A11 1 Elastisk og plastisk deformation Af Jørgen Bilde-Sørensen

A11 1 Elastisk og plastisk deformation Af Jørgen Bilde-Sørensen Model til beregning af den kritiske forskydningsspænding Det kunne umiddelbart være nærliggende at forestille sig, at plastisk deformation sker ved, at atomlagene glider over hinanden på samme måde som bladene i et spil kort. Det er imidlertid ikke sådan, at plastisk deformation foregår. Det kan man let overbevise sig om ved at lave en overslagsberegning af den kritiske forskydningsspænding, man skulle finde, hvis atomlagene bare gled over hinanden. Fig. A11.11 viser to atomlag påvirket af en forskydningsspænding τ. Det er naturligt at antage, at ligevægtsspændingen τ vil variere sinusoidalt med den afstand, x, som øverste lag er forskudt i forhold til nederste lag. Det vil sige, at τ er proportional med sin(2πx/b). Endvidere må Hooke s lov gælde for små værdier af x. Det vil sige, at når x går mod nul, skal τ gå mod Gx/a. Det simpleste udtryk, der opfylder disse betingelser, er: Gb 2πx τ = sin( ) (1) 2πa b Den teoretiske kritiske forskydningsspænding er den værdi for τ, som man finder for x = b/4, altså Gb / 2π a G / 6. Imidlertid ligger de spændinger, man faktisk måler, typisk i området 10-4 til 10-8 G. Nok er det overslag, der er givet ovenfor, ikke særlig nøjagtigt, men det er ikke størrelsesordner ved siden af! Altså må plastisk deformation foregå på en anden måde. Denne beregning, der blev lavet af Frenkel i 1926, var da også baggrunden for at Orowan, Polanyi og Taylor uafhængigt af hverandre i 1934 foreslog eksistensen af dislokationer. I fig. A11.12 er vist en kantdislokation (jf. også fig. A4.12). Hvis denne kantdislokation påvirkes af en tilstrækkelig stor forskydningsspænding vil den kunne bevæge sig en afstand på én gitterafstand ved at bryde bindingerne 1-3 og etablere nye bindinger 1-2. Denne proces kan gentages ved dislokationens nye position, og på denne måde kan dislokationen bevæge sig hen over slipplanen. Den spænding, der skal til for at flytte en dislokation, kan også beregnes og er i overensstemmelse med den observerede styrke. Som et praktisk eksempel, der kan give en ide om dislokationens funktion, kan man betragte opgaven at flytte et stort tæppe. Hvis man griber fat i et hjørne og trækker til, skal man bruge mange kræfter for at flytte tæppet. Hvis man derimod laver en fold på tæppet, kan man flytte det uden at bruge mange kræfter ved at skubbe folden hen over gulvet. Denne proces skal så blot gentages mange gange, hvis tæppet skal flyttes over større afstande. Krydsslip Eksistensen af Fran-Read-kilder er en forklaring på, hvorledes der hele tiden kan dannes nye dislokationer til erstatning for dem, der måtte forsvinde ved overflader, hvor de jo blot efterlader et trin i overfladen. 1

En anden mekanisme, hvorved dislokationer kan multipliceres, er baseret på krydsslip som vist i fig. A11.17. Ved krydsslip forstås den proces, hvor en dislokation skifter fra en slipplan til en anden. Slipplanen er den plan, der udspændes af dislokationens linjevektor og dens Burgers vektor, og for alle andre dislokationer end den rene skruedislokation er slipplanen derfor entydigt bestemt. Skruedislokationen har imidlertid Burgers vektor parallel med linjevektoren, og vil derfor kunne vælge mellem forskellige slipplaner afhængigt af den lokale spændingstilstand. Det stykke af dislokationen, der har foretaget krydsslip, kan virke som en Frank-Read-kilde i det nye slipplan. Hvis skruedislokationen på et senere tidspunkt ved krydsslip vender tilbage til en slipplan parallel med den oprindelige slipplan, kalder man det dobbelt krydsslip. Man ser, at en dislokation, der har foretaget dobbelt krydsslip, ikke bare kan virke som en Frank-Read-kilde, men samtidig også kan sprede dislokationer til parallelle slipplaner. En dissocieret dislokation må samles til en perfekt dislokation over et vist stykke af dislokationslinjen før den kan krydsslippe. Tendensen til krydsslip afhænger derfor af stablefejlsenergien, γ, og vokser med voksende γ. Kornforfining, Hall-Petch-ligningen Den klassiske forklaring på Hall-Petch-ligningen (A11.24) er at der dannes pile-ups af dislokationer mod korngrænsen som skitseret i fig. A11.25. Jo større kornet er, jo længere kan dette pile-up være, og jo flere dislokationer kan det indeholde. Dislokationerne i et pile-up har samme fortegn og frastøder derfor hinanden, så der vil være meget store interne spændinger ved den første dislokation i rækken. Man kan vise, at hvis dislokationerne er påvirket af en forskydningsspænding på τ fra den ydre kraft, så vil spændingen være nτ umiddelbart foran den første dislokation i et pile-up på n dislokationer. Herudfra kan Hall-Petch-ligningen udledes. Imidlertid har det vist sig, at Hall- Petch-ligningen også er gyldig for materialer, hvor dislokationerne ikke har tendens til at danne pile-ups. En alternativ forklaring på ligningens form kan gives ud fra en forøget dislokationsdensitet i et lag i nærheden af korngrænsen, hvor de enkelte korn tilpasser sig nabokornenes formændring. Den forøgede mængde af dislokationer er geometrisk nødvendig for tilpasningen til nabokornene. Mængden kan derfor beregnes og det kan vises at føre til en ligning med samme form som Hall-Petch-ligningen. Hall-Petch-ligningen er gyldig ned til temmelig lave kornstørrelser, men synes ikke at gælde for kornstørrelser i nanometerområdet. Opløsningshærdning Fremmedatomet kan være større eller mindre end atomerne i det materiale, hvori de er opløst. I begge tilfælde vil fremmedatomet give anledning til en lokal deformation af gitteret, som vil vekselvirke med dislokationens spændingsfelt. De enkelte fremmedatomer virker derfor som punkter i gitteret, hvor det vil kræve en forøget forskydningsspænding at få dislokationen til at passere punktet. Intuitivt kan man forestille sig, at jo større afvigelsen er mellem fremmedatomets diameter og værtsatomets diameter, jo højere vil den lokale deformation 2

