Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2.3.4. 5. 6. semester efterår 2011-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael Jensen HTX3n/nv 2011-2014_1_2_3_4_5_semester Oversigt over planlagte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Titel 6 Titel 7 Titel 8 Titel 9 Titel 10 Titel 11 Titel 12 Titel 13 Titel 14 Titel 15 Titel 16 Ligninger og uligheder, regningsarternes hieraki Trigonometri og rumlige figurer Analytisk plangeometri Vektorer Introduktion til funktioner Parablen, hyperblen og omvendte funktioner Potensfunktioner, polynomier og kurvetilpasning Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentiel udvikling og regressionsanalyse Trigonometriske funktioner Introduktion til differentialregning Modellering og optimering Introduktion til integralregning Opfølgende projektarbejde Rumlige figurer Vektorfunktioner Side 1 af 21
Titel 17 Titel 18 Differentialligninger Valgfrit projekt, Inertimoment eller Statistik/Sandsynlighedsregning eller Komplekse tal. Side 2 af 21
Titel 1 Ligninger og uligheder, regningsarternes hieraki Anvendt litteratur: Mat B1 htx, Systime (Jensen Marthinus) + Maplenote: Modellering af andengradsligning, fortegnsanalyse af et udtryk Kompetencer: Eleven skal opnå indblik i og anvendelse af grundlæggende matematiske regler ifm. Ligningsløsning, samt kunne vurdere hvilke metoder der skal anvendes. F.eks. skal eleven kunne vurdere om et ligningssystem er lineært for at kunne anvende determinantmetoden. Mål fra læreplanen: regningsarternes hierarki, reduktion, ligningsløsning, både analytisk og grafisk, regler for regning med potenser, rødder og numerisk værdi. Eleven har gennemført: Anvendelse af parenteser, reduktion, brøkregning, ligninger af 1. Og 2. Grad, samt lineære ligningssystemer med såvel erstatnings-s om determinantmetode. Ovennævnte ligninger er løst både analytisk og grafisk, potens, rødder, numerisk værdi, samt uligheder og fortegnsanalyse af udtryk ifm. løsning af uligheder og ligninger med numerisk tegn. Progresssion: Eleven skal kunne vælge metode og vurdere resultat. Klasseundervisning, selvstændig opgaveløsning, klassediskussion Side 3 af 21
Titel 2 Trigonometri og rumlige figurer Anvendt litteratur: Mat B1 htx, Systime (Jensen Marthinus) + noter Anvendt IT: Maple, Geogebra, solidworks (3d) Visualisering af kugle, kegle osv. Kompetencer: Problembehandlingskompetence, Repræsentationskompetence, Modelleringskompetence Mål fra læreplanen: definition af cosinus, sinus og tangens ved hjælp af enhedscirkel, hvor vinkelmål er i grader geometriske og trigonometriske beregninger i retvinklede og vilkårlige trekanter i forbindelse med plane og rumlige figurer (prisme, cylinder, kegle, keglestub, pyramide, pyramidestub, kugle, kugleudsnit og kugleafsnit). Beregning af volumen og overfladeareal af de nævnte figurer h Progresssion: Eleven skal kunne vurdere hvilke metode der skal anvendes, samt kunne matematisk modellere en given problemtilling Klasseundervisning, selvstændigt arbejde, opgaveløsning, projektarbejde. Side 4 af 21
Titel 3 Analytisk plangeometri Anvendt litteratur: Mat B1 htx, Systime (Jensen Marthinus) + noter Anvendt IT: Maple, Geogebra,. Kompetencer: Modelleringskompetence, matematiske symboler, løsning af problemstillinger fra praksis, bevisførelse (deduktion) Mål fra læreplanen: kunne opstille, løse og tolke simple geometriske problemer ved hjælp af såvel klassisk som analytisk geometri Progresssion: Eleven skal kunne genkende, anvende og analysere en matematisk problemstilling, herunder tage stilling til om en analytisk plangeometrisk tilgang vil være hensigtsmæssig. Klasseundervisning, selvstændigt arbejde Side 5 af 21
