Regnemetoder til store tal

Transkript

1 Regnemetoder til store tal Navn: Studienr.: Fag: Faglig vejleder: Pædagogisk vejleder: Tea Therkelsen Christensen A Matematik Lars Reidar Salomonson Pia Susanne Frederiksen Antal sider i alt, inkl. forsiden 36 Titel på bacheloropgaven Regnemetoder til store tal (kommer til at stå på eksamensbevis) Min opgave må senere benyttes til undervisningsog/eller udviklingsformål Accept ved min underskrift Side 1 af 36

2 Regnemetoder til store tal Indholdsfortegnelse 1. Indledning Problemstilling Undervisningsforløb og praktikklasse Valg af empiriske metoder Opgavens opbygning Matematikfaglige teorier Additive situationer Regnestrategier indenfor addition Kardinalitet og ordinalitet Den lineære model - ordinalitet Grupperingsmodellen kardinalitet Analyse i forhold til det matematikfaglige Elevernes forståelse for additive situationer regnehistorier Elevernes forståelse for ordinalitet og kardinalitet Delkonklusion Læring Vygotsky Zonen for nærmeste udvikling Paul Cobb Niveau 2 (3-4) Niveau 3 (5-6) Analyse i forhold til læring Situation med centicubes Situation med addition på perlesnor, Delkonklusion Lærerrollen Kommunikation Analyse i forhold til lærerrollen og kommunikation Side 2 af 36

3 5.2.1 Situation med additionsstykket på tavlen Delkonklusion Konklusion Perspektivering Litteraturliste Artikler Bilag Bilag Side 3 af 36

4 1. Indledning Addition og subtraktion er nogle af de mest grundlæggende værktøjer til at kunne forstå og anvende matematik. Derfor er det vigtigt at eleverne finder en metode til at kunne addere på en måde der er effektiv, og som samtidig giver mening for den enkelte. I Fælles Mål (Undervisningsministeriet, 2009) vægtes det, at eleverne i de første år i skolen introduceres til at addere og subtrahere. På den måde indikerer Fælles Mål at det, at kunne addere og subtrahere er en væsentlig og vigtig del af matematik. Læreren skal udfordre den enkelte elevs nuværende forståelser, og skal dermed være en aktiv del af elevens udvikling. Dette kan gøres ved at lade elevernes foreløbige og intuitive forståelse af tallene og regnearterne være udgangspunkt for en videreudvikling af deres metoder og af deres forståelser af titalssystemet (Undervisningsministeriet, 2009, s. 20). Desuden kan der anvendes hjælp i form af konkrete tællematerialer, illustrationer og et mere formelt symbolsprog i et samspil (Fælles Mål, 2009, s. 52). Igennem kommunikation med eleverne kan læreren finde ud af, hvor eleverne befinder sig fagligt, samt kan eleverne få et indblik i, hvordan de andre elever regner og derved få sat deres egen metode i perspektiv. Både den russiske psykolog Lev Semjonovitj Vygotsky og professor i matematik Paul Cobb siger at læring og udvikling sker i samspil med andre, hvorfor kommunikation mellem lærer og elever og eleverne imellem får betydning for den enkeltes læring. Paul Cobb arbejder med forskellige begreber indenfor den kommunikation der kan forekomme i undervisningen refleksiv diskurs, metakognitive skift og antaget fælles forståelser. Disse begreber belyser, på hvilken måde læreren kan støtte eleverne i at udvikle deres matematiske tænkning (Skott, 2009). Af denne grund vil der i denne opgave blive arbejdet med, hvordan elevernes individuelle regnemetoder, indenfor additive situationer, kan udvikles, samt hvilken rolle kommunikationen har for denne udvikling. Dette gøres med udgangspunkt i Vygotskys og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske tilgang til læring. Side 4 af 36

5 2. Problemstilling Hvordan kan jeg, som lærer, bruge Paul Cobbs teori om refleksiv diskurs, metakognitive skift og antaget fælles forståelse til at fremme den enkelte elevs egen forståelse for og valg af individuelle regnemetoder indenfor additive situationer? 2.1 Undervisningsforløb og praktikklasse Denne opgave tager udgangspunkt i den 2. klasse, jeg underviste i, i min 4. års praktik. Ugentligt havde jeg fem matematiklektioner i de syv uger praktikken strakte sig over, hvor de fem første uger gik med emnet Store tal. Klassen bestod i alt af 20 elever, hvoraf 12 var drenge og 8 var piger. Inden praktikkens start var jeg ude at observere klassen. Her bemærkede jeg at klassen havde det godt socialt, de fungerede godt sammen og det virkede til at konflikter mellem eleverne var sjældne. Fagligt var eleverne, ifølge deres daglige lærer, på middel eller derover. Dog synes jeg at kunne fornemme, at meget af deres viden var udenadslære, hvilket skulle vise sig at være korrekt, da vi kom i gang med forløbet om Store tal. Til dagligt arbejdede eleverne udelukkende i deres matematikbog, og kulturen i klassen blev derfor præget af at det gjaldt om at blive hurtigst færdig med opgaverne, og der var ikke et behov for at skulle forklare sig for hverken læreren eller andre elever. Dette førte generelt til sjusk fra mange af eleverne. Min mission med undervisningen blev derfor at se, hvordan jeg kunne fremme den enkelte elevs forståelse for og valg af individuelle regnemetoder, samt hvordan faglige samtaler på klassen kunne bidrage til denne forståelse. For at dette skulle lykkes måtte eleverne nu til at samarbejde, sætte ord på egene og andres måder at løse opgaver på og begynde at bruge konkrete materialer til at underbygge deres argumentation, fremfor blot at skrive deres endelige resultat ned i en bog. Ud fra Vygotsky og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske syn på læring, kan netop disse undervisningstiltag væsentliggøres, idet de lægger op til at læring er en social og praktisk proces. Dette vil sige at individets psykologiske processer påvirker og påvirkes af de sociale processer individet indgår i. Det socialkonstruktivistiske læringssyn vil derfor være gennemgående i denne opgave, og danner dermed grundlag for de løbende empiriske analyser og delkonklusioner, samt den afsluttende konklusion mere herom under afsnittet om opgavens opbygning. Side 5 af 36

6 2.2 Valg af empiriske metoder Inden praktikstart vidste jeg hvilket matematisk emne jeg skulle undervise eleverne i. Desuden havde jeg en ide om hvilken problemstilling jeg ville undersøge Hvordan kan min undervisning og jeg, som lærer, fremme elevernes forståelse for individuelle regnemetoder indenfor additive situationer? Hvordan kan kommunikation eleverne imellem og mellem eleverne og mig medvirke hertil? Dette med udgangspunkt i en socialkonstruktivistisk tilgang. Min metodiske tilgang til denne opgave bliver dermed induktiv, idet jeg undersøger tilfældet i én klasse og slutteligt forsøger at komme med en generel besvarelse. Den socialkonstruktivistiske tilgang til læring bliver på denne måde en empirisk påstand om, at eleverne kan udvikle forståelse for additive situationer, som jeg her i opgaven foretager en generalisation af, til en almen hypotese. Idet jeg kun undersøger én klasse, bliver min empiriske indsamling kvalitativ. Det er derfor et forholdsvis lille grundlag min empiri har og der kan derfor være en modsætning i at jeg forsøger at sige noget generelt ud fra min problemstilling. Dog mener jeg, at mit empiri kan vise en helhedsforståelse for de sociale processer og sammenhænge der kom til udtryk i min undervisning, og dermed kunne sige noget generelt om dette i denne henseende. For at kunne se de sociale processer og sammenhænge valgte jeg at bruge videooptagelser som min primære empiriindsamlingsmetode. Min overbevisning var, at denne form for empiriindsamling, tydeligt ville kunne vise den kommunikation der forekom i klassen, især den kommunikation jeg enten ikke ville være til stede ved eller som jeg ville glemme efter kort tid. Dette bekræfter Cato R. P. Bjørndal ved at skrive..optagelsen formår at fastholde observationer fra et pædagogisk øjeblik... (Bjørndal, 2013, s. 82). Denne form for indsamling, kommer på den måde til at virke som et godt supplement til mine andenordens observationer 1, der i mange tilfælde vil være ufuldstændige, idet jeg ikke kan nå at se og høre alt, hvad der sker i undervisningen. Derudover kommer videooptagelserne til at danne et godt grundlag for selvrefleksion. Der er i flere optagelser, hændelser hvor jeg nu tænker, at jeg kunne have grebet situationen an på en anden og bedre måde, eller udnyttet nogle situationer anderledes, som eleverne måske kunne have fået mere ud af. Optagelserne af klassen er sorteret ud fra følgende kriterier: 1 Anden ordens observationer, er observationer der er foretaget samtidigt med den pædagogiske aktivitet. Første ordens observationer, er observationer der er foretaget af en person der har dette som sin primære opgave. (Bjørndal, 2013) Side 6 af 36

