Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer løses med aktiviteten? På gymnasiet oplever eleverne faglige udfordringer i den matematiske modellering, dvs. hvordan kan vi ud fra virkeligheden lave en matematisk model, som efterfølgende kan bruges til at forudsige elementer i virkeligheden. Dette kræver, at eleverne kan skifte mellem de forskellige repræsentationsformer: sprogliggørelse - formulere problemet med ord tabel - systematisk og overskuelig præsentation graf - visuel afbildning formeludtryk - en matematisk model Yderligere oplever eleverne på gymnasiet, at der i højere grad end i grundskolen lægges vægt på præcision i sprogbrug Det at skrive matematiske forklaringer Færdigheds- og vidensmål Opgaven tager udgangspunkt i modelleringskompetencen, lineære sammenhænge og undersøgende arbejde. Fra FFM kan forløbet bl.a. ramme: Modellering (3): Eleven kan vurdere matematiske modeller. Eleven har viden om kriterier til vurdering af matematiske modeller. Funktioner (1): Eleven kan anvende lineære funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer. Eleven har viden om repræsentationer for lineære funktioner. 1
Kommunikation (3): Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt om matematik på forskellige niveauer af faglig præcision. Eleven har viden om afsender og modtagerforhold i faglig kommunikation. Forslag til læringsmål for forløbet: Eleverne skal lære at anvende lineære sammenhænge med repræsentationsskift. Eleverne kan vurdere hinandens modelleringsprocesser i forbindelse med arbejdet med praktiske problemstillinger/undersøgelser. En analyse af arbejdsprocessen Nedenfor side ses en analyse af de forventninger vi har til hvordan elever vil gribe opgaven an. MindMap et kan også findes på nedenstående link MindMap: (bubbl.us kan kopieres over i egen konto og arbejdes videre med) 2
Herunder følger en uddybning af hvilke teknikker eleverne skal anvende ved de forskellige trin. nr. aktivitet teknikker 1 Gæt Kvalificeret gæt byggende på forholdsberegninger 2 Sæt elastikker sammen - 3 Måle en elastik aflæse lineal 4 Trial and error, fysisk eksperiment - 5 Indsamle datasæt generere datasæt ved flere målinger 6 Begrænset datasæt generere datasæt ved få målinger 7 Opstille ligning kendskab til lineær sammenhæng og konstanternes betydning. 8 Division dividere den ønskede afstand med en af de observationer eleverne har foretaget 9 Gange op prøve at finde et tal man kan gange en af de fysiske målinger med for at opnå den ønskede afstand 10 Lave tabel Systematisere datasæt i tabel 11 Løse ligning løse 1. grads ligning af typen c=ax+b 12 Analog graf Kunne afsætte punkter i koordinatsystem 13 Digital graf Anvende IT-værktøj til grafftegning 14 Træk ned i regneark Anvende IT-værktøj til at lave flere målepunkter 15 Tilføje ret linje med lineal På øjemål indtegne den bedste rette linje 16 Tilføje tendenslinje Bestemmelse af tendenslinje vha digitalt værktøj 17 Bruge 2 punkter, hældningstal udregne forskel hældningstal ud fra to punkter 18 Beregning af tilvækster udregne forskelle og evt. udregne gennemsnit 19 Grafisk løsning bestemme x på en graf når y er kendt (eller omvendt) 20 Aflæse forskrift Bestemme a og b i lineær sammenhæng ved at se på grafen 3
Hvordan gennemføres undervisningen? Eleverne inddeles i grupper med tre elever i hver. Her kan man overveje om eleverne skal inddeles, således at gruppernes medlemmer er på samme faglige niveau. Eleverne præsenteres for det overordnede problem og elevdokumentet udleveres. Herefter arbejder eleverne på skift i grupperne (ca 15-20 min ad gangen), og der afholdes fælles konference, hvor grupperne (evt. kun nogle af dem) for resten af klassen kort fremlægger de undersøgelser, resultater og beregninger som de er kommet frem til for hinanden. Når eleverne har præsenteret deres arbejde, hjælpes de med at kategorisere de forskellige metoder og bidrag. Følgende spørgsmål kan stilles: Hvad er ens og hvad er forskelligt ved de præsenterede metoder? Er der en af metoderne, der er mere hensigtsmæssig i forhold til andre? Efter første runde forventes at eleverne har identificeret at de kan variere antallet af elastikker og måle højden. Efter anden runde vil vi forventer at nogle elever har lavet sammenhængende målinger mellem antal elastikker og højden. Forløbet afsluttes fælles med, at eleverne tester det antal elastikker de er kommet frem til på den angivne højde, og efterfølgende reflektere over spørgsmålet: Hvad kunne være gjort bedre? Kravene til elevernes skriftlige produkt præsenteres ikke i starten af forløbet, da det vil kunne bruges som disposition eller idebank for i hvilken retning vi som lærere ønsker, at eleverne skal bevæge sig. Nedenfor ses et forslag til de skriftlige krav en aflevering kan indeholde præsentation af problemet præsentation af hvilke undersøgelser der er foretaget præsentation af data analyse af data herunder grafer og beregninger en konklusion, hvor der præsenteres hvad I er nået frem til. Hvis ikke man ønsker en skriftlig aflevering kan forløbet afsluttes mundtligt, evt. som træning forud for den mundtlige prøve, hvor de samme krav, som er beskrevet til den skriftlige opgave præsenteres mundtligt. 4
Hvordan kan grupperne hjælpes videre undervejs i processen (eksempler)? Hvilke spørgsmål kan stilles hvis eleverne strander ved nogle teknikker og skal hjælpes videre? Eleverne måler en enkelt elastik (nogle vil derefter kunne lave en ligning, men de når ikke i gennem repræsentationsskift): Har I undersøgt om antallet I gætter på virker i virkeligheden f.eks. på 2 m? (kan lede eleverne videre til at sætte flere elastikker sammen og prøve sig frem). Begrænset datasæt (ved meget få datasæt vil usikkerheden bliver meget stor): Har I prøvet om antallet virker i virkeligheden f.eks. på 2 m? Hvor sikre er I på, at I har en tilstrækkelig mængde data? Trial and error (eleverne prøver sig frem med fysiske eksperimenter og får usystematisk data. Her efter ganger de op eller dividerer ud. Ingen repræsentationsskift.): På hvilken måde kan I systematisere jeres undersøgelser? (spørgsmålet skal gerne lede eleverne på vej hen imod at lave en tabel) Bruge to punkter - stgningsstal (eleverne udvælger to punkter fra deres tabel, finder hældningen og aflæser/ganger op/dividerer ud. De kan ende med to punkter der ikke passer med datapunkterne): Hvilke overvejelser gjorde I, da I valgte netop de to punkter? Hvordan ser det ud når I tegner det? Har I prøvet om antallet virker i virkeligheden f.eks. på 2 m?(spørgsmålet skal give overvejelse over om de punkter man har valgt ud passer med resten af datapunkterne) Trække ned i regneark (Eleverne skriver de første punkter ind i regneark, og trækker ned så regnearket giver et bud på talrækkefølgen. Stor usikkerhed og ingen repræsentationsskift): Har I prøvet om antallet virker i virkeligheden f.eks. på 2 m? Hvordan ser det ud når i tegner det? Beregning af tilvækster (eleverne laver tabel og beregner stigningen ud fra gennemsnit af deres datapunkter, og ganger op/dividerer ud): Hvordan passer jeres beregnede stigning med virkeligheden? Hvis I tegner en graf ud fra jeres beregnede stigning, passer den så med den bedste rette linie ud fra jeres datapunkter? 5