er langt mere teknisk og abstrakt end dagligdagssituationen at sidde med en skål vingummi foran sig. Kommunikationsrelationen kan beskrives ved, at gruppen udgør en enhed, resten af klassen udgør en enhed og læreren udgør en enhed. Klassen er ikke med i samtalen i denne situation, men de er aktive deltagere i situationen, da de er modtagerne for kommunikationen. Læreren deltager i samtalen, men det er gruppen af elever, der skal fremvise sin metode, og derfor er det gruppen, der har højest status i samtalen. Kommunikationsrelationen vil altså placere sig lidt til højre for midten på kontinuet, da de omtalte formelle faktorer trækker den til højre på kontinuet, men gruppen, klassen og læreren er vant til at have kontakt og dermed bliver kommunikationsrelationen ikke lige så formel, som hvis gruppen skulle fremlægge foran fremmede mennesker. Kommunikationsmåden er både mundtlig og skriftlig, og hvis man ser på gruppen som afsender og klassen som modtager er kommunikationen monologisk, kun afbrudt af lærerens vejledning. Kommunikationsmåden i denne situation vil altså skulle placeres til højre på kontinuet. Registerkonteksten for denne situation kan altså illustreres således: Figur 7: Registerkontekst for Sproget som rekonstruktion -situationen Den additive situation Regnehistorien, eleverne skal løse og forklare resten af klassen, lyder: Tina og Bo skal se film. De har en skål slik med 37 gule vingummier og 58 røde vingumminer. Hvor mange vingummier har Tina og bo i alt?. Der er altså tale om en additiv situation af typen del-del-helhed, hvor helheden er ukendt. Regnemetoden, eleverne anvender, er tællemetoden, da de tæller videre fra den ene addent for at finde summen. De udvider dog denne metode ved at inddrage opdelingsmetoden, da måden de tæller videre på, er ved at tælle videre i tiere og derefter enere. De har altså delt den anden addent op i tiere og enere. Dette viser de ved at modellere deres metode på den åbne tallinje, og de gør altså brug af det matematiske sprog, da de både bruger verbalsproget, symboler og andre visuelle udtryk i form af tallinjen.

26 25 Elev1 (linje 7) pointerer, at de starter med at skrive det højeste tal først, og dermed tæller videre fra tallet 58 i stedet for 37, som egentlig stod først i regnehistorien. Her gør eleven brug af den kommutative lov, der siger, at addenternes orden er ligegyldig. Eleven forklarer ikke denne regel eller fortæller, hvorfor han tager det største tal først, men han gør det uden vejledning og uden tøven Lærerrollen Ved at lade elevgruppen fremlægge deres metode til udregningen, positioneres de som nogen, der har noget at sige. Denne elevgruppe er altså eksperter på lige nøjagtigt deres metode, og da ingen andre i klassen har valgt at give sig i kast med den åbne tallinje, er brugen af dette hjælpemiddel altså også ny for de andre elever. Eleverne benytter som sagt den kommutative lov. Dette kunne med fordel italesættes i fremlæggelsen ved, at jeg får gruppen til at forklare de andre elever, hvorfor de gør, som de gør. Hermed ville jeg også kunne tjekke, om de har forståelsen bag, eller om det bare er noget, de husker at gøre, fordi sådan gør man. Jeg ville i denne situation, skulle udnytte det tredje samtale-træk og dermed få elevgruppen til at sige mere, ved at stille spørgsmål som: Må man altid starte med det største tal?. Da gruppen fortæller, at de nu skal hoppe syv