7 1. Hvordan får jeg eleverne til at reflektere over, hvordan de kommer frem til opgavens resultat? 2. I hvor høj grad lykkes det at få eleverne til at udfordre hinanden til at reflektere? 3. I hvilket omfang kan eleverne redegøre for deres måde at tænke og løse en opgave på? 4. Kan eleverne reflektere over forskellen mellem det de har gjort og det de andre har gjort? 5. På hvilken måde formår jeg at få eleverne til at reflektere videre? Kriterierne skal danne udgangspunkt for, hvilke sekvenser der giver særlig mening at se på i analytisk øjemed, i forhold til problemstillingen. Udover videooptagelser har jeg observationer, billeder af elevarbejde, samt indsamlede eksempler på elevernes skriftlige besvarelser. Især elevernes skriftlige besvarelser kommer til at have en betydning for analysen af elevernes matematisk faglige niveau. Observationerne og billeder af elevarbejde kommer derimod til at virke som et supplement til mine argumentationer for elevernes udvikling gennem forløbet, samt besvarelse af min problemformulering. På denne måde kommer dette til at virke som yderligere argumentation, hvor der i videomaterialet kan stilles spørgsmålstegn ved dets tydelighed. 2.3 Opgavens opbygning Opgaven består af skiftevis teori- og analyseafsnit. Analyseafsnittene kommer her til at bestå af en eller to situationer. Dette er for at tydeliggøre, hvordan teorierne enkeltvist kan anvendes i forskellige situationer. Efter hver afsluttet analysedel, vil jeg lave en delkonklusion, for på den måde at fastholde den røde tråd i forhold til min problemstilling. Den teori der er beskrevet, går igen i alle de efterfølgende analyseafsnit. Dette betyder at den matematik faglige teori om additive situationer, kardinalitet og ordinalitet, anvendes i alle opgavens analyser. Det første analyseafsnit indeholder, af denne grund, kun matematikfaglige overvejelser om elevernes forståelse for additive situationer og regnemetoder. Dette ud fra elevernes skriftlige besvarelser, hvor de skulle lave deres egne regnehistorier, samt en situation fra videooptagelserne, hvor eleverne skulle forklare et regnestykke ud fra en tallinje. Den viden jeg har fået gennem den teoretiske og analytiske gennemgang af det matematikfaglige kommer til at danne grundlag for at se på, hvordan læring finder sted, samt under hvilke betingelser dette sker. Læring bliver i denne opgave belyst ud fra Vygotskys og Paul Cobbs Side 7 af 36

8 socialkonstruktivistiske læringssyn. De efterfølgende analyser heraf indeholder dermed matematikfaglige overvejelser om elevernes matematiske forståelse og læring. Analysedelene består her af situationer fra videooptagelserne, hvor eleverne i den første del bruger centicubes til at finde ud af om de tæller op eller ned i forskellige situationer og i den anden del regner på en perlesnor. Situationerne fra denne analysedel danner videre grundlag for at se på hvilken rolle jeg har som lærer for at fremme elevernes læring mest muligt, samt hvordan jeg skal kommunikere med eleverne for at opnå dette. Lærerens rolle og kommunikation bliver derfor det sidste teoretiske afsnit, som igen efterfølges af et analytisk afsnit, hvori jeg tager udgangspunkt i alle de gennemgåede teoretiske afsnit. Den sidste analysedel er den samme situation, fra videooptagelserne, som bearbejdes i den anden del af første analyseafsnit eleverne forklarer et regnestykke ud fra en tallinje. Jeg vælger at dele opgaven op på denne måde for at fremhæve, hvordan de enkelte teorier analytisk kan bruges i forhold til problemstillingen. Afslutningsvis vil jeg på baggrund af mine delkonklusioner komme med en endelig konklusion, der besvarer min problemstilling. 3. Matematikfaglige teorier For at undgå misforståelser, skelner jeg i denne opgave mellem begreberne regnemetode og regnealgoritme. Begrebet regnemetoder dækker her over en række førformelle tilgangsmåder til forskellige regnesituationer, hvorimod en regnealgoritme er en generel måde at regne på. Heri indgår alle regnemetoder og passer derfor til alle situationer. Med andre ord er en regnealgoritme et formelt udtryk der kan tilpasses de forskellige situationer. Følgende afsnit, additive situationer, kardinalitet og ordinalitet, er udarbejdet på baggrund af Kristine Jess m.fl. fra bogen Epsilon, samt Ida Heiberg Solem m.fl. fra bogen Tal Och Tanke. 3.1 Additive situationer Dette afsnit belyser hvad additive situationer er, samt hvordan jeg bør forholde mig til disse i forhold til undervisningen. De additive situationer er vidt forskellige og kræver en udviklet talforståelse, herunder også en forståelse af additon og subtraktion som metode, for at kunne løse dem. På denne måde kan situationerne give et billede af elevernes matematiske udvikling af regnemetoder. Side 8 af 36

9 Situationerne lægger op til at blive løst med enten addition eller subtraktion. Situationer der lægger op til at blive løst med addition, kan ikke laves om til en subtraktionssituation og subtraktionsmetoden kan derfor ikke bruges i disse sammenhænge. Derimod kan subtraktionssituationer skrives additivt, hvilket gør at begge regnearter kan bruges i sådanne sammenhænge. Når der i de forskellige situationer kan bruges addition og/eller subtraktion, samt repræsenterer forskellige grader af abstraktionsniveau, er det nødvendigt at de kategoriseres. På den måde kan læreren få et indblik i, hvordan den enkelte elev griber forskellige opgavetyper an. Med denne kategorisering kan læreren hjælpe eleverne videre til forståelse af regnemetoderne, idet der kan arbejdes mere målrettet med deres måde at tænke matematik på. Særligt kan læren støtte elever der finder bestemte situationer sværere end andre. For eksempel kan læreren hjælpe en elev, der finder adskillelsessituationer, hvor der sker en ændring (jf. nedenstående tabel) svær fordi han har svært ved at gennemskue hvilken regnemetode han skal anvende, ved at tage udgangspunkt i den regnemetode eleven hidtidigt har haft lettest ved (addition eller subtraktion), da denne situation både kan løses additivt og subtraktivt. Her vil det kunne være væsentligt at inddrage konkrete materialer, for at tydeliggøre situationens handling for eleven. Når eleven har løst situationen ud fra enten additions- eller subtraktionsmetoden, kan eleven prøve den anden metode, for derved at kunne se sammenhængen mellem de to metoder. Dette vil hjælpe eleven i andre situationer hvor der både kan bruges addition og subtraktion. Læreren kan også hjælpe eleven ved at omformulere situationen, så den bliver mere håndgribelig. Carpenter og Franke (Jess, 2009, s ) har forsøgt at kategorisere de additive situationer. Til forskel fra den kategorisering af situationerne der findes i Tal och Tanke, deler Carpenter og Franke situationer mere op, idet de adskiller forenings- og adskillelsessituationer fra hinanden. Disse to situationer vælger Tal och Tanke at sammenlægge, idet abstraktionsniveauet og graden af handling tilsyneladende har haft betydning for deres måde at kategorisere på. I Carpenter og Franke s kategorisering har de to første situationer det tilfælles, at der er en handling, hvorimod der i de sidste to ikke er nogen handling. Situationerne har derfor noget tilfælles, men der er omvendt faktorer der adskiller dem. Situationerne ser ud som følger: Side 9 af 36

10 Problemtype Situation 1 Situation 2 Situation 3 Join/forenings situation (Handling) Seperate/adskillelses situation (Handling) Part-Part-Hole/deldel-helhed ( handling) Compare/sammenlig ningssituation ( handling) Ukendt slutning: Connie havde 5 glaskugler, Juan gav hende 8 mere. Hvor mange har Connie nu? Ukendt slutning: Connie har 13 glaskugler, men giver 5 til Juan. Hvor mange glaskugler har Connie tilbage? Ukendt helhed: Connie har 5 røde glaskugler og 8 blå. Hvor mange glaskugler har hun i alt? Ukendt difference: Connie har 13 glaskugler, Juan 5. Hvor mange flere glaskugler har Connie end Juan? Ændring: Connie har 5 glaskugler. Hvor mange flere skal hun have for at have 13? Ændring: Connie havde 13 glaskugler. Hun gav nogle til Juan. Nu har Connie 5 glaskugler tilbage. Hvor mange glaskugler fik Juan? Ukendt del: Connie har 13 glaskugler. 5 er røde og resten er blå. Hvor mange blå glaskugler har hun? Mængde sammenligning: Juan har 5 glaskugler, Connie har 8 mere end Juan. Hvor mange glaskugler har Connie? Egen oversættelse af skema i Epsilon, s.40 Ukendt start: Connie havde nogle glaskugler, Juan gav hende 5 mere. Nu har Connie 13 glaskugler. Men hvor mange havde hun til at starte med? Ukendt start: Connie havde nogle glaskugler. Hun gav 5 til Juan. Nu har Connie 8 glaskugler. Hvor mange glaskugler havde Connie i starten? Ukendt referent: Connie har 13 glaskugler. Det er 5 mere end Juan. Hvor mange glaskugler har Det kan være en udfordring at skelne mellem de forskellige situationer, og de skal derfor ses som værende guidende. Del-del-helheds situationer kan minde om foreningssituationen, idet de begge har to forskellige mængder, der har noget tilfælles og derfor skal ses som én mængde. Dog er det vigtigt at holde for øje, at forskellen for eleverne ofte ligger i om der er en handling eller en ikkehandling, i situationen. Forenings- og adskillelsessituationen er, ifølge Ida Heiberg Solem m.fl., de situationer eleverne har størst forståelse ved. Dette skyldes, at disse situationer har det mindste abstraktionsniveau og er derfor lettere at gå til for eleverne. De forskellige situationer skal tænkes ind i undervisningen, så eleverne vænnes til at sætte ord på deres forståelse af de forskellige situationer der kan kræve forskellige metoder, men i sidste ende er det samme regnestykke. Når eleverne arbejder med tekstopgaver der repræsenterer de forskellige situationer, er det vigtigt, at læreren så vidt muligt undgår, at eleverne associerer forskellige ord som signalord, så denne ved enkelte ord antager at der skal adderes eller subtraheres. Sådanne Juan? Side 10 af 36

