Mikkel - lige og ulige

Mikkel - lige og ulige kedeteget ved (bl.a.):. E videsbasis for matematikudervisig Jeppe Skott DPU, Århus Uiversitet DFM, Liéuiversitetet Elemet af udforskig i e situatio, hvor begreber og procedurer er eller ka blive ataget-fælles; Formulerig af ye spørgsmål og formodiger med udgagspukt i symboliseriger af hidtidige resultater; Forklariger og begrudelser formuleres med referece til de ataget-fælles begreber og procedurer. Ræsoemeter og beviser (NCTM, 008) Mikkel - lige og ulige Et eksempel på et LU-oplæg med udgagspukt i skoles matematikidhold; om arbejde med ræsoemeter i skole. E proces-produkt dualitet 1: Teachers kowledge Ex 1: a uiversity graduate (hoours) with comprehesive backgroud i mathematics, icludig abstract algebra, explais: 0 is the eutral elemet for additio i the whole 0 umbers. is the eutral elemet i the ratioals, 0 because: 0 + = 0 Cooey (1999), p. 1.. Ms. Daiels ad divisio-of-fractios Elise (grade ): "I was just woderig why, up there whe you go ad divide it ad dow there you multiply it, why do you chage over?" Ms. Daiels: [...] say we have a wall [...] 1/ of it is already paited, OK. So we have / of it left to pait [...] But we oly have eough pait to pait half of these three fourths [cotiues for a while] Well, I am just tryig to show you so you ca visualize what happes whe you divide fractios, but it is kid of hard to see. We'll just use our rule for right ow [...] Borko et al (199, p. 197-8) 1

. Teachers kowledge of decimals Opsamlig på forskigsresultatere: Ex. : Teachers of grades - scored more tha 90 % o a test o calculatios with decimals; fewer tha 0% could fid a umber betwee,1 ad,11. Natioal Research Coucil, 001, p. 7 The persistet failure [...] to show strog, defiitive relatios betwee teachers mathematical kowledge ad their effectiveess does ot imply that mathematical kowledge makes o differece [...] [However,] simply icreasig the umber of mathematics courses required are ot likely to be successful. [...] serious examiatio of the mathematics teachers use i the practice of teachig do have some promise[...] Natioal Research Coucil, 001, p. 7 Shulma: Those who uderstad... Shulma: a kowledge base for teachig He who ca, does. He who caot, teaches. George Berard Shaw Cotet kowledge; Geeral pedagogical kowledge; Curriculum kowledge; Pedagogical cotet kowledge; Kowledge of learers; Kowledge of educatioal cotexts; Kowledge of educatioal eds, purposes ad values; [Shulma: a kowledge base for teachig, ctd.] [Shulma: a kowledge base for teachig, ctd.] Cotet kowledge, beyod kowledge of the facts ad cocepts of a domai. It requires uderstadig the structures of the cotet matter. Substative structures: the orgaisatio of facts ad priciples; Sytactic structures: the ways i which truth or falsehood, validity or ivalidity are established. Shulma, 198, p. 9. Pedagogical cotet kowledge: Kowig what makes a particular topic difficult ad about studets likely pre-uderstadigs, e.g. steps i the developmet of umber, variable, etc. Kowig about possible models of ad represetatios of cocepts ad procedures, e.g. models of subtractio ad divisio, the ope umber lie, represetatios of fuctio.

Ball et al. (008): Mathematical kowledge for teachig Cotet kowledge: Commo cotet kowledge: fx at kue hådtere brøker, heruder at kue dividere med e brøk; Specialised cotet kowledge: fx at kue svare ordetligt, år e elev spørger, om hu ikke bare må dividere tæller med tæller og æver med æver; [Ball et al.: Mathematical kowledge for teachig, frtst.] Pedagogical cotet kowledge: Kowledge of cotet ad studets: Hvad er de typiske problemer for elever, fx i forbidelse med brøker? Kowledge of cotet ad teachig: Hvorda ka ma repræsetere et fagligt idhold på forskellige måder, hvad er e hesigtsmæssig tilgag til og rækkefølge i arbejdet fx brøker? Ball et al: mathematical kowledge for teachig Balls poite om upackig mathematics Et elevforslag: Du siger, vi skal gage med de omvedte; ka vi ikke bare dividere tæller med tæller og æver med æver det giver det samme? Et sådat forslag skal pakkes ud. Larry og Kaspers hjøre Kasper: I came to thik... I foud that whe you make oe of these, you do t use 7 ceticubes [shows a corer of a 9 9 9 cube]. Larry: Well how may do you use? Kasper: You oly use. Larry: Because//[is iterrupted] Kasper: //eve though by 9 is 7... because you make like this [takes off two rods of 8 ceticubes each]. Now there are 9 ceticubes. Larry: Yes. Kasper: Ad the these two, they are 8 each [shows the two rods of 8]. Ad together... that is. Larry: Ad that is, yes, ad that is simply because//[is iterrupted] Kasper: [tryig to remai i cotrol, talkig eagerly] //but Max he thought that the 8 8 8-cube would be...

Larry: Yes, well that is because this oe [picks up Kasper s cube, ad poits to the ceticube i the corer] //[is iterrupted] Kasper: //it couts as three. Larry: It belogs to - take good care ow - it belogs to this side, to this side, ad to this oe [ ] Balls brøker og situatioe med Larry Ligheder: E elev kommer med et forslag eller e idé, som lærere ikke umiddelbart ka overskue; Lærere vælger i begge tilfælde at forholde sig til det ude at svare og sage får lov at dø; I begge tilfælde kue der have kommet substatiel matematisk aktivitet ud af det. Balls brøker og situatioe med Larry Eksempel : vikler i regulære polygoer Forskelle: om forslaget er om udervisiges itederede idhold (fx divisio m. brøker) eller ej. Om forslaget er et stadardresultat eller ej. Hvis det er geerelt: Fortæller det om karaktere af de faglige aktivitet i klasse. Kræver det at lærere ikke bare ka upack, me også exted de pågældede matematik. ( ) 180 v() 0 90 108 0 7 8 7 8 9 10 11 1 (-)*180/ 0 90 108 0 8,71 1 10 1 17,77 10,079 v(+1)-v() 0 18 8,78,871,777,7777,079 1,9780 7 8 9 10 11 1 (-)*180/ 0 90 108 0 8,71 1 10 1 17,77 10,079 v(+1)-v() 0 18 8,78,871,777,7777,079 1,9780 Hvad u hvis det var e -kat og e (+a)-kat? (( + 1) ) 180 ( ) 180 ( + 1) 0 = ( + 1) a 0 ( + a)

Eksempel : vikler i regulære polygoer Er der et system i, hvilke regulære polygoer, der har heltallige vikler? Hvor mage mo der er af dem? ( ) 180 ( ) =