af gitteret være, og jo større spændinger vil det kræve at få en dislokation til at passere fremmedatomet. Dette er da også hovedtendensen i de eksperimentelle resultater. Man vil ligeledes forvente, at den styrkeøgende effekt forøges med stigende koncentration af fremmedatomer. Ved teoretiske overvejelser finder man at styrkeøgningen er proportional med kvadratroden af koncentrationen. Disse effekter er illustreret i fig. 1, hvor styrkeøgningen er afbildet mod koncentrationen af opløste atomer for en række legeringselementer med forskellig atomradius i Cu. Fig. 1 Virkningen af opløste substitutionsatomer på styrken (σ 0,2% ) af kobber. Tallene i parentes angiver atomradierne I Å. Forlag 1993, Fig. 6.5b. Fig. 2 a) Spændingen omkring en kantdislokation. b) Placering af store fremmedatomer (substitutionsatomer); c) Placering af små fremmedatomer (indskudsatomer). Forlag 1993, Fig. 6.6b,c. Vi er ikke i afsnittet om dislokationsteori gået i detaljer med spændingsfelterne omkring dislokationer, men det er umiddelbart indlysende, at det ekstra halvplan, der findes ved en kantdislokation, giver anledning til trykspændinger i området ved halvplanen over dislokationskernen og til trækspændinger i området under halvplanen. Disse elastiske spændinger kan mindskes, hvis atomer med en anden radius end værtsatomerne anbringer sig i nærheden af dislokationskernen. Små fremmedatomer vil kunne mindske den totale energi af systemet ved at anbringe sig over dislokationskernen, hvor de vil mindske trykspændingerne og store fremmedatomer vil omvendt kunne mindske systemets energi ved at anbringe sig under dislokationskernen. Dette er illustreret i fig. 2. Dislokationen og fremmedatomerne er således bundet til hinanden med en vis bindingsenergi, og skal dislokationen løsrives fra sin sky af fremmedatomer, må der anvendes en større forskydningsspænding end for en dislokation uden sky af fremmedatomer. Når dislokationen først er løsrevet fra skyen, kan den bevæge sig frit indtil den eventuelt måtte ligge stille så længe, at fremmedatomer ved diffusion kan nå at danne en ny sky. Ved højere temperaturer er der naturligvis den alternative mulighed at skyen kan diffundere med dislokationen, således at dislokationen kan bevæge sig med en hastighed, der er bestemt af den hastighed, hvormed fremmedatomerne diffunderer. Vi har her fået en forklaring på den effekt, der blev vist i fig. A11.21b, hvor der er en øvre flydespænding, hvor der indtræder plastisk deformation, der derefter fortsætter ved lavere spændinger. Det, der sker, er at materialet først når en spænding, hvor dislokationerne kan løsrives fra skyen af fremmedatomer. De kan derefter bevæge sig frit og multiplicere ved en lavere spænding, og deformationen fortsætter derefter ved lavere spændinger indtil der begynder at indtræde deformationshærdning. Spændingen vil så begynde at vokse under den fortsatte deformation. Det er nu interessant at bemærke, hvorledes materialet opfører sig, hvis man aflaster det, og derpå belaster det igen. Hvis den nye belastning sker umiddelbart efter at materialet er afla- 3