11 signalord kunne være flere, færre. Derfor er det i denne sammenhæng vigtigt, at læreren bruger sit eget sprog til at udfordre elevernes brug af sprog, herunder begrundelser for valg af løsningsmetode Regnestrategier indenfor addition Nedenstående strategier kan komme i spil i de fire hovedgrupper af additive situationer, som er beskrevet ovenfor. Følgende opdeling skal ses som en niveaumæssig udvikling, hvor nederste punkt niveaumæssigt er det højeste. - Direkte modellering: Eleven bruger konkrete tællematerialer, til at finde frem til et resultat. - Tæl-alle-strategi: Eleven tæller først den ene mængde, så den anden og til sidst begge mængder for at finde frem til resultatet. - Tæl-videre-strategi: Eleven tæller videre fra den ene mængde, indtil han når antallet af den sidste mængde. - Derived number facts: Udledte talfacts som eleven selv og ofte enkelt kan komme frem til med udgangspunkt i resultater de i forvejen kender. Herunder optræder fordoblinger eller byg-10 ofte. (Jess, 2009, s ) I forhold til denne opgave, vil de to midterste punkter kunne blive relevante i forhold til at kunne få en fornemmelse af på hvilket niveau eleverne er på. 3.2 Kardinalitet og ordinalitet Ordinalitet og kardinalitet er en del af at kunne manøvre sig rundt i og forstå de additive situationer. Derfor vil der i det følgende blive belyst hvad kardinalitet og ordinalitet er, samt hvordan progressionen i undervisningen kan varetages i forhold hertil. Det er en forudsætning at eleverne har en god talforståelse for at kunne arbejde med additive situationer. Det er derfor nødvendigt at eleverne har nogle redskaber, der kan hjælpe dem til at sætte sig ind i, forstå og anvende metoder til at kunne regne situationerne ud. Sådanne redskaber, kan have en ordinal eller kardinal karakter. Den ordinale del kan repræsenteres ved perlesnoren og tallinjen, hvor den kardiale del referere til grupperinger af materialer eller tal. Med disse redskaber hjælpes eleverne til at forstå, hvordan tallene kan manipuleres, så det ønskede resultat fremkommer. Den ordinale tilgang bliver i det følgende karakteriseret som den lineære model, mens den kardinale Side 11 af 36

12 tilgang karakteriseres som grupperingsmodellen. (Solem, 2010, s. 43) De to tilgange skal ikke ses som enten eller, men som to komplementære elementer i undervisningen. Det den ene model ikke får med, får den anden. Den ordinale tilgang vægter især tallenes placering, i forhold til hinanden, men ikke hvordan tierovergangene fungerer. Dette har den kardinale tilgang til gengæld særligt fokus på Den lineære model - ordinalitet Ved den ordinale tilgang hjælpes elevernes forståelse for tallenes placering i forhold til hinanden, samt hovedregning på vej (Solem, 2010,s. 68). Perlesnoren er en mindre formel udgave af tallinjen, og kan derfor, i de første skoleår, hjælpe eleverne til at få en forståelse af tallenes ordinalitet. Forståelsen hjælpes især på vej, idet det er et konkret materiale (Jess, 2009). Perlesnoren kan desuden tilgodese elever der ser tallene fra en kardinal synsvinkel, idet perlerne rent fysisk kan skilles ad og dermed er det muligt at lave små grupperinger med dem. (Solem, 2010, s. 58) En forudsætning for at eleverne kan anvende perlesnoren optimalt er, ifølge Ida Heiberg Solem m.fl., betinget af at eleverne har udviklet en en tæl-videre-strategi (Solem, 2010, s. 55). Læreren må derfor på forhånd skabe grundlag for, at eleverne er i stand til at kunne anvende denne strategi. Dog mener jeg at elever med en tæl-alle-strategi også kan bruge perlesnoren, idet eleverne kan sige her har vi 1, 2, 3 perler og her har vi 1,2,3,4, det bliver 1,2,3,4,5,6,7 perler i alt. Det kommer dermed an på, hvordan elever og lærer vælger at bruge perlesnoren, som redskab, på. Når elevernes talforståelse er udviklet, så de finder perlesnoren let, kan undervisningen bevæge sig over til tallinjen. Ved tallinjen er det stadig tallenes ordinalitet der er i fokus, men muligheden for at involvere den kardinale tænkning, som ved perlesnoren, begrænses ved denne fremstilling af tallene, idet den netop går væk fra at være et konkret materiale. Når eleverne kommer endnu længere frem vil den tomme tallinje kunne introduceres. Side 12 af 36

13 3.2.2 Grupperingsmodellen kardinalitet Denne tilgang danner grundlag for standardalgoritmen, idet tiernes og enernes placering i forhold til hinanden fremhæves (Solem, 2010, s. 68). Ved brug af grupperingsmodellen vil konkrete materialer indgå i undervisningen, idet dette hjælper eleverne til, at kunne visualisere de mængder tallene beskriver. Ved grupperinger ses tallene oftest opdelt i tiere og enere hver for sig, hvilket de konkrete materialer er repræsentationsformer for. Denne måde at se tallene på giver eleverne forudsætning for at kunne regne med tocifrede tal (Solem, 2010, s. 52). Der er imidlertid to forskellige metoder til hvordan grupperinger kan anvendes; opdelings- og omgrupperingsmetoden. Opdelingsmetoden Ved opdelingsmetoden deles addenderne op i enere, tiere og hundrede. Derefter adderes delene sammen; hundrederne, tierne og enerne for sig. Ved denne metode bruger eleverne sine strategier for etcifrede tal, dog med en bagvedliggende forståelse for tallenes placeringer. (Jess, 2009, s. 98) Omgrupperingsmetoden Ved omgrupperingsmetoden, indgår fordobling og byg-10. Eleverne lægger addenderne sammen til nærmeste tier og lægger derefter rest mængden til. Fx laves om til 13+7 = 20 og = 30 og 30+1 = 31. (Jess, 2009, s. 99) Det at kunne visualisere og dele mængder op på disse måder, er grundlæggende for en god talforståelse og er derfor en vigtig del af matematikundervisningen i de første skoleår, idet det er medvirkede til udviklingen af den standardiserede algoritme (Solem, 2010, s. 43). Modellerne er medvirkende til at eleverne udvikler metoder, som de finder anvendelige i forhold til matematisk regning. Ikke alle af elevernes metoder er imidlertid lige anvendelige, hvorfor læren skal sortere i elevernes metoder, og at arbejde ud fra dem anses for at fremme udvikling af gennerelle regnestrategier (Solem, 2010, s. 154). 3.3 Analyse i forhold til det matematikfaglige I dette afsnit vil jeg analysere, i hvilket omfang eleverne viste deres forståelse for det matematikfaglige additive situationer, kardinalitet og ordinalitet. Samt hvordan eleverne formår at anvende deres forståelse i forhold til konkrete situationer. Side 13 af 36

14 3.3.1 Elevernes forståelse for additive situationer regnehistorier I det følgende analyserer jeg, hvordan elevernes regnehistorier kan afspejle deres forståelse for additive situationer i forhold til konkrete situationer. Denne situation kan give mig, som lærer, et indblik i hvor i deres udvikling eleverne er og give mig ideer til hvordan jeg kan arbejde videre med denne udvikling. Eleverne i 2.b fik til opgave at konstruere deres egne regnehistorier, som senere skulle løses af de andre elever i klassen. Det generelle billede der vises, når elevernes historier kategoriseres er, som Ida Heiberg Solem forudsiger, overvejende forenings- og adskillelsessituationer. I denne klasse ser det dog også ud til, at det også kun drejer sig om ukendte slutninger. Eksempler på sådanne historier ser ud som følger: Foreningssituation, med ukendt slutning: Oversættelse: Bo gik en tur i skoven, der kom 5 egn over stien og han så 5 træer, hvor meget så han i alt? Adskillelsessituation, med ukendt slutning: Oversættelse: Niels K havde 88 stykker slik, så kom en kat. Han skreg. Han tabte 8 stykker slik på vejen. Hvor meget slik har han tilbage? Side 14 af 36

15 Det kan tyde på, at elevernes forståelse indenfor dette område ikke er nær så varierede som det kunne ønskes, hvilket måske kan kobles sammen med at klassen udelukkende er vant til at arbejde ud fra en matematikbog. Dermed møder eleverne ikke så mange forskellige og varierende situationer, som ellers kunne være blevet introduceret. Faren herved er, at eleverne kan komme til at opfatte de to situationer som værende de eneste gældende, og de vil dermed have svært ved at gennemskue hvilken metode de skal anvende når de møder de andre situationer. Derudover tyder mine observationer på at eleverne allerede har kategoriseret foreningssituationen, som en additionssituation og adskillelsessituationen, som en subtraktionssituation. Sætninger som Hvor mange/meget er der tilbage?, ses i samtlige elevers regnehistorier der lægger op til en adskillelsessituation. Ved foreningssituationer er det derimod sætninger som Hvor meget har han/de i alt/tilsammen?, der er den foretrækkende ved eleverne. Disse ensformige sætninger stemmer imidlertid overens med mine observationer om, at eleverne allerede har kategoriseret forskellige signalord til bestemte situationer, hvor de enten bruger addition eller subtraktion som metode. Dette kan blive en udfordring når eleverne møder situationer som sammenligningssituationen, idet disse situationer både lægger op til addition og subtraktion. For at udfordre elevernes forståelser yderligere kunne jeg have bytte om på ord i de forskellige situationer, dog med fastholdelse af situationens mening, eller bruge alternative ord i stedet for de originale. Hvis eleverne for eksempel skulle arbejde med regnehistorien: Connie havde 13 glaskugler. Hun gav nogle til Juan. Nu har Connie 5 glaskugler tilbage. Hvor mange glaskugler fik Juan? Kunne jeg lave den om til: Juan fik nogle glaskugler af Connie. Connie startede med at have 13 glaskugler, men har nu 5. Hvor mange glaskugler fik Juan? På denne måde udfordres elevernes forståelse af hvilke metoder der kan anvendes ved at der er blevet byttet rundt på sætningerne, samt er ordet tilbage udeladt, som virker til at være et accepteret signalord for subtraktion, i denne klasse. Derudover kunne eleverne også have tegnet deres regnehistorie, da dette ville kunne have givet et bredere indblik i hvilken metode de egentlig tænkte i, i situationen, samt ville det kunne have givet historierne mere mening for eleverne. Der var imidlertid kun en elev i klassen der bevægede sig væk fra forenings- og adskillelsessituationerne og prøvede i stedet kræfter med den netop omtalte sammenligningssituation, hvor differencen var ukendt. Historien ser ud som følger: Side 15 af 36