enere, giver jeg forklaringen for, hvorfor gruppen hopper syv enere videre efter de tre tiere (linje 14). Jeg kunne have udnyttet det første princip, nemlig at sætte farten på samtalen ned. Hvis jeg havde forlænget ventetiden efter elevens svar, ville eleven selv have haft tid til at uddybe med forklaring, og dermed var samtalen blevet mere symmetrisk i forhold til elevtaletid og lærertaletid. Eleverne, der ikke havde valgt den åbne tallinje som hjælpemiddel, var endnu ikke klar til, at bruge denne. Jeg havde lavet tallinjer hvor enerne var synlige og nogle, hvor kun tierne var synlige. Dette gjorde jeg for at tilbyde eleverne det fagsprog, de endnu ikke selv mestrede. Det er altså symboldelen af sproget, jeg forærer eleverne, og herved kan de arbejde videre med verbalsproget og et andet visuelt udtryk, nemlig hoppene på tallinjen. Hermed arbejder eleverne i deres zone for nærmeste udvikling, da de med vejledning, i form af tallene på tallinjen, kan løse opgaven, som de ellers ikke ville kunne have løst på egen hånd. 5.4 Sprog som konstruktionstilnærmelse Eleverne laver definitioner af plus, som jeg har fortalt, at jeg vil vise til min kommende klasse, når jeg bliver lærer, så da kan lære, hvad plus er. De har hver især skrevet og tegnet på et blankt papir, hvor de forklarer, hvad plus er. Jeg går rundt i klassen og filmer eleverne, som forklarer begrebet plus. 1. Elev: Plus det tæller op af 2. Lærer: Ja, ved plus tæller man op af 3. Elev: Man kan man kan lave regnestykker.

27 26 4. Lærer: Mmm 5. Elev: Så 100 plus 300 det giver jo 400. og man bliver også klog. 6. Lærer: Okay, man bliver klog af plus 7. Elev: (Hun nikker) og minus også 8. Lærer: Ja 9. Elev: Og man kan bruge det, når man skal ud at købe eller når man skal med bus og give penge og det 10. Lærer: Ja det er rigtigt. Så man kan regne ud om.. hvad man skal af med. 11. Elev: Mmm 12. Lærer: Mmm 13. Elev: Og så kan man bruge 1 ere og 10 ere til at regne med, ligesom 31 det er tre 10 ere og en 1 er Sprogbrugssituationen I dette tilfælde bliver eleven sat i en sprogbrugssituation, hvor sproget skal bruges som en konstruktionstilnærmelse. Sproget skal derfor bruges så præcist som muligt, altså skriftsprogsnært. Eleven bruger også nutidsverber som tæller, bliver og giver, hvilket er kendetegnende for netop sproget som konstruktion. Derudover bruger hun nominaliseringen plus, som hun siger noget generelt omkring, fx plus det tæller op af (linje 1). Registerkonteksten for denne situation kan illustreres således: Figur 8: Registerkontekst for sprog som konstruktionstilnærmelse -situationen. Kommunikationsfeltet er placeret langt til højre på kontinuet, da den aktivitet, der finder sted, udelukkende er faglig. Der er tale om en definition af begrebet plus, og ikke en aktivitet, eleverne kender til udenfor skolen. Kommunikationsrelationen er ligeledes placeret til højre på kontinuet, dog ikke lige så meget som kommunikationsfeltet. Kommunikationsrelationen er formel, da eleverne skal formidle deres viden af addition til en fremmed modtager. Eleverne sidder dog ikke overfor modtageren, og de har ikke set personerne, som de laver videoen til. Eleverne kan derfor opfatte mig som modtager, da det er mig, der responderer på deres udtalelser, og dermed bliver kommunikationsrelationen mere uformel, da eleverne er vant til at omgås og kommunikere med mig. 6 Dette er et uddrag af en samtale. Se hele samtalen i bilag 1