stet, vil der ikke igen optræde et område med flydning under næsten konstant spænding. Dislokationerne er jo blevet løsrevet fra deres skyer af fremmedatomer. Sker den nye belastning imidlertid efter så lang tid, at fremmedatomerne har haft tid til at danne nye skyer af fremmedatomer, vil de skulle løsrive sig igen, og der er påny opstået et område med flydning under næsten konstant spænding. Forskellen fra den første belastning er, at der anden gang er mange flere dislokationer, der skal løsrives, og flydningen sker derfor ved en højere spænding. Styrkeøgning ved partikelindhold Når dislokationerne bliver presset mod partiklerne vil de påvirke partiklerne med en forskydningsspænding givet ved Gb τ = cosφ (A11.2) L hvor L er partiklernes afstand, og φ er den halve vinkel, som dislokationsarmene danner ved partiklen. Afhængigt af, hvor hård partiklen er, kan der nu foregå to forskellige processer. Efterhånden som den ydre pålagte spænding øges, vil φ blive mindre og mindre. Hvis partiklen er blød, vil forskydningsspændingen ved en bestemt kritisk vinkel φ c blive tilstrækkelig stor til at dislokationen kan løbe gennem partiklen, og passere til næste barriere. Tager man højde for at partiklerne er tilfældigt fordelt, og derfor har varierende afstand, kan man vise at den teoretiske flydespænding for et materiale med bløde partikler, der har en gennemsnitsafstand på L er Gb 3 / 2 τ = (cosφ) (A11.3) L Hvis partiklerne er så hårde, at de ikke er blevet gennembrudt, når spændingen er tilstrækkelig høj til at gøre den udbøjede dislokation ustabil, kan dislokationen nu passere partiklerne uden at skære dem. Jævnfør lign. (A11.16) vil dette ske ved en forskydningsspænding på τ = αgb / L (A11.4) hvor hvor L er partiklernes afstand [fig. A11.26]. Ved denne proces afsnøres der et dislokationsloop, kaldet et Orowan loop, om hver partikel. Den næste dislokation møder altså en partikel plus et dislokationsloop, og dermed en stærkere barriere end den første dislokation. Passagen af en hård partikel vil således bidrage til deformationshærdning af materialet. En af de metoder, der kan anvendes til introduktion af partikler i et materiale er modningshærdning (også kaldet udskillelseshærdning), hvor fremmedatomer udskilles som en særskilt fase i form af små partikler. Denne metode kan anvendes i legeringssystemer, i hvilke den ene komponent udviser faldende opløselighed ved faldende temperatur. Lad os som et eksempel betragte det aluminiumrige hjørne af Cu- Al fasediagrammet, der er vist i fig. 3. 4

Fig. 3 Del af Cu-Al fasediagrammet CuAl 2 = θ-fase. E. Maahn: Metallurgi for ingeniører. Akademisk Forlag 1993, Fig. 20.11a. Her findes et eutektikum, og ved stuetemperatur vil ligevægtsstrukturen for et materiale med et mindre indhold af Cu være en blanding af α og θ fase [jf. kap. A10]. Hvis afkølingshastigheden har været lav, vil θ partiklerne være temmelig store. Som det netop er diskuteret ovenfor, er styrkebidraget omvendt proportional med gennemsnitsafstanden, og man får derfor den højeste styrke, når partiklerne er små. Dette kan opnås ved en varmebehandling, hvor man begynder med at opvarme materialet til en temperatur, hvor ligevægtsfasen er ren α. Derpå bratkøles så hurtigt, at man bevarer en ren α fase, der nu er overmættet med Cu. Den overmættede opløsning er stadig blød, og skal materialet formgives, kan det passende ske på dette tidspunkt. Hærdningen sker nu ved på kontrolleret vis at udfælde θ fasen af den ustabile opløsning. I visse legeringssystemer er diffusionshastigheden tilstrækkelig stor til at udfældningen kan ske ved stuetemperatur. Man taler da om koldmodning eller naturlig modning. Ofte sker hærdningen ved en varmebehandling, og man taler da om varmmodning eller kunstig modning. De første små udfældninger vil ofte have en direkte sammenhæng med krystalgitteret i matrix, således at atomplanerne i matrix fortsætter i atomplaner i udfældningen. Udfældningerne siges da at være kohærente. Da disse små kohærente udfældninger ikke har nøjagtig samme gitterparametre som matrix, opstår et kraftigt spændingsfelt omkring udfældningen, og dette spændingsfelt bidrager til udfældningens effektivitet som barriere for dislokationerne. De kohærente udfældninger forekommer ofte i form af plader eller nåle. Fortsætter man varmebehandlingen, vil udfældningerne vokse og efterhånden vil tilpasningen til matrixgitteret kræve så store spændinger, at udfældningerne taber deres kohærens. De er blevet inkohærente. Væksten af udfældningerne medfører en voksende partikelafstand, og dette sammen med tabet af kohærens, fører til en mindskelse af materialets styrke. Man siger, at legeringen er overmodnet. Modningsfænomenet 5