16 Oversættelse. Liv havde 20 bamser og Selma havde 10 bamser. Hvor mange flere bamser havde Liv? Idet eleven formår at lave en sådan regnehistorie må eleven have en forståelse for, hvordan additions- og subtraktionsbegrebet kan manipuleres med, idet begge begreber her kan anvendes. Omvendt kan det ikke vides om eleven, i situationen, kun tænkte i det ene begreb og det dermed blev tilfældigt at det blev en sammenligningssituation. For at finde ud af dette skulle der enten have været en dialog mellem mig og eleven, eller været dannet grundlag for en klassediskussion, hvor forskellige typer af regnehistorier kunne have været inddraget Elevernes forståelse for ordinalitet og kardinalitet Følgende analyse er baseret på bilag 1. Her gennemgår jeg, som læreren, og mine elever to forskellige måder perlesnoren og tallinjen kan bruges på i forhold til det samme regnestykke. Situationen er valgt ud fra mit tredje kriterie i udvælgelsen af de empiriske videooptagelser. Den første elev virker til at have udviklet en tæl-videre-strategi, som han bruger til at kunne tælle videre fra det første tal, 23 og op til 40, samt at tælle videre fra 37 og op til 44. Det er imidlertid værd at bemærke, at eleven ikke lægger 44 direkte til 23, men derimod bruger tallinjen til at finde ud af hvornår han rammer 44. Idet han har talt op til 44 kan han aflæse på tallinjen, hvad resultatet på regnestykket må være. Denne måde at bruge tallinjen på vidner om, at eleven mest af alt bruger sin tæl-videre-strategi. Ud over tæl-videre-strategien bruger han også omgrupperingsmetoden, idet han deler tallet 44 op i Med dette viser han en talforståelse, som han senere vil kunne drage nytte af i udviklingen, af den standardiserede algoritme, idet han viser en forståelse for ti ernes og en ernes betydning og placering i forhold til hinanden (Solem, 2010). Side 16 af 36

17 Den anden elev benytter sig i stedet af en tæl-alle-strategi, idet hun siger Og så tog jeg de her (enerne). Så siger vi 1, 2, 3 og 1, 2, 3, 4 og så 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Denne strategi er imidlertid niveaumæssig lavere end den metode, den første elev benyttede sig af, idet eleven her først skal have overblikket over det ene antal og så det andet, før end hun kan sætte det hele sammen til et nyt tal. Udover denne strategi bruger eleven også opdelingsmetoden, idet hun deler addenderne op i tiere og enere. Ved denne metode bruger eleven sin viden om etcifrede tal, dog samtidigt med at hun er bevidst om at tallene har forskellige placeringer i forhold til hinanden. Opdelingsmetoden og tæl-alle-strategien hænger i dette tilfælde godt sammen, idet eleven i optællingen af tierne siger Det var 2, og så en, to, tre, fire. Denne måde at regne på adskiller sig fra den første elevs måde, på flere områder: de bruger forskellige tællestrategier og grupperingsmodeller, men de adskiller sig også fra hinanden ved den måde de bruger tallinjen som redskab. Den første elev bruger, som nævnt ovenfor, tallinjen som en linje hvor resultatet kan aflæses på, hvorimod den anden elev mere bruger linjen som en proces, hvor det ene tal efterfølges af det næste. Den første elev har overordnet en mere kardinal tilgang til tallinjen, idet han først tager det ene tal og derefter det andet. Derimod har den anden elev en mere ordinal tilgang til tallinjen, idet hun bruger begge tal på én gang, og dermed bruger tallinjen som en målestok for, hvornår hun har nået resultatet. 3.4 Delkonklusion Både elevernes regnehistorier og de to elevers løsningsforslag på additionsstykket 23+44, giver et indblik i, hvordan eleverne arbejder med de forskellige matematiske situationer, samt hvilken forståelse de har heraf. Elevernes regnehistorier viste at deres forståelse for og brug af de forskellige additive situationer var, som også Ida Heiberg Solem forudsagde, på et lavt abstraktionsniveau. Dette har imidlertid betydning for i hvilke situationer eleverne finder nødvendigheden i matematik, og hvordan matematikken kan anvendes. Jo mere abstrakt en situation er, eller jo mere situationen skjuler den åbenlyse matematiske tilgang, jo mere forståelse for matematik kræver det af eleven. Det vil derfor være min opgave at hjælpe eleverne med at udvikle deres horisont for, i hvilke situationer Side 17 af 36

18 matematikken kan anvendes, dette kan være igennem manipulation med sætningernes og ordenes sammensætninger, samt i hvilken kontekst historierne sættes ind i. I den anden del af analysen, viser eleverne hvordan de anvender matematikken i en bestemt situation. De to elever bruger matematikken vidt forskelligt den ene, omgrupperingsmetoden og tæl-videre-strategi, den anden, opdelingsmetoden og tæl-alle-strategi. Dette vidner om at eleverne, på daværende tidspunkt, var i gang med at udvikle deres individuelle regnemetode, idet de netop vælger de metoder de finder lettest og logiske for dem selv. Regnehistorierne og den konkrete opgave, at addere 23 med 44, repræsenterer på denne måde elevernes forståelse for og valg af individuelle regnemetoder. Regnehistorierne hjælper eleverne til at koble matematik og hverdag, hvilket er en del af forståelsen for additive situationer. Additionsstykket derimod, hjælper eleverne til at vælge hvilken måde de synes er lettest og logisk at anvende i forhold til en matematisk situation. Denne del giver endvidere mulighed for at eleverne kan hente inspiration fra de andre elever. Dette giver imidlertid anledning til at gå mere i dybden med, hvordan og hvornår der sker læring og derfor vil der i de følgende teoretiske afsnit blive redegjort for Vygotskys s og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske tilgang hertil. 4. Læring De følgende afsnit omhandler Vygotskys og Paul Cobbs socialkonstruktivistiske syn på læring. Jeg vil derfor komme ind på hvordan læring udvikles ved eleverne, samt hvilken rolle de sociale og kulturelle omgivelser har på dette. 4.1 Vygotsky For at kunne belyse vigtigheden i at eleverne skal være aktive i forhold til egen læring, samt tydeliggøre hvordan elevernes forståelse for egen og andres måder at tænke additive situationer på udvikles, vælger jeg at tage udgangspunkt i Jeppe Skotts og Gunn Imsens belysning af Vygotskys syn på læring og begrebsdannelse, hertil vil hans begreb om social praksisteori og Zonen for nærmeste udvikling blive belyst. Ifølge Vygotsky besidder mennesker højere mentale funktioner. Disse funktioner består bl.a. af perception, tænkning, opmærksomhed og hukommelse. Dette gør at mennesker adskiller os fra andre levende væsener. Side 18 af 36

19 De mentale funktioner påvirker og påvirkes af det sociale og kulturelle. På den måde er de med til at forme og udvikle hinanden og dermed kommer det psykologiske og omverdenen til at hænge sammen. Måden de påvirker hinanden på sker, ifølge Vygotsky, især gennem sproget. Individuel handling og bevidsthed bliver derfor til ved, at vi overtager og benytter socialt udviklede redskaber. Det er vekselvirkningen mellem det psykologiske og sociale, der er med til at udvikle os og ikke blot lade os blive i det Vygotsky kalder den praktiske intelligens (Skott, 2009, s. 100). Sproget betyder imidlertid ikke kun noget for vores fysiske handlinger, men har indflydelse på vores højere mentale funktioner. Sproget kommer til at dominere vores mentale funktioner i sådan grad, at vi ikke længere er i stand til at kunne skille de forskellige funktioner fra hinanden, uden sproget spiller ind. Vores mentale funktioner bliver derfor medieret gennem vores sprog, hvilket kommer til at danne grundlag for vores begrebsdannelse (Skott, 2009, s. 101). Udvikling og læring er, hverken er to adskilte eller identiske processer og bliver på denne måde til en organiseret læringssituation der har til hensigt at sætte forskellige varianter af psykologiske udviklingsprocesser i gang. Denne udviklingsproces vil imidlertid ikke kunne lade sig gøre, hvis udviklingen var adskilt fra læring og de to processer påvirker og påvirkes derfor af hinanden. Læring sker, ifølge Vygotsky, således gennem sociale forbindelser, hvor en anden person påvirker den lærende til at tænke anderledes end hidtil. Dette samler Vygotsky i et begreb, som han kalder Zonen for nærmeste udvikling (ZPD) Zonen for nærmeste udvikling At udviklingen bevæger sig fra det sociale til det individuelle, betyder at eleverne i første omgang kan være i stand til at udføre en handling i et samspil med en anden, før de kan udføre handlingen på egen hånd. Med dette som hovedsætning for hvad ZPD indebærer, giver det, ud fra en pædagogisk synsvinkel, en positiv tilgang til vækstbegrebet, idet der lægges op til at alle elever har udviklingsmuligheder. Synet på elevernes muligheder for at udvikle sig og lære noget, bliver dermed ikke til noget fastlåst. Vygotsky beskriver det på følgende måde: Pædagogikken må orientere sig mod morgendagen i barnets udvikling og vende sig bort fra gårsdagen. Først da vil den kunne vække de udviklingsprocesser til live, som ligger i den nærmeste udviklingszone (Vygotsky, 1982, s. 290) (Imsen, 2008, s.225) Begrebet skal dog ikke forstås som læring i sig selv. Læring er derimod det der skaber et udviklingsrum for eleverne. Læring kommer på denne måde til, først at udvikle faglige forståelser Side 19 af 36

