Processarbete i matematik en inledning Inom svenskundervisningen arbetar många lärare med skrivprocessen. För denna har det under lång tid funnits en väl utarbetad metodik och en stor del av eleverna är säkert bekanta med arbetssättet. Många av Nämnarens läsare undervisar också i svenska och använder sig av metoden. För den som vill veta mer hänvisar vi till kollegor som undervisar i svenska. En viktig del i processarbete är att man får reaktioner på arbetet under arbetets gång. Denna respons ges av lärare eller kamrater och ska leda till ändringar, förtydliganden och förbättringar. Arbetet tillåts alltså att ta tid och att utvecklas. Skulle ett sådant arbetssätt kunna användas i matematik? I ett projektorienterat arbete i matematik ska lärare eller kamrater reagera på ännu inte färdiga arbeten, ge förslag och synpunkter och bidra till att den färdiga lösningen blir så bra som möjligt. I den här artikeln beskriver två danska lärare ett processorienterat arbetssätt i matematik. I Danmark ingår kommunikation i målen för matematik, och kommunikationen ska bedömas och betygsättas. Ett process orienterat arbetssätt är mycket lämpligt i det sammanhanget. I ett sådant arbete har elever och lärare och elever sinsemellan dialog kring problemen och dialogen för processen framåt Att förbereda uppgiften är viktigt och måste få ta tid. Förberedelserna sker både i klass, grupp och enskilt. En väsentlig del av arbetet är att ge respons och ta emot synpunkter från kamrater. Sådant måste man få lära sig, det tar tid att utveckla den förmågan. Alla elever ska också förstå vad problemet går ut på och de begrepp som behandlas. När arbetet sen sätter igång behöver eleverna också med detta arbetssätt olika former av hjälp med hur problemet ska angripas. Man behöver diskutera språkliga formuleringar, korrekt terminologi och hur man tecknar uttryck på ett korrekt vis. Diskussioner bör också röra hur en lösning redovisas, t ex vad som måste motiveras. De val eleven gör under arbetet, t ex av lösningsmetod, grad av avrundning eller val av matematisk modell, ska också redovisas och motiveras. Uppgiftslösningen består oftast av en förklarande text och en tillhörande lösning. Lösningen består av flera delar som bearbetas efterhand och kommunikationen kring lösningarna är en del av arbetet. Det finns i huvudsak två typer av matematikuppgifter. Sådana som vi brukar kalla nakna uppgifter, t ex där någonting ska beräknas eller en ekvation ska lösas och där det mesta redan är givet och sådana som är mer sammansatta, som ska lösas i flera steg där man måste fatta en hel del val utefter vägen. Båda dessa typer passar för ett processorienterat arbetssätt men resonemanget kring val och metoder kommer att skilja sig åt. Med ett processorienterat arbetssätt finns goda möjligheter att differentiera arbetet inom klassen. Med hjälp av dynamiska program där matematiken kan undersökas blir utbytet av ett processorienterat arbete, enligt författarna, störst. Exempel på sådana är geometriprogram där man kan ändra i konstruktioner och skrivverktyg där man kan skriva formler, funktioner och andra matematiska uttryck och också utföra beräkningar. Hur sådana ska kombineras med att texten enklast skrivs i ett vanligt ordbehandlingsprogram är fortfarande en utmaning. Ett sådant program, där man kan skriva vanlig text och matematiska symboler och med vilket man dessutom kan undersöka matematiken är ett önskemål från många. Den danska matematiklärarföreningen har utvecklat ett sådant program, se Nämnaren 2009 (4). Den läsare som skulle vilja prova detta kan kontakta redaktionen så förmedlar vi kontakt med den danska föreningen som har licenser. 50 Nämnaren nr 2 2010
