MAT B GSK december 009 delprøven uden hjælpemidler Opg Sumkurven for alderen i måneder på en HHX-klasses mobiltelefoner. 90%-fraktilen er 0, måneder a) Giv en fortolkning af 90%-fraktilen og bestem kvartilsættet.. Svar : 90% af samtlige mobiltelefoner har summeret frekvens en alder på højst 0, måneder. Kvartilsættet findes ved aflæsning %-fraktilen = 0%-fraktilen = 0,8 7%-fraktien = 7 Opg Funktionen f() = + Grafen for f har en tangent i røringspunktet (,f()). Se bilag. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet (,f()) og indtegn tangenten på bilag. f()=^+^- Svar : Tangentens ligning i ( 0, 0 ) : 8 = f ( 0 ) ( 0 ) + f( 0 ) f()=8- f () = + 8 =8- f () = 8 ; f() = 0 dvs. tangentens ligning i (;) : 8 f()= + - = f () ( ) + f() <=> = 8 ( ) + <=> = 8 Opg - a) Gør rede for, at følgende udsagn er sandt. ( + ) = + 8 + Svar : ( + ) = ( + ) ( + ) = + + = + + 8 = + 8 + Der gælder jo (a + b) = a + b + ab 0.9 0.8 0.7 0. 0. 0. 0. 0. 0. Serie Serie Serie Serie Serie 7 Serie 8 Serie 9 0 antal måneder - - 7 8 9 07 890 789 - - -0-8 - - - 8 0 - - (;)
Opg f() = + 8 a) Løs uligheden f() 0, og markér løsningen på bilag. Svar : b ± d + 8 = 0 <=> = <=> a ± = <=> = = f() 0 <=> Opg For vare A er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 0 hvor er efterspurgt mængde, og d() den tilsvarende pris. For vare A er sammenhængen mellem pris og udbud bestemt ved funktionen s() = + + 0 0 hvor er udbudt mængde, og s() den tilsvarende pris. Graferne for d() og s() er vist på figuren. Ligevægtsprisen er defineret ved den pris, hvor udbud og efterspørgsel er lige store. a) Bestem ligevægtsprisen for vare A. Svar : d() = s() <=> + = + + 0 <=> = 7 <=> = = <=> d() = s() = Dvs. ligevægtsprisen = 0 8 0 8 pris f()=^+-8 f()=0-9 -8-7 - - - - - - 7 8 9 - (;) - s() d() - - - - - -7-8 -9 f()= +-8 f()=^/-+ f()=^/++0 Serie 7 mængde
december 009 delprøven med hjælpemidler Opg Carstens mormor indbetalte.000 kr. den. januar 00 og.000 kr. den.juli 009 på Carstens uddannelsesopsparing. Renten var % pr. kvartal. dato beløb. januar 00 000 kr.. juli 009 000 kr. a) Vis, at saldoen umiddelbart efter indbetalingen den. juli 009 var 07,8 kr. Svar : Fra. januar 00 til. juli 009 er kvartaler. Opsparingen = 000,0 + 000 = 07,8 kr. Carsten startede sin uddannelse. august 009 og får udbetalt opsparingen i et fast beløb i de fem år, studiet tager. Den. august 009 fik Carsten sit første månedlige beløb. Renten i hele perioden er 0,% pr. måned. b) Hvor stort et beløb får Carsten udbetalt hver måned? Svar : Antal delser = = 0 A0 r 07.8* 0.00 delse = n = 0 99,8 kr. ( + r).00
Opg f() = + Funktionen kan beskrives ved nulpunkter, fortegn, monotoni, ekstrema og krumning. a) Beskriv funktionen f vha. af ovenstående analsepunkter. Svar : Nulpunkter : f() = + = 0 <=> ( + ) = 0 <=> = 0 + = 0 b ± d ± + = 0 <=> = <=> = <=> = = a Dvs. f() = + = 0 <=> = 0 = = ; L = { ;0;} 0 Fortegn f() 0 + 0 0 + Monotoniforhold : f () = + f () = 0 <=> b ± d ± + = 0 <=> = <=> = a + Fortegn f () + 0 0 + f() Ekstrema : f( ),0 er lokalt maimum og (,f( )) (,87;,0) lokalt ma.punkt + f( ) 0,88 er lokalt minimum og + + (,f( )) ( 0,; 0,88) lokalt minimumspunkt Krumningsforhold : f () = + f () = + = 0 <=> = Fortegn f () 0 + f () f() vendetangent (-,87;,0) b) Tegn grafen for funktionen f, og markér resultater bestemt i a). Svar : Se grafen ovenfor f() - 0 7 f()=^+^- Serie Serie Serie Serie f()=-/-/7 - - - - - - (0,;-0,88)
