Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2006 Institution Selandia-CEU Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik, niveau C Jens Hviid Hold 1.f Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Talbehandling Regnehierarki Rette linier, ligninger og uligheder Polynomier (specielt 2. gradspolynomier) Det gyldne snit Titel 6 Matematisk analyse 1 Titel 7 Matematisk analyse 2 Titel 8 Finansiel regning
Forløb nr. 01: Ugerne 33 37 : TALBEHANDLING Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 20 timer á 60 minutter Delemner Tabeller og diagrammer (suppl. stof 5 timer) Procent og indeks (suppl. stof 5 timer) Beskrivende statistik (kernestof 10 timer) Formål At eleverne får kendskab til og kan arbejde konstruktivt med tabel og øvrigt talmateriale, som de støder på især i fagene virksomhedsøkonomi, afsætning, samfundsfag og matematik, herunder også metoder til valg af præsentationsform og udtræk af karakteristika Mål Eleverne skal kunne gengive tabel og/eller taloplysninger i et til formålet overskueligt diagram. Eleverne skal i tilfælde af, at talmaterialet foreligger over en årrække kunne udregne procentvise ændringer fra år til år og beregne indekstal til at beskrive udviklingen og kunne kende forskel på ændringen i procent og ændringen i procentpoint. Eleverne skal i den beskrivende statistik være i stand til at beregne og fortolke forskellige mål for centrale tendenser i data, f.eks. : middelværdi(gennemsnit ) median typetal Eleven skal tillige være i stand til at beregne og fortolke forskellige mål for variation i data, f.eks. : varians standardafvigelse interkvartilbredde 5 punkts summering Ovenstående gælder både for enkeltstående og grupperede observationer. Desuden skal eleverne beherske begreberne frekvens og summeret frekvens, lige som data skal kunne præsenteres i forskellige former
for grafik : pindediagrammer og søjlediagrammer/histogrammer trappediagrammer og sumkurver kassediagrammer For et talmateriale med mange observationer skal metoder til optælling og opstilling af frekvenstabeller beherskes Forudsætninger (Elev og IT faciliteter) Elev : Ingen udover Folkeskolens Afgangsprøve i Matematik IT : Fuld adgang til Excel og Intra-/Internet i samtlige timer og mulighed for projicering af skærmbilleder på storskærm i undervisningslokalerne. Eleverne skal være i besiddelse af en grafisk lommeregner (TI 83/84 eller lignende) Metode Undervisningen tager udgangspunkt i problemstillinger fra de berørte fag nævnt under formålet. Der anvendes en vekselvirkning mellem induktiv og deduktiv læring afhængig af emnet ligesom der veksles mellem lærerpræsentation, hvor underviseren præsenterer og perspektiverer emneområderne og elevaktiviteter, hvor eleverne indøver metoderne og præsenterer resultaterne for hinanden. IT/Teknik De faglige mål opnås bl.a. ved at IT løbende integreres i undervisningen, idet regneark(excel) og lommeregner(ti 83/84) anvendes sideordnet. Evaluering/Produkter Caseopgave: Redningstjenesten. (6 elevtimer) Udleveres i uge 35 og afleveres i uge 38 Emneopgave: Statistik. (8 elevtimer) Udleveres i uge 36 og afleveres i uge 39 Projektopgave (5 elevtimer) I uge 37 Tilrettelæggelse Se særskilt lektionsplan for Matematik C, grundforløb efterår 2005
Forløb 2: Regnehierarki Område: Kernestof stof Uge 38-39 Forudsætninger: Ingen, udover folkeskolens afgangsprøve. Formål: At eleverne får kendskab til og kan arbejde med de grundlæggende regneregler i forbindelse med parenteser, brøker, potenser og rødder Mål: Eleverne skal kunne Anvende viden om regnereglerne til løsning af ethvert matematisk problem. Kernestof: Grundlæggende regneregler Det algebraiske regnehierarki Ophævelse af parenteser Sætte fælles faktorer udenfor parentes Kvadratsætningerne Brøkregning Potenser og rødder Didaktik: Undervisningen er primært induktiv. Tilrettelæggelse/ Studiemetoder: Vekselvirkning mellem lærerpræsentation, hvor underviseren præsenterer på pågældende regneregler og elevaktiviteter, hvor eleverne indøver reglerne og efterfølgende præsenterer resultaterne for hinanden. Evaluering: Kommentarer til præsentationen Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 6 lektioner á 60 min. Materialer: Antonius, Clausen og Hansen: Matematik B1 side 24-42
