Opgave 6 Variablen Y er isoleret i ligningen Y = CS + c (Y t Y + T R) + I + G hvilket giver Y = CS+G+I+T R c c t c+1. Se Bilag 3! Opgave 7 Sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt pakke vejer mindre end 490 gram er 0.16. Et histogram overfordelingen af pakkernes vægt er givet i nedenstående figur. c) Pakkernes gennemsnitlige vægt er 502.5. Nedre kvartil er494, medianen er503 og øvre kvartil er 511. side 1 af 6
Opgave 8 Funktionen f er givet ved forskriften Funktionens nulpunkter bestemmes. f (x) = x ( x 2 + 10x )1 /2, 0 x 10. x ( x 2 + 10x )1 /2 f (x) = 0 = 0 x = 0 ( x 2 + 10x )1 /2 = 0 x = 0 x 2 + 10x = 0 x = 0 x ( x + 10) = 0 x = 0 x = 0 x + 10 = 0 x = 0 x = 10 Funktionen har således nulpunkterne x = 0 og x = 10. Da funktionen f er et produkt af 2 funktioner som er nul eller positive er funktionen positiv i ]0; 10[. Opgave 9 Sammenhængen pri y = d (x) og mængden x er givet ved Da er den afledte og højre side af differentialligningen bliver d (x) = 100000 x + 10 = 100000 (x + 10) 1 d (x) = 100000 (x + 10) 2 = 100000 (x + 10) 2 d (x) x + 10 = 100000 x+10 x + 10 = 100000 (x + 10) 2 Da de to sider af differentiallignen er ens er funktionen d en løsning. side 2 af 6
Udbudskurven er er givet ved s (x) = 80x + 100, x 0. Ligevægtsmængden og prisen bestemmes som kurvernes skæringspunkt. Ligevægtsmængden er 30. Ligevægsprisen er s (30) = 80 30 + 100 = 2500. c) Forbrugeroverskuddet beregnes som integralet mellem den konstante punktion P og funktionen d (x), hvilket giver 100000 ln (10) + 100000 ln (40) 75000 = 63629.44. Opgave 10 Nedenfor er angivet et xy-plot afantallet af familier med bil plottet som funktion af årstallet efter år 2000. Det giver følgende regressionsmodel. B (x) = 18375x + 1499230 side 3 af 6
Et 95 % konfidensinterval beregnes som ( ) 1/2 ( SSE 922608746 â ± t 1 α/2,n 2 = 18375 ± 2.2 Sxx (n 2) 182 11 = 18375 ± 1493 hvilket i afrundede tal giver en 95 % konfidensinterval på [16900;19900]. ) 1/2 c) I perioden 2000 til 2012 er antalet af familier med bil steget omtrent lineært og ud fra en gennemsnitsbetragtning kan man sige at at antallet af biler er steget med over 18 000 pr. år i prioden. Artiklen påstår imidlertid at antallet af biler er steget med 17000 hvert eneste år, men en granskning af tallene viser imidlertid i 5 af årene har signingen været mindre end 17 000. Artiklens formulering er derfor ikke korrekt. At lave et 95 % konfidensinterval er øjensynligt en meningsløs aktivitet, idet der ikke er tale om en stikprøve. De 95 % fortæller heller ikke direkte noget om hvor ofte den årlige stigning ligger inden for konfidensintervallet, idet dette sker i ikke mindre end 42 % af årene. Opgave 11 Det samlede ugentlige dækningsbidrag kan beskrives ved funktionen DB (x, y) = x p (x) + y q (y) = x ( 0.2x + 700 100) + y ( 0.25y + 900 100) = 0.2x 2 + 600x 0.25y 2 + 800y. Niveaukurven N (890000) er en ellipse idet kriteriefunktionen er er en kvdratisk funktion i 2 variable, hvor koefficienterne til andengradsleddene har samme fortegn. side 4 af 6
c) Da koefficienterne til 2.-gradsleddene er negative har kriteriefunktionen frit maksimum i ellipsernes centrum som er ( b (p, q) = 2a, d ) 2c ( ) 600 = 2 ( 0.2), 800 2 ( 0.25) = (1500, 1600). Da denne produktionssammensætning opfylder bibetingelserne, skal der produceres 1500 ERGO og 1600 FLEX for at opnå det størst mulige dækningsbidrag. Det maksimale dækninsbidrag er DB (1500, 1600) = 0.2 1500 2 + 600 1500 0.25 1600 2 + 800 1600 = 1090000 så det maksimale dækningsbidrag er 1 090 000 kroner pr. uge. Opgave 12A Data er indlæst i Open Office Calc og uptalt ved hjælp af en pivottabel Bidragene til χ 2 -teststørrelsen fremgår af nedenstående tabel. Som det fremgår er χ 2 -teststørrelsen 109, hvilket er så langt over den kritiske værdi at p-værdien er omtrent 0. Vi kan derfor afvise at antallet af besøgende fra forskellige lande er uafhængigt af hvilket kvartal det drejer sig om. Opgave 12B Den månedlige ydelse bestemmes ved y = A 0 r 1 (1 + r) n side 5 af 6
såden månedlige ydelse er 2269.75 kroner. = (840000 0.4) = 2269.75 0.0044 1 1.0044 240 Efter 10 år er restgælden R n = A 0 (1 + r) n y (1 + r)n 1 r = (840000 0.4) 1.0044 120 2269.75 1.0044120 1 0.0044 = 211258.92 så restgælden er lidt for stor til at Andrea kan betale den ud ved hjælp af arven på 200 000 kroner. Opgave 12C Dækningsbidraget er givet ved D (x) = R (x) C (x) = ( 0.75x 2 + 4500x ) ( 0.0001x 3 0.7x 2 + 2700x ) = 0.0001x 3 0.05x 2 + 1800x. Dækningsbidraget ved salg af 2000 ekspressomaskiner er derfor D (2000) = 0.0001 2000 3 0.05 2000 2 +1800 2000 = 26000 kroner. Den afledte er D (x) = 0.0003x 2 0.1x + 1800. Vi løser ligningen D (x) = 0 ved hjælp af CAS hvilket giver løsningerne x = 2621.82 og x = 2288.49 Da vi kun interesserer os for intervallet [0; 6000] finder vi værdierne D (0) = 0, D (2288.49) = 2658898 og D (6000) = ( 12600000). Det størst mulige dækningsbidrag er derfor 2 658 898 kroner. side 6 af 6