Titel 4 Vektorer Anvendt litteratur: Mat B2+MatA htx, Systime (Jensen Marthinus) + noter Anvendt IT: Maple, Geogebra, solidworks (3d) til visualisering af vektorer i plan og rum. 1. Definition og egenskaber af vektor som regnestørrelse Addition, subtraktion, enhedsvektor, grafisk og analytisk (koordinatsystem). Opløsning i komposanter (grafisk og analytisk). Vektorlængde, prikprodukt, vinkel mellem to vektorer, projektion, afstand punkt linie Kompetencer: Modelleringskompetence, matematiske symboler, løsning af problemstillinger fra praksis, bevisførelse (deduktion) Mål fra læreplanen: Geometrisk og analytisk vektorregning i planen, herunder: vektorkoordinater, skalarprodukt, projektion af vektor på vektor, opløsning i komposanter, ligninger for linjer, afstande og vinkler i planen: Definition og egenskaber af vektor som regnestørrelse. Addition, subtraktion, enhedsvektor, grafisk og analytisk (koordinatsystem). Opløsning i komposanter (grafisk og analytisk). Vektorlængde, prikprodukt, vinkel mellem to vektorer, projektion, afstand punkt linie Progresssion: Eleven skal kunne genkende, anvende og analysere en matematisk problemstilling, herunder vurdere om vektorregning vil være hensigtsmæssigt. Side 6 af 21
Retur til forside Titel 5 Introduktion til funktioner Funktionsbegrebet Redskaber til grundlæggende funktionsundersøgelse Forskellige typer funktioner Maple Opgaver vedrørende funktioner Kompetencer: Problembehandlingskompetence, Tankegangskompetence, Repræsentationskompetence, Symbol og formalismekompetence. Mål fra læreplanen:, Eleven skal kunne opstille formler og funktionsudtryk ud fra en ikke-matematisk beskrivelse af problemer med variabelsammenhænge samt løse disse matematiske problemer og fortolke resultaterne Progresssion: Eleven erhverver en grundlæggende forståelse for funktioners egenskaber og anvendelse til matematisering af praktiske problemstillinger samt deres repræsentation i et koordinatsystem. klassediskussion. Side 7 af 21
Titel 6 Parablens, hyperblen og omvendte funktioner Parablens og hyperblens repræsentationer og funktionsudtryk Parablens skæringspunkter og toppunkt Omvendte funktioner Maple Forskellige opgaver vedrørende parabler og hyperbler 15 timer Kompetencer: Problembehandlingskompetence, Repræsentationskompetence, Ræssonementskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne veksle mellem et matematisk begrebs forskellige repræsentationer. Eleven skal kunne formulere sig i og skifte mellem det matematiske symbolsprog og det daglige skrevne eller talte sprog Progresssion: Eleven lærer eksemplificeret ved parabler og hyperbler dels at udtrykke ønskede visuelle egenskaber ved en funktion i matematisk sprog og omvendt at oversætte en matematisk egenskab ved en funktion til en visuel egenskab klassediskussion. Side 8 af 21
Titel 7 Potensfunktioner, polynomier og kurvetilpasning Potensfunktioner som forudsætning for polynomier Polynomiers rødder Kurvetilpasning ved brug af polynomier og ligningssystemer Maple Visualiserig af potensfunktioner og polynomier Kurvetilpasningsopgave 10 timer Kompetencer: Problembehandlingskompetence, Repræsentationskompetence, Modelleringskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne analysere konkrete teoretiske og praktiske problemstillinger primært inden for teknik og naturvidenskab, opstille en matematisk model for problemet, løse det matematiske problem, dokumentere samt tolke løsningen praktisk, herunder gøre rede for modellens evt. begrænsninger og dens validitet. Progresssion: Eleven stifter bekendtskab med potensfunktioners og får en grafisk forståelse for heltallige potensfunktioners bidrag til polynomier. Endvidere får eleven en forståelse og praktisk erfaring med, hvordan ligningssystemer kan anvendes til at designe polynomier, der indeholder et antal specifikke punkter i planen.. klassediskussion. Side 9 af 21
