Valgfrit afdragsfrie lån Morten Nalholm nalholm@math.ku.dk Valgfrit afdragsfrie lån p. 1/32
Introduktion Prisfastsættelse Modellering af låntagerheterogenitet S.Jakobsen:"unødigt kompliceret" (om et RDs første FlexGaranti-lån) Dagens emne er værre! (eller bedre afhængigt af synsvinkel) Valgfrit afdragsfrie lån p. 2/32
Realer med voksende ydelsesrækker lovlige fra 2003 (Lov nr. 454). Konstrueres ved at tilføje afdragsfrie perioder til annuiteter. Højst 10 års afdragsfrihed ved et 30 årigt lån. To typer: Afdragsfrie Alle afdragsfrie terminer lagt i starten af løbetiden. Alle undtagen RD. Valgfrit afdragsfrie Låntager kan løbende placere afdragsfrie terminer. Kun RD. Valgfrit afdragsfrie lån p. 3/32
ISIN Serie Kupon Restgæld Antal lån DK0009273179 43D-38 4% 20,0 16.604 DK0009271637 43D-35 5% 5,7 6.106 DK0009272957 43D-38 5% 4,4 3.644 DK0009272288 43D-38 6% 0,0 19 31 marts 2006 havde private afdragsfrie lån en restgæld på DKK 347 mia. hvoraf DKK 126 mia. var fastforrentet. Dvs. RDs VA obligationer havde en markedsandel på 24% af dette marked. Valgfrit afdragsfrie lån p. 4/32
Fokus: Valgfrit afdragsfrie fastforrentede konverterbare annuitetslån. Klippekortsprincip med 40 klip. Udskudte afdrag amortiseres fuldt ud efter annuitetsprincippet. År 1 2 3 4 Ydelser uden VA 29.52 29.52 29.52 29.52 Ydelser med VA 29.52 5.42 42.85 42.85 Varsel på 2 md. Valgfrit afdragsfrie lån p. 5/32
Et klip svarer til at tage et lån (til pari) med samme kuponrente som obligationen løbetid som obligationens restløbetid det udskudte afdrag som hovedstol uanset rentestrukturen, dvs. selvom kursen er under pari. Altså er mulighed for at vælge en afdragsfri period en option. VA lån giver låntager en portefølje af sådanne optioner. Valgfrit afdragsfrie lån p. 6/32
Komplikationer: Et udskudt afdrag kan senere konverteres, så konverteringsoptionen bliver mere værd det øger de fremtidige afdrag, og dermed også værdien af de resterende VA-optioner... men man fraskriver sig muligheden for at klippe på et senere tidspunkt Ved konvertering før alle klip er brugt mistes VA porteføljen Optionselementerne påvirker hinanden og prisfastsættelsen skal derfor regne på hele obligationen samlet. Valgfrit afdragsfrie lån p. 7/32
Ingredienser Π(t) Pris på konverterbar obligation Π IK (t) Pris på inkonverterbar obligation Π AC (t) Pris på konverteringsoptionen δ(t) Betaling på tidspunkt t V (t) Π(t) + δ(t) H(t) Hovedstol efter afdrag på tidspunkt t Valgfrit afdragsfrie lån p. 8/32
Låntager er kort en inkonverterbar annuitet og lang en amerikansk call på samme. Π(t,i) = Π IK (t,i) Π AC (t,i) ( ) = Π IK (t,i) max Π IK H(t),PV (E Q t [Π AC (t + 1)]) ( ) = max H(t),PV (E Q t [Π AC (t + 1)]) Π IK (t,i) Kan udnytte at Π IK (t,i) = PV (δ(t + 1) + E Q t [Π IK (t + 1)]). Valgfrit afdragsfrie lån p. 9/32
Heldigvis er både PV ( ) og E[ ] lineære, så vi kan omskrive Π(t, i) = max ( H(t), ) PV (E Q t [Π AC (t + 1) Π IK (t + 1) δ(t + 1)]) ( ) = max H(t), PV (E Q t [Π(t + 1) + δ(t + 1)]) ( ) = min H(t),PV (E Q t [Π(t + 1) + δ(t + 1)]) Låntager maksimerer værdien af sin position hvilket her uden omkostninger svarer til at minimere værdien af investors position. Valgfrit afdragsfrie lån p. 10/32
Ser nu på værdien inkl. betaling på tidspunkt t V (t) = Π(t) + δ(t). Ydelsen for en obligation med kupon c, udløb T og hovedstol H(t 1) er c y = H(t 1) 1 (1 + c) (T (t 1)) som kan deles op i rentebetaling c H(t 1) og afdrag y c H(t 1). Ved konvertering skal der betales (1 + c)h(t 1). Valgfrit afdragsfrie lån p. 11/32