20 og først derefter og ved hjælp af disse forståelser kan de højere mentale funktioner udvikles. Først når de højere mentale funktioner udvikles befinder eleven sig i sin zone for nærmeste udvikling.(skott, 2009) Eleverne skal gennemgå forskellige udviklingstrin, der afhænger af biologisk modning. Disse afbrydes imidlertid af såkaldte kriseperioder, hvor forholdet mellem de højere mentale funktioner omformes. Dette betyder at elevernes evne til at forstå og udvikle begreber afgøres af det udviklingstrin de er på. I denne opgave vil eleverne befinde sig på det udviklingstrin, som Vygotsky kalder, skolealderen (7-13år). På dette trin er elevernes begrebsdannelse præget af førbegrebslige konstruktioner komplekser. Her hæfter eleverne sig især ved de umiddelbare og iagttagelige egenskaber og adskiller sig derved fra egentlige videnskabelige begreber hæfter sig ved sammenhængende og logisk opbyggede videns strukturer. Ifølge Vygotsky skal hjælperen til eleverne være en voksen, eller en anden som kan mere, der kan hjælpe eleverne videre i deres udvikling. Det at to elever på samme niveau, sidder og samarbejder om en opgave, er altså ikke det der menes med begrebet. Dog kan der ud fra Paul Cobb og socialkonstruktivismen, argumenteres for, at netop denne måde at arbejde på kan have en gavnende og udviklende effekt (Skott, 2009). 4.2 Paul Cobb Paul Cobb er inspireret af både den (radikale) konstruktivistiske og den kulturhistoriske skoles måde at se læring og læringspraksisser på, men adskiller alligevel sig fra de to måder, idet han mener, at de sociale og psykologiske processer gensidigt påvirker hinanden (Skott, 2009). På denne måde kan han karakteriseres under begrebet socialkonstruktivist, idet denne tilgang defineres som: det sociale og psykologiske er så fuldstændigt integreret i hinanden at ingen af dem kan forstås uden at medtænke den anden. Der er ikke tale om det ene perspektiv, det sociale eller det psykologiske, er rigtigere end det andet. Man kan ganske enkelt ikke forstå det ene uden at medtænke det andet (MONA, 2008) For at vise den gensidige påvirkning mellem det psykologiske og sociale, har Paul Cobb og Yackel lavet en model. Modellen viser tre niveauer, hvor elevernes faglige læring, forestillinger om undervisningen og læringsmuligheder er nogle af de centrale begreber. Modellen kan bruges til, at danne sig et overblik over, hvordan lærerens undervisningspraksis danner grundlag for gode normer og læringsmuligheder for eleverne. Det første niveau skitserer de generelt gældende normer der er i Side 20 af 36

21 den pågældende klasse, samt hvilke forventninger klassens deltagere har til disse. Niveau 2 skitserer derimod hvilke matematiske normer der hersker i klassen, dette være sig matematiske spørgsmål og løsninger. Det sidste niveau går skridtet videre og skitserer udelukkende hvilke matematiske praksisser der er accepterede i klassen. Dette være sig sagte og usagte matematiske praksisser. Det sociale perspektiv 1: Sociale normer i klasserummet Det psykologiske perspektiv 2: Forestillinger om ens egen og andres rolle i klasserummet og om den generelle karakter af matematisk aktivitet 3: Socio-matematiske normer 4: Forestillinger om og værdier knyttet til 5: Klasserummets matematiske praksisser matematik og matematisk aktivitet. 6: Matematiske begreber og aktiviteter. Transskriberet fra Delta, matematik for lærerstuderende, fagdidaktik, s. 137 I forhold til dette afsnit vælger jeg at lægge særlig vægt på niveau 2 og 3, idet disse omtaler elevernes forestillinger om matematisk indhold, samt hvordan alment accepterede sandheder kan florere i klassens miljø. Niveau 1 omtaler derimod generelle normer og forestillinger i undervisningen, og vil derfor blive belyst i forhold til afsnittet om lærerrollen Niveau 2 (3-4) De socio-matematiske normer, handler om hvad der er god matematisk aktivitet, hvilke typer af spørgsmål der anses for at være gode, samt hvad der kendetegner en matematisk løsning. Normerne udvikles i et samspil mellem læreren og eleverne, og eleverne imellem. Disse normer påvirker og påvirkes af hvilke forestillinger eleverne og læreren har til den matematiske praksis. En forestilling kan være, at man som elev skal undersøge generelle sammenhænge og være aktiv medskaber i at udvikle måder at beskrive disse sammenhænge på. (Skott, 2009) En socio-matematisk norm kan også være det modsatte; eleverne behøver ikke undersøge sammenhænge og være aktive medskabere Niveau 3 (5-6) Besstår af det faglige indhold i en mere ren form og kommer dermed til at handle om hvilke matematiske praksisser der er gældende i klassen, samt hvilke forudsætninger og forståelser den enkelte elev har for disse praksisser. En matematisk praksis kan være, at der er nogle begreber, der Side 21 af 36

22 før i tiden er blevet argumenteret for, men som nu er blevet en sådan del af undervisningen, at det nu bruges uden yderligere bemærkninger. En sådan brug af begrebet kalder Cobb og Yackel for alment accepterede sandheder (Skott, 2009, s. 142). Men på trods af at disse begreber ikke argumenteres for længere, kan eleverne godt have forskellige forståelser for det. Eleverne går dermed til begrebet med forskellige forudsætninger, og kan på denne måde bruge det til noget forskelligt. Denne forskellighed kan umiddelbart ikke iagttages, hvilket gør at der ikke længere er en nødvendighed i at argumentere for begrebet. 4.3 Analyse i forhold til læring I dette afsnit vil jeg analysere, hvordan eleverne bruger sproget i forhold til hinanden og mig om en opgave, samt hvilken betydning dette kan have for deres læring. Dette bliver belyst ud fra Vygotskys og Paul Cobbs udviklings- og læringssyn. Derudover vil jeg, ud fra Paul Cobbs niveau 2 og 3, analysere på hvilke sociomatematiske normer og klasserummets matematiske praksisser der viste sig at være gældende i den konkrete elevgruppe Situation med centicubes Eleverne har fået til opgave at finde ud af om de tæller op eller ned i forskellige situationer. Derfor har de fået udleveret 10 centicubes, hvor de skiftevis skal tage X antal centicubes væk. Herefter skal den anden finde ud af hvor mange der er væk. Denne situation er en kardinal form for adskillelsessituation, hvor ændringen i handlingen er det centrale (jævnfør tabel på side 10). Situationen er valgt ud fra mit andet kriterie i udvælgelsen af de empiriske videooptagelser. To af eleverne sidder sammen, hvor elev 1 lægger 8 centicubes frem på bordet. Elev 2 tæller og siger efter kort tid Du har to i hånden. Elev 1 reagerer ved at spørge og hvordan fandt du af det? Elev 2 svarer jeg talte op fra 8. Det er 2. I denne situation kan det ses, at elev 1 s uddybende spørgsmål og hvordan fandt du ud af det? tvinger elev 2 til at reflektere over hendes måde at håndtere aktiviteten på. Hun må altså tage sine højere mentale funktioner i brug; perception, opmærksomhed, hukommelse og tænkning, og benytte sig af sin evne til sproglig mediering, for at kunne sætte ord på hendes forståelse løsningsforslag. Elevens svar jeg talte op fra 8. Det er 2., vidner om at eleven netop har taget brug af sin evne til at forbinde de højere mentale funktioner og sproget. Ifølge Vygotsky ville denne aktivitet ikke have nogen udviklende karakter for eleverne, trods det at der er tale om en aktivitet i sociale sammenhænge. Men idet eleverne er på samme niveau, kan den ene ikke varetage opgaven om den anden elevs Zone for nærmeste udvikling. Hvis blikket derimod Side 22 af 36