Forløb 3 Rette linier samt ligninger og uligheder af første grad Uge 40 45 Forudsætninger : Ingen, udover folkeskolens afgangsprøve. Formål - at eleverne får kendskab til den rette linie / den rette linies ligning og opnår færdigheder til løsning af førstegradsligninger og uligheder - at eleverne får kendskab til matematisk modeldannelse og matematisk beskrivelse af praktiske sammenhænge. Mål Kernestof: Eleverne skal kunne - indse, at den rette linie er det grafiske billede af en mængde ordnede talpar (x,y), hvor y-værdiens afhængighed af x er beskrevet ved ligningen y = ax+b - bestemme y ud fra kendte værdier af x samt bestemme x ud fra en kendt værdi af y - løse èn ligning med èn ubekendt samt løse simple uligheder ( ax+b>tal ; ax+b<tal ) grafisk og ved beregning - bestemme liniens ligning ud fra kendte punkter på linien ( grafisk og ved beregning ) - bestemme liniens ligning ud fra en given hældning og et kendt punkt - løse to ligninger med to ubekendte; dvs. bestemme evt. skæringspunkt mellem to rette linier - løse uligheder af typen ax+b>cx+d og ax+b<cx+d grafisk og ved beregning Supplerende stof: Eleverne skal kunne - arbejde med simpel modeldannelse inden for de økonomiske fag, herunder eksempelvis problemstillinger, hvor der forudsættes lineær sammenhæng mellem enhedspris og afsætning og mellem omkostninger og afsætning - beskrive praktiske sammenhænge, herunder eksempelvis gøre rede for, om der i et givet empirisk tabelmateriale er tale om en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng, og i givet fald formulere denne sammenhæng matematisk. Side 1 af 2 sider
Didaktik Primært deduktivt ved gennemgangen af kernestoffet og induktivt ved matematisk modeldannelse og praktisk anvendelse. IT Excel regneark og grafregner ( TI83/84 ) inddrages løbende i undervisningen. Evaluering Tilbagemelding på øvelses- og afleveringsopgaver. Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 12 lektioner à 60 minutter.
Forløb 4: 2. gradspolynomier Område: Algebra og analyse. Uge 46-49 Forudsætninger: Forløb 3: Rette linier samt folkeskolens afgangsprøve. Formål: Eleverne skal få kendskab til 2. grads polynomier mht parametre, graf samt anvendelse i forbindelse med simpel modelanvendelse. Mål: Eleverne skal ud fra parametrene kunne beskrive grafen, bestemme toppunkt og nulpunkter. Ud fra en simpel pris funktion kunne bestemme omsætningsfunktionen. Kernestof: Supplerende stof: Parametrenes (herunder d) betydning for et 2. grads polynomium Bestemmelse af toppunkt og tegning af graf Beregning af nulpunkter Faktorisering af et 2. grads polynomium ud fra nulpunkter Fortegnsundersøgelse og monotoniforhold for et 2. grads polynomium Anvendelse af 2. grads polynomier specielt i forbindelse med prisfunktioner og omsætning Didaktik: Undervisningen er primært induktiv. Tilrettelæggelse/ Studiemetoder: Vekselvirkning mellem lærerpræsentation, hvor underviseren præsenterer regneregler og elevaktiviteter, hvor eleverne indøver reglerne og efterfølgende præsenterer resultaterne for hinanden. Evaluering: Kommentarer præsentation på klassen samt tilbagemelding på afleverings opgave og karakter for multiple choice. Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 10 lektioner á 60 min. Materialer: Antonius, Clausen og Hansen: Matematik B1 side 169 192.