Titel 8 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunkter inklusiv den naturlige eksponentialfunktion Logaritmer som omvendte funktioner til eksponentialfunktioner Regneregler for eksponentialfunktioner og logaritmer Logaritmiske ligninger Logaritmiske koordinatsystemer 15 timer Kompetencer: Problembehandlingskompetence, Symbol- og formalismekompetence, Ræssonementskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal opnå fortrolighed med matematisk tankegang og ræsonnement. Eleven skal kunne veksle mellem et matematisk begrebs forskellige repræsentationer. Progresssion: Eleven får en forståelse for sammenhængen mellem logatitmer og eksponentialfunktioner og lærer at anvende matematiske værktøjer i praktiske problemstillinger, hvor disse sammenhænge optræder. klassediskussion. Side 10 af 21
Titel 9 Eksponentiel udvikling og regressionsanalyse Eksponentiel udvikling med eksempler Halverings- og fordoblingstid Maple Beregning af regressionslinie Projektopgave om støj. 12 timer Kompetencer: Modelleringskompetence, Problembehandlingskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne anvende CAS-værktøjer og matematikprogrammer til såvel beregninger som dokumentation. Eleven skal kunne formulere sig i og skifte mellem det matematiske symbolsprog og det daglige skrevne eller talte sprog. Progresssion: Eleven får erfaring med at anvende og beskrive eksponentiel udvikling i forbindelse med modellering af virklighedens fænomener. Begreberne Decibel og intensitet ifm. Lyd introduceres. Generel regression (Lineær, potens, eksponentiel) Projektarbejde med CAS, klassediskussion. Side 11 af 21
Titel 10 Trigonometriske funktioner Periodiske trigonometriske funktioner Trigonometriske grundligninger med ufuldstrændige og fuldstændige løsninger 15 timer Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne opstille en periodisk funktion, samt kunne redegøre for begreberne amplitude, svingningstid, frekvens og vinkelhastighed. I tilknytning hertil løses simple trigonometriske ligninger. Eleven skal opnå kendskab til matematisk tankegang, kunne foretage simple matematiske ræsonnementer og udføre enkle beviser. Progresssion: Eleven lærer at anvende trigonometriske funktioner samt at fortolke og løse trigonometriske grundligninger. Tavlegennemgang af relevant teori,.opgaveregning, klassediskussion. Side 12 af 21
Titel 11 Introduktion til differentialregning Grænseværdibegrebet, kontinuitet og differentiabilitet, tretrinsreglen, Regneregler for differentiable funktioner, sum, differens, kvotient, sammensat og omvendt funktion. Sammenstrykkede funktioner og differentiabilitet Lokale/globale minima/maxima Vendetangenter Grundlæggende funktionsundersøgelse Tangentligningen Implicit differentation. Maple Udregning af afledet funktion og differentialkvotienter med CAS Kompetencer: Ræsonnementskompetence, Repræsentationskompetence, Symbol- og formaliseringskompetence, bevisførelse Mål fra læreplanen: Beregning af differentialkvotienter for ovennævnte funktioner samt regneregler for differentiation af sum, differens, produkt og kvotient af to funktioner, sammensætning af to funktioner samt omvendt funktion Progresssion: Eleven bliver introduceret til grundlæggende differentialregning og får et vist indblik i anvendelsesmulighederne. klassediskussion. Side 13 af 21