Værdien inkl. samtidig betaling ( ) Π(t) + δ(t) = min y + H(t),y + PV (E Q t [Π(t + 1) + δ(t + 1)]) ( ) V (t,h(t 1)) = min y + H(t),y + PV (E Q t [V (t + 1,H(t)]) = min ((1 + c)h(t 1), ) y + PV (E Q t [V (t + 1, (1 + c)h(t 1) y)]), idet restgæld efter en ydelse er hovedstol+(påløbne renter)-ydelse Valgfrit afdragsfrie lån p. 12/32
Hovedstolshomogenitet (og V (t) = V (t, 1)) giver ( ) V (t) = min 1 + c,y(t) + PV (E Q t [V (t + 1, 1 + c y(t))]) ( ) = min 1 + c,y(t) + (1 + c y(t))pv (E Q t [V (t + 1)]), hvor y(t) = c 1 (1 + c) (T (t 1)) Valgfrit afdragsfrie lån p. 13/32
V k (t) er værdien af en VA obligation med k klip tilbage og hovedstol 1. k = 0 er en almindelig konverterbar annuitet. Hvis man har klip tilbage kan man nu gøre en ting mere end med en almindelig annuitet (hvor man kan konvertere eller betale ydelse), nemlig vælge afdragsfrihed. Dermed vil obligationen have 1. uændret hovedstol (1) 2. 1 termin mindre til udløb 3. et klip mindre tilbage Valgfrit afdragsfrie lån p. 14/32
Låntager minimerer stadig værdien af investors position, så værdien af VA obligationen er ( V k (t) = min 1 + c,y(t) + (1 + c y(t))pv (E Q t [V k (t + 1)]), ) c + PV (E Q t [V k 1 (t + 1)]) Værdien V k (t) kræver altså information fra k og k 1 gitrene (springbetingelse). Valgfrit afdragsfrie lån p. 15/32
Men vi har den nødvendige information! k = 0 løste vi tidligere k = n, n = 1,...,N klip startes som sædvanlig på tidspunkt T hvorefter vi løser baglæns i gitteret og trækker på k = n 1 gitteret efter behov. Man skal altså regne N klip + 1 gitre igennem og behøver kun at gemme 2 ad gangen. Valgfrit afdragsfrie lån p. 16/32
Kritiske renteniveauer for VA og konvertering 0.08 0.07 Coupon 0.06 Short Rate 0.05 0.04 0.03 0.02 Prepayment No I O Prepayment 40 I O Prepayment 10 I O Interest Only 40 I O Interest Only 10 I O ZCB Yield Curve 0.01 0 5 10 15 20 25 30 Time Valgfrit afdragsfrie lån p. 17/32
Konverteringsomkostninger - skelner mellem låntager og investor gitre. Antag proportionale konverteringsomkostninger, ξ k (t). ( VL k (t) = min 1 + c + ξ k (t),y(t) + (1 + c y(t))pv (E Q t [VL k (t + 1)]), ) c + PV (E Q t [V k 1 L (t + 1)]) Værdien af investors position følger ved at løse med betalinger givet låntagers beslutninger. Valgfrit afdragsfrie lån p. 18/32
Kritiske renteniveauer for VA og konvertering med omk. 0.08 0.07 Coupon 0.06 0.05 Short Rate 0.04 0.03 0.02 0.01 Prepayment No I O Prepayment 40 I O 0 Prepayment 10 I O Interest Only 40 I O 0.01 Interest Only 10 I O ZCB Yield Curve 0.02 0 5 10 15 20 25 30 Time Valgfrit afdragsfrie lån p. 19/32
Kursforskel ml. alm. annuitet og VA obligation med 40 klip Valgfrit afdragsfrie lån p. 20/32
Prepayment modellering kan også indarbejdes. Tager man f.eks. en gevinstkravsmodel hvor andelen der konverterer på tid-t i tilstand-i er π(t,i), fås for en konverterbar annuitet VL(t,i) 0 = π(t,i)(1 + c + ξ 0 (t)) ( ) +(1 π(t,i)) y(t) + (1 + c y(t))pv (E Q t [VL(t 0 + 1)]) Antag f.eks at den krævede konverteringsgevinst er z(t) N(m(t),v 2 (t)). Dvs. π(t,i) = Φ((g(t,i) m(t))/v(t)). Valgfrit afdragsfrie lån p. 21/32