Forløb 5: Algebra/Det gyldne snit Område: Supplerende stof Uge 4-5 Forudsætninger : Ingen, udover folkeskolens afgangsprøve. Andre fag: Dansk og evt. afsætning Formål : At eleverne får kendskab til og kan arbejde med det gyldne snit og gyldne rektangler. Mål: Eleverne skal kunne: Definere et gyldent rektangel Definere det gyldne snit Give eksempler på hvor man i dagligdagen finder gyldne rektangler og anvender det gyldne snit Kernestof: Pythagoras læresætning Supplerende stof: Konstruktion af gyldne rektangler Konstruktion af det gyldne snit Bevis: Hvordan et gyldent rektangel konstrueres Bevis: Hvordan det gyldne snit findes Didaktik: Undervisningen er primært induktiv. Arbejdsformer: Studiemetoder: Produkter: Gruppearbejde Casebaseret Øvelsesopgaver Caseopgave (1 elevtime) Fremlæggelse af caseopgave og beviser
Evaluering: Respons på øvelsesopgaver Kommentarer til fremlæggelse Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 8 lektioner á 60 min. Materialer: Eigil Peter Hansen: Matematik i kunsten, Munksgaard 1993 Side: 7-9, 32-42, 54-55 - Forholdet mellem siderne i et gyldent rektangel - Konstruktion af et gyldent rektangel og bevis heraf - Sådan laves det gyldne snit Bevis: Punktet p deler liniestykket i det gyldne snit. Hentet på: http://home3.inet.tele.dk/pmh/tema/gylden.htm side 1
Forløb 6 : Matematisk analyse Uge 5-8 Forudsætninger : Folkeskolens afgangsprøve Forløb 3 : Rette linier Forløb 4 : Andengradspolynomier Formål Det er formålet - at eleverne får kendskab til det generelle funktionsbegreb herunder forståelse for funktion som en éntydig sammenhæng mellem en uafhængig variabel og en afhængig variabel - at eleverne får kendskab til en struktureret standardanalyse af en matematisk funktion Endvidere er det formålet - at eleverne får kendskab til stykkevis definerede funktioner Følgende funktionstyper indgår: Primært førstegrads- og andengradsfunktioner samt stykkevis lineære funktioner. Andre funktionstyper end de ovenfor nævnte kan også inddrages, f.eks. i forbindelse med gennemgangen af det generelle funktionsbegreb, og i forbindelse med gennemgangen af funktionsanalysen baseret på grafiske aflæsninger. Mål Kernestof: Eleverne skal kunne beskrive en funktion - sprogligt - ved hjælp af en regneforskrift - ved hjælp af en tabel og - ved hjælp af grafen i et koordinatsystem Endvidere skal eleverne - have kendskab til begreberne definitionsmængde og værdimængde - kunne bestemme nulpunkter og udarbejde fortegnsundersøgelse - kunne bestemme monotoniforhold og ekstrema ud fra såvel grafiske betragtninger som ud fra argumenter om parametre - kunne faktorisere funktioner af højere grad - kunne redegøre for parametrenes betydning for grafens forløb samt redegøre for parametrene ud fra grafens forløb - have kendskab til stykkevis definerede funktioner herunder
stykkevis lineære funktioner Side 1 af 2 sider - kunne tegne grafen for en stykkevis defineret funktion ud fra en regneforskrift samt anvende grafen til aflæsninger - kunne opstille en regneforskrift for en stykkevis lineær funktion ud fra en praktisk problemstilling. Didaktik Undervisningen er primært induktiv Tilrettelæggelse/ Vekselvirkning mellem lærerpræsentation og elevfremlæggelse studiemetoder Evaluering Kommentarer til elevfremlæggelserne samt tilbagemelding på 1-2 traditionelle afleveringsopgaver ( 3 elevtimer pr. afleveringsopgave ) IT Primært grafregner ( TI 83/ TI 84 ). Tilrettelæggelse Materialer Forløbet er planlagt til 12 lektioner á 60 min. Antonius, Clausen og Hansen: Bind 1 : Side 112 124 Side 126 137 ( REPETITIONSSTOF) Side 124 158 ( REPETITIONSSTOF) Side 160 164 Side 170 182 ( REPETITIONSSTOF) Bind 2: Side 22 31 ( fotokopieres )