23 vendes mod Paul Cobb, vil han sige, at denne situation godt kan udvikle elevernes læring, idet han mener at læring er en social proces, hvor deltagerne er fælles om at skabe viden. Der behøver derfor ikke være en fagligt dygtigere person tilstede for, at eleven læreren noget. I denne aktivitet kommer elevernes indbyrdes forståelser for hvilke matematiske praksisser, begreber og aktiviteter, der er accepterede, frem (Paul Cobb, niveau 3). Elev 1 accepterer uden videre, at det var en god og rigtig måde elev 2 håndterede hendes spørgsmål på. Hvis eleverne havde haft en mere refleksiv tilgang til aktiviteten, kunne de have talt om, hvordan elev 1 ville have gjort, og dermed sammenligne deres måder at håndtere aktiviteten på. Denne form for dialog ville kunne have haft et større læringsudbytte for begge elever, frem for kun den ene, da det ikke kun ville være denne ene elev der er aktiv reflekterende i situationen. Vygotsky ville her argumentere for, at dialogen ikke finder sted, fordi begge elever befinder sig på det samme udviklingstrin skolealderen. Elev 1 s begrebsudvikling er ikke udviklet i en sådan grad at hun kan stille flere reflekterende spørgsmål eller komme med løsningsforslag der er forskellig fra elev 2 s, måske fordi hun ville have grebet situationen an på samme måde. Her tydeliggøres Vygotskys pointe med Zonen for nærmeste udvikling Der skal være en fagligt dygtigere person tilstede hvis eleven skal udvikle sig Situation med addition på perlesnor, Følgende situation er valgt ud fra det tredje kriterium i udvælgelsen af de empiriske videooptagelser. Eleverne har fået til opgave at finde en hensigtsmæssig måde at addere 23 med 44 på deres perlesnor. Eleven viser her sin bevidsthed om sin egen metode, samt vises der tegn på hvilke matematiske praksisser der, ud fra denne elev, er gældende. - Se dialogen mellem mig og eleven i bilag 2. Eleven forklarer trin for trin, hvordan hun har båret sig ad for at addere 23 med 44 - Ja, jeg tog først de der 4, så kom jeg op til 40, så tog jeg de 2 10 ere og så 3. Hun reflekterer efterfølgende videre, da hun finder ud af, at hun mangler fire enere. Dette kan være et øjebliksbillede af, hvilke forestillinger denne elev har til de socio-matematiske normer (Paul Cobb, Niveau 2). Trods det, at socio-matematiske normer er noget generelt, kan der alligevel være en ide i at se på en situation som denne, da det giver et peg om, hvordan normerne ser ud i den almindelige undervisning. Eleven virker her til at have en forestilling om, at for at forklare et regnestykke, må der redegøres for fremgangsmåden. På denne måde får hun tydeliggjort for sine omgivelser, hvad hun har tænkt i situationen. Italesættelsen af fremgangsmåden gør, at de omkringsiddende elever og jeg kan følge Side 23 af 36

24 med i processen og kan dermed hurtigt tage stilling til om de er enige eller uenige i metoden. Den socio-matematiske norm bliver derfor, at der skal en forklaring til metoden, i løsningen af en opgave, før end der kan tages stilling til om et resultat er korrekt eller forkert. Elevens forestillinger afspejler dog ikke kun de normer der er gældende i klassen, men er også med til at påvirke de andres og mine forestillinger om, hvilke værdier der er knyttet til matematisk aktivitet. Denne påvirkning er ikke kun med til at opretholde normerne, men er også med til at videreudvikle dem. På denne måde kan man sige at de sociale og psykologiske perspektiver er refleksivt relaterede. Da det går op for eleven, at hun mangler noget, revurderer hun sit svar, ved at gennemgå sin forklaring. På den måde kommer hun frem til, at hun har glemt fire enere og kan derfor hurtigt lægge dem til det resultat hun havde i forvejen. Ud fra Vygotskys teori om sprog og praktisk aktivitet, kan det i denne situation fremhæves, at eleven bruger sin sociale tale til både at fortælle sig selv og sine omgivelser, hvad hun har gjort for at løse opgaven. Idet hun bruger perlesnoren og klemmerne sammen med sin tale forbinder hun den praktiske og abstrakte del af aktiviteten, hvilket Vygotsky pointerer, er den særlige egenskab ved os mennesker (Skott, 2009). De højere mentale funktioner og brugen af sprog spiller således en betydelig rolle i denne henseende og der vil derfor ske en udvikling i elevens højere mentale funktioners relation. Udvikling og læring er, hverken er to adskilte eller identiske processer og bliver på denne måde til en organiseret læringssituation der har til hensigt at sætte forskellige varianter af psykologiske udviklingsprocesser i gang, hvilket er med til at udvikle zonen for nærmeste udvikling. Denne proces vil imidlertid ikke kunne lade sig gøre, hvis udviklingen var adskilt fra læringsprocessen og de to processer påvirker og påvirkes derfor af hinanden. Læringen i denne situation kommer til at bestå i den sociale konkrete aktivitet; eleverne skal løse additionsstykket, 23+44, på en perlesnor, på en logisk måde. Situationen kan indikere hvilke matematiske praksisser (Paul Cobb, Niveau 3) eleven agerer under. Eleven starter konsekvent med det ene tal, 23, og lægger derefter det andet tals tier og derefter enerne til. Når hun har sat alle sine klemmer på perlesnoren, starter hun helt forfra med at tælle, hvor mange perler hun har fået afgrænset i sin manøvre med klemmerne. Trods perlesnorens ordinalitet, formår eleven altså at bruge elementer fra kardinaliteten i sin proces frem mod resultatet. Når eleven skal finde det endelige svar går hun igen over til ordinaliteten, idet hun tæller 10, 20, 30 osv. Denne fremgangsmåde, er ud fra mine øvrige observationer, den mest brugte blandt eleverne og kommer på den måde til at virke som en almen accepteret sandhed i forhold til, hvordan Side 24 af 36

25 en sådan opgave gribes an. Dette har imidlertid betydning for hvor udviklet elevernes talforståelse og metodedannelse er. Når eleven benytter sig af forklaringer som - Ja, jeg tog først de der 4, så kom jeg op til 40, så tog jeg de 2 10 ere og så 3., tyder det på at der er sket en begrebsdannelse, idet hun lader til at have en indsigt i hvilke kriterier og karakteristika tierne og enerne besidder uanset hvilken helhed de sættes ind i (Skott, 2009). Begrebsdannelsen kommer således til at bestå i, at eleven er i stand til at anvende udtrykkene i den konkrete aktivitet men også igennem sit sprog. Igennem tale kan elevens begrebsdannelse udvikles yderligere, idet tale, ifølge Vygotsky, er en måde at strukturere tankerne på. Jo mere eleven får sat ord på sine tanker, jo mere struktur kommer der og dermed også en større begrebslig forståelse også selvom eleverne her befinder sig på udviklingstrinnet - skolealderen. 4.4 Delkonklusion I begge analysedele fås et indblik i hvordan eleverne giver udtryk for forståelse for hvilke matematiske praksisser, begreber og aktiviteter der er gældende i klassen. Dette ses både ved elevernes verbale og nonverbale sprog i forbindelse med en matematisk aktivitet. I aktiviteten med centicubes, vidner det manglende sprog uddybende spørgsmål, om at elevernes forestillinger til socio-mateamtiske normer ikke kræver mere end det de netop har gjort, trods det at der fra mit synspunkt kunne have mere kvalitet i deres brug af sprog. Her ville Vygotsky sige at det skyldes at eleverne er på samme niveau, og kan derfor ikke udfordre hinanden på samme måde, som hvis det havde været mig, som lærer, der havde stillet spørgsmål til deres måde at regne på. Denne kvalitet ses derimod i den anden analysedel, hvor eleven skal forklare hvordan hun adderede 23 og 44. Her stiller jeg løbende spørgsmål, der får eleven til at reflektere over sin løsning. Det kan derfor siges, at eleverne, kan udfordre hinanden til at udvikle forståelse, men dette kan ikke lade gøre i samme udstrækning, som når læreren viser vej. Jeg bliver på denne måde en repræsentant for sociale og kulturelle redskaber som eleverne kan overtage og benytte sig af. Hermed bliver min rolle i undervisningen særdeles væsentlig for elevernes udvikling og læring, og bliver derfor redegjort for i de følgende afsnit. Side 25 af 36

26 5. Lærerrollen En del af lærerens rolle er at være en dygtig og kompetent leder. Derfor er det vigtigt, at læren har en bevidsthed og viden om ledelse, og hvordan denne ledelse forvaltes på bedst mulige vis. Elsebeth Jensen definerer klasseledelse som: lærerens kompetence til at skabe en positiv, samarbejdende og inkluderende klassekultur, motivere til deltagelse, skabe fokus og sikre målrettet disciplin og passende arbejdsro i undervisningen. (Jensen, 2012, s. 318) På denne måde kommer lærerens evne til at udøve god klasseledelse til at skabe grundlag for at eleverne kan udvikle sig fagligt, idet ledelsen netop skal motivere til deltagelse, skabe fokus, målrettet disciplin og passende arbejdsro. De tanker Paul Cobb har om klasserumsnormer, både socialt og psykologisk, kan bruges i denne sammenhæng, da han både ser på de generelle og faglige normer, der hersker i klassen. Niveau 1 referer til de måder lærer og elever forventes socialt at være sammen på. Disse måder udvikles i det samspil, der finder sted mellem læreren og eleverne og eleverne imellem, og har afgørende betydning for de læringsmuligheder, der udvikles i klassen.(skott, 2009) Af denne grund må undervisningen præges af en anerkendende og støttende tone, der skaber gode betingelser for, at eleverne ytrer sig konstruktivt, på klassen, om deres løsningsforslag (Overland, 2009). Især kan lærerens støtte til den enkelte elev være medvirkende til at skabe positive forestillinger, ved eleven, om hvilke værdier der er knyttet til matematik og matematisk aktivitet. Dette kan begrundes ud fra at lærerens støtte, lægger op til at der skal være en dialog mellem læreren og eleven, som kan føre til konstruktive løsninger. Dialogen har, som både Vygotsky og Paul Cobb siger, betydning for vores måder at tænke på og dermed har den også betydning for vores læring (Skott, 2009). Læreren rolle bliver på denne måde også at vise eleverne vej, i forhold til hvad der skal læres og hvorfor. For at både de sociale og faglige normer, i klassen, kan opretholdes og udvikles positivt må læreren være god til at planlægge og organisere sin undervisning, idet det danner grundlag for at læreren kan give eleverne den rette tilrettelæggelse, anderkendelse og støtte. Side 26 af 36