Tilsvarende for VA obligationen VL k (t,i) = π(t,i)(1 + c + ξ k (t)) + (1 π(t,i)) ( min y(t) + (1 + c y(t))pv (E Q t [VL k (t + 1)]), ) c + PV (E Q t [V k 1 L (t + 1)]) hvor dem der ikke konverterer enten betaler ydelsen eller vælger afdragsfrihed. Valgfrit afdragsfrie lån p. 22/32
Prepayment modellering Valgfrit afdragsfrie lån p. 23/32
Prisdifference (heterogen-optimal; investorgitre) Valgfrit afdragsfrie lån p. 24/32
Låntagernes udnyttelse af VA optioner er lige så suboptimal som man kunne forvente (tal fra RD) ISIN Serie Kupon Aftalte Afholdte Maks. DK0009273179 43D-38 4% 586.968 32.809 690.680 DK0009271637 43D-35 5% 194.573 35.312 250.720 DK0009272957 43D-38 5% 96.057 4.369 152.520 DK0009272288 43D-38 6% 597 174 760 De fleste klip er aftalt! Det er mest rimeligt at antage at de aftalte VA perioder ligger i starten af løbetiden. Dermed ligner VA obligationen de andre institutters produkter og låntager betaler for en optionalitet som ikke udnyttes. Valgfrit afdragsfrie lån p. 25/32
Ligesom for prepayment kan man modellere suboptimal og heterogen VA udnyttelse. Et klip svarer som nævnt til at tage et lån til pari. Ser man bort fra konvertering og afdragsfrihed så kan VA gevinsten modelleres som Λ(t,i) = PV (y(t) c) ΠIK (t,i)[y(t) c] Π IK (t,i)[y(t) c] Låntagernes suboptimale VA strategier kan så modelleres med en VA gevinstkravsmodel, f.eks a la prepaymentgevinstkravsmodeller. Valgfrit afdragsfrie lån p. 26/32
Tager man f.eks. en gevinstkravsmodel hvor andelen der klipper på tid-t i tilstand-i er q(t,i), fås V k L (t,i) = π(t,i)(1 + c + ξ k (t)) +(1 π(t,i)) ( (1 q(t,i))(y(t) + (1 + c y(t))pv (E Q t [VL k (t + 1)])) ) +q(t,i)(c + PV (E Q t [V k 1 L (t + 1)])) Informationen om de aftalte klip kan indgå i modellen for q. Valgfrit afdragsfrie lån p. 27/32
VA elementet indgår også i 63D og 83D serierne. 63D Floating-to-fixed hvor der betales variabel rente indtil renten rammer et loft hvorefter lånet omdannes til et fastforrentet lån. Her er der dog valgfri afdragsfrihed. 83D Capped-floater her med valgfri afdragsfrihed. Valgfrit afdragsfrie lån p. 28/32
Kursdifferencer 1/20/2005-5/26/2006 mellem 5RD43DOA38 og (5NYK73DOA38, 5RD23D38). 0.5 0 0.5 1 1.5 2 7.323 7.324 7.325 7.326 7.327 7.328 7.329 x 10 5 Valgfrit afdragsfrie lån p. 29/32
Det ser jo mærkeligt ud at VA-lånet til tider handler til kurser par med eller over både alm. afdragsfrit lån og alm. annuitet. Likviditetsforskelle er nok en væsentlig faktor Forskelle på prepaymentadfærd mellem forskellige institutter (se også Gustavs slides) Asynkrone observationer (lukkekurser) Men faktisk er det ikke umuligt i at finde denne effekt, selv med optimal låntageradfærd. Valgfrit afdragsfrie lån p. 30/32
Eksempel hvor optimal låntageradfærd medfører V 40 (30Y ) > V (30Y ). 1.0174 1.0172 No I O 40 I O Relative Price 1.017 1.0168 1.0166 1.0164 0 2 4 6 8 10 12 Short Rate x 10 3 Valgfrit afdragsfrie lån p. 31/32
Konklusioner Teoretisk Et sjovt problem hvor der er brug for at anvende adskillige værktøjer fra realkreditlitteraturen. Produktet er det mest komplicerede hidtil og det ser ud til at opfindsomheden er aftagende (jvf. S.Jakobsens forelæsning). Det er dog ikke mere kompliceret end at det kunne gennemgås på en time. Praktisk VA elementet har ikke vundet stor udbredelse. I praksis fører låntageradfærden til at VA næsten er ækvivalent med alm. afdragsfrihed. Handler derfor stort set som et alm. afdragsfrit lån. Valgfrit afdragsfrie lån p. 32/32