Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm KOM-rapporten Prøvevejledning Fælles Mål http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf http://qa.uvm.dk/uddannelser-og-dagtilbud/folkeskolen/afsluttendeproever/om-afsluttende-proever/proevevejledninger http://www.uvm.dk/service/publikationer/publikationer/folkeskolen/2009/faell es-maal-2009-matematik Prøvevejledningen Side 25 Uddrag: 10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof. 10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. 10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. Fra KOM-rapporten: Matematisk kompetence består i at have viden om, at forstå, udøve, anvende, og kunne tage stilling til matematik og matematik virksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Man kan også sige, at en matematisk kompetence er indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at. 1
Problembehandling KOM s. 49 erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (problembehandlingskompetence). Denne kompetence består dels i at kunne opstille, dvs. detektere, formulere, afgrænse og præcisere forskellige slags matematiske problemer, rene såvel som anvendte, åbne såvel som lukkede, dels i at kunne løse sådanne matematiske problemer i færdigformuleret form, egnes såvel som andres, og, om fornødent eller ønskeligt, på forskellige måder. A: Kan man få en trekant ud af tre vilkårlige sidelængder? B: Nej. Har vi fx sidelængderne 3, 5, og 10 og starter med at placere de to korte sider ved hver deres endepunkt af den lange side, vil de to korte sider ikke kunne nå hinanden. Der dannes derfor ingen trekant. A: Er der lige mange sorte og hvide felter på et sædvanligt skakbræt? B: Ja, for i hver række er der fire sorte og fire hvide. Kom s. 200 A Hvis man til et tal lægger et bestemt antal procent, og derefter trækker det samme antal procent fra resultatet, ender man ikke med det tal, man startede med. Hvorfor ikke? A Hvad er arealet af figuren her, hvis omkredsen er 56? 100?. A Skriv regneforskriften for tre forskellige funktioner, hvis graf, du mener, går igennem punktet (5,7). A Find så mange rektangler som muligt som opfylder, at a) længden og bredden er hele tal. og b) arealet og omkredsen er samme tal. A Opskriv som sum af to eller flere stambrøker (dvs. brøker hvis nævner er 1). 2
Modellering KOM s. 52 udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (modelleringskompetence). Denne kompetence består på den ene side i at kunne analysere grundlaget for og egenskaberne ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og holdbarhed. Hertil hører at kunne af-matematisere (træk ved) foreliggende matematiske modeller, dvs. at kunne afkode og fortolke modelelementer og - resultater i forhold til det felt eller den situation som er modelleret. På den anden side består kompetencen i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs.at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv. Når det gælder analysen af foreliggende (eller foreslåede) modeller, kan man fx betragte en model, der opererer med eksponentiel vækst af verdens befolkning i perioden 1900-2000 og sammenholde den med tilgængelige befolkningsdata. undersøge body-mass-index modellen (BMI = vægt[kg]/(højde) 2 [m 2 ]) for undervægt, normalvægt, overvægt og fedme af mennesker. Hvad angår aktiv modelbygning, kan man fx opstille en model til behandling af udfordringer som de nedenstående. I alle tilfælde er det nødvendigt at foretage afgrænsninger, gøre antagelser, eller indhente data for at behandlingen kan foretages. En undersøgelse af hvordan grundplanen for et hus kan se ud, hvis dets areal skal være 120 m 2. En undersøgelse af hvor dyrt det er at tale i mobiltelefon. En bestemmelse af den optimale form på en konservesdåse i forhold til forbrug af materiale. Er det muligt, at gennemsnitsalderen i en befolkning er 35 år samtidig med at mindst 40 % af befolkningen er 60 eller derover? KOM s. 204 E1: Toget mellem A og B tager 20 minutter, og bussen fra B til C tager 15 minutter. Da man skal vente på bussen i B i 5 minutter, tager hele turen 40 minutter. E2: Ja, fra A til C, men så mangler man at lægge den tid til, som skal bruges hen til toget, og fra bussen og derhen hvor man skal. A Vurder ud fra et regnskab for en skolebod, hvilke faktorer der får indflydelse på bodens fremtidige økonomiske situation. A Hvilken form skal en tagrende have? A Hvor mange mennesker kan der stå i rummet her? A Hvor lang tid skal du sætte af for at komme i skole til tiden om morgenen? A Hvor mange tandbørstninger er der til i en tube tandpasta? A Hvor langt fremme ad vejen skal der være fri bane, for at man sikkert kan overhale? 3
