sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

Transkript

1 LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul

2 : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem x når vi kender y 3 6 LineÄr väkst 4 7 Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst 4 8 Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller 4 9 Find ligning ud fra lineär graf 5 0 Tegn graf ud fra lineär ligning 5 LineÄr regression 6 2 Regression, Årstal 6 3 Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter 7 4 Bestem skäringspunkt mellem to grafer 7 5 HvornÅr bliver A billigst? 8 LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx É 203 Karsten Juul 29/9-203 Nyeste udgave af dette häfte kan downloades fra matdk/noterhtm HÄftet må bruges i undervisningen hvis läreren med det samme sender en om dette til kj@matdk og oplyser fulde titel og Årstal samt hold, niveau, lärer og skole

3 : OplÄg om lineäre sammenhänge Vi kñber en 2 mm hñj plante som vokser 4 mm hver dag Vi kan tänke os til fñgende: Efter dag er hñjden 2 4 mm Efter 2 dage er hñjden Efter 0 dage er hñjden Efter x dage er hñjden mm mm 2 4 x mm Der gälder altså at når y er hñjden (i mm), er y 4 x 2 Ligningen for denne sammenhäng er altså af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kñbet er hñjden 2 mm, en prik der viser at dag senere er planten 4 mm hñjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm hñjere, osv Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge på en ret linje Derfor kalder man en sammenhäng lineär når stigningen hele tiden er den samme NÅr stigningen hele tiden er den samme, må ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gñr värdien af x Ön enhed stñrre For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gñr x Ön enhed stñrre AltsÅ bliver y-värdierne stñrre og stñrre, så sammenhängen er voksende For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gñr x Ön enhed stñrre AltsÅ bliver y-värdierne mindre og mindre, så sammenhängen er aftagende LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side 203 Karsten Juul

4 2 Ligning for lineär sammenhäng 2a Regel: En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y = a x + b hvor a, b og x kan väre alle tal Tallet a som står foran x kaldes häldningskoefficienten Den lineäre sammenhäng er voksende hvis a er positiv er aftagende hvis a er negativ 2b Eksempel: Hvis a = 5 og b = 2 er y = 5 x + ( 2) dvs y = 5x 2 2c Eksempel: Hvis a = og b = 0,25 er y = x + 0,25 dvs y = x + 0,25 3 Graf for lineär sammenhäng 3a Regel: Grafen for en lineär sammenhäng er en ret linje 3b Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Metode : Da grafen er en ret linje, behñver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at få stor nñjagtighed NÅr x 3 er y 0,5 ( 3) 0,7 0, 8 NÅr x 4 er y 0,5 4 0,7 2, 7 Grafen er den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7) Metode 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5 x 0, 7 på Nspire på en grafside og får grafen til hñjre Vi kan afläse denne graf nñjagtigt ved at afsätte et punkt på grafen og Ändre en af punktets koordinater LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul

5 4 Bestem y når vi kender x 4a Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stñrrelser NÅr y er tykkelsen, målt i mm, og x er diameteren, målt i mm, er y 0,2x 0, Metode: Hvad er tykkelsen når diameteren er 4 mm? SpÑrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er y når x er 4? Vi indsätter 4 for x i y 0,2x 0, og får y 0,2 4 0, Vi udregner hñjresiden og får y 2,9 Konklusion: Tykkelsen af en skive er 2,9 mm når dens diameter er 4 mm Da der i opgaven står at y er tykkelsen og x er diameteren I opgaven står at y er tykkelsen 4b Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y,4 x 0,3 Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat, 5 Metode: NÅr x, 5 er y,4 (,5) 0,3 2, 4 (,5,? )? Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat, 5 har y-koordinat 2, 4,5 5 Bestem x når vi kender y 5a Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stñrrelser NÅr y er tykkelsen, målt i mm, og x er diameteren, målt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er diameteren når tykkelsen er 4,5 mm? Metode: SpÑrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er x når y er 4, 5? Vi indsätter 4, 5 for y i y 0,2x 0, 4,5 0,2x 0, Vi lñser denne ligning mht x og får x 22 og får Konklusion: Diameteren af en skive er 22 mm når dens tykkelse er 4,5 mm Da der i opgaven står at y er tykkelsen og x er diameteren I opgaven står at x er diameteren 5b Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen Metode: y 0,75 x,5 Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 2, 7 Vi skal finde et tal x så 2,7 0,75 x,5 Vi lñser denne ligning mht x og får x, 6 Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 2, 7 har x-koordinat, 6 2,7? (?, 2, 7) LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul

6 6 LineÄr väkst 6a Regel: For en lineär sammenhäng y ax b gälder: Hver gang vi gñr x Ön enhed stñrre, skal vi lägge a til värdien af y Dette er reglen for lineär väkst og reglen for hvad a i y = ax+b fortäller 6b Regel: For en lineär sammenhäng y ax b gälder: NÅr x er 0, er y lig b Dette er reglen for hvad b i y = ax+b fortäller 6c Eksempel: Af 6b og 6a får vi: PÅ grafen for y = 3x+5 ligger punkterne (0,5), (,8), (2,), (3,4) osv 6d Eksempel: Af 6b og 6a får vi: Hvis vi afläser punkterne (0,7), (,), (2,5), (3,9) på en lineär graf, er y = 4x+7 7 Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst Opgave Man skal betale 0 kr for at starte på et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr pr minut man spiller Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen y i kr for at spille når vi kender antal minutter x vi spiller Svar NÅr antal minutter x er 0 er prisen y lig 0 Hver gang vi gñr antal minutter x Ön stñrre, skal vi lägge 0,50 til prisen y Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: y 0,50 x 0 når x = antal minutter og y = prisen i kr 8 Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller Opgave Svar For en cirkel på et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen y 2 x 80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm Hvad fortäller tallene 2 og 80 om radius? Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gñr temperaturen x Ön grad stñrre, skal vi lägge 2 til radius y NÅr temperaturen x er 0, er radius y lig 80 Dvs: 80: Radius er 80 mm ved 0 C 2 : Radius bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul

7 9 Find ligning ud fra lineär graf ,5 Grafen til venstre viser sammenhängen mellem to variable x og y 0 NÅr x 0 er y, 5 Hver gang vi gñr x enhed stñrre, så bliver y 2 enheder stñrre Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: PÅ billedet til hñjre har vi vist hvor vi har afläst, 5 PÅ billedet til hñjre har vi vist hvordan vi ser dette Figuren viser grafen for sammenhängen y 2x, 5 0 Tegn graf ud fra lineär ligning SammenhÄngen y 0,5 x 2 er af typen y ax b med a = 0,5 og b = 2 NÅr x 0 er y 2 PÅ figur har vi brugt dette til at tegne et punkt på grafen Hver gang vi gñr x en enhed stñrre, skal lägge 0,5 til y PÅ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et grafpunkt Vi gentager dette og får punkterne på figur 3 Ud fra disse punkter kan vi tegne grafen Hvis tallene ikke er simple, tegner vi grafen ved en af metoderne fra ramme 3 Figur Figur 2 Figur 3 0,5 0,5 LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul

8 LineÄr regression Opgave Svar Vi har målt längde og bredde for nogle komponenter: längde i cm,5 2,5 3,5 4,5 5,5 bredde i cm 5, 5,3 5,9 6, 6,6 Bredden y, målt i cm, er med god tilnärmelse givet ved y ax b hvor x er längden målt i cm Find tallene a og b Vi indtaster tallene sådan at längde kommer på den vandrette akse og bredde kommer på den lodrette akse Nspire laver lineär regression på de indtastede tal og får f ( x) 0,38x 0,67 Dvs a 0,38 og b 0, 67 SÅdan taster vi på Nspire Vi välger vindue af type Lister og Regneark og taster tabel sådan Lad ikke markñr stå i sidste felt du Ändrer I menuen välger vi Statistik/ Statistiske beregninger/ LineÄr regression (mx+b) SÅ fremkommer et vindue vi udfylder som vist nedenfor I X-liste-feltet og Y-liste-feltet, skal du ikke taste navnet, du skal välge det NÅr vi i et matematikfelt i et notevindue taster f (x) og trykker på Ä får vi Den lineäre sammenhäng der passer bedst med tabellen, har ligningen y 0,38x 0, 67 2 Regression, Årstal Opgave Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt område árstal Antal boliger Svar Antallet af boliger kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen hvor y er antallet af boliger, og x er antal År efter 998 Find tallene a og b Vi taster fñlgende tabel: x y y ax b Vi taster ikke Årstal da x ikke er Årstallet Nspire laver lineär regression på hele denne tabel og får y,257x 4, 38 Dvs a,3 og b 4 Den lineäre sammenhäng der passer bedst med tabellen, har ligningen y,3 x 4 LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul

9 3 Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter Opgave: Svar: Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur x (målt i C) og overskud y (målt i mio kr) NÅr temperaturen er 3 C, er overskuddet 2 mio kr NÅr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio kr Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud Der er oplyst to x-värdier og tilhñrende y-värdier: Til x 3 svarer y 2 Til x 5 svarer y Vi har altså en tabel med to punkter: x 3 5 y 2 28 Nspire laver lineär regression på denne tabel og får y 2x 8 Ligningen y 2x 8 viser sammenhängen mellem temperaturen x i C og overskuddet y i mio kr BemÄrk: Grafen for y = 2x + 8 går präcist gennem punkterne ( 3, 2) og (5, 28) Det er fordi der kun er to punkter i tabellen NÅr der er flere målte punkter, vil de normalt ikke ligge präcist på linje PÅ forsiden af dette häfte er vist nogle punkter der ikke ligger präcist på linje Der er også vist grafen for den lineäre funktion der passer bedst med punkterne Denne funktion er bestemt ved lineär regression 4 Bestem skäringspunkt mellem to grafer Opgave: Metode : Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y,2 x 7,4 og y 0,6 x 2, 8 SkÄringspunktets x-koordinat er den x-värdi hvor de to ligninger giver samme y-värdi, dvs hvor,2 x 7,4 0,6 x 2,8 Vi lñser denne ligning mht x og får x 7 SkÄringspunktet ligger på grafen for y 0,6 x 2, 8 og har derfor y-koordinaten y 0,6 7 2,8 3 SkÄringspunktet er ( 7, 3) Metode 2: Vi får Nspire til at tegne de to grafer Vi Ändrer udsnittet af koordinatsystemet så vi kan se skäringspunktet Vi får Nspire til at finde skäringspunktet og får ( 7, 3) SkÄringspunktet er ( 7, 3) LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul

10 5 HvornÅr bliver A billigst? Opgave: Svar: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare NÅr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr er for A: y 3,5x 2239 for B: y 2x 888 HvornÅr bliver A billigst? Vi bestemmer fñrst x så de to priser er ens, dvs så 3,5x x 888 Vi lñser denne ligning mht x og får x 234 Efter dag 234 er A billigst A B LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx Side Karsten Juul