Opg El butikskæde har 0 filialer, hvis salg af støvsugere i en bestemt uge er følgende : 0 0 antal i a) Tegn et diagram, der viser fordelingen af solgte støvsugere pr. uge. Svar : Tabel opstilles hppighed frekvens Summeret Produkt h i f i frekvens F i i f i Produkt ( i _ ) f i 0 0, 0, 0 0,9 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,07 0, 0,8 0,7 0, 0,,0 0,8 0.78 0. 0. 0. 0. 0. fi 0 n = i = h i = 0 i = f i =,00 _ = i = f i i =, s _ = ( i ) fi i = Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. tpetal, median, kvartilsæt, gennemsnit, varians og standardafvigelse. b) Beskriv fordelingen vha. statistiske deskriptorer. Svar : Tag udgangspunkt i tabellen. Tpetal = ; median = ; variationsbredde = 0 = kvartilsæt = (;;) + bo-plot (Q,median,Q ) = ( Gennemsnit/middeltal µ = _ = varians s = pindediagram i = _ ) i = Serie Serie Serie i + + ; ; f i i =, ) = (,; ;) ( i f i, ; Standardafvigelse s = s, 0.9 0.8 0,7 0, 0.7 0. 0. 0. 0. 0, 0. 0. Fi 0 0.9 0.8 0.7 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 summeret frekvens bo-plot kvartilsæt= (,;;) variationsbredde=, Serie Serie Serie Serie Serie 7 Serie 8 Serie 9 0 i f()=0. Serie Serie Serie
Opg Sammenhængen mellem afsætningen, og stkprisen i kr. f() for en bestemt vare er f() = 0 + 00 є [0;00] Omsætningen O() = f() hvor f() er stkprisen i kr. ved en afsætning på stk. a) Bestem forskriften O() og bestem afsætningen, der giver størst omsætning. Svar : O() = f() = ( 0 + 00) = 0 + 00 O () = 0 + 00 pris 00 (0;00) O () = 0 <=> 0 + 00 = 0 <=> = 0 00 000 0 0 00 800 Fortegn = O () + 0 80 00 O() 00 Dvs. størst afsætning ved = 0 O(0) = 0 0 + 00 0 =.000 b) Bestem forskriften for den omvendte funktion f - (), og forklar betdningen af f - (80) = Svar : = f() = 0 + 00 <=> 0 = 00 <=> = 0 + 0 Btter om på og, dvs. = f - () = 0 + 0 f - (80) = betder, at ved en stkpris på 80 kr. svarer en afsætning på. 00 000 800 00 00 00 f - (80)= f()=-0+00 Serie (00;00) afsætning 0 0 0 80 00 0 0 0 80 00
Opg Galleri anlægger parkeringsplads til biler og busser Begrænsninger pga. areal mv. = # parkeringspladser til biler ; = # parkeringspladser til busser Betingelser : + 0 0 ; + 0 00 ; 0 ; 0 Parkeringsafgiften for en bil er kr. og for en bus 00 kr. Funktionen f(,) = a + b angiver den samlede indtægt i parkeringsafgift. a) Bestem en forskrift for funktionen f(,). Svar : Kriteriefunktionen f(,) = + 00 Niveaulinje N(t) er defineret ved f(,) = t. b) Tegn polgonområdet ud fra betingelser, og indtegn niveaulinjen N(00). Svar : + 0 0 <=> + + 0 00 <=> 0, + 0 N(00) : + 00 = 00 <=> = + Beregne skæringspunkt : + = 0, + 0 <=> 0, = <=> = 0 = 0 <=> = 0 c) Bestem det antal parkeringspladser for biler og busser, der giver den størst mulige indtægt i parkeringsafgift. Svar : Parallelforskdning af niveaulinierne viser, at maksimum fås i punktet (0;0). f(0;0) = 0 + 00 0 = 0 Alternativt : Udregne kriteriefunktionens værdier i hjørnepunkterne (0;0), (0;0), (70;0) og (0;0). f(0;0) = 0 ; f(0;0) = 000 ; f(70;0) = 70 ; f(0;0) = 0 Dvs. = 0 og = 0 giver størst mulige samlede indtægt i parkeringsafgift. 0 0 0 0 =-0,+ (0;0) f()=-0.+0 Skravering f()=-0.+ Skravering f()=-0.+ 0 0 0 0 0 0 70 80 90 00 N(00) =-0,+0
Opg A I trekant ABC kendes følgende størrelser : AB = 8 ; AC = 0 ; BC = a) Gør rede for at vinkel B = 8,0 Svar : Kender alle tre sider i ABC. Anvend cosinusrelationerne for at beregne vinkler. cos (B) = a + c b ac = BC => B = cos - 89 ( ) 8,0 0 + AB * BC * AB b) Bestem højden h A på siden BC. AC = + 8 0 **8 89 = 0 Svar : Trekantens areal T = BC AB sin(b) = a c sin(b) = 8 sin(8,0 ),98 Trekantens areal T = BC AB sin(b) = ha a = ha =,98 <=> h A,9 Opg B Omsætning i virksomhed var 9.000 kr. i år 000. Omsætningen er siden faldet med % om året. a) Bestem forskriften for den funktion f, der omgiver omsætningen år efter år 000. Svar : f() er en eksponentiel funktion med grundtal a = + r = 0,0 = 0,98 År 000 ~ = 0 dvs. b = f(0) = 9.000 Forskrift : f() = 9.000 0,98 b) I hvilket år forventes omsætningen at komme under 700.000 kr.? Svar : 9.000 0,98 = 700.000 <=> 0,98 700000 700000 = <=> ln(0,98 ) = ln( ) <=> 9000 9000 700000 700000 ln( ) ln(0,98) = ln( ) <=> = 9000,7 9000 ln(0,98) dvs. år efter, dvs. i år 0 000000 900000 800000 700000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 f()=9000*0,98 f()=9000*0.98^ Serie - 8 0 8,7