28 27 Kommunikationsmåden er både skriftlig (jf. bilag 2)og mundtlig, og sproget bruges som en refleksion over begrebet plus. Kommunikationsmåden bliver derfor formel og placeret til højre på kontinuet. For at gøre kravene til kommunikationsmåden endnu mere formel, kunne jeg have valgt at lade videooptagelsen være en monolog fra eleverne, som de skulle have øvet sig på. Dette havde lagt op til et mere præcist og formelt sprogbrug, end i dette tilfælde, hvor kommunikationen er en dialog mellem eleven og mig. Ud fra registeranalysen af sprogbrugssituationen ses det, at der stilles krav om et forholdsvist formelt sprogbrug. Eleven bruger ikke sproget så skriftsprognært, som situationen kræver. Hun siger fx: Og man kan bruge det, når man skal ud at købe eller når man skal med bus og give penge og det (Linje 9). Her er hun ikke præcis i sit sprogbrug, da hendes sprog bærer præg af talesprog i den upræcise henvisning og det. Her er det ikke klart for en udeforstående modtager, hvad hun henviser til. Desuden kunne formuleringen plus det tæller op af (linje 1) også være mere skriftsprogsnær. Som sagt bruger hun en nominalisering, plus, som hun siger noget generelt omkring, men hun er ikke helt tydelig i, hvad hun mener. Hun kunne have startet med at fortælle, at plus indeholder forskellige metoder, fx tællemetoden. Denne eller en anden forholdsvis præcis formulering er eleven ikke i stand til at udarbejde. Dette kan skyldes, at jeg som lærer, ikke har været opmærksom nok på at stilladsere eleven i sprogbruget og tilbyde fagsproget i de forskellige sprogbrugssituationer, som skulle danne bro til denne sprogbrugssituation. I sprogbrugssituationen med sprog som ledsagelse til handling, tilbød jeg fx ikke eleverne fagsproget under aktiviteten butik (jf. afsnit 5.1) Elevens forståelse for addition I elevens mundtlige definition refererer hun til tællemetoden (linje 1) og opdelingsmetoden (linje 13). Hun viser altså forståelse for, at man kan addere på forskellige måder, og hun kender selv til to metoder. Hun kunne have brugt fagsprogets anden dimension, nemlig symboler eller ikoner til at vise metoderne, hvilket havde gjort hendes sprogbrug mere formelt. Eleven viser dog et eksempel på et plustykke (jf. bilag 2), nemlig., og hun gør altså brug af symboler til at vise det på et formelt niveau. Eleven forklarer, hvad man kan bruge addition til i sin dagligdag. Hun nævner, at plus kan bruges, når man skal handle ind, eller hvis man skal tage bussen. Denne forståelse for addition, vil jeg mene, bygger på den første sprogbrugssituation, hvor sproget blev brugt i ledsagelse til handling, hvor eleverne legede butik. Eleven kan altså føre det matematiske begreb direkte til en konkret handling, da undervisningen netop blev startet ud med, at eleverne skulle bruge sproget i ledsagelse til handling. Eleven nævner ikke på noget tidspunkt i samtalen, at ved plus lægger man to tal sammen. Dette kan skyldes, at jeg overvejende har sat eleverne i additive situationer af typen del-del-helhed, hvor der ikke er inkluderet handling i regneoperationen. Eleven mangler altså forståelse for den del af additionsbegrebet, hvor handling er inkluderet. For at udvide elevens additionsforståelse skal hun sættes i flere foreningssituationer. Hermed kan hun udbygge sin forståelse for addition, så den ikke kun inkluderer priser men også mængder.