27 5.1 Kommunikation En anden vinkel på lærerens rolle, er måden denne kommunikerer med sine elever på. Derfor vil jeg i det følgende bruge Paul Cobbs teori om refleksiv diskurs og metakognitive skift, da disse tydeliggør betydningen og vigtigheden heraf. Idet Paul Cobb ser læring som en praksis og social proces, har han også gjort sig nogle tanker om hvordan kommunikationen kan påvirke elevernes læring, og hvilke egenskaber denne kommunikation har. Han snakker imidlertid om to måder kommunikationen, i klasserummet, kan afstedkomme forskellige perspektiver på samme problemstilling; refleksiv diskurs og metakognitive skrift. Refleksiv diskurs definerer han som: en situation hvor eleverne gør deres hidtidige resultater til genstand for fælles drøftelse.(skott, 2009,s. 250) Med dette menes, at når de metoder eller de resultater, der er blevet brugt i undervisningen sættes til diskussion, vil der skabes muligheder for elevernes individuelle læring. Den refleksiv diskurs vil ikke kun lære eleverne at kommunikere om matematik, men eleverne kan også lære noget rent matematisk af denne kommunikation. Denne læring består i, at eleverne bliver i stand til at se deres egne metode i forhold til andres. Et eksempel på en refleksiv diskurs, i forhold til denne opgave, kunne være at læreren spørger eleverne om: hvorfor er det, det samme at bruge perlesnoren og tallinjen? Hensigten med den refleksive diskurs er, at opgaven ikke slutter når der findes et resultat. Resultatet skal drøftes og eleverne skal forholde sig kritisk til, hvordan de er kommet frem til resultatet og om man kunne gøre det på en anden måde. I forhold til metakognitive skrift gælder det om, for læreren, at rykke elevernes opmærksomhed fra det specifikke til det mere generelle, samt at bringe andre perspektiver ind i forhold til det begreb der arbejdes med. Metakognitive skift kan både laves i matematiske situationer men også i forhold til materielle situationer. Hensigten er dermed at fremvise en ny måde at løse eller forstå begrebet på for eksempel kunne læreren spørger ind til en opdelingsmetode i forhold til brugen af tallinjen (matematisk situation) eller hvorfor brugen af tallinjen og centicubes er det samme (materiel situation). Ved dette kommer eleverne til at overveje, hvordan den pågældende situation vil se ud i andre sammenhænge, samt hvilke ligheder der kan være mellem forskellige situationer. Dette kommer dermed til at udfordre deres nuværende kognition.(skott, 2009) Side 27 af 36

28 5.2 Analyse i forhold til lærerrollen og kommunikation I dette afsnit vil jeg analysere hvilken betydning min kommunikation har for eleverne og den matematiske aktivitet. Dette vil jeg gøre ud fra belysningen af Elsebeth Jensens og Paul Cobbs udsagn om lærerens rolle, samt ud fra Paul Cobbs begreber om refleksiv diskurs og matekognitive skift. Kommunikation hænger imidlertid sammen med Vygotsky og Paul Cobbs udviklings- og læringssyn og indgår derfor også som en del af analysen Situation med additionsstykket på tavlen Følgende analyse er på baggrund af to elevers bud på hvordan 23 kan adderes med 44 på tallinjen, samt deres refleksion over hvad forskellen er på deres måder at bruge tallinjen på bilag 1. Situationen er valgt ud fra det første, tredje, fjerde og femte kriterium i empiri udvælgelsen af videooptagelser. Eleverne har, i denne situation, først løst opgaven på perlesnoren og viser det derefter på en tallinje på tavlen. I denne situation, skal der især lægges mærke til det skift der sker i kommunikationen, da dette er særlig sigende i forhold til Paul Cobbs kommunikations måder, refleksiv diskurs og metakognitive skift, samt hvilken rolle læreren har i denne henseende. Som nævnt, i teorigennemgangen om kommunikation, er refleksiv diskurs karakteriseret ved at eleverne gør deres resultater til genstand for fælles drøftelse. Gennemgangen af opgaven slutter derfor ikke når eleverne har vist deres løsningsforslag, men der skal i stedet være en fælles dialog, der får eleverne til at forholde sig kritisk til deres løsningsforslag. Når jeg, i situationen fra bilag 1, spørger eleverne - Hvad er forskellen på de måder I har gjort det på?, lægger jeg op til at eleverne skal forholde sig reflekterende til de to forskellige løsningsforslag, eleverne har vist på tavlen. Spørgsmålet lægger derfor op til en refleksiv diskurs, idet løsningsforslagene nu bliver sat til fælles drøftelse på klassen. Eleven, der har lavet det andet eksempel på tavlen, forklarer hvordan hun ser forskellen ved at sige - Ved min Det er fordi han ikke startede med alle tierne. Den første elev havde løst regnestykket ved at benytte tæl-videre-strategien sammen med omgrupperingsmetoden, hvorimod den anden elev (som er den der svare på spørgsmålet) brugte tæl-alle-strategien sammen med opdelingsmetoden. Elevens svar viser, at hun kan se en væsentlig forskel på de to måder, men mangler umiddelbart nogle flere ord og begreber til yderligere at kunne redegøre for forskellen. Ved at jeg spørger ind til, hvad den første elev startede med, får eleven hjælp til at sætte flere ord på sine tanker og observationer. Dette lægger imidlertid op til at jeg, som fagperson, støtter elevens læring, idet jeg understøtter elevens udvikling til at tænke abstrakt. Side 28 af 36

29 Læringspotentialet i denne situation kunne have været øget yderligere, hvis jeg havde spurgt eleverne Hvordan kan vi vide, om der er flere måder at løse regnestykket på? Dette vil have lagt op til et metakognitivt skift, der indirekte ville have fået eleverne til at forholde sig til omgrupperings- og opdelingsmetoden i forhold til tallinjen. Eleverne skulle her have forholdt sig til situationen på et mere generelt niveau, fremfor kun de to forskellige løsningsforslag og muligheden for ydereligerer læring ville derfor have været forøget. Dog er det en forudsætning at eleverne har udviklet ord og begreber til at kunne besvare dette spørgsmål. For at give eleverne de bedste forudsætninger for at have ord og begreber til at kunne forklare spørgsmålet, kunne jeg have startet med at spørge Hvordan har du løst opgaven? Ved dette spørgsmål kommer eleverne til at sætte ord på deres egen forståelse og ved at høre hvordan de andre har løst deres regnestykke vil forskellene på de forskellige løsninger blive tydeligere for eleverne selv. Eleverne vil på den måde lettere kunne sætte ord på forskellene. Ved en sådan kommunikation på klassen, vil der blive dannet nogle antaget fælles forståelser for de forskellige måder at løse et regnestykke på. Det læringspotentiale der ligger i refleksiv diskurs og metakognitive skift, som kommunikations måder, bliver på denne måde lærerens ansvar. Eleverne vil, som også Vygotsky pointerer, ikke udvikle denne evne af sig selv, men det kræver derimod, at læreren viser vej og påvirker dem til at tænke på denne måde. Denne måde at kommunikere på er endvidere en del af Paul Cobbs klasserumsnormer, både på det generelle og mere faglige plan. I vekselvirkningen mellem elevernes svar og lærerens uddybende spørgsmål, skabes der nogle forventninger til hvad der anses for at være et godt matematisk argument (niveau 2), samt i hvilken grad argumenterne skal begrundes og retfærdigøres (niveau 1). Eleven viser i denne situation, en begyndende forståelse for at der er forskel på at bruge opdelingsmetoden eller omgrupperingsmetoden og tal-alle-strategi eller tælvidere-strategien, idet hun netop pointerer, at hun startede med alle tierne og den anden startede med det mindste tal (23). Dette viser imidlertid, at elevens forventninger til de generelle og sociomatematiske normer bærer præg af, at en matematisk forklaring på en forskel, skal indeholde en refleksion der forholder sig undersøgende til løsningerne. Side 29 af 36

30 5.3 Delkonklusion Situationen der fremgår af bilag 1, viser vigtigheden af lærens rolle, i forhold til elevernes udvikling af forståelse for deres egen og andres regnemetoder. Inddragelsen af refleksiv dirkurs og metakognitive skift hjælper både elever og lærer til at få mest mulig læring ud af en situation, idet en opgave ikke afsluttes efter et nævnt resultat. Resultatet bruges derimod til at gå bag om processen for at italesætte, hvordan eleverne er kommet frem til resultatet og hvorfor det er rigtigt. Det er imidlertid lærerens rolle netop at få disse kommunikations måder inkluderet i undervisningen, så disse kommer til blive en del af de klasserumsnormer der er gældende i klassen. I situationen ovenfor stiller jeg flere vejledende spørgsmål, for at få eleverne til at reflektere endnu mere. At eleverne har behov for disse vejledende spørgsmål, kan være en indikator for at eleverne ikke er vant til at kommunikere på denne måde. Hvis denne måde at kommunikere på blev en del af de gældende klasserumsnormer især en del af de socio-matematiske normer, kunne det tænkes at eleverne ville kunne svare mere fyldestgørende, uden hjælp af vejledende spørgsmål, dette være sig ved kommunikationen mellem mig og eleven men også eleverne imellem. Dette vil imidlertid kunne have en udviklende effekt på elevernes udvikling og forståelse for matematikken her, for udviklingen af individuelle regnemetoder indenfor additive situationer. Side 30 af 36