er en funktion af både tid og temperatur, og den maximale styrke nås efter længere tid, jo lavere modningstemperaturen er. Det ligger i sagens natur, at der er begrænsninger på, hvor høje temperaturer en modningshærdet legering må blive udsat for under anvendelsen. Hvis der sker overmodning under anvendelsen, taber legeringen jo sin styrke. For aluminiumlegeringer er denne grænse temmelig lav. En styrkeøgende proces, der har visse analogier med modningshærdning, kan anvendes på systemer, der danner ordnede faser [jf. Kap. A10]. I disse faser er der en næsten fast støkiometri, og de enkelte legeringselementers atomer sidder på bestemte gitterpladser i forhold til hinanden. I Au-Cu systemet forekommer fx de ordnede faser Cu 3 Au og CuAu, der har strukturer som vist i fig. 4. Ved en varmebehandling, der ligner udfældningshærdning, vil man kunne få udfældet partikler af ordnet fase. Fig. 4 Enhedscelle for a) CuAu; b) Cu 3 Au. Forlag 1993. Fig. 1.38. Til anvendelse ved højere temperaturer har man udviklet en række materialer, der indeholder partikler, der ikke opløses i grundmaterialet ved anvendelsestemperaturen. Som klassiske systemer kan nævnes SAP (sintered aluminium powder), der består af aluminium med et indhold af fine Al 2 O 3 partikler, og TD-nikkel, der består af nikkel med et indhold af ThO 2 partikler. Disse legeringer fremstilles oftest ved pulvermetallurgiske metoder, og kaldes dispersionshærdede legeringer. Partiklerne er almindeligvis hårde, og kan som i eksemplerne være oxider, men også karbider og nitrider anvendes i dag. Partiklerne er inkohærente og sjældent helt så små som man kan opnå ved udskillelseshærdning. Ved lav temperatur har de derfor typisk ikke så høje styrker som de udskillelseshærdede legeringer. Martensitiske omdannelser Forudsætningen for dannelse af martensit er at afkølingen foregår så hurtigt, at der ikke er tid til dannelse af stabile ligevægtsfaser. Under afkølingen vil der eksistere metastabilt austenit indtil temperaturen har nået en værdi M s (eng. start) hvor martensitdannelsen begynder. Martensitdannelsen afsluttes først ved en temperatur, der betegnes M f (eng. finish). Hvis nedkølingen standses før temperaturen M f er nået, 6

vil der forblive uomdannet austenit i materialet. Denne austenit kaldes restaustenit. Forholdene kan beskrives i et TTT-diagram, som vist i fig. 5. Værdierne af M s og M f afhænger af, hvilke legeringselementer, der er til stede, og generelt mindskes værdierne med øget tilsætning af almindelige legeringselementer. Især mængden af kulstof er af betydning for, hvor temperaturintervallet for martensitdannelse befinder sig. Også den nødvendige afkølingshastighed kan påvirkes af tilsatte legeringselementer. Således kan fx tilsætning af Cr og Ni medføre, at der kan dannes martensit selv ved hurtig afkøling i luft. Fig. 5 TTT-diagram for et stål med 0,8 % kulstof. Forlag 1993. Fig. 13.16. Martensit udfældes i matricen som tynde linseformede områder, der i et todimensionalt snit ser ud som nåle. Disse linser ligger med krystallografiske orienteringer, der er relateret til det oprindelige austenit fcc gitter. Martensit har en rumcentreret tetragonal struktur, mens ligevægtsfasen ferrit (α-jern) er rumcentreret kubisk. Hvorledes martensits enhedscelle afledes fra austenits enhedscelle kan ses på fig. A10.22, der viser to enhedsceller af austenit, hvori der er indtegnet en kubisk bcc enhedscelle. Under martensitomdannelsen bliver tilstedeværende kulstofatomer fanget i gitteret, og dette giver anledning til den tetragonale struktur. Omdannelsen sker under en volumenforøgelse på cirka 4%, og der opstår derfor store indre spændinger. Disse spændiger bliver delvis fjernet ved at der sker slip og tvillingdannelse i martensitlinserne. Dette medfører at martensitgitteret roterer, og den krystallografiske relation mellem austenit og martensit er derfor ikke helt nøjagtig den, man ville forvente udfra fig. A10.22. Figurer fra C. Vogel, C. Juhl & E. Maahn, Metallurgi for ingeniører, Akademisk Forlag, 1993. 7