29 28 6. Konklusion I en sprogbaseret undervisning er sprog og kommunikation udgangspunktet for læring og forståelse, og i faget matematik er det altså det matematiske fagsprog, der er relevant. Måden hvorpå en sprogbaseret undervisning kan styrke elevernes forståelse for addition, er altså ved at sætte eleverne i forskellige sprogbrugssituationer, der inkluderer additive situationer og metoder til addition. Progressionen i disse sprogbrugssituationer, skal gå fra det uformelle til det mere formelle, og på denne måde stilladsere eleven i sit sprogbrug. Den enkelte situations krav til sprogbruget kan bestemmes ved en registeranalyse, hvor kommunikationsfeltet, kommunikationsrelationen og kommunikationsmåden vurderes. Det er altså vigtigt, at man som lærer er bevidst om en situations register, da dette er afgørende for, hvilket sprogbrug eleven vil føre, og dermed hvilken forståelse eleven vil kunne tale sig til. Ligeledes er det også vigtigt, at læreren deltager i den kommunikation, der finder sted, så læreren bl.a. kan sørge for at eleverne ekspliciterer deres tankegang gennem fagsproget, og det netop bliver brugen af sproget omkring det matematiske problem, der er dominerende. Ligeledes må læreren lytte til elevernes svar og tage udgangspunkt i lige netop det, eleven udtrykker, da man kun på denne måde kan sikre, at man arbejder med og styrker elevens forståelse. Udover at sætte eleven i forskellige sprogbrugssituationer må læreren også tilbyde eleverne fagsproget. Jeg har med udgangspunkt i arbejdet med denne opgave fundet ud af, at eleverne først skal præsenteres for det aktuelle begreb definitorisk, hvorefter de senere hen kan forstå begrebet ved at gøre sig erfaringer i forhold til egne dagligdagsbegreber. Dette har været afgørende for, at elevernes egne definitioner af begrebet plus, ikke var præget af et helt så formelt og skriftsprogsnært sprog, som situationen lagde op til, og dermed har eleverne ikke opnået en lige så fyldestgørende forståelse for addition, som ønsket. Med udgangspunkt i elevernes definitioner kan jeg endvidere konkludere, at de forskellige sprogbrugssituationer spiller en vigtig rolle i forhold til elevernes forståelse af addition. Det er fx vigtigt, at eleverne gør sig erfaringer med addition i konkrete sammenhænge, hvor sproget bruges som ledsagelse til handling, for at de kan relatere regneoperationen til dagligdagssituationer. Det er netop også denne situation, som de andre sprogbrugssituationer tager sit udgangspunkt i, og dermed lægges der op til et mere og mere formelt sprogbrug og ligeledes opbygges forståelsen hos eleverne kontinuerligt. 7. Perspektivering I dette afsnit vil jeg perspektivere til andre emner, jeg også kunne have set på. Jeg vil bl.a. med udgangspunkt i min empiri lægge mærke til, hvilke andre interessante områder, der kommer frem i videoklippene, når jeg ikke kigger på empirien i forhold til teorien om sprogbrugssituationer.

30 The Teaching Learning Cycle Ved at se min empiri igennem har jeg opdaget, at jeg ved inddragelsen af regnehistorier faktisk underviser eleverne i 2. klasse ud fra principper, der kommer fra den genrepædagogiske undervisningsmodel The Teaching Learning Cycle (TLC). Modellen består af fire faser: vidensopbygning, model-analyse, fælles tekstkonstruktion og selvstændig tekstkonstruktion. Jeg kunne altså have undersøgt, om man kunne have overført denne kendte genreteori i danskfaget til matematikundervisningen og dermed give eleverne mulighed for at forstå regnehistorien som en genre, der er struktureret efter bestemte mønstre. 7.2 Matematikklasserummets normer For at kunne føre en undervisning baseret på sprogbrug, må man som lærer tage højde for de normer, der eksisterer i klassen. Hvis de sociale normer og de socio-matematiske normer i klassen ikke stemmer overens med, hvad der forventes i en sprogbaseret undervisning må disse genforhandles. I min undersøgelse tog jeg ikke hensyn til, hvilke sociale og socio-matematiske normer, der på forhånd var dannet i klassen. Jeg kunne have undersøgt vigtigheden af disse, og måske fundet forklaringen på, hvorfor eleverne i butik-aktiviteten kun er interesserede i facit og ikke måden hvorpå, man er kommet frem til resultatet. 7.3 Relationer I en sprogbaseret undervisning, hvor kommunikationen eleverne imellem og kommunikationen mellem lærer og elev tillægges den vigtigste rolle, kunne det være interessant at undersøge relationernes betydning. Når læringen finder sted i sociale sammenhænge, vil de sociale omgivelser naturligt præge denne. Jeg mener derfor, det kunne være spændende at undersøge elevernes indbyrdes relation og relationen mellem lærer og elev for at se, hvilken påvirkning relationen har for den kommunikation, der kan finde sted, og dermed hvilken betydning relationen har for elevernes læring. 8. Litteratur Bøger Bjørndal, C. R. P. (2003). Det vurderende øje observation, vurdering og udvikling i undervisning og vejledning. Århus. Forlaget Klim. Brinkkjær, U.; Høyen M. (2011). Videnskabsteori for de pædagogiske professionsuddannelser. København. Hans Reitzels Forlag. Brinkmann, S.; Tanggaard, L. (2010). Kvalitative metoder en grundbog. København. Hans Reitzels forlag. Jess, K.; Skott, J.; Hansen H. C.; Schou, J. (2009). Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin. Frederiksberg. Forlaget Samfundslitteratur.