Forløb nr. 7: Ugerne 11, 12, 13 og 14 : Matematisk analyse Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 12 timer á 60 minutter Delemner Eksponentielle funktioner Andre væksttyper, lineær - Logaritmefunktioner Funktionspapirer og Excel og potensvæks t (kernestof 9 timer) (supplerende stof 3 timer) Formål At eleverne får kendskab til og kan arbejde indgående med forskellige typer af vækstfunktioner, herunder specielt eksponentialfunktioner. Mål Eleverne skal kunne: identificere eksponentielle sammenhænge og skelne sådanne fra andre typer af vækst beskrive en eksponentiel udvikling grafisk og analytisk anvende eksponentielle funktioner til modellering anvende viden om eksponentiel vækst til løsning af konkrete problemer anvende logaritmefunktioner log(x) og ln(x) til analystisk løsning af eksponentielle ligninger Dette fordrer, at eleverne skal kunne håndtere: indtegning af eksponentielle funktioner i såvel et almindeligt som et enkeltlogaritmisk koordinatsystem opstilling af en regneforskrift for en eksponentiel funktion ud fra f.eks. en tekst og/eller to kendte punkter på grafen løsning af eksponentielle ligninger ved aflæsning og/eller ved hjælp af IT og/eller logaritmefunktioner 3 typer af koordinatsystemer funktionspapirerne, enten fysisk eller v.hj.a. Excel
Forudsætninger (Elev og IT faciliteter) Elev : Folkeskolens Afgangsprøve i Matematik samt Funktioner 1 fra Matematisk analyse IT : Fuld adgang til Excel og Intra-/Internet i samtlige timer og mulighed for projicering af skærmbilleder på storskærm i undervisningslokalerne. Eleverne skal være i besiddelse af en grafisk lommeregner (TI 83/84 eller lignende) Metode Undervisningen tager udgangspunkt i praktiske problemer, der indeholder eksponentiel vækst, f.eks. sammensat rentesregning, afskrivning efter saldometoden, vækst i bakteriekulturer, radioaktivt henfald, befolkningsmodeller mm. den induktive metode. Den deduktive metode anvendes kun ved den formelle løsning af eksponentielle ligninger (brug af logaritmefunktioner) samt ved udledning af formlerne til bestemmelse af de to konstanter, der indgår i forskriften for en eksponentiel funktion, når den vides at gå gennem to kendte punkter IT/Teknik De faglige mål opnås bl.a. ved at IT løbende integreres i undervisningen, idet regneark(excel) og lommeregner(ti 83/84) anvendes sideordnet. Evaluering/Produkter Emneopgave (8 elevtimer) Traditionel opgave, der afleveres i uge 12 (2 elevtimer) Tilrettelæggelse Se særskilt lektionsplan for Matematik C, forår 2006
Forløb 8: Finansiel regning Uge 16-20 Forudsætninger: Eksponentielle udviklinger samt folkeskolens afgangsprøve. Formål: Eleverne skal kunne forstå rentesregning og annuitetsregning til bestemmelse af kapitalværdier på forskellige tidspunkter samt sætte annuiteter i forbindelse med opsparing og gældsættelse. Mål: Kernestof: Supplerende stof: Eleverne skal kunne udlede alle fire parametre i formlen for rentesregning, samt udlede formlerne. Kunne anvende annuitetsformlerne til beregning af alle parametrene. Bruge excel og lommeregner til at beregne ovennævnte. Beregne kapitalværdier til forskellige tidspunkter. Bestemme og udlede renten pr. termin og antallet af terminer ud fra formlen for rentes regning. Bestemme fremtidsværdien og nutidsværdien for en annuitet, herunder bestemme ydelse, antal terminer og renten pr. termin. Kunne anvende excel og lommeregner til bestemmelse af ovennævnte. Simpel investeringsterori, hvor eleven ud fra kapitalværdimetoden skal kunne vurdere om en investering er fordelagtig. Didaktik: Undervisningen er primært deduktiv, hvor der tages udgangounkt i konkrete eksempler/små cases. Udledningen af formler vil være induktiv. Tilrettelæggelse/ Studiemetoder: IT: Vekselvirkning mellem lærerpræsentation, hvor underviseren præsenterer regneregler og udleder disse, samt elevaktiviteter hvor eleverne indøver reglerne og efterfølgende præsenterer resultaterne for hinanden. Lommeregner til beregning inkl. finansielt program. Excel specielt til større beregninger herunder amortiseringspalner. Evaluering: Kommentarer til præsentation på klassen samt tilbagemelding på opgaver/cases og karakter for multiple choice.
Tilrettelæggelse Forløbet er planlagt til 15 lektioner á 60 min. Materialer: Antonius, Clausen og Hansen: Matematik B1 side 281 312.