Opgave 1 f (, ) = + + 0 60-8 -6-4 -2 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 30 32 34 36 38 42 44 46 48 0 2 4 6 - - Opgave 2 a) f(, ) = + 8 b) og c) = -(/8), N() = -(/8) +, N(80) = -(/8)+ og = -(/8)+2 4 3 30 2 N(80) N() -4-2 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 30 32 34 36 38 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 1
Opgave 3 a) f(, ) = + b) 0 2 30 0 0 0 3 160 80 0 f(,) 00 00 00 00 00 00 c) 40 (0,0) N(00) f(, ) = + 30 300 (,3) 0 2 30 0 0 0 3 160 80 0 f(,) 00 00 00 00 00 00 20 0 (2,0) 0 (30,160) 0 N(0) 0 (,80) Opgave 4 (0,0) -4-2 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 30 32 34 36 38 42 44 46 48 0 2 4 60 <-+ >+ >- 0 4 P 3 30 2-22 - -18-16 -14-12 - -8-6 -4-2 2 4 6 8 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 2
a) f(,) = 2 (-,60) f(,) = 2-60 Maksimum (-, 60) f(-, 60): 1 - (-) = 1 0 4 <-+ >+ >- P (0,) 3 30 2 Min(-,) f(-, ) = 2*--=-60-22 - -18-16 -14-12 - -8-6 -4-2 2 4 6 8 b) g(,) = 3 + 3 Ma f (-, 60) Dvs værdien 3*-+3*60=1 (-,60) Maksimum <-+ >+ >- b) f(,) = 3+3 0 Ma: På randen af linjen mellem (-, 60) til (0, ) 60 4 P (0,) 3 30 2 (-,) Min(-,) Minimumf(-, ) = 0-22 - -18-16 -14-12 - -8-6 -4-2 2 4 6 8 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 3
c) h(,) = 2 + Min <-+ >+ >- 60 0 Min Minimum: alle værdier på = - dvs f (-,) og (-, 60) f(-,) =2*-+=- P 4 Ma 3 Maksimum (0,) 30 f(0, ) = 2*0 + = 2-22 - -18-16 -14-12 - -8-6 -4-2 2 4 6 8 d) i(,) = 3 2 + 0 (-,60) Minimum d) f(,) = 3-2 + 0 Min(-,60) : -60-1+0=-80 60 0 4 <-+ >+ >- P (0,) 3 Maksimum Ma(0, ) 30 Dvs værdien 3*0-2*+0= = 80 2-22 - -18-16 -14-12 - -8-6 -4-2 2 4 6 8 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 4
Opgave a. 11 f(, ) = - 3 + 9 8 7 6 4 3 Min M 2 + 3 < 27 - + <1 < 8 > 2 2 1-2 -1 1 2 3 4 6 7 8 9 11-1 N() a. b. f(,) = 0: = (1/3)+ f(,) = : = (1/3) c. Min (4.8,.8). F(4.8,.8) = 2.4-2 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side
Opgave 6 a) Maksimum for funktionen f ligger i (0,) f(0,) =2 Ma(0,) f(, ) = 6 + 14 N(1) (6,12) Q (14,4) -4-2 2 4 6 8 12 14 16 18 b) Maksimum for funktionen g: (16,0) g(16, 0) = 160 g(, ) = + 2 N(1) (6,12) Q (14,4) Ma(16,0) -4-2 2 4 6 8 12 14 16 18 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 6
Opgave 7 Kvadrat Runde Maksimum Samle 2 3 36 Lakering 3 2 30 DB 0 300 a) 2 + 3 < 36 ó < --(2/3) + 12 3 + 2 < 30 ó < - 1½ + > 0, > 0 Ma opnås ved en produktion på 12 kvadrat og ingen Runde (0, 12) b) DB: 12*300kr = 3600 kr 14 13 12 N(6000) f(, ) = 00 + 70 11 9 Ma (12, 0) 8 7 6 4 3 2 1-1 1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 14-1. Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 7
Opgave 8 A B Maksimum Timer 30 12 14 Råvarer 4 4 0 DB c) 30 + 12 < 14 ó < - 2½ + 1 4 + 4 < 0 ó < - + 0 > 0, > 0 Ma opnås ved en produktion på 13,33 A og 86,67 B DB: ca. 2266 kr 0 N(1800) f(, ) = + Ma (13,33, 86,67) 60-30 0 60 70. Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 8
Opgave 9 Fabrikken KEMIX fremstiller produkterne Xa og Yi Fremstillingen af en enhed Xa kræver arbejdstimer i fabrikkens afdeling I, og arbejdstimer i fabrikkens afdeling II De tilsvarende tal for fremstillingen af Yi er hhv. timer og timer. Afdeling I kan maksimalt de 3600 arbejdstimer. Produktionen skal tilrettelægges sådan, at der mindst anvendes 700 timer i afdeling I. Der skal produceres mindst 30 enheder Xa og højst 90 enheder Xa. Produktionen af Yi må ma. være på 60 enheder. Salgsprisen for Xa er kr. 6.000,-; mens salgsprisen for Yi er kr. 4.00,- Bestem hvor mange enheder Xa og Yi der skal produceres, hvis omsætningen skal maksimeres. Hvor stor er den maksimale omsætning? Xa Yi Maksimum Afd 1 3600 Afd 2 700 DB 6000 400 + < 3600 ó < - ½ + 90 + < 700 ó < - + 70 > 30, < 90, > 0, < 60 Ma opnås ved en produktion på 70 Xa og ingen Yi DB: ca. 4.000 kr 0 f(, ) = 6000 + 400 80 N(360000) 60 Ma(70,0) - 30 0 60 70 80 90. Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 9