Titel 12 Modellering og optimering Eksempler og opgaver i optimering med fokus på sammenhængen til differentialregning. Maple Anvendes bl.a. som værktøj til at finde 0-punkter af afledede funktioner Projektopgave om optimering 16 timer Kompetencer: Modelleringskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne anvende matematiske teorier og metoder til at formulere, matematisere, analysere og løse praktiske problemer samt validere og dokumentere deres løsninger, primært inden for de tekniske og naturvidenskabelige fag. Eleven skal opnå kendskab til matematisk tankegang, kunne foretage simple matematiske ræsonnementer og udføre enkle beviser Progresssion: Eleven bliver i stand til at analysere og i praktsis efterprøve, hvordan givne problemstillinger kan modelleres matematisk og efterfølgende behandles ved hjælp af optimering. projektarbejde, klassediskussion. Side 14 af 21
Titel 13 Introduktion til integralregning Stamfunktionens sammenhæng med ubestemt integrale og differentiation Bestemt integrale eksemplificeret ved arealbetragtninger Regneregler for integraler Integraler af specifikke funktioner Omdrejningslegemer, kurvelængde, overfladeareal Maple Udregning af arealer og rumfang via bestemte integraler Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne beregne, fortolke og anvende udtryk for såvel den afledede funktion som simple stamfunktioner, herunder forskellige fortolkninger af bestemt og ubestemt integral. Eleven skal kunne anvende CASværktøjer og matematikprogrammer til såvel beregninger som dokumentation. Omdrejningslegemers rumfang, overfladeareal, samt kurvelængde, udledning af metoder. Progresssion: Eleven får en grundlæggende forståelse for et integrales opbygning og anvendelsemuligheder eksemplificeret ved arealberegninger. Eleven lærer at udregne integraler med og uden CAS. projektarbejde, klassediskussion. Side 15 af 21
Titel 14 Opfølgende projektarbejde Bruges primært som opslagsværk i forbindelse med projektarbejdet. Kompetencer: Modelleringskompetence, Symbol- og formaliseringskompetence, Tankegangskompetence. Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne formulere sig i og skifte mellem det matematiske symbolsprog og det daglige skrevne eller talte sprog. Eleven skal kunne anvende CAS-værktøjer og matematikprogrammer til såvel beregninger som dokumentation. Eleven skal opnå kendskab til matematisk tankegang, kunne foretage simple matematiske ræsonnementer og udføre enkle beviser. Eleven skal kunne beregne, fortolke og anvende udtryk for såvel den afledede funktion som simple stamfunktioner, herunder forskellige fortolkninger af bestemt og ubestemt integral. Progresssion: Eleven får mulighed for at øve anvendelsen af det samlede stof fra 2. årgang af matematik B i konkret projektarbejde. Projektarbejde. Side 16 af 21
Titel 15 Rumlige figurer Prisme, kegle+stub, kugle, pyramide+stub Overflade, rumfang Eftervisning af keglens og pyramidens rumfang (integralregning) Maple Udregning af arealer og rumfang for regulære rumlige figurer Geogebra Afbilding og opmåling af polygoner og rumlige figurer. Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence Mål fra læreplanen: Eleven skal kunne beregne og visualisere rumlige figurer med typisk regulære polygoner som grundflade. Progresssion: Eleven får en grundlæggende forståelse for visualisering af rumlige figurer og især plangeometriens anvendelse til beregninger af disse. Ligeledes vises hvordan integralregning kan anvendes til udledning af rumfangsformler, samt hvordan vektorregning kan inddrages til arealberegning. projektarbejde, klassediskussion. Side 17 af 21