Ræsonnement KOM s. 54 udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer. Denne kompetence består på den ene side i at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement, dvs. en kæde af argumenter fremsat af andre på skrift eller i tale til støtte for en påstand, specielt at vide og forstå hvad et matematisk beviser, og hvordan det adskiller sig fra andre former for matematiske ræsonnementer, fx heuristiske ræsonnementer hvilende på intuition eller på betragtning af specialtilfælde, og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke. Heri indgår at forstå den logiske betydning af et modeksempel. Det indgår tillige i kompetencen at kunne afdække de bærende idéer i et matematisk bevis, herunder skelne mellem hovedpunkter og detaljer, mellem idéer og teknikaliteter. Som eksempler på det at følge og bedømme et matematisk ræsonnement kan nævnes: A: Når man kvadrerer et tal, bliver resultatet altid større. Det gælder jo for alle de uendeligt mange hele tal, og så må det også gælde for alle andre tal. B: Nej, påstanden er for det første forkert, idet fx ( ) 2 = ( ), og der er jo mindre end. For det andet kan man ikke overføre alle egenskaberne ved mængden af hele tal til egenskaber ved en mere omfattende talmængde, fx de rationale tal. KOM s.209 E1: Kasper og Marie bor henholdsvis 1,5 og 2 kilometer fra skolen, så må de bo 1,5 km + 2 km = 3,5 km fra hinanden. E2: Nej, det behøver de ikke. Det kunne jo være, at de boede på den samme lige vej til skolen, og så ville der kun være 0,5 kilometer mellem dem. Enhver trekant kan indtegnes i et rektangel således, at en side følger en af rektanglets sider, og den modstående vinkelspids i trekanten rører den modstående side i rektanglet. Trekantens areal vil udgøre halvdelen af rektanglets areal, hvilket forklarer formlen for arealet af en trekant. Man kan finde arealet af et parallelogram ved at klippe en trekant af i den ene ende og tilføje den til den anden ende, for så får man et rektangel, og der er arealet jo bare de to sidelængder ganget sammen. 4
Kommunikation KOM s. 60 udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence). Denne kompetence består dels i at kunne sætte sig ind i og fortolke andres matematikholdige skriftlige, mundtlige eller visuelle udsagn og tekster, dels i at kunne udtrykke sig på forskellige måder og på forskellige niveauer af teoretisk eller teknisk præcision om matematikholdige anliggender, skriftligt, mundtligt eller visuelt over for forskellige kategorier af modtagere. E1: Vi får altid at vide, at vi ikke må dividere med 0. Hvorfor må man egentlig ikke det; er det bare en regel eller hvad? E2: Ja, det er det vel. E1: Men hvor kommer den så fra? Der må da være en grund. E2: Lad os prøve at se, hvad division går ud på. Hvis vi skulle dividere a med 0,så skulle vi finde det tal, som ganget med 0 giver a. Men et tal ganget med 0 giver jo 0 og ikke a. Så divisionen kan slet ikke lade sig gøre. Det er måske derfor, det er forbudt? E1: Hov, hvis a er 0 går det jo godt. Så kan man gange 0 med fx 1 og få det rigtige, nemlig 0. E2: Nå ja, vi kunne også have ganget med 10 10 og stadig få 0. Så ville jo være 10 10. E1: Ja, vi kunne gange med hvad som helst og få det rigtige. E2: Men så kan man vel også godt sige, at divisionen ikke giver noget bestemt resultat, når der kan komme alt muligt ud af den. Og så er den vel også umulig? E1: OK, det er altså forbudt at dividere med 0, fordi vi aldrig kan få noget bestemt ud af det. I de fleste tilfælde får vi slet ingenting ud af det, og hvis a=0, får vi hvad som helst. KOM s. 219 En elev vil vise læreren, hvordan han fandt frem til, at 1+2+3+ +10 = 55: Først lagde jeg de tre første tal sammen. Det giver 6. Så de tre næste, det giver 15. Nu har jeg i alt 