31 30 Jess, K; Hansen, H. C.; Schou, J. K.; Skott, J. (2013). Matematik for lærerstuderende tal, algebra og funktioner - bind klassetrin. Frederiksberg. Forlaget Samfundslitteratur. Lindqvist, G. (red.) (2004). Vygotskij om læring som udviklingsvilkår. Århus. Forlaget Klim. Madsbjerg, S.; Friis, K. (2013). Skrivelyst i fagene. Dansk Psykologisk Forlag. Mulvad, R. (2009). Sprog i skole læseudviklende undervisning i alle fag funktionel lingvistik. København. Alinea. Polias, J.; Hedeboe, B. (2008). Genrebyrån en språkpedagogisk funktionell grammatik i kontext. Stockholm. Hallgren & Fallgren. Skott, J.; Jess, K.; Hansen, H. C. (2008). Matematik for lærerstuderende delta fagdidaktik. Frederiksberg. Forlaget Samfundslitteratur. Solem, I. H.; Alseth, B.; Nordberg, G. (2011). Tal och tanke matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3. Lund. Studenterlitteratur. Strandberg, L. (2009). Vygotskij i praksis. København. Akademisk forlag. Undervisningsministeriet (2009). Fælles Mål Matematik. Faghæfte 12. København. Undervisningsministeriets forlag. Tidsskrifter Polias, J. (2011): Samarbejde mellem engelsklærere og faglærere i Viden om læsning nr. 10, september. ( Gibbons, P. (2009). Læring gennem samtale lærer/elev- interaktioner med andetsprogselever i Unge Pædagoger 2009, nr. 5.

32 31 Bilag Bilag 1: Sprog som konstruktionstilnærmelse - samtale Eleverne laver definitioner af plus, som jeg har fortalt, at jeg vil vise til min kommende klasse, når jeg bliver lærer, så da kan lære, hvad plus er. De har hver især skrevet og tegnet på et blankt papir, hvor de forklarer, hvad plus er. Jeg går rundt i klassen og filmer eleverne, som forklarer begrebet plus. 1. Elev: Plus det tæller op af 2. Lærer: Ja, ved plus tæller man op af 3. Elev: Man kan man kan lave regnestykker. 4. Lærer: Mmm 5. Elev: Så 100 plus 300 det giver jo 400. og man bliver også klog. 6. Lærer: Okay, man bliver klog af plus 7. Elev: (Hun nikker) og minus også 8. Lærer: Ja 9. Elev: Og man kan bruge det, når man skal ud at købe eller når man skal med bus og give penge og det 10. Lærer: Ja det er rigtigt. Så man kan regne ud om.. hvad man skal af med. 11. Elev: Mmm 12. Lærer: Mmm 13. Elev: Og så kan man bruge 1 ere og 10 ere til at regne med, ligesom 31 det er tre 10 ere og en 1 er 14. Lærer: Ja, det er rigtigt. Hvad kan man mere gøre med de der 10 ere og 1 ere? 15. Elev: Man kan også plusse dem sammen 16. Lærer: Ja. Og hvad så hvis vi nu har elleve 1 ere, hvad er det så det samme som? 17. Elev: Så er det bare det samme som ganske almindelige 1 ere 18. Lærer: Ja 19. Elev: Så er der bare ti, øhm, en 10 er og så en en 1 er 20. Lærer: Okay. Så dem kan man lige veksle? 21. Elev: (Nikker) 22. Lærer: Det er rigtigt 23. Elev: Og man kan bruge en taltavle 24. Lærer: Ja 25. Elev: Og en tallinje. Hvis man nu ikke kan. Hvis man nu ikke sådan helt kan finde ud af det 26. Lærer: Ja. Så tallinjen den kan være en hjælp til at regne plus. 27. Elev: Mmm 28. Lærer: Ja. Det er rigtigt

33 32 Bilag 2: Sprog som konstruktionstilnærmelse elevens skriftlige udtryk