31 6. Konklusion For at jeg, som lærer, kan fremme den enkelte elevs forståelse for og valg af individuelle regnemetoder indenfor additive situationer, har jeg igennem denne opgave erfareret at det sociale samspil mellem lærer og elev og den kommunikation dette medfører, har stor betydning herfor. Især Paul Cobbs teori om refleksiv diskurs og matekognitive skift kan være medvirkende til at udvikle elevernes forståelse, idet eleverne her sætter ord på deres matematiske proces fremfor blot at slynge et resultat ud. For at disse kommunikations måder tydeliggøres i timerne er lærerens rolle og tilstedeværelse særlig vigtig. Eleverne kan ikke uden videre påvirke hinanden til at udvikle disse måder at kommunikere og ikke mindst reflektere på. Læreren må derfor hjælpe dem på vej, hvilket gør Vygotskys læringsteori særlig central. Dermed ikke sagt at elevernes samarbejde ikke kan have en udviklende effekt, deres refleksion og evne til abstrakt tænkning vil blot ikke udvikles i samme grad som under lærerens påvirkning. Læreren kommer på denne måde til at stille nogle sociale og kulturelle redskaber til rådighed, som eleverne kan benytte sig af i deres egen udvikling og sammen med andre. Den vekselvirkning der er mellem elevernes og lærerens forventninger til undervisningen, dette være sig sociale som faglige, har indflydelse på kommunikationens kvalitet og dermed også elevernes faglige udbytte. Forventningerne til undervisningen indebærer at der, mellem eleverne og læreren, er nogle begreber og procedure som er så accepterede, at de kan anvendes som en gyldig forklaring i en given sammenhæng antaget fælles forståelser. Disse antaget fælles forståelser kombineret med nye begreber kommer på den måde til at påvirke den enkelte elevs måde at tænke matematisk på, og har derfor også en udviklende effekt for den enkelte. Netop af denne grund må læreren være sig særlig bevidst om hvilke begreber og procedure han introducere for eleverne. Under det specifikke emne regnemetoder til store tal, hvor der tages afsæt i additive situationer, er det især væsentligt at eleverne arbejder med udviklingen af kardinale og ordinale metoder, samt med situationer som kan give mening for dem, matematisk. Her er det igen lærerens rolle at udfordre eleverne til at videreudvikle deres på forhånd eksisterende metoder, samt at få eleverne væk fra de metoder der ikke er hensigtsmæssige nu og over tid. Dette kræver imidlertid at læreren sætter sig ind i den enkelte elevs måder at regne på, samt gør sig bevidst om hvordan denne kan hjælpes videre. Hertil kan kommunikationens betydning endnu engang fremhæves, da læreren ville få meget svært ved at sætte sig ind i den enkeltes matematiske forståelse, uden der er foregået en eller form for kommunikation. Side 31 af 36

32 7. Perspektivering Som der nævnes i konklusionen har det sociale samspil og kommunikationen mellem læreren og eleverne og eleverne imellem, betydning for elevernes udvikling af regnemetoder til additive situationer. Disse faktorer, mener jeg, også kan have indflydelse på den generelle matematikundervisningen, og kan dermed bruges i andre sammenhænge og til andre emner. Dette kan begrundes ud fra Vygotskys og Paul Cobbs teori om læring og kommunikations måder, idet disse teorier er beskrivelser af noget generelt. Overordnet handler det om at der i klassen skabes nogle rammer der gør undervisningen effektiv og gør eleverne positivt stemte overfor de aktiviteter der hører til faget (Brodersen, 2013). Relationerne mellem elever og lærer er ikke uden betydning, og kommer til at have indflydelse på hvilken kommunikation der kommer til at præge klassen og i sidste ende elevernes udbytte af undervisningen. Dette kommer Paul Cobb imidlertid også ind på i hans model, hvor elevernes forestillinger om deres rolle i undervisningen, samt hvad der anses for at være en matematisk aktivitet har betydning for hvad der kommer ud af undervisningen (Skott, 2009). I min kommende praksis vil jeg, af ovenstående grunde, være særlig opmærksom på hvilke indstillinger mine elever udvikler i min undervisning. Hvorfor jeg især vil være særlig opmærksom på mine relationer til eleverne og min kommunikation med eleverne, herunder hvilke typer af spørgsmål jeg anvender i undervisningssammenhænge. For at opnå gode relationer til eleverne, må jeg på forhånd have nogle ideer om hvad jeg forventer af eleverne og af mig selv i forskellige situationer. Men relationerne skabes først og fremmest i klasselokalet, hvor jeg, som lærer, er sammen med eleverne, hvilket gør at dette er noget der udvikles over tid. Min kommunikation med eleverne og de spørgsmål jeg stiller i løbet af undervisningen, er i høj grad noget der kræver, at jeg i min planlægning tænker hele lektionen igennem og for så vidt muligt forudser i hvilken retning undervisningen vil tage. For mig handler det altså ikke om hvor mange opgaver eleverne når at lave i løbet af min undervisning, men mere hvordan og i hvilke sammenhænge de arbejder med opgaverne. Side 32 af 36

33 8. Litteraturliste - Bjørndal, Cato R. P., Det vurderende øje, Observation, vurdering og udvikling i undervisning og vejledning, Klim, 2. udgave, Brodersen, Peter, Læreren som leder, i: Brodersen, Peter m.fl: Effektiv undervisning, Didaktiske nærbilleder fra klasserummet, 2. udgave, 2. oplag, Imsen, Gunn, Elevens verden Indføring i pædagogisk psykologi, Gyldendals lærerbibliotek, 1. udgave, 1. oplag, Jess, Kristine m.fl. Epsilon matematik for lærerstuderende, klasse, Samfundslitteratur, 1. udgave, 2. oplag, Jensen, Elsebeth, Klasseledelse Magt og autoritet, i Kristensen, Hans Jørgen og Laursen, Per Fibæk (red.): Gyldendals pædagogik håndbog, otte tilgange til pædagogik, Gyldendals lærerbibliotek, 1. udgave, 2. oplag, Overland, Terje, Læreren som leder, i: Skolen og de udfordrende elever om forebyggelse og reduktion af problemadfærd, Dafolo, 1. udgave, 1. oplag, Rasmussen, Jens (red), Pædagogiske teorier, Billesø & Baltzer, 5. udgave, Skott, Jeppe m. fl. Delta matematik for lærerstuderende, fagdidaktik, Samfundslitteratur, 1. udgave, 2. oplag, Solem, Ida Heiberg m.fl. Tal och tanke matematikundervisning från förskoleklass till årskurs 3,Gyldendal Norsk Forlag, 1. udgave, 1 oplag, Artikler - Olsen, John Villy: Sådan bliver du bedre til at lede din klasse, artikel fra folkeskolen.dk, 31. august Skott, Jeppe, Introduktion til Paul Cobbs matematikdidaktiske arbejde, MONA, 2008 Side 33 af 36

34 Bilag 1 Eleverne og læreren gennemgår to forskellige måder at bruge henholdsvis perlesnoren og tallinjen, til at løse additionsstykket E Elev L - Lærer Elev 1: E Jeg tog de 23 og så satte jeg en klips i her (23), og så sagde jeg øhm her var der 17 og såh ja og så 27. L Hvor er de 17 siger du? E Der! (peger mellem markeringen med 23 og 40) L Nårh hen til 40. Skal vi så ikke lige lave en bue en til 40, så vi kan huske det? E jo og så plusser vi bar med 10. Så 27, 37 og så øhm fra de 37 så jeg øhm øhm 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44. L Jah, og så gav det? E Så gav det øhm 67. L Godt, kan du så ikke skrive 67 der (peger på hans sidste streg) E jo L Super. Skal vi prøve et andet eksempel. Er der nogen der kan gøre det på en anden måde? Side 34 af 36

35 Elev 2: Eleven tegner med det samme. E Det var 2, og så en, to, tre, fire. L Hvad var det du sagde du gjorde? E Jeg tog først alle tierne L Okay, alle tierne. E Og så tog jeg de her (enerne). Så siger vi 1, 2, 3 og 1, 2, 3, 4 og så 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Så det må blive 67, ikke? L 67, jo. L Hvad er forskellen på de måder i har gjort det på? E Ved min Det er fordi han ikke startede med alle tierne. L Hvad startede han så med? E Han startede med Det mindste tal. L Jah, han startede med det mindste tal. Han startede på 23. Og du har taget alle tierne først? E Ja og så enerne. Side 35 af 36

36 Bilag 2 L læreren C elev Dialog: Eleverne arbejder selvstændigt med at finde en måde at addere 23 og 44 på perlesnoren. C: Jeg har fundet ud af en. L: Har du fundet en? Kan du forklare den? C: Ja, jeg tog først de der 4, så kom jeg op til 40, så tog jeg de 2 10 ere og så 3. L: Så du tog de 3, så du havde de 23? C: Ja og så kan man se hvor mange det giver. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 63 L: Hmm, ja, men det var jo 44. C: Åhh ja, 44. L: Så hvad mangler vi? Du har 23 plus. C: 1,2,3,4 øhm, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 61, 62, 63 øhm nej.. (fjerner den ene klemme fra perlesnoren) L: Nårh ja, du kan jo lige fjerne den klemme så bliver det nok lidt nemmere at overskue. C: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, fordi det var 44. L: Ja det er rigtigt. Side 36 af 36