Opgave Bukser Skjorter Maksimum Tilskære ½ 1 2 timer S 4 min 30 min 360 time Pakke min 6 min 60 timer DB 12 ½ + < 2 ó < - ½ + 2 (3/4) + ½ < 360 ó < -1½ + 7 + 6 < 3600 ó < -(/6) + 600 > 0, > 0 Ma ved 19 bukser og 427½ skjorte 800 600 0 Opgave Ma(19,427½) f()=-0.+2 Skravering 1 f()=-1.+7 Skravering 2 f()=-(/6)+600 Skravering 3 f()=0 Skravering 4 <0 f()=-.8 f()=-.8+0 f()=2 f()=2+0. 0 N(0) 0 0 300 0 00 600 700 800 900 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side
Opgave 11 Bærbar Stationær Maksimum Produktion 3/4 3 42 Samling ½ ½ Afprøvning ½ 1/4 9 DB 600 00 3/4 + 3 < 42 ó < - 1/4 + 14 ½ + ½ < ó < - + ½ + ¼ < 9 ó < -2 + 36 > 0, > 0 Ma opnås ved en produktion på 8 bærbare og 12 stationære DB:.16800 kr f(, ) = 600 + 00 N(0) Ma (8, 12) -2 2 4 6 8 12 14 16 18. Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 11
Opgave 12 A B Maksimum Timer 60 0 Råvarer 8 80 DB a) 60 + < 0 ó < - 3 + 8 + < 80 ó < -0.8 + 8 > 0, > 0 Ma opnås ved en produktion på 909 A og 2773 B b) DB: kr 918. f(, ) = + 8 N(1) Ma (0.909, 7.273) dvs 909 A og 7273B 6 4 2-1 1 2 3 4 6 7 8 9 11 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 12
Opgave 13 delopgave b og c er ikke kernestof 2 f (, ) = 60 + 0 a = -½ + > 180 4 + 6 > 126 > 0, > 0 Min(18, 9) a= -(2/3) 2 30 3 4 a) Minimum i (18,9) b) Koefficienten til kan ligge i intervallet [0; 66 2/3 ] c) Koefficienten til kan variere fra 90 til 1. [90; 1] Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 13
Opgave 14 a) : antal abe, : antal kanin. f (, ) = 30 + b) og c) ABE Kanin Maksimum Afd 1 30 0 timer = 3000 Afd 2 0 timer = 3000 min DB 30 + 30 < 3000 ó < - ½ + 0 + < 3000 ó < - + 0 > 0, > 0 Ma opnås ved en produktion på 0 ABE og 0 KANIN DB: ca..000 kr 0 f(, ) = 30 + 80 60 N(00) Ma(0,0) - 30 0 60 70 80 90 0 1 1 130 1. Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 14
Opgave Aske Benne Maksimum træ 4 2 80 timer 2 1 DB 30 70 4 + 2 < 80 ó < - 2 + 2 + < 1 ó < - 0,4 + 12 > 0, > 0 Ma opnås ved en produktion på 17½ Aske og Benne DB: 860. kr N(8) f(, ) = 30 + 70 Ma(17½,). Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side
Bemærk opgave 16, 17, 18 og 19 er ikke kernestof Opgaver med følsomhedsanalse Bemærk: Der er tale om flere opgaver, der alle knttes til dette polgonområde Opgave 16 a) Maksimumpunktet (2, 14) b) a kan falde med og stige med 16 (0,) 14 a= -½ 12 Ma(2,14) a= -2 f(,) = 30 + 8 6 a = ½* = a = 2 * = 4 2 Følsomhedsanalse på a: Koefficienten kan ligge mellem og uden produktionsomlægning 1 2 3 4 6 7 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 16
Opgave 17 a) Maksimumpunktet (3, 12) b) a kan falde med og stige med 16 14 12 a= -2 (3,12) f(,) = + Ma (3,12) 8 6 4 2 a kan ligge mellem 30 og 4 kr uden produktionsændring *2 = 30 *3 = 4 a= -3 1 2 3 4 6 7 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 17
Opgave 18 Kriteriefunktionen er givet som F(,) = +. a) Da løsningen ligger på en af betingelseslinjerne, er der mange maksima. F (2,14) og ( 3, 12) b) b kan ligge mellem kr 7,33 og 60 16 14 a= -½ (2,14) Maksimum ligge på kanten af linjen. Dvs f i (2,14) og (3, 12) 12 a= -2 (3,12) f(,) = + valget af produktion har betdding for hvor stor ændringen af b kan være, da der er tale om en kantløsning 8 6 4 2 Principielt kan b variere fra 7,33 kr og op til 60 kr /3 = 7,33 /½ = 60 a= -3 1 2 3 4 6 7 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 18
Opgave 19 Kriteriefunktionen er givet som F(,) = + 30 a) Maksimum (0,) b) b kan falde til kr og stige ubegrænset! 16 (0,) 14 12 a= -½ Ma (0, ) f(,) = + 30 8 6 4 Da maksimum ligger på -aksen, er der kun tale om en ændring nedad for b. b kan falde til kr uden ændring af produktionssammensætningen. / 0. = 2 1 2 3 4 6 7 Kapitel 2 Matematik B 4. udgave 11 Sstime Side 19