34 33 Bilag 3: Undervisningsforløb addition Uge 46 Aktivitet Sprogbrugssituation Materialer Trinmål Mandag Butik Sprog som ledsagelse 3. og 4. lektion til handling Butiksejere gør butikken klar Indkøbere laver pung og får penge Eleverne handler med hinanden Varer 10ere 1ere Papir Farver Bonner Bruge matematik i relevante hverdagssituationer Tirsdag 3. lektion (bon med ikoner indføres) Hvad lavede vi i går? Regnehistorier (referer til butikaktiviteten) Sprog som kommentar Sprog som rekonstruktion Regnehistorier 10ere 1ere Deltage i udvikling af metoder til addition og subtraktion på baggrund af egen forståelse Onsdag 3. og 4. lektion Eleverne viser metoder til sidst Hvad lavede vi i går? Eleverne løser regnehistorier med bon: tal i stedet for ikoner (nærmer os additionsalgoritmen) (eleven som ekspert, lærervejledt fremlæggelse) Sprog som kommentar Sprog som rekonstruktion Regnehistorier Bonner Deltage i udvikling af metoder til addition og subtraktion på baggrund af egen forståelse Uge 47 Aktivitet Sprogbrugssituation Materialer Trinmål Mandag 3. og 4. lektion Tirsdag 3. lektion Løser regnestykker med standardiseret algoritme Fælles udarbejdelse af regnehistorie Hvad lavede vi sidst? Butik: Eleverne bytter roller Eleverne handler med hinanden (bon med tal) Sprog som rekonstruktion Sprog som rekonstruktion Sprog som kommentar Sprog som ledsagelse til handling Sprog som rekonstruktion Ark med regnestykker Varer 10ere 1ere Papir Farver løse konkrete problemer ved hjælp af hovedregning, lommeregner, it og enkle skriftlige beregninger Deltage i udvikling af metoder til addition og subtraktion på baggrund af egen forståelse

35 34 Onsdag 3. og 4. lektion Hvordan er det man laver en regnehistorie? Eleverne laver selv regnehistorier Sprog som rekonstruktion papir Modtage, arbejde med og videregive enkle skriftlige og mundtlige informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk Løser hinandens Hvad har vi lært om plus indtil videre? Begyndende konstruktionstilnærmelse Uge 48 Aktivitet Sprogbrugssituation Materialer Trinmål Mandag Sprog som Centicubes 3. og 4. lektion kommentar kridt Tirsdag 3. lektion Indledende arbejde med den åbne tallinje (centicubes på gulvet) Tallinjen forklares på tavlen Eleverne løser i grupper regnehistorier vha. tallinjen Sprog som rekonstruktion Sprog som kommentar/ rekonstruktion Ark med regnehistorier Tallinjer (den åbne, med tiere, med alle tal) Deltage i udvikling af metoder med støtte i bl.a. konkrete materialer og illustrationer Løse konkrete problemer ved hjælp af hovedregning, lommeregner, it og enkle skriftlige beregninger Onsdag 3. og 4. lektion Lærervejledte fremlæggelser Eleverne viser deres metode på tallinjen Sprog som rekonstruktion Pc Smartboard Indgå i dialog om matematik, hvor elevernes forskellige ideer inddrages. Uge 49 Aktivitet Sprogbrugssituation Materialer Trinmål Mandag Fælles definition af Papir (evaluering) 3. og 4. lektion plus farver Eleverne laver selv definitioner af plus Sprog som konstruktionstilnærmelse