Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet

Transkript

1 29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende nok kan fænomenet ikke beskrives ved klassisk fysik fænomenet er kvantemekanisk i sin oprindelse og kan forklares ved elektronens bølgenatur. 5.2 Generel teori Når man afbryder en mekanisk kontakt, vil der til tider være et kort tidsrum, hvor de to elektroder i kontakten er forbundet med bare en enkelt en nanotråd. Diameteren af tråden er af størrelsesorden 1 nm, deraf navnet. Figur 3.1 viser to eksempler på udviklingen af spændingen over et strømbærende relæ når det afbrydes. Det, man skal notere sig, er at spændingen ikke stiger hverken jævnt eller helt pludseligt, men i noget der ligner større og større trappetrin. Det skyldes at kontaktarealet er så lille at konduktiviteten bliver kvantiseret. Under afbrydelsen består kontakten af nanotråde, som strækkes indtil de til sidst brækker. Hvis man måler konduktiviteten i enheder af den fundamentale kvanteenhed for elektrisk konduktivitet (2e 2 /h) vil man også bemærke, at trappetrinene oftest grupperer sig omkring heltallige værdier af denne enhed. Man siger, at konduktiviteten er kvantiseret i enheder af konduktivitetskvantet. Bemærk at i fig. 5.1 er spændingen proportional med kontaktmodstanden dvs. omvendt proportional med konduktiviteten.

2 voltage (V) time (µs) Figur 5.1: Spændingen over et relæ når det afbrydes Kvalitativ forklaring Fænomenet er en kvantemekanisk effekt og skyldes, at vi er nødt til at betragte de strømbærende elektroner som bølger i stedet for partikler. Elektronens de Broglie bølgelængde er ca. 0,5 nm i et typisk metal ved 300K. Da elektronen er indespærret i tråden, har dens bølgefunktion altid knudepunkt på trådens periferi. Der er således tale om en slags stående bølge på tværs i nanotråden. Hvis nanotråden er så tynd, at dens diameter på det smalleste sted er det halve af elektronens bølgelængde, er der lige netop plads til elektronens grundtone tværs over tråden. Man kan vise, at konduktiviteten da vil være givet ved netop et ledningskvant (en modstand på 12,9 kω). Hvis tråden er tykkere, vil der imidlertid blive plads til flere overtoner og ledningsevnen vil nu være givet ved (1 + antal overtoner) ledningskvanter. Nu er afbrydelsen af et relæ ikke én særligt reproducerbar operation. Situationen, vist i fig. 3.2, er ikke srlig typisk. Det er kun få forsøg der giver så klare resultater. Andre tilfælde kan fremvise trappetrin svarende til halvtallige antal kvanter eller slet ingen trappetrin. Man vil også bemærke at kvantiseringen, når den ses, er klarest for små værdier af konduktiviteten. Når konduktiviteten bliver større end 3 4 konduktivitetskvanter, optræder trappetrinene mindre hyppigt, og den målte værdi af konduktiviteten har

3 5.2. GENEREL TEORI 31 større usikkerhed Konduktivitet (2e 2 /h) time (µs) Figur 5.2: Kvantiseret konduktivitet Denne gradvise udsmøring af kvantiseringen er en følge af Bohrs korrespondensprincip, som siger at efterhånden som kvantetallene bliver store bliver et system bedre og bedre beskrevet vha. klassisk fysik. I vort tilfælde er kvantetallet antallet af konduktivitetskvanter. Dvs., ledningsevnen vil ændre sig kontinuert i stedet for trinvist. Endvidere vil selv trin med små kvantetal kunne blive udsmurt af ujævnheder i nanotrådens overflade. Således mangler trin 2 på den ene kurve Konduktivitetskvantet For at lave en simpel model for hvad der foregår under kvantiseret konduktivitet, vil vi antage at vi har to ladningsreservoirer, der er forbundet med en perfekt én-dimensional leder, som indeholder en barriere med transmissionskoefficient T. Vi antager endvidere at elektronerne ikke interfererer med hinanden og ikke reflekteres hverken helt eller delvis ved indgangen til lederen. Strømmen mellem reservoirerne bæres da af elektroner med energier mellem de kemiske potentialer µ 1 og µ 2 : g(e F ) I = ev F (µ 1 µ 2 )T, (5.1) 2