Annette Lilholt & Karsten Enggaard Procesorienteret opgaveløsning i matematik Att kunna kommunicera med och om matematik är både ett mål med matematikundervisningen och ett sätt att arbeta matematiskt för att utveckla sitt matematikkunnande. Ett processorienterat arbetssätt passar bra för detta. I denna danska artikel behandlas några aspekter av sådant arbete. En kortare sammanfattning på svenska finns på sidan här intill. Procesorienteret opgaveløsning i matematik er en undervisningsform, der ændrer på elev- og lærerrollen. Eleven skal være en aktiv del af løsningsprocessen i stedet for at være modtager af en række standardiserede løsninger, der skal læres som en del af pensum i matematik. Det kræver læreren som den kritiske samtalepartner i dialog om opgavens løsning frem for læreren som eksperten, der kender den korrekte standardiserede løsning. Den procesorienterede opgaveløsning i matematik består oftest af en forklarende tekstdel og en tilhørende matematikløsning, som udsættes for en række delprocesser hen mod det endelige produkt, som indeholder den tilstrækkelige kommunikation omkring problemløsningen. Når eleverne skal udarbejde egne opgaveløsninger og opgaveløsninger i samarbejde med andre, er det væsentligt, at lærerne støtter processen ved aktiviteter før, under og efter arbejdet med opgaveløsningen. Eleverne skal hjælpes med deres forberedelse (forståelse for opgaven og dens sammenhænge), deres formulering (valg af værktøj, matematiske begreber og symboler) og efterfølgende med eventuelle forbedringer af løsningen. Et væsentligt element i den procesorienterede opgaveløsning er, at eleverne benytter hinanden som sparringspartnere og giver respons på hinandens kommunikation omkring opgaveløsningen og selve løsningen. Dette kan eleverne selvklart ikke gøre konstruktivt og fremadskridende uden en grundig forudgående introduktion og med en passende grad af øvelser. Det er vigtigt, at læreren deltager i responsfasen og giver eleverne konkrete anvisninger på, hvorledes der kan kommunikeres omkring opgaveløsningen. Arbejdet med responsen skal tilrettelægges efter den enkelte elevs forudsætninger, altså på en sådan måde, at der fortrinsvis [företrädesvis] holdes fokus på et enkelt løsningselement ad gangen. Ofte skal en opgave ikke løses fra ende til anden, men opdeles i faser, hvor eleven forholder sig til en fase ad gangen. I responsarbejdet ligger der gode muligheder for at differentiere. Nogle elever har brug for ganske få og meget detaljeret kommentarer for overhovedet at komme videre, mens der til andre kan stilles større og mere komplekse forslag til deres opgaveløsninger. Selv om eleverne giver hinanden respons vil det forbedre opgaveløsningen yderligere at læreren også giver respons. Nämnaren nr 2 2010 51
Forberedelse til opgaveløsning Denne fase er en forberedelses- og planlægningsfase, hvor eleverne får hjælp at få ideer og komme i gang med den konkrete opgaveløsning. Det handler også om begrebsafklaring og forståelse for den kontekst, hvori opgaven er. For mange elever er forberedelsesfasen den sværeste. Måske har de en ide, men de har svært ved at få den struktureret og udfoldet. Forberedelsesfasen skal derfor tages alvorligt og prioriteres tidsmæssigt. Forberedelsesfasen veksler mellem at foregå individuelt, i grupper eller fælles på klassen. Ligeledes er det selvklart af betydning, at eleven er motiveret og har interesse for at arbejde med opgaven. Høj grad motivation er ofte sammenhængende med tydelige læringsmål, så eleven ved, hvad hun er ved at lære, og hvordan hun kan arbejde for at nå målet. De indledende overvejelser om, hvordan opgaven skal løses, kan forløbe på yderst forskellige måder. Der er elever, der med fordel kan diskutere og drøfte, hvordan opgaven skal løses med hinanden, med en lærer eller med sig selv. Andre har brug for en indgang til opgaven, hvor der bliver arbejdet med skitser og andre mindre skriftlige overslag som grundlag for den efterfølgende egentlige opgaveløsning. Også her kan der selvfølgelig være brug for en diskussion. For mange elever er det svært at formulere sig om noget andre har skrevet og at modtage kritik på det de selv har skrevet. De har ofte