21. De sidste tager jeg to og to: 7+8=15, 9+10=19. Det vil sige i alt 21+15+19. Det regnede jeg ud til 55. Men så sagde Marie, at hun havde gjort det på en anden måde. Hun fik også 55. Hun tog først 1 og 10. Det giver 11, så 2 og 9, det giver også 11. Så tog hun 3 og 8, 4 og 7, de giver også 11, to gange. Til sidst var der kun 5 og 6 tilbage, og de giver også 11. På den måde fik hun 5 11-taller. Det er jo 5 tiere, altså 50 og fem enere. Så det blive 55 til sammen. Jeg ved ikke, hvilken måde der er bedst. Jeg regnede det jo bare ud, man skulle ikke tænke så meget, men Marie blev jo nødt til at tænke først, og det er vel mere besværligt, ikke? Hvem siger, at der altid er en smart måde at gøre det på? Om matematikkens natur: Hvordan kan det være, at man mange gange kan få det rigtige resultat på helt forskellige måder? 5
Hjælpemiddel KOM s. 62 kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger (hjælpemiddelkompetence). Denne kompetence består dels i at have kendskab til eksistensen og egenskaberne ved diverse former for relevante redskaber til brug for matematisk virksomhed, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger i forskellige slags situationer, dels i at være i stand til, på reflekteret vis, at betjene sig af sådanne hjælpemidler. Der er ingen grænser for, hvor mange eksempler man kan give på reflekteret omgang med hjælpemidler for matematisk virksomhed. På de lavere klassetrin kan man nævne evnen til at omgås konkrete materialer til støtte for begrebsdannelsen, undersøgelse af sammenhænge og mønstre, efterprøvelse af hypoteser, grundlæggelse af færdigheder osv. Geoboards, centicubes eller andre klods-, brik- eller stangsystemer, kuglerammer, geometriske skabeloner, spirografer, linealer, passere, vinkelmålere, terninger, særligt indstreget papir, karton til foldning eller udskæring hører alle hjemme i denne sammenhæng. Vi kan også nævne den tænksomme omgang med lommeregnere og computere, samt it-software af typen Wordmat, Geogebra, regneark, MathCad osv., til brug for såvel kalkulationer som grafiske repræsentationer, empiriske undersøgelser, visualisering osv. KOM s. 221 Vi kan fx forestille os elever, som med en passer tegner to cirkler med samme radius, den ene med centrum i den andens periferi, forbinder cirklernes centre og skæringspunkterne med centrene og måler de fremkomne linjestykker med en lineal, med henblik på at finde mønstre og foreslå regler. elever, der undersøger sammenhænge mellem de indgående størrelser i forskellige areal- og rumfangsformler ved at trække eller skubbe i hjørnerne på figuren vha. et geometriprogram. elever, der bruger lommeregnere eller regneark til at undersøge hypoteser om tal: Hvad kan man sige om et tal, der fremgår af et andet ved multiplikation med fx 5?. elever, der som led i at udvikle kendskab til hjælpemidlers muligheder og begrænsninger vurderer resultatet af en regneoperation udført på lommeregner, og begynder at reflektere over fordele og ulemper ved at anvende forskellige programtyper. 6
Anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder. CKF: Matematiske emner: Algebra Geometri Statistik og Sandsynlighedsregning Fælles Mål s. 4 Slutmål og metoder deltage i udvikling af hensigtsmæssige beregningsmetoder på baggrund af egen forståelse samt vælge og benytte regneregler og formler benytte geometriske begreber og metoder til beskrivelse af objekter og fænomener fra dagligdagen CKF: Matematiske Arbejdsmåder - slutmål 9. klasse: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger arbejde med problemløsning i en proces, der bygger på dialog og på elevernes forskellige forudsætninger og potentialer. CKF: Matematik i anvendelse - slutmål 9. klasse: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at matematisere problemstillinger fra dagligdag, samfundsliv og natur og tolke matematiske modellers beskrivelse af virkeligheden anvende faglige redskaber, begreber og kompetencer til løsningen af matematiske problemstillinger i forbindelse med dagligliv, samfundsliv og natur bruge matematik som et redskab til at beskrive eller forudsige en udvikling eller en begivenhed erkende matematikkens muligheder og begrænsninger ved beskrivelse af virkeligheden. 7