Titel 16 Vektorfunktioner MAT A af Jensen/Marthinus Maple Definition af vektorfunktion Banekurver Areal mellem banekurver Afstande Hastighed, acceleration Geogebra Visualisering af banekurver 2d og 3d Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence Mål: Eleven skal kunne beregne, fortolke og anvende udtryk for vektorfunktioner som udvidelse af funktionsbegrebet og vektorbegrebet. Herunder tegne og beregne banekurver og udlede tangent (hastighed og fart), acceleration, areal og afstande. Karakteristtiske banekurver som cardioide, cycloide, cirkel og ellipse inddrages, lige som polære koordinater berøres. Progresssion: Eleven får en grundlæggende forståelse for et vektorfunktionens anvendelsemuligheder. projektarbejde, klassediskussion. Side 18 af 21
Titel 17 Differentialligninger MAT A af Jensen/Marthinus Noter Definition af differentialligning, homogen og lineær 1. og 2. ordens dif.ligning. Fuldstændig og partiel løsning Linjeelementer Anvendelse af CAS til fuldstændig og partiel løsning. Standarddifferentialligninger, y =k*y, y =a*y+b, y =y*(b-a*y) Praktisk anvendelse Geogebra Linjeelementer Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence. Mål: Eleven skal kunne opstille, fortolke, løse og anvende differentialligninger. Progresssion: Eleven får en grundlæggende forståelse for et differentialligningens med udgangspunkt i den grundlæggende differentialregning. projektarbejde, klassediskussion. Side 19 af 21
Titel 18 a) Valgprojekt Inertimoment Inertimoment og tyngdepunkt som valgtema, med udgangspunkt i integralereging Tyngdepunkt for punktformede og ikke punktformede arealer og prismer Flade- og masseinertimoment incl. flytningsbidrag (Steiners sætning) Anvendelse af dobbeltintegraler i cartesiske og polære koordinater.. Materiale: Mat A HTX, Systime Noter Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence, modelleringskompetence Mål: Eleven skal kunne anvende integraleregning ifm. Med beregning af tyngdepunkt og inertimoment for såvel matematisk veldefinerede arealer og legemer, samt redegøre for principperne på ikke så veldefinderede arealer og legemer. Progresssion: Eleven får en grundlæggende forståelse for et vektorfunktionens anvendelsemuligheder. projektarbejde, klassediskussion. Titel 18 b) Valgprojekt Statistik og sandsynlighedsregning Statistik og sandsynlighedsregning. Boxplot, grupperede/ ikke grupperede data, middelværdi, spredning. Kombinationer, permutationer Endeligt sandsynlighedsfelt, stokastisk variabel, forventningsværdi Normalfordelingen Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence, modelleringskompetence Mål: Eleven skal kunne anvende statistiske metoder ifm. Behandling af måledata, samt kunne fortolke og vurdere resultatet af en statistisk analyse. Progresssion: Eleven får en grundlæggende forståelse for et vektorfunktionens anvendelsemuligheder. projektarbejde, klassediskussion. Titel 18 c) Valgprojekt Komplekse tal Anvendelse og forståelse af den komplekse talmængde. Definition af det komplekse tal/ den komplekse talmængde. Addition subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal på rek- Side 20 af 21
tangulær form. Konjugering af komplekst tal på rektangulær form. Addition subtraktion, multiplikation og division af komplekse tal på polær form, med udgangspunkt i Eulerformen z *e^(i*teta) Argumentation for Eulerformen med udgangspunkt i differentialregning. Simple komplekse ligninger De Moivres formel. Praktisk anvendelse (vekselstrømskredsløb) Kompetencer: Symbol- og formaliseringskompetence, Repræsentationskompetence, Ræsonnementskompetence. Mål: Eleven skal kunne anvende komplekse tal i simple praktiske sammenhænge. Herudover skal eleven kunne veksle mellem forskellige præsentationer af komplekse tal, hvor det er hensigtsmæssigt. Eleven skal kunne foretage gængse regenoperationer og simple ligningsløsninger indenfor den komplekse talmængde. Progresssion: Eleven får med udgangspunkt i enhedscirklen og den retvinklede trekant, samt grundlæggende vektor- og differentialregning indblik i ovenstående. projektarbejde, klassediskussion. Side 21 af 21