vanskeligt ved at håndtere kritik og føler der er meget på spil når de selv skal give respons til en kammerat. De kan savne et sprog at formulere sig i. Læreren bør fokusere på disse situationer og hjælpe eleverne til at udvikle nogle redskaber der sætter dem i stand til at inddrage responsfasen som en naturlig del af opgaveløsningen. Der kan i starten være konkrete responsspørgsmål som er formuleret. To typer af matematiske opgaver Der eksisterer i hovedsagen to typer af matematiske opgaver. Der er opgaver, der kun består af tal, bogstaver og matematiske tegn, og der er opgaver, der afspejler en mere sammensat situation. Dvs. mange data, sproglige forklaringer, billeder og tegninger, ting der skal tages hensyn til, og endelig skal resultatet måske bruges til at overveje nogle løsningsmuligheder. Altså en opgavetype, hvor det hele eller næsten det hele er fastlagt på forhånd, og en anden opgavetype, der er karakteriseret af forskellige grader af valg, der skal foretages i løbet af løsningsprocessen. Den første type af opgaver giver sjældent anledning til mange diskussioner om de sproglige forklaringer i forbindelse med opgaven og dens løsning. Diskussioner knyttet til denne opgavetype drejer sig mere om fx matematisk syntaks, valg af løsningsmetode og valg af hvordan og i hvilken grad det er nødvendigt at forklare, hvorledes man er nået frem til resultatet. Efter vores opfattelse skal den matematiske syntaks være korrekt. D v s regningsarternes hierarki, fx brug af parenteser, lighedstegn, regnetegn (+,,, :) og brug af benævnelser. Løsningsmetode vil ofte være et valg mellem fx lommeregner [miniräknare], computer med tilhørende program og manuel udregning med papir og blyant. Her vil valg af udregningsmetode og -redskab afhænge af, hvad resultatet skal anvendes til. Det giver næppe mening at udregne arealet af midtercirklen på en håndboldbane med 1 000 000 decimaler. Men et valg af en værdi 52 Nämnaren nr 2 2010
for π med tre decimaler, hvis omkredsen af en fingerring skal beregnes i cm kan være ganske fornuftig. Dvs. valgene afhænger af den situation, hvori resultatet skal anvendes. I kommunikationen omkring opgaven og dens løsning kan det være nødvendigt at redegøre for sådanne overvejelser. Den procesorienterede opgaveløsning af denne type opgaver drejer sig således om at optimere netop syntaks, benævnelser, samt tydeliggørelse af eventuelle valg, herunder fx antal decimaler i udregninger og resultat. I denne type af opgaver er der ligeledes forskel [skillnad] på kravene til udfoldningen af løsningen afhængigt af det niveau, der arbejdes på. Elever, der er ved at lære reduktion af sammensatte algebraiske udtryk, vil naturligt møde et krav om at udfolde alle små trin i en løsning. Elever, der forventes at kunne løse sådanne udtryk vil møde et krav om korrekte resultater og en forventning om at mellemleddene er i orden. Den sidste gruppe af elever vil derfor også med rimelighed kunne benytte eventuelle matematiske skriveværktøjers mulighed for at foretage sådanne reduktioner. Disse elever har nemlig værktøjerne til at løse sådanne udtryk. Deres diskussion går på valg af værktøj. I modsætning hertil skal den første gruppe af elever vise, hvilken grad af kendskab de har til løsning af algebraiske udtryk. Den anden type af opgaver omfatter en mere sammensat proces, hvor der ofte skal foretages flere valg. Her skal eleven forholde sig kritisk til de forelagte data og vide, hvorledes de valg hun foretager, kan have indflydelse på resultatet af de efterfølgende udregninger. En sådan lille matematisk model kræver altså bevidsthed [medventenhet] om de valg, der tages. Det endelige resultat og de handlinger og beslutninger, der eventuelt skal foretages på grundlag af resultaterne, er selvfølgelig under indflydelse af de foretagne valg. Andre valg kunne have givet andre resultater. Denne proces og de foretagne valg skal tydeligt fremgå af kommunikationen omkring