4 32 hvor v F er elektronhastigheden ved Fermioverfladen og g(e F ) = 4/(hv F ) er tætheden af tilstande (inklusiv spin-degenerationen), ved Fermifladen for den én-dimensionale leder. Da spændingen, V, mellem reservoirerne er givet ved ev = µ 1 µ 2 fås konduktiviteten til γ = 2e2 = 1/(12, 9 kω), (5.2) h hvor vi antager total transmission (T = 1). Bemærk at det simple resultat hænger på at for en én-dimensional leder er tætheden af tilstande omvendt proportional med hastigheden. Dette er konduktiviteten for en én-dimensional leder med plads til en halv bølgelængde tværs over kontakten. For hver gang trådens tykkelse giver plads til en halv bølgelængde mere åbnes en ny kanal med samme konduktivitet. Den samlede konduktivitet bliver derfor summen af antal kanaler gange konduktivitetskvantet. 5.3 Forsøgsopstilling Principdiagram I fig. 3.3 er vist et principdiagram for forsøgsopstillingen. Relækontakten symboliseres ved en ukendt resistans R x og spændingen over relæet ved V x. Sættes R 1 = 470 kω og R 2 = 47 kω giver Kirchhoff s love umiddelbart (idet vi negligerer strømmen i oscilloskopets indgangsimpedans): I 0 + I x + I R2 = 0, (5.3) hvor I 0 = V 0 V x (5.4) R 1 er batteristrømmen, og V 0 batterispændingen, og I R2 = V x R 2, (5.5) I x = V x R x. (5.6) Heraf fås ledningsevnen gennem relæet, γ x = 1 R x = V 0 V x R 1 ( 1 R R 2 ). (5.7)

5 5.3. FORSØGSOPSTILLING 33 Relæets åbne- og lukkemekanisme styres af tonegeneratoren. Strømmen gennem relækontakten leveres fra et 9 V batteri gennem en spændingsdeler og spændingen over kontakten måles med et oscilloskop med digital hukommelse. Med de benyttede modstandsværdier for spændingsdeleren fås V x 0, 8 V ved afbrudt kontakt og naturligvis V x = 0 for sluttet kontakt. +9 V R 1 I 0 I x 0 V 0.8 V I R 2 RS relæ R x TRIG V R 2 FG Figur 5.3: Principdiagram Relæet Det er gennem den brydende kontakt i relæet den kvantiserede konduktivitet måles. Denne kvantisering opstår imidlertid ikke i ethvert relæ; processen afhænger meget af hvilket kontaktmateriale, der er på elektroderne. Det her benyttede relæ har typenavnet RS-12V fra Matsushita Automation Controls og er særdeles velegnet til formålet. Elektroderne på relæet er beklædt med guld og befinder sig i et hermetisk lukket volumen fyldt med en ædelgas. Derved undgås at gnistdannelse i relæet nedbryder organiske stoffer som kan medføre et forurenende kulstofholdigt overfladelag på kontaktfladerne. Endvidere er relæet selvrensende idet det slutter og afbryder i en glidende bevægelse.

6 Forsøgsgang Udled formlen for spændingen over kontakten ved hjælp af Kirchhoffs ligninger. Beregn den forventede spænding for afbrudt kontakt og for en kontaktmodstand svarende til et konduktivitetskvant Frekvensgeneratoren kobles til kanal B på oscilloskopet. Brug helst Pico- Scope for at kunne gemme data. Udgangssignalet vælges som trekant med off-set. Frekvens, off-set, og amplitude justeres til henholdsvis ca. 10 Hz, 7 V, og ca. ±5 V. For at checke kredslbet forbindes batteriet til spændingsdeleren. Spændingen over kontakten (afbrudt) måles på kanal A på oscilloskopet (spændingsopløsning 100 mv/div). En 12,9 kω modstand forbindes dernæst over den afbrudte kontakt. Sammenlign med de beregnede værdier Frekvensgeneratoren kobles nu til relæet. Asymmetri-knappen drejes så relæet slutter hurtigt og afbryder langsomt. Trigger vælges som kanal A og trigger niveauet vælges så lavt som muligt. Sæt tidsopløsningen til 10 µs/div og spændingsopløsningen til 50 mv/div. Kurver over tidsforløbet for spændingen over kontakten kan nu optages og fanges ved at trykke på eller single shot Databehandling Gem de bedste single shots i en folder og brug Excel eller andet til at lave et histogram over de mlte spndinger V x, eller bedre, over de tilsvarende antal konduktivitetskvanter (nul volt skal undertrykkes). Histogrammet bestr af feks 60 bins der hver dkker et feks 0.1 kvant bredt interval. Hvis der er noget om snakken skulle man se signifikante toppe ved de heltallige vrdier. Hvis det dette volder problemer, s skriv alle V x erne svarende til de fundne trappetrin ned i et Excel ark for et stort antal kurver. Regn tallene om til

7 5.4. FORSØGSGANG 35 konduktivitetskvanter ved brug af formel 5.7 og se hvordan de fordeler sig i et histogram med passende binning og grænser. Overvej sandsynligheden ud for at finde den observerede fordeling af spndinger (kvanter) under antagelse af at trappetrinen og knk i bund og grund skyldes tilfældige fluktuationer der kan optrde ved hvilken som helst spndingsvrdi. Hvis der er synlige toppe ved hele kvanter, stemmer s bredderne med målingernes anslåede usikkerhed? Omvendt, hvis der ikke rigtigt er noget tegn på konduktivitetskvanter, så kunne man eventuelt angive en øvre grænse for andelen af begivenheder, som den p fig NBI august 2006