opgaveløsningen. Valg af lånetype til finansiering af bolig er et glimrende eksempel på, hvorledes en lang række af valg har indflydelse på, hvilken type lån, der passer til de ønsker en person har. Køb på afbetaling, hvor der skal vælges mellem forskellige afdragsmodeller, er et andet eksempel. Lægning af fliser [plattor] på en terrasse, hvor der kan vælges mellem forskellige flisetyper til forskellige priser, som kan lægges på forskellig tid, og i forskellige mønstre er et andet eksempel. Kommunikationsværdien er en del af de bindende trinmål og er ud over målbeskrivelserne forklaret af Undervisningsministeriet på følgende måde: kommunikationsværdien omfatter den sproglige forklaring og det valgte matematiske udtryk, samt den opstilling, der understøtter den enkelte opgave. Bedømmelsen omfatter elevernes evne til: at anvende relevante faglige udtryk og kommunikere om fagets emner med en passende grad af præcision at bruge hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog i form af tal, tegning og andre fagudtryk Nämnaren nr 2 2010 53
Den procesorienterede opgaveløsning af denne type opgaver drejer sig således om at optimere valgene undervejs i udregningerne og kunne begrunde disse valg. Efterfølgende skal de opnåede resultater indgå i begrundelsen for en eventuel handling eller det endelige valg. Kravene til kommunikationen omkring sådanne opgavetyper er, at valg og proces skal fremgå tydeligt af kommunikationen. Processen vil ofte kunne illustreres gennem opstillingen af formel, ligning, funktion, diagram, tabel, tegning, algoritme, og de tilhørende resultater. Hvorimod valg kræver en forklaring, gerne med argumenter for netop dette valg. Matematikk kan undersøges Brugen af computer i matematikundervisningen bliver stadig mere udbredt. I den forbindelse er det nødvendigt at overveje, om matematikken fortrinsvis skal skrives med en tekstbehandler som Word eller med et program, der mere aktivt kan arbejde med såvel matematikkens elementer som med den skriftlige kommunikation omkring opgaveløsningen. Efter vores opfattelse giver arbejdet med procesorienteret opgaveløsning i matematik det bedste udbytte, hvis eleverne arbejder med dynamiske programmer, dvs programmer, hvor matematikken kan undersøges. En sådan undersøgelse kan bestå i, at der eksperimenteres med forskellige indtastninger, og at de der af følgende forskellige resultater umiddelbart kan ses på skærmen. Dynamiske programmer er programmer som regneark, hvor cellerne udnyttes aktivt til at beregne værdier. Det er geometriprogrammer, hvor der kan trækkes og ændres i konstruktionerne, så eleverne kan forsøge sig frem mod en løsning, og det er matematikskriveværktøjer, hvor formler, funktioner og andre matematiske udtryk kan indtastes og beregnes direkte på skærmen, igen så det er muligt at eksperimentere sig frem mod en løsning Et matematisk skriveværktøj fremmer opfattelsen af, hvordan det at producere en tekst og den tilhørende matematiske udtryk og løsning er en proces. En proces begynder med en disponering, dernæst skrivning af tekst og matematiske udtryk og løsning efterfulgt af en redaktionel bearbejdning for endelig af have den færdige version, der skal afleveres til modtageren. Et almindeligt tekstbehandlingsprogram er kun egnet til den sproglige kommunikation omkring opgaveløsningen. Matematiske tegn og udtryk kan kun med besvær skrives, og det er ikke muligt at evaluere, dvs. udregne, disse udtryk. Der er dermed tale om en tekstdel, der kan ændres dynamisk, mens matematikdelen ikke kan ændres dynamisk i et sådant program. Nogle af de dynamiske programmer kan selvfølgelig også benyttes til tekstskrivning, hvorimod de almindelige tekstbehandlingsprogrammer ikke kan benyttes til den dynamiske opgaveløsning, og de er således efter vores opfattelse ikke velegnede til procesorienteret opgaveløsning. Litteratur Både ordbehandlare och matematikverktyg. Nämnaren 2009 (4) s 38. 54 Nämnaren nr 2 2010